《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)期末總復(fù)習(xí)

《高等數(shù)學(xué)》下冊(cè)期末總復(fù)習(xí)

一、向量代數(shù)與空間解析幾何(一)向量代數(shù)

JJJJGGGG

1、點(diǎn)M(x,y,z加量OM=(x,y,z=xi+yj+zk；

JJJG2、點(diǎn)A(xl,yl,zl,B(x2,y2,z2=向量AB=(x2-xl,y2-y1,z2-z

1;

GG3、設(shè)a=(ax,ay,az,b=(bx,by,bz,則

GGG

aib=(ax±bx,ay±by,az±bz；Xa=(Xax,kay,kaz(人為數(shù))；GGGG

GGn

a-b=|a|-|b|cos(a,b=axbx+ayby+azbz；

GGGijkGGGGGGGGGGGGGGn

axb=axayaz,(|axb|=|a||b|sin(a,b,axb_Lb,axb±a；

bxbybz

bxbybzGG

a&b?==(對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例)；

axayaz

GGGG

a_Lb<=5a?b=0；

GGGa-bGn

cos(a,b=；

la||b|

GGGGnPijb=|b|cos(a,b

Ga

(二)曲面、空間曲線及其方程

1、曲面及其方程Z:F(x,y,z=O,旋轉(zhuǎn)曲面【繞誰(shuí)不換誰(shuí)，正負(fù)根號(hào)里沒(méi)有

誰(shuí)；作圖時(shí)先畫(huà)母線然后繞其軸旋轉(zhuǎn)之】，柱面【柱面三缺一，缺誰(shuí)母線就平行于

誰(shuí)；作圖時(shí)先畫(huà)準(zhǔn)線結(jié)合母

線特點(diǎn)得柱面】，二次曲面【截痕法與伸縮變形法作圖】；要熟悉常見(jiàn)的曲面

及其方程并會(huì)作圖2、空間曲線及其方程：一般方程(面交式)、參數(shù)方程；

3、曲線(曲面或空間立體)在坐標(biāo)面上的投影：投誰(shuí)便消去誰(shuí)4、會(huì)作簡(jiǎn)單

立體圖形

(三)平面方程與直線方程：

1、平面方程：

1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0,其中n=(A,B,C為其一法向量.

G

第1頁(yè)共14頁(yè)1

2)點(diǎn)法式方程：法向量n=(A,B,C,點(diǎn)M(x0,y0,z0en,則A(x—xO

+B(y-y0+C(z-z0=0.3)截距式方程：

G

xyz

++=1abc

(Alx+Bly+CIz+D1=0

的平面束方程為

(A2x+B2y+C2z+D2=0

4)平面束方程：過(guò)直線《

(Alx+Bly+CIz+D1+X(A2x+B2y+C2z+D2=0

2、直線方程：

點(diǎn)M0(x0,y0,z0￡L,則1)對(duì)稱式方程(點(diǎn)向式方程)：方向向量s=(m,

n,p，

G

x-xOy-yOz-z0

mnp

x=x0+mt

2）參數(shù)式方程：ly=yO+nt

Iz=z+pt

0

3)一般式方程：I

(Alx+Bly+CIz+D1=0

IA2X+B2y+C2z+D2=0

3、面面、線線、線面關(guān)系：

GG|nGG1-n2|nn=1面面：

Jq2++cjJA；+B；+cj

cos0=|cos(n,|=12

Inl||n2|

GG

ni±n2<=si1-n2=0—1A2+BIB2+CIC2=0：AIBIC1GG

ni&n(或重合)un&n0=212

A2B2C2

GG|sGG1-s21ns==2線線：

J42+B；+CjJA；++Cj

cos0=|cos(s,|12|sl||s2|GG

L1±L2<=X1-s2=0<=^mIm2+nIn2+pIp2=0；mInIp1GG

Ll&L(或重合)us&s==212

m2n2p2

GG|s-n|GGm3線面:

JA，+B；+C：JA；+6」+（

sin（|）=|cos（s,n|==|s||n|ABCGG

LJ_riG&n?===；

mnp

GG

L&n（或L在n上Cn<=JAm+Bn+Cp=0

第2頁(yè)共14頁(yè)

2

4、距離

dA，+B'+C，

點(diǎn)面：d=

JJJJJJG點(diǎn)線：d=|MG0Mxs||s|

，其中G

s為直線的方向向量，M為直線上任意一點(diǎn).

第3頁(yè)共14頁(yè)3

二、多元函數(shù)的微分學(xué)及其應(yīng)用

（-）極限（求法與一元函數(shù)的類似，洛必達(dá)法則除外）：

22

7（x-x0）+（y-y0）

(x,yT(x0,y0

lim

f(x,y=A田￡>0,38>0,8時(shí)，有|f(x,y-A|<￡

(x,y-(x0,y0

A

(二)連續(xù)性：

A

lim

f(X,y=

-x)+(y-%)2

f(x0,yO

田s>0,38>0,8時(shí)，有|f(x,y-f(x0,y0|<￡

(三)偏導(dǎo)數(shù)：

1、顯函數(shù)：z=f(x,y

1)定義：fx(x0,y0=lim

Ax—0

f(x0+Ax,y0-f(x0,y0

Ax

fy(x0,y0=lim

Ay—>0

f(x0,y0+Ay-f(x0,y0

△y

2)求導(dǎo)法則：對(duì)X求偏導(dǎo)，暫時(shí)視y為常量；對(duì)y求偏導(dǎo)，暫時(shí)視X為常量

3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)椒▌t)：若z=f(u,v具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u

=g(x,y與

v=h(x,y都具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f[g(x,y,h(x,y]的偏導(dǎo)數(shù)為：

dzdzdudz&v

=?+?=fu?ux+fv?vx=fgx+f2'?hx；5xex5v5x

dzdzdudz5v=?+?=fu?uy+fv?vy=f1'?gy+f2'?hySySu5y6v6y

特別的，設(shè)z=f[h(x,g(x],則

dz

=fMhz(x+f2f-g'(xdx

例如，設(shè)z=f(xy,2x+3y,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：

令u=xy,v=2x+3y,則

dzdz

=fl'?y+f2'?2=yfl'+2f2',=xfl'+3f2'.6xSy

32zdd

“?x+fl2”-3]+2(f2r(-x+f22"-3=(yf1'+2(f2'=[fI'+y(f11

dxdydydy

”+(3y+2xf12"+6f22"=fI'+xyf11

注意：1)解題時(shí)，要注意偏導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的寫(xiě)法.2)其中fl，=

5f(u,v

duu=xy

f1,(xy,2x+3y]與原函數(shù)具有相同的復(fù)合結(jié)構(gòu).=fu(xy,2x+3y【即

4

v=2x+3y

第4頁(yè)共14頁(yè)

2、隱函數(shù)：

1)一個(gè)方程的情形：

Fxdyf

=-1dxFyIIy=y(x

一《隱函數(shù)求導(dǎo)法：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，注意y=二元方程可確定一個(gè)一元隱

函數(shù)：F(x,y=0------

I微分法：方程兩邊取微分，F(xiàn)dx+Fdy=0

xy

y(x為x的函數(shù)

Fy(Fxdzdz

=-,=-z=z(x,yIdxFzdyFzI

三元方程可確定一個(gè)二元隱函數(shù)：F(x,y,z=0J

隱函數(shù)求導(dǎo)法：方程兩邊對(duì)x(或y求偏導(dǎo)，注意z=z(x,y為x、y的函數(shù)

III微分法：方程兩邊取微分，F(xiàn)xdx+Fydy+Fzdz=0=>dz="

2)方程組的情形：(隱函數(shù)求導(dǎo)法)

(y=y(x

lz=z(x

fF(x,y,z=0dydz

三元方程組確定兩個(gè)一元隱函數(shù)：

對(duì)x求導(dǎo)dxdxGxyz(,,=0I

四元方程組可確定兩個(gè)二元隱函數(shù)：

(

F(x,y,u,v=0

G(x,y,u,v=0

(u=u(x,y(

Iv=v(x,y

=>

對(duì)x（或y求偏導(dǎo)，視y（或X為常量，得

du,dxdx

（或Su5v）

dydy

（四）全微分：可微函數(shù)z=f（x,y的全微分為：dz=zxdx+zydy.定義為:

Az[=f（xO+Ax,yO+Ay-f（x0,y0]=AAx+BAy+

‘一’一：^^=----

o（p,其中p=（五）應(yīng)用：

1、幾何應(yīng)用：

1）曲線的切線與法平面：

A

fX=x（tI

a、若曲線「的方程為參數(shù)方程：｛丫=丫0,點(diǎn)乂（*0,丫0/0￡7-1=10,

則

Iz=z（tI

G

切向量為T(mén)=（x'（tO,y，（tO,z'（tO,

切線方程為

x-xOy-yOz-z0

xr(t0y'(t0zr(t0

法平面方程為xr(t0?(x-x0+yr(t0?(y-y0+zz(t0?(z-z0=0

Gfy=f(x

,點(diǎn)乂a(),戶0*0￡「，則切向量為T(mén)=(l,y，(xO,z，(xO,從而可b、若曲

線「的方程為：I

lz=g(X

得切線方程與法平面方程.

fF(x,y,z=0

，點(diǎn)M(x0,y0,z0G「，則切向量為c、若曲線「的方程為一般方程：〈

G(x,y,z0=I

第5頁(yè)共14頁(yè)

5

GdydzT=(1,yz(x0,zf(x0(利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可

得，)，從而可得切線方程與法

dxdx

GGGGG

平面方程.【另解：nl=(Fx,Fy,Fz|M,n2=(Gx,Gy,Gz|M,可取切向

量為T(mén)=nlxn2]

2)曲面的切平面與法線：

a、若曲面￡的方程為尸儀，丫〃=0,點(diǎn)乂(*0,丫0-0￡工則

法向量為：n=(Fx(x0,y0,z0,Fy(x0,y0,z0,Fz(x0,y0,z0,

切平面方程為：Fx(x0,y0,z0(x-x0+Fy(x0,y0,z0(y-y0+Fz(x0,y0,z

0(z-z0=0；

法線方程為：

G

x-xOy-yOz-z0

Fx(x0,y0,z0Fy(x0,y0,z0Fz(x0,y0,z0

b、若曲面工的方程為z=f(x,y,點(diǎn)M(x0,y0,z()￡工則法向量為：n=(f

x(x0,y0,fy(x0,y0,-1,

切平面方程為：fx(xO,yO(x—xO+fy(xO,yO(y-yO-(z—z0=0；法線方程

為：

G

x-xOy-yOz-z0

fx(x0,y0fy(x0,y0-1

ffx(x,y=0

2、極值：1無(wú)條件：設(shè)z=f(x,y,由(解得駐點(diǎn)(x0,y0,

f(X,y0=ly

令A(yù)=fxx(x0,y0,B=fxy(x0,y0,C=fyy(x0,y0,然后利用A,B,C判定

極值與否：

AC-B2>0有極值，A>0極小，A<0極大；AC-B2<0無(wú)極值；AC-B2=0

用此法無(wú)法

判定.注意：最后必須求出極值.2)條件極值：z=f(x,y在條件

(|)(x,y=0下的極值：構(gòu)造Lagrange函數(shù)，令

fLx(x,y=0I

L(x,y=f(x,y+X(|)(x,y,聯(lián)立方程(Ly(x,y=0,其解(x(),y0為I怕，y

=ol

是否為極值點(diǎn)，一般可由問(wèn)題的本身性質(zhì)來(lái)判定.

3、方向?qū)?shù)與梯度：(以二元函數(shù)為例)1)、方向?qū)?shù)：設(shè)z=f(x,y可微

分，

dfG

e1=(cosa,cosp，則

51

=fx(x0,y0cosa+fy(x0,y0cosp

(x0,y0

2)梯度：gradf(x,y=(fx(x,y,fy(x,y,方向?qū)?shù)的最大值為梯度的模，

取得方向?qū)?shù)的最大值的方向?yàn)樘荻鹊姆较?

三、積分(一求法

1、重積分

I、

二重積分1二

fjf(x,ydG

D

fbdxy2(xf(x若D:(I

aWxWbI[X:上下]a、直角坐標(biāo)：1=

0

f(x,ydxdy=I{JaJy,ydy,l(x

lyl(x<y<y2(x

D

lUd

c

dyJx2(y

xf(x,ydx,

若D:(I{cWyWdl(yIxx<x[Y：左右]

li(y<2(y

若D既不是X一型也不是丫一型，則適當(dāng)分割之.

注意：通過(guò)二重積分，可交換二次積分的積分次序，這是一類常考的題型.

x=pcos0

b、極坐標(biāo)：IZZZZZZYZZZZZly=psin0

do=pdpd0

XZJff(pcos0,psin0-pdpd0

D

ZZZZZZZZZD:(

\

a<0<pYZZZZZZZZlpl(0<p<p2(0

XZIpp2

(0

ad0fp(0f(pcos0,psin9pdp

1

II、

三重積分I二

DJf(x,y,zdv

a、直角坐標(biāo)I=

Jflf(x,y,zdxdydz：

Q

1)投影法：

i)先一后二公式：IZZZZZZZZZZZZZZZZXYZZZZZZZZZZZZZZZZ

C={(x,y,z|zl(x,y<z<z2(x,y,(x,yeDxy

)

z2(x,y

DffdxdyJ

zf(x,y,zdz

l(x,y

xy

f

a<x<bQ:I

yl(x<y<y2(xii三次積分公式:IZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZIIz1

(x,y<z<z2(x,y

XZfbdx1y2(x

z2

(x,y

ay(xdyJz1

(x,yf(x,y,zdz

1

2)截面法：(先二后一公式)IZZZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZZZQ={(x,y,

z|c<z<d,(x,y￡Dz}

XZ

J

d

c

dz[Jf(x,y,zdxdy

Dz

fl

x=pcos0

{y=psin0Ib、柱面坐標(biāo)：IZZZZZZYZZZZZZI

z=zdv=pdpd0dz

XJJJf(pcos0,psin0,z-pdpdOdz

a<0<pQ:I

Ipl（6<p<p2（0ZZZZZZZZZZYZZZZZZZZZIIz1

（P，0<Z<Z2（p,0

xz

Ip

,0

a

del

p2（0

pl（0

pdpj

z2（pz（pcos0,psin0,zdz

l（P，0

f

n

x=rsin（|）cos0

{y=rsin（j）sin。Ic、球面坐標(biāo):IZZZZZZZZYZZZZZZZ

z=rcos（|）dv=r2

sin（|）drd（|）d0

xzjff

f（rsin（|）cos0,rsin（|）sin0,rcos（|）?r2sin（|）drd（|）d0

a<9<Q:I

（J?1（0W㈣2（0ZZZZZZZZZXYZZZZZZZZIIr1

（60<r<r2（。,0

zzz

Ip

@2（0

a

dOj

M）d帆。,0

1（0

sinJ

r2r0

f（rsin（|）cos0,rsin（|）sin0,rcos0r2dr

2、曲線積分

I、第一類（對(duì)弧長(zhǎng)）：

L:

x=x(ta>平面曲線：

J

ly=y(t

L

f(x,ydsZZZZZYZZZZZa<t<p

X

J/0)+}%),

IP

a

f[x(t,y(t](a<p

Cx=x(t

r：I

(y=y(tb、空間曲線：

I

II

z=z(tr

f(x,y,zdsZZZZZYZZZZZX

Jx'2(t]+v'2(t

p

a<t<p

Ja

f[x(t,y(t,z(t](a<p

H、第二類(對(duì)坐標(biāo))a、平面曲線：

I=JLP(x,ydx+Q(x,ydy

i參數(shù)法:IZZZZZZL:A

X=x(t

YZZZZZly=y(t

P

t由a變至U|3

XZJa{P[x(t,y(t]x"+Q[x(t,y(t]yf(t)dt

ii與路徑無(wú)關(guān)：選取特殊的路徑求之，注意條件：?jiǎn)芜B通，偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù).

定理設(shè)函數(shù)P(x,y,Q(x,y在單連通區(qū)域D內(nèi)處處具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則下

列命題相互等價(jià)：

(1)

P(x,ydx+Q(x,ydy在D內(nèi)與路徑無(wú)關(guān);

(2)沿D內(nèi)任意一條閉曲線C,

vj

C

P(x,ydx+Q(x,ydy=0；

(3)在D內(nèi)恒有:

dPdQ

dy=

dx

;(4)P(x,ydx+Q(x,ydy在D內(nèi)為某函數(shù)u(x,y的全微分，即存在函數(shù)

u(x,y,使得

P(x,ydx+Q(x,ydy=du(x,y.

這里u(x,y可由下列三種方法求得：①曲線積分法：u(x,y=

I

(x,y

(xx,ydx+Q(x,ydy+C；

0,y0

P(②湊全微分法：利用微分的運(yùn)算法則，將P(x,ydx+Q(x,ydy湊成d

(",則u(x,y=("+C；③偏積分法：由du=Pdx+Qdy,得ux=P(x,y；

兩邊對(duì)x求偏積分可得u(x,y=P(x,ydx=f(x,y+C(y兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)可得

uy=fy(x,y+C，(y,再由uy=Q(x,y,可解得C(y,從而得u(x,y.iii)

Green公式：

v!

P(x,ydx+Q(x,ydy=fj(

6QdP

-dxdy；不閉則補(bǔ)之.注意條件：L

D

dxdy

偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，L為D的正向邊界.

iv)化為第一類：J

L

P(x,ydx+Q(x,ydy=JL

[P(x,ycosa+Q(x,ycos1]dsb、空間曲線：I=

J

r

P(x,y,zdx+Q(x,y,zdy+R(x,y,zdz

fr：I

X=x(t

{y=y(ti參數(shù)法:IZZZZZZYZZZZZII

z=z(tt由a變至！J0

xzfp

a

{P[x(t,y(t,z(t]xr(t+Q[x(t,y(t,z(t]yz(t+R[x(t,y(t,z(t]zr(t}

dt

ii*與路徑無(wú)關(guān)：選取特殊的路徑求之，注意條件：?jiǎn)芜B通，偏導(dǎo)數(shù)處處連

續(xù).iiiStokes公式：

cosa

cospcosydydzdzdxdxdyvJ

r

Pdx+Qdy+Rdz=JJ

ddd

ddd

dxdydzdS=dxdydz；

或脛PQRPQR

不閉則補(bǔ)之.注意方向：L的方向與E的側(cè)符合右手規(guī)則.iv化為第一類:

I

r

Pdx+Qdy+Rdz=Jf

(Pcosa+Qcosp+Rcosyds

3、曲面積分

I、第一類(對(duì)面積)：

+短+++++

fIJfDf[x,y,z(x,y]E:z=z(x,yI=fj

f(x,y,zdS=Ixy

I

{I0Df[x,y(z,x,z]Z:y=y(z,x

zxIIIfjDf[x(y,z,y,z]Z:x=x(y,zyz

II、第二類(對(duì)坐標(biāo))：1=

J/P(x,y,zdydz+Q(x,y,zdzdx+R(x,y,zdxdy

S

1)Gauss公式：

wJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJJ(

SP3x+8QdR

L

Q

dy+3z

dxdydz若不閉則補(bǔ)之.注意條件：偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)及方向性：Z為Q的整個(gè)

邊界曲面的外側(cè).2)投影法：注意垂直性.若不垂直，則

JJP(x,y,zdydzZ:x=x(y,ziJJP[x(y,z,y,z]dydz【前正后負(fù)】

Z

Dyz

JJQ(x,y,zdzdxS:y=y(z,x±0Q[X,y(Z,X,Z]dzdx【右正左負(fù)】

S

Dzx

0R(x,y,zdxdyE:z=z(x,y土JJR[x,y,z(x,y]dxdy[上正下負(fù)]

S

Dxy

3)化為第一類：

JfPdydz+Qdzdx+Rdxdy=J1(Pcosa+QcosP+RcosydS

Z

Z

4)化為單一型：JjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(P

cosaL

L

cosy+Qcosp

cosy

+Rdxdy（二應(yīng)用

1、面積：

平面A=JJdxdy；

D

曲面A=

KdS,A=E

Ddy

J1+4+zj

（DlJ

0

或）xyDyzDzx

2、體積：V=

IJJdv；V=JJf（x,yd?！厩斨w】

D

3、物理應(yīng)用：質(zhì)量、功、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)心、引力、流量（通量）、環(huán)流量等

等【自學(xué)之】

設(shè)AG

=（P（x,y,z,Q（x,y,z,R（x,y,z,則散度divAG=3P5x+5Qdy+3R

dz

，GiG

jkG旋度rotAG=

ddd

dxdydzPQR

四、級(jí)數(shù)（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性1、定義：Eun=loon收斂（發(fā)散）

今limsn存在（不存在）【部分和sn=ul+u2+n-8co8un】2、基本性質(zhì)：

1）ooooZkun（k#0與Zun具有相同的收斂性；n=1n=1oon=12）gun與Z

vn都收斂=Z（un土vn收斂【口訣：收加收為收，收加發(fā)為發(fā)，發(fā)加發(fā)未必發(fā)】n

=ln=13）改變有限項(xiàng)的值不影響級(jí)數(shù)的收斂性4）收斂的級(jí)數(shù)可以任意加括號(hào)

5）若gun=1n—woon收斂，則limun=0；反之未必.n^cooo6）若limun#

0,貝UZun=ln發(fā)散3、特殊級(jí)數(shù)的收斂性【必須牢記之】：①調(diào)和級(jí)數(shù)￡n發(fā)

散；n=l881②p一級(jí)數(shù)gnn=l1p（常數(shù)p〉0）：當(dāng)p>l時(shí)收斂，當(dāng)pWl

時(shí)發(fā)散；8③等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）Iaqn=0n,當(dāng)|q1時(shí)發(fā)散，當(dāng)|q|<1時(shí)

收斂，且8gaqn=0n=a（|q]<1.1-q4>正項(xiàng)級(jí)數(shù)oogun=1oon,其中unN

0（n=1,2,：I、gun=ln收斂={sn}有界；IL比較：1）ungvn（n>N【大

的收，小的也收；小的發(fā)，大的也發(fā)】2）limun=1（0<1<+co【同斂散】n—><x>

vn11第11頁(yè)共14頁(yè)

III、比值（根值）lim：n—>ooun+1=p（limnun=p,當(dāng)p<l時(shí)收斂；當(dāng)

p>l（p=+8時(shí)發(fā)散；而當(dāng)p=1時(shí)n—ooun用此法不能判定其收斂性.IV、極

限：limnun=1(0<1<+oo,當(dāng)p>l時(shí)收斂；當(dāng)pgl時(shí)發(fā)散.pn—00005、交

錯(cuò)級(jí)數(shù)Z(Tu(unn=lnn>0,n=1,2,：(un｝單調(diào)減少趨于零.6、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)

Xun=loon=0oon(un為任意常數(shù))：發(fā)散或收斂(絕對(duì)收斂，條件收斂)oo

(二)寨級(jí)數(shù)￡axnn或2a(x-xn=0n0n：81、Abel定理：若基級(jí)數(shù)oogan

xn在當(dāng)x=x0(x0#0時(shí)收斂，則ganxn當(dāng)|x|<|x0|時(shí)必絕對(duì)收斂；反之，

n=0n=000n=0oo若ganxn當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散，則ganxn當(dāng)|x|>|xO|時(shí)必發(fā)散.

n=0p=0,(j+co,an+1I：2、收斂半徑：1)若a”。【不缺項(xiàng)】p=lim(limn|

anI,R=ll/p,O<p<+00,n—>00an—>00nI0,p=+00；I2)若缺項(xiàng)：limn—>00

un+1(x=un(x<1,解得收斂區(qū)間.3、收斂域：先求收斂半徑R,可得收斂區(qū)

間(-R,R,再討論端點(diǎn)x=±R處的收斂性可得所求的收斂域4、幕級(jí)數(shù)和函數(shù)

的求法：先求收斂域，再利用幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(加減乘除四則運(yùn)算，逐項(xiàng)求導(dǎo)，

逐項(xiàng)積分，和函數(shù)的連續(xù)性)以及換元法，然后代已知的展開(kāi)式，可得所求的和

函數(shù).5、函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)f(x=ga(X-xn=0n0oon(x?I：1)直接展開(kāi)

法：【利用Taylor展開(kāi)定理】求導(dǎo)數(shù)得系數(shù)，寫(xiě)出泰勒級(jí)數(shù)，求其收斂域，最后

記得判定余項(xiàng)趨于零，便可得到所求的展開(kāi)式.2)間接展開(kāi)法：利用幕級(jí)數(shù)的運(yùn)

算性質(zhì)(加減乘除四則運(yùn)算，逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分，和函數(shù)的連續(xù)性)以及換元

法，然后代已知的展開(kāi)式，可得所求的展開(kāi)式.注：以下7個(gè)常用的展開(kāi)式必須

牢記：①e=xxnZn!(|x]<+00;n=000②sinx=g(-Inn=000x2n+1(|x|<+00

(2n+1!第12頁(yè)共14頁(yè)12

(3)cosx=Z(-Inn=000x2n(|x|<+00；(2n!(4)ool=^xn(|x|<l1-xn=00000

1@=E(-1nxn(Ix|<1;1+xn=0xn+1(6)ln(l+x=J；(-1(-1<x<1n+1n=0n

@(1+x=1+ax+aa(a-l22!x++a(a-l(a-n+1nn!x+a>0([-1,1]I(|x

|<1【a為常數(shù)，1=1(T,l]T<a<0]Ia<-l1(-1,1(三)傅里葉級(jí)數(shù)：

只復(fù)習(xí)T=2兀情形，一般周期T=21類似.an=1>系數(shù)：1兀lj7if(xcos

nxdx(n=0,1,2,-兀bn=f(xsinnxdx(n=1,2,兀1兀一兀2、收斂性：條件為在一個(gè)周

期上1)處處連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間j斷點(diǎn)；2)只有有限個(gè)極值點(diǎn).f(x(a0

ooI3、和：+￡(ancosnx+bnsinnx=1f(x++f(x-2n=lI(24、傅里葉級(jí)

數(shù)展開(kāi)式：f(x=x為f(x的連續(xù)點(diǎn)x為f(x的間斷點(diǎn)aOoo+Z(ancosnx+bnsin

nx,(xCC2n=lf(x++f(x-