初中數(shù)學(xué)教案解析：相交弦定理與圓心角關(guān)系

第頁共頁初中數(shù)學(xué)教案解析：相交弦定理與圓心角關(guān)系相交弦定理與圓心角關(guān)系在初中數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)和圓的相關(guān)定理是非常重要的，相交弦定理與圓心角關(guān)系是其中兩個(gè)比較重要的定理，掌握這兩個(gè)定理能夠幫助解決很多與圓相關(guān)的問題。接下來我們將分別對(duì)這兩個(gè)定理進(jìn)行詳細(xì)闡述。一、相交弦定理相交弦定理是指，在一個(gè)圓內(nèi)部，兩條弦相交，那么弦上所對(duì)的幾何圖形的面積之和相等。例如：如上圖所示，$\mathrm{AB}$和$\mathrm{CD}$為圓內(nèi)部的兩條弦，$\mathrm{AC}$和$\mathrm{BD}$為它們的交點(diǎn)。連接$\mathrm{AD}$、$\mathrm{BC}$，則$\triangle\mathrm{ADC}$與$\triangle\mathrm{BDC}$為所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圖形，$\mathrm{ABCD}$為所在的圓，證明：設(shè)$\mathrm{O}$為圓的圓心，連線$\mathrm{AO}$，$\mathrm{BO}$，$\mathrm{CO}$，$\mathrm{DO}$，同時(shí)作直線$\mathrm{pq}$過$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$兩點(diǎn)，交于點(diǎn)$\mathrm{E}$，則圖形可表示為：我們有$\triangle\mathrm{AEO}$和$\triangle\mathrm{BEO}$，它們是等角的，因?yàn)?\angle\mathrm{AEO}=\angle\mathrm{BEO}=90^{\circ}$，且都與弦$\mathrm{AB}$垂直，因此，它們之間的面積相等。另外，我們有$\triangle\mathrm{ADE}$和$\triangle\mathrm{CDE}$，它們也是等角的，因?yàn)?\angle\mathrm{ADE}=\angle\mathrm{CDE}$，且它們都與弦$\mathrm{CD}$垂直，因此，它們之間的面積也相等。所以，兩條弦所對(duì)的圖形的面積之和為：$S_{\triangle\mathrm{AEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEA}}=S_{\triangle\mathrm{BEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEC}}$也就是：$S_{\triangle\mathrm{AEO}}=S_{\triangle\mathrm{BEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEC}}-S_{\triangle\mathrm{DEA}}$將$\triangle\mathrm{AEO}$切成兩個(gè)部分：$\triangle\mathrm{ADE}$和梯形$\mathrm{ABED}$，得到：$S_{\triangle\mathrm{ADE}}+S_{\mathrm{ABED}}=S_{\triangle\mathrm{BEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEC}}-S_{\triangle\mathrm{DEA}}$從而得到：$S_{\triangle\mathrm{ADE}}+S_{\mathrm{ABED}}+S_{\triangle\mathrm{DEA}}=S_{\triangle\mathrm{BEO}}+S_{\triangle\mathrm{DEC}}$也就是說，兩條弦所對(duì)的圖形的面積之和相等。證畢。二、圓心角關(guān)系圓心角關(guān)系是指，在一個(gè)圓中，如果兩條弧所夾的圓心角相等，那么這兩個(gè)弧所對(duì)應(yīng)的弦的長度也相等。例如：如上圖所示，$\mathrm{AB}$、$\mathrm{CD}$為圓上的兩條弧，$\mathrm{AC}$、$\mathrm{BD}$是它們所對(duì)應(yīng)的弦，弧$\mathrm{AB}$所對(duì)應(yīng)的圓心角$\angle\mathrm{AOB}=\angle\mathrm{COD}$，那么弦$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$。證明：設(shè)圓心為$\mathrm{O}$，作直線$\mathrm{OP}$垂直弦$\mathrm{AC}$、$\mathrm{BD}$的交點(diǎn)$\mathrm{P}$，則有：$\triangle\mathrm{OAP}$和$\triangle\mathrm{OBP}$是等腰三角形，這是因?yàn)?\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$，$\mathrm{OP}$是垂直中線；$\angle\mathrm{OAP}=\angle\mathrm{OBP}$，它們都等于所在的圓心角一半；因此，它們之間的面積相等。同樣的，$\triangle\mathrm{OCP}$和$\triangle\mathrm{ODP}$也是等腰三角形，因此它們之間的面積也相等。所以，整個(gè)圖形的面積可表示為：$S_{\triangle\mathrm{OAP}}+S_{\triangle\mathrm{OCP}}=S_{\triangle\mathrm{OBP}}+S_{\triangle\mathrm{ODP}}$將$\mathrm{OP}$看作中線，則有：$\mathrm{OP}\cdot(\mathrm{AC}-\mathrm{BD})=0$因?yàn)?\mathrm{O