統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項分層特訓(xùn)卷三方法技巧專練三文

專練(三)技法9割補法1．[2023·河南高三月考]某四棱錐的三視圖(圖中每個小方格的邊長為1)如圖所示，則該四棱錐的體積為()A．4B．eq\f(8,3)C．eq\f(4,3)D．12．如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(4,3)3．半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，它由正方體切截而成，以八個正三角形和六個正方形為面，所有的棱都相等．如圖是某二十四等邊體的三視圖，則其體積為()A．eq\f(8,3)B．4C．eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)4．在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是線段AC上一點，且AD＝3DC.三棱錐P-ABC的各個頂點都在球O的表面上，過點D作球O的截面，則所得截面圓的面積的最小值為________．技法10整體代換法5．[2023·陜西寶雞市高三二模]已知{an}是等差數(shù)列，滿足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，則該數(shù)列前8項和為()A．36B．24C．16D．126．已知sinα＋2cosα＝0，則eq\f(cos2α,sin2α－cos2α)＝()A．－1B．2C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,5)7．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2019)＝k，則f(－2019)＝()A．kB．－kC．1－kD．2－k8．[2023·浙江寧波市高三月考]若正數(shù)a，b滿足a＋b＋2＝ab，則eq\f(3,a－1)＋eq\f(7,b－1)的最小值是________．技法11分離參數(shù)法9．已知a∈R，(ax2－x－a＋1)lnx≤0在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))10．[2023·四川遂寧市高三二模]若ex－(a－1)x－lnx－lna≥0，則a的最大值為()A．eq\f(e,4)B．eq\f(e,2)C．eD．2e11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2a－x2,ex)(a∈R).若?x∈[1，＋∞)，不等式f(x)＞－1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍________．技法12估算法12．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積是()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(\r(2),6)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(\r(2),2)13．設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)技法13等體積轉(zhuǎn)化法14．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝6，AA1＝3，AC＝BC＝5，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點，則三棱錐A1-AEF的體積為()A．6B．12C．24D．3615．已知三棱錐D-ABC外接球的表面積為12π，△ABC是邊長為1的等邊三角形，且三棱錐D-ABC的外接球的球心O恰好是CD的中點，則三棱錐D-ABC的體積為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(6),3)[答題區(qū)]題號12356791012131415答案16.如圖，三棱錐A-BCD中，E是AC中點，F(xiàn)在AD上，且2AF＝FD，若三棱錐A-BEF的體積是2，則四棱錐B-ECDF的體積為________．專練（三）1．C該四棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形，其中高為2，底面正方形對角線的長度為2.直觀圖如圖所示，PA＝2，AC＝2，正方形ABCD的面積為2，所以該四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3).故選C.2．A在EF上取點M，N使EM＝FN＝eq\f(1,2)，連接AM，DM，BN，CN.因為ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，所以四邊形ABFE為等腰梯形，EF＝2，MN＝1，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，AM⊥EF，DM⊥EF，BN⊥EF，CN⊥EF，AM，DM是平面AMD內(nèi)兩條相交直線，BN，CN是平面BNC內(nèi)兩條相交直線，所以EF⊥平面AMD，EF⊥平面BNC，MA＝MD＝NB＝NC＝eq\f(\r(3),2)，幾何體體積為V＝2VE-AMD＋VAMD-BNC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))×eq\f(1,2)×2＋eq\f(1,2)×1×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))×1＝eq\f(\r(2),3)，故選A.3．D該二十四等邊體的直觀圖的示意圖如圖所示，將其放入正方體中，由三視圖可知，二十四等邊體的棱長為eq\r(2)，它是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐得到的．其體積V＝2×2×2－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(20,3).故選D.4．答案：12π解析：如圖所示，將三棱錐P-ABC補成直三棱柱，則三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球O，記三角形ABC的外心為O1，連接OO1.設(shè)球O的半徑為R，PA＝2x，則易知球心O到平面ABC的距離為x，即OO1＝x.連接O1A，OA，則O1A＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×eq\r(62＋82)＝5，所以R2＝x2＋25.在△ABC中，取AC的中點E，連接O1D，O1E，則O1E＝eq\f(1,2)AB＝3，DE＝eq\f(1,4)AC＝2，所以O(shè)1D＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).連接OD，在Rt△OO1D中，OD＝eq\r(x2＋13)，由題意得當(dāng)過點D的截面與直線OD垂直時，截面面積最小，設(shè)此時截面圓的半徑為r，則r2＝R2－OD2＝x2＋25－（x2＋13）＝12.所以所得截面圓的面積的最小值為12π.5．D由等差數(shù)列性質(zhì)可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝eq\f(8（a1＋a8）,2)＝eq\f(8（a3＋a6）,2)＝12.故選D.6．D由題意知sinα＋2cosα＝0，即sinα＝－2cosα，可得tanα＝－2，又由eq\f(cos2α,sin2α－cos2α)＝eq\f(cos2α－sin2α,2sinαcosα－cos2α)＝eq\f(1－tan2α,2tanα－1)＝eq\f(3,5).故選D.7．D∵f（2019）＝a·20193＋b·2019＋1＝k，∴a·20193＋b·2019＝k－1，則f（－2019）＝a（－2019）3＋b·（－2019）＋1＝－（a·20193＋b·2019）＋1＝2－k.8．答案：2eq\r(7)解析：由a＋b＋2＝ab可得（a－1）（b－1）＝3，所以b－1＝eq\f(3,a－1)，eq\f(3,a－1)＋eq\f(7,b－1)＝b－1＋eq\f(7,b－1)由a＋b＋2＝ab得a＝eq\f(b＋2,b－1)>0可得b>1，所以b－1>0，所以eq\f(3,a－1)＋eq\f(7,b－1)＝b－1＋eq\f(7,b－1)≥2eq\r(（b－1）×\f(7,b－1))＝2eq\r(7)，當(dāng)且僅當(dāng)b－1＝eq\f(7,b－1)即b＝eq\r(7)＋1，a＝eq\f(7＋3\r(7),7)時等號成立，所以eq\f(3,a－1)＋eq\f(7,b－1)的最小值是2eq\r(7).9．D易知ax2－x－a＋1＝（x－1）（ax＋a－1），不等式（ax2－x－a＋1）lnx≤0，即（x－1）（ax＋a－1）lnx≤0.當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))時，lnx<0，x－1<0，則ax＋a－1≤0?a≤eq\f(1,1＋x)，又eq\f(1,1＋x)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))，所以a≤eq\f(1,2)；當(dāng)x＝1時，lnx＝0，對任意的實數(shù)a，不等式恒成立；當(dāng)x∈（1，2]時，lnx>0，x－1>0，則ax＋a－1≤0?a≤eq\f(1,1＋x)，又eq\f(1,1＋x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，所以a≤eq\f(1,3)；綜上，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))).故選D.10．C原不等式化為x＋ex≥ax＋lnax，即ex＋lnex≥ax＋lnax，令f（x）＝x＋lnx（x>0），知f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為f（ex）≥f（ax），所以ex≥ax，即a≤eq\f(ex,x)，設(shè)u（x）＝eq\f(ex,x)，則u′（x）＝eq\f(ex（x－1）,x2)，當(dāng)0<x<1時，u′（x）<0，u（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，u′（x）>0，u（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝1時，u（x）取得最小值u（1）＝e，所以a的最大值為e.故選C.11．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－e,2)，＋∞))解析：∵f（x）＞－1?eq\f(2a－x2,ex)＞－1?2a＞x2－ex，∴由條件知，2a＞x2－ex對于任意x≥1恒成立．令g（x）＝x2－ex，h（x）＝g′（x）＝2x－ex，則h′（x）＝2－ex，當(dāng)x∈[1，＋∞）時，h′（x）＝2－ex≤2－e＜0，∴h（x）＝g′（x）＝2x－ex在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，∴h（x）＝2x－ex≤2－e＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）＝x2－ex在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，∴g（x）＝x2－ex≤g（1）＝1－e，故f（x）＞－1在[1，＋∞）上恒成立，只需2a＞g（x）max＝1－e，∴a＞eq\f(1－e,2)，故實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－e,2)，＋∞)).12．B容易得到△ABC的面積為eq\f(\r(3),4)，而三棱錐的高一定小于球的直徑2，所以V<eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×2＝eq\f(\r(3),6)，故選B.13．B等邊三角形ABC的面積為9eq\r(3)，顯然球心不是此三角形的中心，所以三棱錐的體積最大時，三棱錐的高h應(yīng)滿足h∈（4，8），所以eq\f(1,3)×9eq\r(3)×4<V三棱錐D-ABC<eq\f(1,3)×9eq\r(3)×8，即12eq\r(3)<V三棱錐D-ABC<24eq\r(3).選B.14．B由題意可得，△AA1E的面積為eq\f(1,2)AA1·AB＝eq\f(1,2)×3×6＝9，因為AB＝6，AC＝BC＝5，AA1⊥平面ABC，所以點C到平面ABB1A1的距離為h＝eq\r(52－32)＝4，即點F到平面ABB1A1的距離為4， 則三棱錐F-AA1E的體積為eq\f(1,3)×9×4＝12.故三棱錐A1-AEF的體積為12.15．B設(shè)球心O到平面ABC的距離為d，三棱錐D-ABC外接圓的表面積為12π，則球O的半徑為R＝eq\r(3)，所以R2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)，故d＝eq\f(2\r(6),3)，由O是CD的中點得：VD-ABC＝2VO-ABC＝eq