2022年北京市海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)一模考試逐題解析

2022年北京市海淀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)考試逐題解析

局二數(shù)字2022.3

本試卷分為第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，滿分15。分，考試

時(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將

本試卷和答題紙一并交回。

第I卷(選擇題共40分)

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出

符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知集合4={%]-1<%<2},3={x|x>()},則AUB=

A.{%|2}x>-1}

C.{x|x>-1}D.{%[%>0}

【答案】B

【解析】

A={x\-\<x<2},B={x|%>0},所以AUB={%|%2—1}

故選B

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),則z(l+i)=

A.2B.2i

C.-2iD.-2

【答案】A

【解析】

因?yàn)閦對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,—1),所以z=l—i,z(l+i)=(l-i)(l+i)=l-i2=1+1=2

故選A

J?

3.雙曲線7-的離心率為

AV3RV6

33

C.—D.V3

3

【答案】C

【解析】

2

因?yàn)殡p曲線r土-V=i,

3

所以/=3,〃=1,cr=a2+b2=4,-=

aV33

故選C

4.在(4-1)4的展開式中，尤2的系數(shù)為

A.-lB.1

C.TD.4

【答案】B

【解析】

因?yàn)?五―4的通項(xiàng)公式為J=禺(?產(chǎn)(-步=,

令2+2=2解得r=0

2

所以產(chǎn)的系數(shù)為仁(—1)。=1

故選B

5.下列命題中正確的是

A.平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行

B.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

C.垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行

D.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行

【答案】D

6.已矢口直線+=l是圓％之+9一2%—2y=0的一條對(duì)稱軸，則的最大值為

A.-B.-C.lD.V2

42

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€/:or+Oy=1是圓％2+y2-2%-2y=0的一條對(duì)稱軸，則直線/過圓心,

將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-+(y-Ip=2,則圓心為(1,1),所以a+。=1,則〃=1-〃，

ab—a(l—a)=—a"+a=—(a—)'H—,所以a人的最大值為一.

244

故選A

7.已知角a的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與后與角尸的終邊重合，且cos(a+〃)=l,則

a的取值可以為

A」B—C.2D.史

6336

【答案】C

【解析】因?yàn)榻莂的終邊繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)日后與角夕的終邊重合，所以

27r2冗2元

a+—+2kn=4(keZ),貝Ucos(a+力)=cos(2a+—+2hr)=cos(2a+—)=1,

2<z+—=2kji(Z:eZ),a=-—+kit(ZrGZ),所以a可以為生.

333

故選c

8.已知二次函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，將其向右平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)g(%)的圖

象,則不等式g(%)>log2X的解集是

A.(-oo,2)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.(O,1)

【答案】C

【解析】根據(jù)圖象可以得到f(x)經(jīng)過(-2,0),(0,1),(1,0)這

三個(gè)點(diǎn)，所以將/(外向右平移2個(gè)單位后g(%)過

(0,0),(2,1),§,0)這三個(gè)點(diǎn)，可以求出g(%)=-V+g

同時(shí)畫出>=以刈與>=1奧2》的草圖，如右圖所示:

y=g(x)與y=log2%只有一個(gè)交點(diǎn)(2,1),

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，y=g(%)在y=log2%圖像上方，

所以不等式g(x)>log2%的解集是(0,2)

故選C

9.在△ABC中，A=4,則“sinB＜是“△ABC是鈍角三角形”的

42

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

充分性：因?yàn)樵凇鰽BC中sinB＜立，所以8〈巴或8〉生，又因?yàn)锳=4,所以8＜三，

24444

因?yàn)镃=TU-A-8,所以。＞4，△A3C是鈍角三角形，充分性成立；

2

必要性：因?yàn)椤鰽BC是鈍角三角形，則B可以為"，sinB=—＞—,必要性不成立.

322

故選A

10.甲醫(yī)院在某段時(shí)間內(nèi)，累計(jì)留院觀察的某病例疑似患者有98人，經(jīng)檢測(cè)后分為

確診組和排除組，患者年齡分布如下表:

年齡（歲）[20,40)[40,60)[60,80)[80,+oo)總計(jì)

[0,20)

確診組人數(shù)0374014

排除組人數(shù)7411519284

為研究患病與年齡的關(guān)系，現(xiàn)采用兩種抽樣方式.第一種：從98人中隨機(jī)抽取7

人，第二種：從排除組的84人中隨機(jī)抽取7人.用X,丫分別表示兩種抽樣方式下

80歲及以上的人數(shù)與80歲以下的人數(shù)之比.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在第一種抽樣方式下，抽取的7人中一定有1人在確診組；

②在第二種抽樣方式下，抽取的7人都小于20歲的概率是0；

③x,y的取值范圍都是｛0」,勺；

65

④E（X）<E（r）.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

A.lB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①錯(cuò)誤，所以抽7人均不在確診組的概率為0>0,可能發(fā)生;

。98

②錯(cuò)誤，所抽7人均小于20歲的概率為￡>0,可能發(fā)生；

③正確，兩種抽法，80歲及以上可能被抽到的人數(shù)均為0,1,2；

④正確，分別寫出x,y分布列

2

X0

65

C；6c*c；

P

C；8

J_2

Y0

65

C；2——

P

Cl

計(jì)算量較大，會(huì)占用過多時(shí)間。

可結(jié)合對(duì)概率的理解，因?yàn)?0歲及以上的人在兩種抽樣中均為2人，所以總?cè)藬?shù)越多,

抽到的概率越小。

故有石(X)(石(F).

第II卷（非選擇題共110分）

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分。

11.已矢口拋物線丁=2〃%的準(zhǔn)線方程為無=—1,貝!Jp=.

【答案】2

【解析】

解：由拋物線方程丁=2〃%可知拋物線方程為x=-

則有一“=p=2.

2

12.已知｛%｝是等比數(shù)列，S“為其前幾項(xiàng)和.若的是6,S2的等差中項(xiàng)，§4=15,則4=

,q=.

【答案】2,1

【解析】

解：???｛〃”｝為等比數(shù)列，且2%=q+S2

/.2a2=2q+a2

a2=2〃]即q=2

又丁S4=a]+%+/+%=q+2a]+4ay+84=15q=15

/.4=1.

13.若函數(shù)=1的值域?yàn)椋?1,+QO),則實(shí)數(shù)。的一個(gè)取值可以為

【答案】1,(。＞0的任意一個(gè)數(shù))

【解析】

解：對(duì)a進(jìn)行分類討論

①當(dāng)a=0時(shí)/(九)=2'T,值域/(%)w(-l,+co),不符合題意;

②當(dāng)a<0時(shí)/(%)=2，v-a-l,值域/(%)G(-a-l,+oo),且-不符合題意;

圖①圖②圖③

14.已知《］,°2是單位向量，且與烏二。，設(shè)向量〃=丸《］+“2，當(dāng)2=〃=1時(shí)，（a,e）=

;當(dāng)％+〃=2時(shí)，,一ej的最小值為.

【答案w，等

【解析】

解：(1)因?yàn)椤?4+02，

2

所以同=^(e,+e2)?(e}+e2)=^(e,+2e2?e]+e;)=J1+1=\[1,

(e]+e2)?ei

同.同V22

(2)因?yàn)椤?又4+〃=2

a—C]=(A—1)G+(2—2)e

,一止,(…/

=J[(丸-De〕+(2―/l)e2H(2-1)0]+(2-/l)e2]

=7(2-l)2+(2-A)2

3

2

15.已知函數(shù)/(%)=上紅空，給出下列四個(gè)結(jié)論：

x~+1

①/(%)是偶函數(shù)；②/(%)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；

③/(X)的最小值為-；；④/(%)的最大值為1.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】①②④

【解析】①正確，y=cos%與y=V+l均為偶函數(shù)，所以/(%)為偶函數(shù)；

②正確，取心=4+左兀,攵GZ即可；

2

③錯(cuò)誤，易知〃1)=」，/，⑴」…fsin嗎二2%cosm

2(Y+1)-

所以:(l)=g〉O

又因?yàn)?'(幻為連續(xù)函數(shù)，所以必存在/<1,滿足％e(尤0」)時(shí)，;(尤0)〉。

所以/⑶在(%,1)上單增，所以/(x0)</(l)=-1.

④正確，易知/(0)=1,xwO時(shí)，cos7Lre[-l,l],x2+1>1

COSTLY

所以"(%)l=l|<1,所以/⑴皿=1

x2+l

三、解答題：共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

16.(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù)/(%)=2sin%cos%+Acos2x(AeR).已知存在A使得/(%)同時(shí)滿足下列三

個(gè)條件中的兩個(gè)：

條件①：/(0)=0；

條件②：/(x)的最大值為血；

條件③：x=工是/(%)圖象的一條對(duì)稱軸.

8

(I)請(qǐng)寫出/(X)滿足的兩個(gè)條件，并說明理由；

(II)若/(尤)在區(qū)間(0,m)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求相的取值范圍.

【解析】

(I)/(x)=2sinxcos%+Acos2x=sin2x+Acos2%=VFT^sin(2%+0)

(其中tan0=A,/e(-g,-|));

由條件①/(0)=0得A=0;

由條件②/(x)的最大值為及得A=±l;

由條件③：％=工是/(%)圖象的一條對(duì)稱軸得二+°=E+g#eZ;

842

冗7T

所以°=——,keZ，所以A=tanQ=tan—=1;

44

所以/(x)滿足條件②③.

(II)由(I)知/1(%)=41sin(2jc+—);

4

f(x)在區(qū)間(0,m)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以/<2加+工W2萬，—<m<—;

488

加的取值范圍（至，立］

88

17.(本小題滿分14分)

如圖，在四棱柱中，底面ABCD是正方形.平面AADDJ平面

ABCD,AD=2,AAi=AiD.

(I)求證：A,D1.AB；

(II)若直線AB與平面AQG所成角的正弦值為巨，求AA的長度.

［解析］^D、

(I)???底面ABCO是正方形，//

：.ABVAD.//\\

又,/平面AADD,_L平面ABCD,//---------夕;

平面ANOQD平面ABCD=AD,////

BC

ABu平面A6CD,

AB_L平面AADR,

4。(=平面44。2，

二.\DVAB.

(II)取AZ)中點(diǎn)O,3。中點(diǎn)E,連接04、OE,

?.?底面ABCQ是正方形，,

AOEHAB,OEA.AD

'：AB_L平面4皿兀

o石，平面

0EV0A,,

AAi=AiD,EC

，。41AD,

：.OE,OD,0A兩兩垂直,

以。為原點(diǎn)，OE,0D,西分別為％,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz.

設(shè)。4=a,(a>0)

則A(O,—1,O),8(2,-1,0),D(O,1,O),4(0,0,。)，G(2,2,a).

則煜=(2,2,0),以=(0,-La),瓶=(2,0,0).

設(shè)平面A.DC1的一個(gè)法向量為〃=Q,y,z),

〃?4G=2%+2y=0

則

n?￡)A=-y+az-0

令z=L得％=-a,y=a,

n={—a,a,V).

設(shè)直線A3與平面所成的角為6,

則sin0=|cos<AB,n〉|=,

\AB\-\n\

gnV2lI-2.I

即-----=------1■

72xJ2a2+1

整理得/=3,

Va>0,

??a=，

：.^(0,0,73),村=(0,1,6),

M=府+『+(G)2=2,

所以A4的長度為2.

18.(本小題滿分14分)

《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要(子時(shí)是指23

點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)).相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，深睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越

低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體睡眠指數(shù)的統(tǒng)計(jì)如下表.

組別睡眠指數(shù)早睡人群占比晚睡人群占比

1[0,51)0.1%9.2%

2[51,66)11.1%47.4%

3[66,76)34.6%31.6%

4[76,90)48.6%11.8%

5[90,100]5.6%0.0%

注：早睡人群為23:00前入睡的人群，晚睡人群為01:00后入睡的人群.

(I)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)與晚睡人群睡眠指數(shù)25%分

位數(shù)分別在第幾組？

(II)據(jù)統(tǒng)計(jì)，睡眠指數(shù)得分在區(qū)間［76,90)內(nèi)的人群中，早睡人群約占80%.從睡眠

指數(shù)得分在區(qū)間［76,90)內(nèi)的人群中隨機(jī)抽取3人，以X表示這3人中屬于早睡

人群的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望風(fēng)X)；

(III)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，有人認(rèn)為，早睡人群的睡眠指數(shù)平均值一定落在區(qū)間［76,90)

內(nèi)?試判斷這種說法是否正確，并說明理由.

【解析】

(I)V0.1%+11.1%=11.2%<25%,0.1%+11.1%+34.6%=45.8%>25%,

早睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)在第3組；

V9.2<25%,9.2%+47.4%=56.6>25%,

晚睡人群睡眠指數(shù)25%分位數(shù)在第2組.

(II)由題意得X的取值范圍是{0,1,2,3},

尸—。)=嘿及心;尸(X=l)=喝畤喧

P(X=2)=喝)2(,蔑尸—3)=%)審喂

分布列:

X0123

1124864

P

125125125125

4412

AE(X)=3x-=—

555

(III)不正確，理由如下:

因?yàn)楦鹘M睡眠指數(shù)的原始數(shù)據(jù)不明，所以當(dāng)各組睡眠指數(shù)集中在左端點(diǎn)時(shí)，睡眠指數(shù)

的平均值估計(jì)為0x0.1%+51xll.l%+66x34.6%+76x48.6%+90x5.6%=70.473<76,

此時(shí)平均睡眠指數(shù)并未落在［76,90)區(qū)間內(nèi).

19.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(%)=，(依2_%+]).

(I)求曲線＞=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線的方程；

(II)若函數(shù)/(%)在x=0處取得極大值,求a的取值范圍;

(III)若函數(shù)/(%)存在最小值，直接寫出a的取值范圍.

【解析】

(I)?.?/(%)=ex(ax2-x+1)

.,./'(%)=eRax+(2a—1)]

.,-.f(O)=O,/(O)=l

二.曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線的方程為y=1

(II)Vf(x)=ex(ax2-x+l),xeR

f'(x)=exj([ax+(2a-1)]

(1)當(dāng)a=0時(shí)，令f'(x)--exx=0,x=0

當(dāng)工變化時(shí)，/'(x)、/(x)的變化情況如下：

X(-℃,0)0(0,+QO)

f'M+0—

fM/極大值

函數(shù)/(%)在x=0處取得極大值/(0)=1，滿足題意

1_0/7

(2)當(dāng)a<0時(shí)，令/'(%)=e'M"+(2a-l)]=0,%=0或%

a

當(dāng)x變化時(shí)，/'(%)、/(x)的變化情況如下:

,1-2即1一2a(J—^,0)

X(8,)0(0,+8)

aaa

f'(x)—0+0—

于(X)極小值/極大值

二.函數(shù)/(%)在x=0處取得極大值/(0)=1,滿足題意

(3)當(dāng)a>0時(shí)，令/'(%)=e'+(2a—1)]=0,為=0或%=-----

a

①當(dāng)匕即=0即。=]_時(shí)一，八外20恒成立

a2

此時(shí)函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意

②當(dāng)]^￡〉0即0<4<J_時(shí)

a2

當(dāng)％變化時(shí)，(@)、/(%)的變化情況如下:

1—2〃A-2a、

X(-00,0)0(0.—)(,+8)

aaa

/'(X)+0—0+

/(%)/極大值極小值/

...函數(shù)/(%)在X=0處取得極大值/(0)=1,滿足題意

③當(dāng)匕即<0即4〉工時(shí)一

a2

當(dāng)工變化時(shí)，/'(%)、/(%)的變化情況如下:

,1一2樂1一2a

X(8,)0(0,+oo)

aaa

/'(%)+0——0+

/(%)/極大值極小值

...函數(shù)/(x)在X=0處取得極小值/(0)=1,不滿足題意

綜上所述，

函數(shù)在％=。處取得極大值時(shí)a的取值范圍為(-8,1)

(III)(0,1]

20.(本小題滿分15分)

YV21

已知橢圓C-T+==l(4>b〉0)的下頂點(diǎn)A和右頂點(diǎn)8都在直線4：y=—(%-2)上.

a~b~2

(I)求橢圓方程及其離心率；

(II)不經(jīng)過點(diǎn)6的直線L：y=丘+機(jī)交橢圓C于兩點(diǎn)P,Q，過點(diǎn)尸作工軸的垂線交4于

點(diǎn)。，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為E.若E,3,Q三點(diǎn)共線，求證：直線4經(jīng)過定點(diǎn).

【解析】

(I)因?yàn)闄E圓的下頂點(diǎn)A和右頂點(diǎn)B都在直線4:y=g(x-2)上,

所以下頂點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,-1),右頂點(diǎn)3坐標(biāo)為(2,0)

即：a=2,b=1

由：a2=Z?2+c2

得：c=V3

所以橢圓的方程為三+丁=1,離心率e=￡=且

4-a2

(II)設(shè)點(diǎn)尸(%”y),Q(x2,y2)

，2一

聯(lián)立了+y=1

y=kx+m

整理得：(1+4Z:2)x2+Shwc+4m2-4=0

A=(Ak2nr-4(4公+l)(4m2一4)>0,M4Zr2+l>m2

-Skm4m2-4

1-1+4公1-l+4k2

由題意：O(x”g(X|-2)),E(%],%-2-y)

_x,-2-y,—%

KK

BE-%]一R2'BQ~/-2C

若及民。三點(diǎn)共線，則怎E=%BQ

gp.%-2-y=%

Xj—24-2

整理:(X1-2)y2-(%1-2-^])(x2-2)=0

代入y}=kx]+m,y2=kx7+m

得：(再—2)(^x2+tii)—(石—2—kx、—〃z)(%2—2)=0

整理得:(2k-1)玉％2+(m-2k+2)(再+x2)-4(m+l)=0

代入韋達(dá)定理：(2左一1)細(xì)＜+(加一2左+2)衛(wèi)勺一4(m+1)=0

1+4K1+4K

整理得：(2女+機(jī))(2￡+僧+1)=