山東省菏澤市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題B（ 含答案解析 ）

2021—2022學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試題（B）第I卷注意事項(xiàng)：1.答第卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2.每題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再改涂在其它答案標(biāo)號(hào).一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知：，，所以，故C項(xiàng)正確.故選：C.2.已知，則（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求出，再求的值即可.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B.3.已知，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由誘導(dǎo)公式、二倍角公式運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意.故選：D.4.若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，則其漸近線方程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)求出a，然后求解漸近線方程即可．【詳解】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，得，又，所以雙曲線的漸近線方程為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題．5.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解得：.故選：C.6.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】求出的一個(gè)周期為2，從而得到.【詳解】因?yàn)椋?，又是定義在上的偶函數(shù)，所以，故，所以的一個(gè)周期為2，.故選：B7.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為“吉祥數(shù)列”.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，且公差不為0，若數(shù)列為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)為常數(shù)求得后可得通項(xiàng)公式．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差，則，∴．又?jǐn)?shù)列為“吉祥數(shù)列”，∴為常數(shù)，不妨設(shè)，則得，則，解得：，∴.故選：D．8.我國(guó)古代《九章算術(shù)》里記載了一個(gè)求“羨除”體積的例子，羨除，隧道也，其所穿地，上平下邪.小明仿制“羨除”裁剪出如圖所示的紙片，在等腰梯形中，，，在等腰梯形中，.將等腰梯形沿折起，使平面平面，則五面體中異面直線與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，，根據(jù)已知得出四邊形為菱形，即可得出，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明，即可根據(jù)線面垂直的判定得出平面，即可根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，即可得出答案.【詳解】過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，，四邊形為等腰梯形，,四邊形為等腰梯形，,,四邊形為菱形，，，平面平面，平面平面，平面ABEF，平面，平面，,平面，平面，,平面，平面，，異面直線與所成角的大小為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的的0分.9.已知，則下列各式成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】取特值可判斷A，C；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；作差法判斷D.【詳解】對(duì)于A，取，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，而，所以，所以B正確；對(duì)于C，取，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以，，，所以，所以，故D正確.故選：BD.10.如圖，順次連接正五邊形的不相鄰的頂點(diǎn)，得到五角星形狀，則以下說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正五邊形的幾何特征，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，向量的加減運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由正五邊形的對(duì)稱性可得，每個(gè)正五邊形的內(nèi)角為，對(duì)于A，在中，，則，進(jìn)而，所以，同理可得，故四邊形是平行四邊形，所以，故A正確；對(duì)于B，由對(duì)稱性可得，且，所以，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)，因?yàn)?，所以，由?duì)稱性可得，所以，得是等邊三角形，則，所以，故C不正確.對(duì)于D，要證，即證四邊形是平行四邊形，因?yàn)槲暹呅螢檎暹呅?，所以，因?yàn)樵谥?，，所以，，進(jìn)而，所以，同理可得，故四邊形平行四邊形，故D正確.故選：ABD.11.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，將分別繞邊，所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體的體積分別記為，側(cè)面積分別記為則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】先分別求出將繞邊、、旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積和側(cè)面積，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】將繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑是，母線長(zhǎng)為，高為.所以其體積，其側(cè)面積；將繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，其底面半徑，母線長(zhǎng)為，高為.所以其體積，其側(cè)面積；將繞邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是兩個(gè)底面重合的圓錐，其底面半徑是，母線長(zhǎng)分別為和，高之和為.所以其體積，其側(cè)面積.對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：，而，所以，故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，，故D正確；故選：AD.12.已知函數(shù)的圖象如圖所示，令，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為C.若函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)分別為，則的最小值為D.函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線斜率為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圖象可求出函數(shù)，即可得，計(jì)算可知A正確，整體代入可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，即B錯(cuò)誤；分別求的兩零點(diǎn)的表達(dá)式可得的最小值為，即C正確；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知D錯(cuò)誤.【詳解】由圖象可知，設(shè)的最小正周期為，又，解得；由圖可得，又，所以，即；因此，所以；即可得，故A正確；令，解得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，即B錯(cuò)誤；令，即可得，解得；可得，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即C正確；易知，而，因此不存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線斜率為，即D錯(cuò)誤；故選：AC第II卷三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】利用分式不等式的解法解原不等式即可得解.【詳解】由可得，解得.故原不等式的解集為.故答案為：.14.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何？“這里的幾何指多少的意思.翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：求正整數(shù)N，使N除以3余2，除以5余2.根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，今有由小到大排列的所有正整數(shù)數(shù)列{an}，{bn}，{an}滿足被3除余2，a1=2，{bn}滿足被5除余2，b1=2，把數(shù)列{an}與{bn}相同的項(xiàng)從小到大組成一個(gè)新數(shù)列記為{cn}，則cn=______.【答案】##【解析】【分析】由題意得都是等差數(shù)列，兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)，即為的公差．【詳解】，故的公差為3，的公差為5，故的公差為15．故答案為：15.三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面，若，且，此球的表面積等于________.【答案】【解析】【分析】確定的形狀，利用線面垂直性質(zhì)可得兩兩垂直，再將三棱錐補(bǔ)形成正方體，利用三棱錐與正方體有相同的外接球求解即得.【詳解】在中，由及余弦定理得：，于是，即，由底面，平面，得，三棱錐可補(bǔ)形成一個(gè)以為棱的正方體，三棱錐的外接球與該正方體的外接球相同，球半徑，所以此球的表面積.故答案為：.16.拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，過(guò)的中點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】由拋物線的定義以及已知條件可得，，.代入后，通過(guò)不等式的性質(zhì)即可得到最值.【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)、作拋物線的準(zhǔn)線的垂線和，垂足分別為、.由拋物線定義得，，由題意知，，又以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以有，則.又因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以有成立，所以.所以，=,即的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：1.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．2．若為拋物線上一點(diǎn)，由定義易得；若過(guò)焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為，，則弦長(zhǎng)為，可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）證明：；（2）點(diǎn)在邊上，，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)證明即可.（2）利用勾股定理和正弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】在中，因?yàn)?，由正弦定理，得，整理得，因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】如圖，取AB中點(diǎn)E，連接CE，由（1）得，為等腰三角形，所以，設(shè)，則，由勾股定理得解得，所以，，所以，在三角形BCD中，由正弦定理可得，得18.在等差數(shù)列中，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意列方程組，解方程求出，，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出答案；（2）由（1）求出，再由分組求和法求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意得，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，，所以.19.已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心C在x軸上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與直線AB垂直，且與圓C相交所得弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的方程，待定系數(shù)法求出方程；（2）利用點(diǎn)到直線距離公式及垂徑定理進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】已知圓心C在x軸上，故設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，所以，解之得，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意知，所以直線l的斜率為，所以設(shè)直線l的方程為，得圓心C到直線l的距離為，因?yàn)橹本€l與圓C相交所得弦長(zhǎng)為，所以，所以，即，求得或，所以直線l的方程為或．20.如圖，三棱錐中，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，試求的長(zhǎng)，使得二面角的大小為.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到各邊長(zhǎng)，由勾股定理逆定理得到⊥，從而得到線面垂直，面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，求出兩個(gè)平面的法向量，利用二面角的大小為列出方程，求出，求出的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)D作與點(diǎn)O，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，可得，，因?yàn)?，，，所以，又在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以在中，，故⊥，又因?yàn)?，平面，所以⊥平?因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平面；【小?wèn)2詳解】過(guò)O作交AB于E，由（1）可知，OE，OC，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，，則，為平面ADF的一個(gè)法向量，設(shè)平面BDF的法向量為，設(shè)，，由，取，則，所以，即，解得，此時(shí)，使得二面角的大小是.21.已知橢圓的離心率為是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）由兩點(diǎn)的斜率公式求出，再結(jié)合橢圓的離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，即可得出答案；（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)O到直線PQ的距離，代入三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由條件知，得，又，，所以，，故E的方程；【小問(wèn)2詳解】依題意易知當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，不合題意，設(shè)直線，將代入，得，設(shè)，所以，即，，從而.又點(diǎn)O到直線PQ的距離，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)成立，所以的最大值為1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于聯(lián)立直線和橢圓的方程，由韋達(dá)定理表示出，再求出點(diǎn)O到直線PQ的距離，代入，結(jié)合基本不等式即可得出答案.22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意的，都有成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求出，分別討論不同范圍下的