【數(shù)學(xué)】浙江省湖州市安吉縣2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試試卷-(解析版)公開課

成就未來，新教育伴你成長聯(lián)系電話：400-186-9786浙江省湖州市安吉縣2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)m等于（）A．﹣1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1【答案】D【解析】∵＝是純虛數(shù)，∴，解得m＝0或﹣1．故選：D．2．某校高一年級隨機(jī)抽取15名男生，測得他們的身高數(shù)據(jù)，如表所示：編號身高編號身高編號身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是（）A．175 B．176 C．176.5 D．170【解析】這15個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列，可得168，169，170，172，173，173，174，175，175，175，176，177，179，182，因?yàn)?0%×15＝12，所以第80百分位數(shù)是第12項(xiàng)與第13項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為．故選：C．3．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，AB的中點(diǎn)，則異面直線EF和C1D所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方體中連接A1B，CD1，且CD1∩C1D＝O，∵E，F(xiàn)分別是棱AA1，AB的中點(diǎn)，∴EF∥A1B，又AB∥CD1，∴EF∥CD1，∴∠COD即為異面直線EF和C1D所成角的平面角，∵平面CDD1C1為正方形，∴∠COD＝∴異面直線EF和C1D所成角的大小．故選：D．4．在△ABC中，∠A＝90°，，，則k的值是（）A．5 B．﹣5 C． D．【答案】A【解析】△ABC中，∵∠A＝90°，，，∴＝2（2﹣k）+3×2＝0，求得k＝5，故選：A．5．從裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黃球（球除顏色外其他均相同）的口袋中任取2個(gè)球，以下給出了四組事件：①至少有1個(gè)白球與至少有1個(gè)黃球；②至少有1個(gè)黃球與都是黃球；③恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球；④至少有1個(gè)黃球與都是白球．其中互斥而不對立的事件共有（）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】A【解析】對于①，“至少有1個(gè)白球”發(fā)生時(shí)，“至少有1個(gè)黃球”也會(huì)發(fā)生，比如恰好一個(gè)白球和一個(gè)黃球，故①中的兩個(gè)事件不互斥．對于②，“至少有1個(gè)黃球”說明有黃球，黃球的個(gè)數(shù)可能是1或2，而“都是黃球”說明黃球的個(gè)數(shù)是2，故這兩個(gè)事件不是互斥事件．③恰有1個(gè)白球與恰有1個(gè)黃球，這兩件事是同一件事，都表示取出的兩個(gè)球中，一個(gè)是白球，另一個(gè)是黃球是同一事件．故不是互斥事件．④″至少有1個(gè)黃球″說明有黃球，黃球的個(gè)數(shù)可能是1或2，而“都是白球”說明白球的個(gè)數(shù)是2，故這兩個(gè)事件是互斥事件且是對立事件；故選：A．6．已知向量不共線，，，若，則m＝（）A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3【答案】D【解析】∵向量不共線，，，，∴3+＝λm+λ（m+2），∴，解得λ＝﹣1，m＝﹣3．故選：D．7．設(shè)a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)邊的邊長，若a＝1，b＝，A＝30°是B＝60°的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由正弦定理可知＝∴sinB＝b?＝×＝∵0°＜B＜180°∴B＝60°或120°∴若a＝1，b＝，A＝30°則B＝60°或120°∠B＝60°能推出A＝30°故選：B．8．在三棱錐P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝1，AC＝5，，則三棱錐P﹣ABC的外接球的體積為（）A．24π B．36π C．72π D．144π【答案】B【解析】如圖，∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PA⊥AB，同理：PA⊥AC，又∵AB⊥AC，∴該三棱錐是長方體的一個(gè)角，擴(kuò)展為長方體，兩者的外接球相同，∵長方體的體對角線就是該長方體外接球的直徑，又∵長方體的體對角線為：＝＝，∴外接球的直徑2R＝6，∴R＝3，∴球的體積V＝＝36π，故選：B．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．給出如下數(shù)據(jù)：第一組：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二組：12，20，14，22，16，11，15，17，18．則這兩組數(shù)據(jù)的（）A．平均數(shù)相等 B．中位數(shù)相等 C．極差相等 D．方差相等【答案】CD【解析】對于A，第一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，第二組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7，第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是16，所以兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，第一組數(shù)據(jù)的極差為13﹣2＝11，第二組數(shù)據(jù)的極差為22﹣11＝11，所以兩組數(shù)據(jù)的極差相等，故選項(xiàng)C正確；對于D，第一組數(shù)據(jù)的方差為[（3﹣）2+（11﹣）2+（5﹣）2+（13﹣）2+（7﹣）2+（2﹣）2+（6﹣）2+（8﹣）2+（9﹣）2]＝4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892，第二組數(shù)據(jù)的方差為[（12﹣）2+（20﹣）2+（14﹣）2+（22﹣）2+（16﹣）2+（11﹣）2+（15﹣）2+（17﹣）2+（18﹣）2]＝4.112+3.892+2.112+5.892+0.112+5.112+1.112+0.892+1.892，所以兩組數(shù)據(jù)的方差相等．故選：CD．10．下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（）A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為 B．三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為，，，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為 C．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為 D．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是【答案】AC【解析】對于A，該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的情況是：前2個(gè)路口都遇到綠燈，第3個(gè)路口遇到紅燈，其概率為P＝＝，故A正確；對于B，此密碼被破譯的對立事件是三個(gè)人同時(shí)沒有破譯密碼，∴此密碼被破譯的概率為P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，故B錯(cuò)誤；對于C，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為：P＝＝，故C正確；對于D，由題意得，解得P（A）＝P（B）＝，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行 C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)A1和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等【答案】BCD【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則A（2，0，0），E（1，2，0），F(xiàn)（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），對于A，＝（0，0，﹣2），＝（﹣2，2，1），∵＝﹣2≠0，∴直線D1D與直線AF不垂直，故A錯(cuò)誤；對于B，＝（0，2，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣2，2，1），設(shè)平面AEF的法向量＝（x，y，z），則，取y＝1，得＝（2，1，2），∵＝0，A1G?平面AEF，∴直線A1G與平面AEF平行，故B正確；對于C，連接AD1，F(xiàn)D1，∵E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，∴面AEF截正方體所得的截面為梯形AEFD1，∴面AEF截正方體所得的截面面積為：S＝＝＝，故C正確；對于D，由B知平面AEF的法向量＝（2，1，2），∴點(diǎn)A1到平面AEF的距離h＝＝＝，點(diǎn)D到平面AEF的距離d＝＝＝，∴點(diǎn)A1和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等，故D正確．故選：BCD．12．在△ABC中，D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，且BC＝6，AD＝2，則（）A．△ABC面積最大值是12 B． C．不可能是5 D．【解析】設(shè)△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，對于A，，當(dāng)AD⊥BC時(shí)不等式等號成立，所以△ABC面積最大值為6，故A錯(cuò)誤；對于B，在△ABD中，，當(dāng)時(shí)，不等式等號成立，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以解得，因?yàn)?，所以，故可能?，故C錯(cuò)誤；對于，，所以，又，所以．故選：BD．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．將一個(gè)邊長為2的正三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為．【答案】【解析】如圖所示，正三角形繞AB旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體為兩個(gè)同底的圓錐，圓錐的底面半徑為r＝OC＝，所以幾何體的表面積為S＝2×＝＝．故答案為：．14．若直線m與不重合的平面α、β所成的角相等為θ，則α與β．【答案】平行或相交【解析】直線m與不重合的平面α、β所成的角相等為θ，有可能是兩個(gè)平面平行，也有可能兩個(gè)平面相交，故答案為：平行或相交．15．如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，則山的高度BC＝600m．【答案】600【解析】如圖在Rt△AMD中，由|MD|＝400，∠DAM＝45°，得|AM|＝|MD|＝400，在△AMC中，∠AMC＝45°+15°＝60°，∠MAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°．∴∠ACM＝180°﹣60°﹣75°＝45°．由正弦定理得，解得|AC|＝400．在Rt△ABC中，|BC|＝|AC|?sin60°＝400×＝600（m）．故山的高度|BC|＝600m．故答案為：600．16．已知單位向量，，滿足，記，則對任意λ∈R，的最小值是．【答案】【解析】設(shè)＝，＝，＝，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（0，1），C在單位圓上運(yùn)動(dòng)，取E（0，），P（﹣，0），直線AE的方程為x+y﹣＝0，∠AEO＝，已知＝，設(shè)＝（1﹣λ），則＝﹣＝λ，作DH⊥y軸于點(diǎn)H，則|（1﹣λ）|＝||＝2||，又|2+|＝|+2|＝2|﹣（﹣）|＝2|﹣|＝2||，|﹣﹣λ|＝|﹣|＝|+|＝||，因此，＝2（||+||）+2||≥2（||+||），作點(diǎn)P關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)P′，設(shè)P′（x0，y0），則，解得，連接P′D，則||+||＝||+||≥|x0|＝，于是，≥2（||+||）＝，當(dāng)D（，），對應(yīng)λ＝，且C為DP于單位圓O的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，最小值為．故答案為：．四．解答題（共6小題）17．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，O是AD邊的中點(diǎn)，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．（Ⅰ）求證：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．【解】（Ⅰ）證明：在四邊形ABCD中，因?yàn)锽C∥AD，，O是AD的中點(diǎn)，則BC∥AO，BC＝AO，所以四邊形ABCO是平行四邊形，所以AB∥OC，又因?yàn)锳B?平面POC，CO?平面POC，所以AB∥平面POC；（Ⅱ）連結(jié)OB，因?yàn)镻O⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD，又因?yàn)辄c(diǎn)O時(shí)AD的中點(diǎn)，且，所以BC＝OD，因?yàn)锽C∥AD，CD⊥AD，BC＝CD，所以四邊形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以，設(shè)平面BAP的法向量為，則，即，令y＝1，則x＝z＝﹣1，故，因?yàn)镺B⊥平面PAD，所以是平面PAD的一個(gè)法向量，所以＝，由圖可知，二面角B﹣AP﹣D為銳角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值為．18．在2019年女排世界杯中，中國女子排球隊(duì)以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績成功奪冠，為祖國母親七十華誕獻(xiàn)上了一份厚禮．排球比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個(gè)隊(duì)只有贏得至少25分，并同時(shí)超過對方2分時(shí)，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個(gè)隊(duì)只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對方2分為勝．在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對方得1分．現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽：（1）若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局．接下來兩隊(duì)贏得每局比賽的概率均為，求甲隊(duì)最后贏得整場比賽的概率；（2）若前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽．在決勝局（第五局）中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分，且甲已獲得下一發(fā)球權(quán)．若甲發(fā)球時(shí)甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲贏1分的概率為，得分者獲得下一個(gè)球的發(fā)球權(quán)．設(shè)兩隊(duì)打了x（x≤4）個(gè)球后甲贏得整場比賽，求x的取值及相應(yīng)的概率P（x）．【解】（1）依題意，甲隊(duì)將以3：1或3：2的比分贏得比賽．若甲隊(duì)以3：1的比分贏得比賽，則第4局甲贏，若甲隊(duì)以3：2的比分贏得比賽，則第4局乙贏，第5局甲贏．故甲隊(duì)最后贏得整場比賽的概率為．（2）依題意，每次發(fā)球，發(fā)球隊(duì)得分的概率為，接發(fā)球方得分的概率為．甲接下來可以以16：14或17：15贏得比賽，故x取值為2或4．若甲乙比分為16：14，則x取值為2，其贏球順序?yàn)椤凹准住?，對?yīng)發(fā)球順序?yàn)椤凹准住保?，若甲乙比分?7：15，則x取值為4，其贏球順序?yàn)椤凹滓壹准住被颉耙壹准准住保瑢?yīng)發(fā)球順序?yàn)椤凹准滓壹住焙汀凹滓壹准住?，∴?9．統(tǒng)計(jì)局就某地居民的月收入情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖[每個(gè)分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在[1000，1500）元]．（1）求月收入在[3000，3500）的頻率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析，則月收入在[2500，3000）的應(yīng)抽取多少？【解】（1）月收入在[3000，3500]的頻率為：0.0003×（3500﹣3000）＝0.15；（2）頻率分布直方圖知，中位數(shù)在[2000，2500），設(shè)中位數(shù)為x，則0.0002×500+0.0004×500+0.0005×（x﹣2000）＝0.5，解得x＝2400，∴根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2400；（3）居民月收入在[2500，3000]的頻率為0.0005×（3000﹣2500）＝0.25，所以10000人中月收入在[2500，3000]的人數(shù)為0.25×10000＝2500（人），再從10000人用分層抽樣方法抽出100人，則月收入在[2500，3000]的這段應(yīng)抽取100×＝25人．20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（b﹣csinA）sinC＝c（1﹣cosAcosC）．（Ⅰ）求B的值；（Ⅱ）在①S△ABC＝，②A＝，③a＝2c這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解決問題．若b＝3，_______，求△ABC的周長．【解】（Ⅰ）因?yàn)椋╞﹣csinA）sinC＝c（1﹣cosAcosC），可得bsinC+ccos（A+C）﹣c＝0，即sinC（sinB﹣cosB）＝sinC，因?yàn)镃∈（0，π），sinC≠0，所以sinB﹣cosB＝2sin（B﹣）＝1，即sin（B﹣）＝，因?yàn)?＜B＜π，﹣＜B﹣＜，所以B﹣＝，可得B＝．（Ⅱ）若選擇條件①，因?yàn)镾△ABC＝＝acsin，所以ac＝9，由余弦定理可得cos＝＝，所以a2+c2＝18，可得（a+c）2＝36，又a+c＞0，解得a+c＝6，因此△ABC的周長為a+b+c＝9．若選擇條件②A＝，在△ABC中，由正弦定理可得＝2，所以a＝2sin＝，c＝2sin（）＝，所以△ABC的周長為a+b+c＝+3+＝．若選擇條件③a＝2c，由余弦定理可得cos＝＝，所以4c2+c2﹣9＝2c2，即c2＝3，解得c＝，a＝2，因此△ABC的周長為a+b+c＝3+3