高一數(shù)學(xué)向量知識(shí)點(diǎn)及高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_第1頁(yè)
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PAGE第1頁(yè)共1頁(yè)第五章知識(shí)點(diǎn)回顧一、本章知識(shí)1.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)2.向量的概念(1)向量的基本要素:大小和方向.(2)向量的表示:幾何表示法;字母表示:a;坐標(biāo)表示法a=xi+yj=(x,y).(3)向量的長(zhǎng)度:即向量的大小,記作|a|.(4)特殊的向量:零向量a=O|a|=O.單位向量aO為單位向量|aO|=1.(5)相等的向量:大小相等,方向相同(x1,y1)=(x2,y2)(6)相反向量:a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共線(xiàn)向量):方向相同或相反的向量,稱(chēng)為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱(chēng)為共線(xiàn)向量.3.向量的運(yùn)算運(yùn)算類(lèi)型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則向量的減法三角形法則,數(shù)乘向量1.是一個(gè)向量,滿(mǎn)足:2.>0時(shí),同向;<0時(shí),異向;=0時(shí),.向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)1.時(shí),.2.4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量,那么,對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量,有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.(2)兩個(gè)向量平行的充要條件a∥ba=λb(b≠0)x1y2-x2y1=O.(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a⊥ba·b=Ox1x2+y1y2=O.(4)線(xiàn)段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為λ,即=λ,則=+(線(xiàn)段的定比分點(diǎn)的向量公式)(線(xiàn)段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)當(dāng)λ=1時(shí),得中點(diǎn)公式:=(+)或(5)平移公式設(shè)點(diǎn)P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點(diǎn)P′(x′,y′),則=+a或向量一、平面向量的加法和乘積1、向量加法的交換律:2、向量加法的結(jié)合律:3、向量乘積的結(jié)合律:4、向量乘積的第一分配律:5、向量乘積的第二分配律:二、平面向量的基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不是共線(xiàn)的向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得。(1)我們把不是共線(xiàn)的、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;(2)基底不是唯一的,關(guān)鍵是不是共線(xiàn);(3)由定理可以將平面內(nèi)任一在給出基底、的條件下進(jìn)行分解;(4)基底給定時(shí),分解形式是唯一的,、是被、、唯一確定的數(shù)量。三、平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1、已知,,則,,。2、已知,,則。3、已知和實(shí)數(shù),則。四、兩平面向量平行和垂直的充要條件1、平行(共線(xiàn)):基本定理:、互相平行的充要條件是存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得。定理:已知,,則∥的充要條件是。2、垂直:基本定理:、互相垂直的充要條件是。定理:已知,,則⊥的充要條件是。五、平面向量的數(shù)量積定義:非零向量、,它們之間的夾角為,則就稱(chēng)作與的數(shù)量積,記作,即有,。性質(zhì):非零向量、的夾角為,是與同向的單位向量,那么(1);(2);(3)或;(4);(5)。數(shù)乘結(jié)合律:分配律:六、向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式(1)已知,則,即。(長(zhǎng)度公式)(2)已知,,則,。(距離公式)(3)已知,,它們之間的夾角為,則,。(夾角公式)高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念集合的含義集合的中元素的三個(gè)特性:元素的確定性如:世界上最高的山元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}元素的無(wú)序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法:列舉法與描述法。注意:常用數(shù)集及其記法:非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R列舉法:{a,b,c……}描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}語(yǔ)言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}Venn圖:4、集合的分類(lèi):有限集含有有限個(gè)元素的集合無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系—子集注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)實(shí)例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即:①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且AB那就說(shuō)集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算類(lèi)型交集并集補(bǔ)集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).設(shè)S是一個(gè)集合,A是S的一個(gè)子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)SA記作,即SACSA=韋恩圖示SSA性質(zhì)AA=AAΦ=ΦA(chǔ)B=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABAABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ.例題:1.下列四組對(duì)象,能構(gòu)成集合的是()A某班所有高個(gè)子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書(shū)D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2.集合{a,b,c}的真子集共有個(gè)3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關(guān)系是.4.設(shè)集合A=,B=,若AB,則的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn),已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有40人,化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有31人,兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人,則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有人。6.用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界上的點(diǎn))組成的集合M=.7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.注意:1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱(chēng)為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零;(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零,(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān));②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)2.值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過(guò)來(lái),以滿(mǎn)足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上.(2)畫(huà)法描點(diǎn)法:圖象變換法常用變換方法有三種平移變換伸縮變換對(duì)稱(chēng)變換4.區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類(lèi):開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間(2)無(wú)窮區(qū)間(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系):A(原象)B(象)”對(duì)于映射f:A→B來(lái)說(shuō),則應(yīng)滿(mǎn)足:(1)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱(chēng)為f、g的復(fù)合函數(shù)。二.函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱(chēng)為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱(chēng)為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);(2)圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法:eq\o\ac(○,1)任取x1,x2∈D,且x1<x2;eq\o\ac(○,2)作差f(x1)-f(x2);eq\o\ac(○,3)變形(通常是因式分解和配方);eq\o\ac(○,4)定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));eq\o\ac(○,5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1)偶函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2).奇函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:eq\o\ac(○,1)首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);eq\o\ac(○,2)確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;eq\o\ac(○,3)作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若不對(duì)稱(chēng)則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱(chēng),(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來(lái)判定;(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達(dá)式(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí),一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:湊配法待定系數(shù)法換元法消參法10.函數(shù)最大(小)值(定義見(jiàn)課本p36頁(yè))eq\o\ac(○,1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(?。┲礶q\o\ac(○,2)利用圖象求函數(shù)的最大(小)值eq\o\ac(○,3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);例題:1.求下列函數(shù)的定義域:⑴⑵2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_3.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是4.函數(shù),若,則=5.求下列函數(shù)的值域:⑴⑵(3)(4)6.已知函數(shù),求函數(shù),的解析式7.已知函數(shù)滿(mǎn)足,則=。8.設(shè)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí)=在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:⑴⑵⑶10.判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.11.設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證:.第二章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。當(dāng)是奇數(shù)時(shí),,當(dāng)是偶數(shù)時(shí),2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)· ;(2) ;(3) .(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)镽.注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1定義域R定義域R值域y>0值域y>0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0,1)注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:

(1)在[a,b]上,值域是或;

(2)若,則;取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng);

(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù),總有;二、對(duì)數(shù)函數(shù)(一)對(duì)數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念:一般地,如果,那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù),記作:(—底數(shù),—真數(shù),—對(duì)數(shù)式)說(shuō)明:eq\o\ac(○,1)注意底數(shù)的限制,且;eq\o\ac(○,2);eq\o\ac(○,3)注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式.兩個(gè)重要對(duì)數(shù):eq\o\ac(○,1)常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù);eq\o\ac(○,2)自然對(duì)數(shù):以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù).指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化冪值真數(shù)=N=b底數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果,且,,,那么:eq\o\ac(○,1)·+;eq\o\ac(○,2)-;eq\o\ac(○,3).注意:換底公式 (,且;,且;).利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1);(2).(二)對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù),且叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).注意:eq\o\ac(○,1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類(lèi)似,都是形式定義,注意辨別。如:,都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱(chēng)其為對(duì)數(shù)型函數(shù).eq\o\ac(○,2)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制:,且.2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):a>10<a<1定義域x>0定義域x>0值域?yàn)镽值域?yàn)镽在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,0)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1,0)(三)冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù),其中為常數(shù).2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.(1)所有的冪函數(shù)在(0

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