射影面積法求二面角

射影面積法〔〕凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式〔cos〕求出二面角的大小。如圖,在底面是一直角梯形的四棱錐S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD與面SAB所成的角的大小。圖1圖1SDCBA解法1：可用射影面積法來求，這里只要求出S△SCD與S△SAB即可，故所求的二面角θ應滿足===。例2．〔2023北京理〕如圖，在三棱錐中，，，，．〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕求二面角的大??；AACBP解：〔Ⅰ〕證略〔Ⅱ〕，，．ACBEP又ACBEP又，即，且，平面．取中點．連結．，．是在平面內(nèi)的射影，．∴△ACE是△ABE在平面ACP內(nèi)的射影，于是可求得：，，那么，設二面角的大小為，那么∴二面角的大小為練習1：如圖5，E為正方體ABCD－A1B1C1D1棱CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1銳角的余弦值.〔答案：所求二面角的余弦值為cosθ=〕.AA1D1B1C1EDBCA圖52.如圖一，在四棱錐中，底面是矩形，平面，,,分別是的中點.(1)證明：平面；〔2〕求平面與平面夾角的大小.題〔1〕解略；題〔2〕中平面與平面夾角即為平面與平面所成的銳二面角.方法一：垂面法在圖中找到或作出一個與二面角的兩個半平面均垂直的平面，此平面截得的圖形便是二面角的平面角.如圖一：平面，平面,.又,平面.又平面,平面平面.由題〔1〕，平面，平面，平面平面.所以是所求二面角的平面角.,即平面與平面夾角為.方法二：平移平面法如果兩平行平面同時與第三個平面相交，那么這兩個平行平面與第三個平面所成的二面角相等或互補.利用此結論可以平移某一平面到適宜的位置以便作出二面角的平面角.如圖二：取的中點，連接.分別是的中點，.又,平面平面.二面角的大小就是平面與平面夾角的大小.可以證明為二面角的平面角，并求出其大小為.方法三：射影法利用公式，其中表示二面角的一個半平面內(nèi)某個多邊形的面積，表示此多邊形在另一個半平面射影的面積，表示原圖形與射影圖形所成的二面角.如圖三：取的中點，連接,為中點,.由解法一知，平面,平面，平面,點、在平面內(nèi)的射影分別為、.在平面上的射影為.可以證明和均為直角三角形.,四邊形為平行四邊形，.記平面與平面夾角為，那么,所以，即平面與平面夾角為.3.是正三角形，平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。EEPCBAF[思維]二面角的大小是由二面角的平面角來度量的，此題可利用三垂線定理〔逆〕來作平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點間距離公式求二面角的平面角。解1：〔三垂線定理法〕取AC的中點E，連接BE，過E做EFPC,連接BF平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC圖1BE平面PAC圖1由三垂線定理知BFPC為二面角A-PC-B的平面角設PA=1,E為AC的中點，BE=,EF=tan==argtan解2：〔三垂線定理法〕PCBAEFPCBAEFMAB=AC,PB=PCAEBC,PEBCBC平面PAE,BC平面PBC圖2平面PAE平面PBC,平面PAE平面PBC=PE圖2由三垂線定理知AMPC為二面角A-PC-B的平面角設PA=1，AM=,AF=sin=PCBAEPCBAE解3：〔投影法〕過B作BEAC于E,連結PE平面ABC，PA平面PAC圖3平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC圖3BE平面PAC是在平面PAC上的射影設PA=1,那么PB=PC=,AB=1,由射影面積公式得，,4.在單位正方體中，求二面角的度數(shù)。三垂線法利用三垂線定理或逆定理構造出二面角的平面角，進而求解。解法一.作取的中點,連結.由三垂線逆定理知為所求二面角的平面角