模型E01 垂線段最短模型（原卷版）

垂線段最短模型垂線段最短模型模型講解模型講解【結(jié)論一】如圖，直線外一點(diǎn)A，到直線上的點(diǎn)M的距離最小【結(jié)論二】如圖，在三角形ABC中，M、N分別是DE、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，求AM+MN的最小值。則有以下結(jié)論成立：過A作BC的垂線，垂足為Q，于DE相交于P，當(dāng)M、N分別于P、Q重合時(shí)，AM+MN有最小值，即為AQ的長(zhǎng)度。方法點(diǎn)撥一、題型特征：①一定點(diǎn)②動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線二、模型本質(zhì)：過定點(diǎn)作定直線的垂線，垂線段最短。例題演練例題演練1．如圖，銳角△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，M、N分別是BD、BC線段上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，S△ABC＝8，AB＝4，則MN+MC的最小值是＝．【解答】解：作N點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接CN'，過C作CE⊥AB交于點(diǎn)E，∵BD是∠ABC的角平分線，∴N'必在AB上，∴NM+CM＝MN'+CN＝CN'≥CE，∴當(dāng)CN'＝CE時(shí)，MN+MC的值最小，∵S△ABC＝8，AB＝4，∴EC＝4，∴MN+MC的最小值是4，故答案為4．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是△ABC的角平分線，若P、Q分別是AD和AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是．【解答】解：過點(diǎn)D作DC'⊥AB交C'，過C'作C'Q⊥AC交AC于Q，交AD于P，∵AD是△ABC的角平分線，∠ACB＝90°，∴C與C'關(guān)于AD對(duì)稱，∴PC+PQ＝PC'+PQ＝C'Q即為所求；∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC'＝3，∵CQ⊥AC，BC⊥AC，∴C'Q∥BC，∴＝＝，∴＝，∴C'Q＝，故答案為．3．如圖所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別向終點(diǎn)B，C移動(dòng)，連接EF，在移動(dòng)的過程中，EF的最小值為（）A．1B．C．D．【解答】解：連接DB，作DH⊥AB于H，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD＝AB＝BC＝CD，而∠A＝60°，∴△ABD和△BCD都是等邊三角形，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，∴DH＝，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF，∴∠2＝∠1，DE＝DF∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，∴△DEF為等邊三角形，∴EF＝DE，而當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，DE的值最小，其最小值為，∴EF的最小值為．故選：D．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D為AC中點(diǎn)，P為AB上的動(dòng)點(diǎn)，將P繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到P′，連CP′，則線段CP′的最小值為（）A．1.6 B．2.4 C．2 D．22．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為10，面積是40，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為．3．如圖，在△ABC中，AB＝6，S△ABC＝10，點(diǎn)M是∠ABC平分線BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上一動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是．4．如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，E、F分別為線段AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，其中AB＝8，AC＝10，BD＝，則BE+EF的最小值為．5．如圖，邊長(zhǎng)為8的等邊三角形ABC中，E是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，過C、E、P三點(diǎn)⊙O交AC于F點(diǎn)，連接EF，則EF的最小值為．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持∠EDF＝90°，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：①DE＝DF；②四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E、F位置的改變而發(fā)生變化；③CE+CF＝AB；④AE2+BF2＝2ED2．以上結(jié)論正確的是（只填序號(hào)）．1．（2021?東阿