江西省新余市2022-2023學年高三上學期期末質量檢測數學（理）試題（含解析）

新余市2022—2023學年度上學期期末質量檢測高三數學試題卷（理科）命題人：新余一中廖宇慧新余九中郭銳審題人：劉勇剛說明：1.本卷共有三個大題，23個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘2.本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知復數，則（）A.z的虛部為1 B.C.為純虛數 D.在復平面內對應的點位于第二象限【答案】C【解析】【分析】根據復數的運算法則進行化簡后再判斷即可.【詳解】，∴z的虛部為－1，，為純虛數，在復平面內對應的點位于第一象限.故選：C.2.已知集合，則集合的真子集個數為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】先根據題意求出集合，再求其真子集的個數.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，所以，所以集合的真子集的個數為個，故選：C3.某校為了解學生每個月在圖書館借閱書籍數量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數為5，方差為9；圖書管理員乙也抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數為7，方差為16.若將這兩個樣本合在一起組成一個容量為200的新樣本，則新樣本數據的（）A.平均數為6 B.平均數為6.5C.方差為12.5 D.方差為13【答案】A【解析】【分析】代入以下公式可得結果.（設樣本A樣本容量為m，樣本平均數，樣本方差；樣本B樣本容量為n，樣本平均數，樣本方差；樣本合成后樣本量，樣本平均數，樣本方差，則，【詳解】∵，，∴兩個樣本合在一起的新樣本數據的平均數為6，方差為13.5.故選：A.4.已知直線：與直線；相互平行，則實數的值是（）A. B.1 C. D.或1【答案】A【解析】【分析】根據兩條直線平行，斜率相等求解即可.【詳解】因為直線：的斜率，斜率存在，且，所以直線；的斜率存在，且，化簡得：，解得或.當時，直線：，直線；，此時.當時，直線：，直線；，此時重合，舍去.所以.故選：A5.如圖，在直棱柱中，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據題意知為異面直線與所成角，再判斷出為直角三角形，再求余弦值即可．【詳解】解：連接，如下圖由E為的中點，為的中點易知：四邊形為平行四邊形，，∴即為異面直線與所成角，，平面，又面，，設，則，．故選：D．6.已知，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式和二倍角公式求解即可.【詳解】，故選：B7.一條光線從點（－2，－3）射出，經y軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】求出點關于軸的對稱點，由對稱點作圓的切線，即為反射光線所在直線，求出切線斜率即得．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，根據光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點關于y軸的對稱點，易知反射光線所在直線的斜率存在，設為k，則反射光線所在直線的方程為，即，由反射光線與圓相切，可得，整理得，解得或．故選：D．8.已知函數在上恰好取到一次最大值與一次最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式即得解.【詳解】因為，恰好取到一次最大值與一次最小值，可得，解得.故選：A.9.在中，，點D在線段上，點E在線段上，且滿足，交于F，設，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據平面共線向量的性質，結合平面向量數量積的運算性質、平面向量數量積的定義、平面向量的加法的幾何意義進行求解即可.【詳解】設，，因為所以有，因此，因為，，，所以，故選：B10.已知函數，正實數a,b滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數是嚴格遞減的函數，且有對稱中心，找出之間的關系可求.【詳解】，故函數關于對稱，又在上嚴格遞減；即當且僅當時取得.故選：B.11.如圖，過雙曲線：右支上一點作雙曲線的切線分別交兩漸近線于，兩點，交軸于點，、分別為雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，則下列結論錯誤的是（）A.B.C.D.若存在點，使，且，則雙曲線的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】聯立切線方程與漸近線方程，求出，的坐標，即可得，由的取值范圍即可得，從而可判斷C，由中點坐標公式可判斷是，的中點，由此可判斷AB，余弦定理結合可判斷D.【詳解】先求雙曲線上一點，的切線方程：不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）．由，得，所以，則在，的切線斜率，所以在點，處的切線方程為：，又有，化簡即可得切線方程為：．不失一般性，設，是雙曲線在第一象限的一點，，是切線與漸近線在第一象限的交點，，是切線與漸近線在第四象限的交點，雙曲線的漸近線方程是，聯立：，解得：，聯立：，解得：，則，又因為，所以，即，C錯誤；由，可知，是，的中點，所以，B正確；易知點的坐標為，則，當點，在頂點時，仍然滿足，A正確；因為，所以，，因為，則，解得，即，代入，得，所以，，所以，所以，，所以離心率，D正確．故選：ABD．12.已知（其中為自然常數），則??的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數，得，，，利用導數判斷出的單調性可得答案.【詳解】構造函數，易得，，，，當時，當時，所以在遞減，遞增，易知，所以，，因為，所以，所以，故選：D.二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.請將正確答案填在答題卷相應位置.）13.的展開式中，所有項的二項式系數之和為________.【答案】【解析】【分析】在二項展開式中，所有項的二項式系數和始終為，其中為次數.【詳解】在展開式中，所有項的二項式系數和為.故答案為：.14.已知函數的定義域是，則函數的單調增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】根據對數函數的定義域，轉化為一元二次不等式的解集，進而轉化為一元二次方程的根，根據韋達定理得到，再由復合函數單調性求出答案.【詳解】由題意得：的解集為，則的兩根為，故，解得：，設，則，其中在定義域為上單調遞減，根據復合函數單調性滿足“同增異減”，故只需求解在上的遞減區(qū)間，即為的遞增區(qū)間，由于對稱軸為，開口向下，所以在上的單調遞減區(qū)間為，從而函數的單調增區(qū)間為.故答案為：.15.已知三棱錐的外接球的半徑為，，，，則三棱錐的體積為______.【答案】【解析】【分析】由及外接球的半徑為，得到為外接球的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，可得，根據勾股定理，求得各邊的長度，判斷為直角三角形，再由面，得到為棱錐的高，根據棱錐的體積公式計算可得答案.【詳解】因為三棱錐外接球的半徑為，，所以為外接球的直徑，又因為都在球上，所以.，所以在中，，，,在中,,在中,,在中，,.，平面，面，故答案為：.16.設，（為自然對數的底數），，若不是函數的極值點，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】求導函數，根據題意得的根為，從而表示出，再令新函數，求導函數，判斷單調性與最大值.【詳解】由題知，，因不是函數的極值點，所以的根為，所以，即，則，令，，因為時，，時，.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即的最大值為.故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟）17.已知數列滿足，（1）求證：是等比數列；（2）設，求和：【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比數列的定義，結合遞推公式，即可證明；（2）根據（1）的結果求，再利用累乘法求數列的通項公式，求得，最后利用分組轉化和等比數列求和公式求和.【小問1詳解】，且，所以數列是首項為3，公比為3的等比數列；【小問2詳解】由（1）可知，所以，，得，，.18.某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數學興趣小組發(fā)現《九章算術》中提到了“芻甍”這個五面體，于是他們仿照該模型設計了一道數學探究題，如圖1，分別是正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”(如圖2)．（1）若是四邊形對角線的交點，求證：∥平面（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結合圖形可證四邊形是平行四邊形，可得，可得∥平面；（2）根據題意結合二面角的定義可得，利用空間向量求線面夾角．【小問1詳解】取線段中點，連接，由圖1可知，四邊形是矩形，且是線段與的中點，且在圖1中且，且．所以在圖2中，且且四邊形是平行四邊形，則由于平面平面平面【小問2詳解】由圖1，折起后在圖2中仍有即為二面角的平面角．以為坐標原點，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標系如圖，且設則，設平面一個法向量由，得，取則于是平面的一個法向量∴直線與平面所成角的正弦值為19.某學校為了迎接黨的二十大召開，增進全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽.現有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.（1）如果第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；（2）若第二支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個選擇題的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設表示“第次從乙箱中取到填空題”，分別求出概率，根據全概率公式即可（2）設事件為“第三支部從乙箱中抽1個選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個選擇題1個填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是填空題”，則??彼此互斥，求出相關的概率，再根據條件概率求解即可.【小問1詳解】設表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；【小問2詳解】設事件為“第三支部從乙箱中抽1個選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個選擇題1個填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：.20.已知橢圓：的左右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，為坐標原點，（1）若的面積為，求橢圓的標準方程：（2）過點作斜率的直線交橢圓于不同兩點，，點在橢圓的內部，在橢圓上存在點，使，記四邊形的面積為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件由方程組可解出得到橢圓方程.（2）直線方程與橢圓方程聯立方程組，由韋達定理化簡，把表示為關于k的函數，利用基本不等式求解最大值.小問1詳解】，∴，，，又，解得，所以橢圓的標準方程為：.【小問2詳解】，∴，橢圓，令，直線l的方程為：，聯立方程組：，消去y得，由韋達定理得，，有，因為：，所以，，將點Q坐標代入橢圓方程化簡得：，而此時：.，而，O點到直線l的距離，所以：，因為點P在橢圓內部，所以，得，又，所以，當，即時等號成立.所以的最大值是.【點睛】思路點睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．(2)注意觀察應用題設中的每一個條件，強化有關直線與橢圓聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21.已知，函數．（1）當時，討論的單調性；（2）若曲線與直線有且只有一個公共點，求．【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）當時，分析的符號變化，即可得出函數的減區(qū)間和增區(qū)間；

（2）利用導數分析函數的單調性與極值，可知函數有唯一的極小值，根據可求得正實數的值.【小問1詳解】解：當時，，函數的定義域為，，令，其中，則，所以，函數在上單調遞增，且．所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增．因此，當時，函數的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】解：依題意，，的定義域為，.令，，所以，在上單調遞增，，，故存在，使得.當時，，則，此時單調遞減，當時，，則，此時單調遞增，當時，取極小值，則也是函數唯一的極值點，由得，即，①等式①的兩邊同時取自然對數，則有，則．②由①②得，當且僅當時，等號成立．當時函數取最小值，函數的圖象過點，函數與有且只有一個交點．由，可得，即，令，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，，因此，.所以曲線與直線有且只有一個交點時，．【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的