第三章 函數 綜合（同步）-高中數學人教B版（2019）必修第一冊

第三章函數

一、單選題

/、[1,xeQ,/、

i.狄利克雷函數是高等數學中的一個典型函數：若/(》)=八A；則稱y=/a)為狄

[U,XG

利克雷函數.給出以下四個命題：

①對任意xeR,都有〃〃x))=l;

②對任意為、WeR,都有|/怠)—/(動歸1；

③對任意王、X26R,都有/(百+*2)=/(毛)；

④對任意xeR,者K有/(x)+f(-x)=。.

其中，真命題的序號是()

A.①@B.①②C.②④D.③④

2.已知函數/(x)=x-〃?6+5,當時，〃x)>l恒成立，則實數〃?的取值范圍為

()

A.1-8,5B.(3,5)C.(3,4)D.(^0,5]

3.若“太2],使2dTx-1<0成立”是假命題，則實數2的取值范圍是()

A.(-8,—JB.-]C.(-00,1]D.[g,+8)

4.已知不等式x-K+女>o對任意的正整數化成立,則實數x的取值范圍為()

X—k+1

A.(F,-2)U(2,3)B.18,_?“2,3)

C.(f—2)|J(3,4)D.卜8；-1[U(3,4)

5.已知函數/(x)是定義在R上的偶函數，且〃1-幻=-/(1+幻，/(0)=1,則

/(0)+/(1)+--.+/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2020

6.在直角坐標系中，函數y=/r(。為大于0的常數)所表示的曲線叫箕舌線.則箕舌

%+。一

線可能是下列圖形中的()

7.若/(x),g(x)都是奇函數，iLF(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+00)上有最大值8,則F(x)

在(-8,0)上有()

A.最小值-8B.最大值-8C.最小值-6D.最小值-4

8.已知是偶函數，它在［(),”)上是增函數.若則x的取值范圍是

()

A.曲)B.|焉?(10.?)C.(Qo)D.(0,1)510,網

二、多選題

9.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，是解析數論的創(chuàng)始人之一，以其命名的

函數=:署署］，稱為狄利克雷函數，則關于f(x),下列說法正確的是()

A.“X)的值域為［0,1］

B.的定義域為R

C.VxwR,/(/(x))=l

D.任意一個非零有理數T,/(x+T)=/(x)對任意xeR恒成立

10.關于函數〃x)=|ln|2-x||,下列描述正確的有()

A.函數/(x)在區(qū)間(1,2)上單調遞增

B.函數y=的圖象關于直線x=2對稱

C.若公二電，但/(玉)=/(々)，則%+々=4

D.函數/(x)有且僅有兩個零點

—x+2,x<1

11.已知/(幻二%,。,(常數ZwO),則()

—+k+2,x>l

、龍

A.當2>0時，在R上單調遞減

B.當時，f(x)沒有最小值

C.當％=-1時，f(x)的值域為(0,+8)

D.當％=-3時，>1,3x,<1,有/(%)+/(々)=0

12.下列說法正確的是()

A.若方程/+(“-3)x+a=0有一個正實根，一個負實根，則。<0

B.函數y(x)=收-1+Qi-x2是偶函數,但不是奇函數

C.若函數y(x)的值域是[―2,2J,則函數人元+1)的值域為[-3,1]

D.曲線y=|3一和直線y=a(adR)的公共點個數是相，則，"的值不可能是1

三、填空題

13.定義在義1,1)上的函數〃X)滿足f(x)=g(x)-g(-x)+1,對任意的西€(-1,1),X產々，

恒有卜a)-/優(yōu))](%一w)>0，則關于X的不等式/(2x+D+/(%)>2的解集為

14.已知函數/(x)=|x+l|-|x-3],若對VxeR,不等式/(為〈機恒成立，則實數小的取值

范圍是.

15.已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+l)=I，當xe(0,l]時，/?=2\則

f(x)

3

/(log,—)+/(2018)=.

Io

[X,X<1,

16.設函數"力=/八2,,則不等式f(l—|x|)+/(2)>0的解集為______.

+1,X>1,

四、解答題

已知函數/")=胃?是定義在(-11)上的奇函數，且/2

17.

(1)確定函數/(x)的解析式;

(2)用定義法證明/(x)在(-U)上是增函數;

(3)解關于x的不等式/(x—l)+〃x)<0.

V+h

18.已知函數y=(〃、匕為正實數)的圖像是中心對稱圖形，求它的對稱中心的坐標.

19.已知函數“力=黑巳是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數，且〃1)=|.

(1)用定義證明函數f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調遞增；

(2)解不等式/(后+1)+/(2機—2)>0.

20.已知f(x)是定義在12,2]上的奇函數，且當xe[-2,0)時，/(A:)=X2-X.

(1)求函數“X)在[-2,2]上的解析式；

⑵若的-9對所有xe[-2,2],ae[T,l]恒成立,求實數機的取值范圍.

21.定義在上的函數〃x）滿足：對任意的x,y?-Li）,都有f（x）+〃y）=/［肅J.

（1）求證：函數”X）是奇函數；

（2）若當xe（—l,O］時，有/（力＞0,求證：在（一1,1）上是減函數；

⑶在（2）的條件下，若嗎,—〃力/一20一］對所有xe一器，恒

成立，求實數，的取值范圍.

22.某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產中排放的二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品.已知

該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）

之間的函數關系可近似地表示為＞'=^X2-200X+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用

的化工產品價值為100元.

（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼

多少元才能使該單位不虧損？

參考答案

1.B

【分析】

根據狄利克雷函數的定義，然后討論x是有理數和無理數兩種情況，進而判定各個答案.

【解析】無論X是有理數或是無理數，/(X)的值必為有理數，因此/(/(x))=l恒成立，所

以①對；

對任意內、的值只能為0或1,所以②對；

當為為無理數，々為有理數時，為+看為無理數，因此f(x+w)=O,/(電)=1,所以③錯;

當X為有理數時，-X也為有理數，因此/(x)+〃-x)=2,所以④錯.

故選：B.

2.C

【分析】

通過換元令t=?，函數可變?yōu)間⑺=/—〃4+5將“X)>1恒成立可轉化為g⑺>1在1VY3

上恒成立.即y=r-〃?t+4,te［l,3］大于0恒成立，通過對加與區(qū)間［1,3］之間的關系討論得

出結果.

【解析】令"五，貝岫14x49,得1叩,3］.由題意，得

g(r)=」-w+5=，-￡］+54>l在［L3］上恒成立，故有①當宇1，即

心42時,函數g(f)在［1,3］上單調遞增，式%“=g⑴=6-m,由6>1,得加<5,因

此〃區(qū)2.

②當1音<3,即2cm<6時，g(/)min=g(￡)=5由5>1,得因此

2<m<4.

③當葭23,即加26時，函數g(。在［1,3］上單調遞減，g(①n=g(3)=14-3加，由

13

14—3m>1,得加<不，與相>6矛盾.

綜上，m<4.

故選：C.

3.C

【分析】

等價于Wxe口，2],4,2x-L恒成立，令/(x)=2x」，xe[l,2],求出/(幻而,，最小值即得

XX

解.

【解析】解:若“二日1,2],使得2d一尢―1<0成立，，是假命題，

即“玉e[l,2],使得2>2x-‘成立”是假命題，

X

故Vxe[l,2],〃2x-L恒成立，

X

令〃x)=2x-」，xe[l,2],所以f(x)是增函數(增函數+增函數=增函數)，

X

所以f(X)mE=〃l)=l，

???4,1,

故選：C.

4.A

【分析】

(22

由題意轉化條件得「x>k，-;3k或ix<k-3k對任意的正整數人成立，在同一直角坐標系內

[X>AC-1

作出函數)，=f—3x(xNl)與y=x-1(x21)的圖象，并標出x取正整數的點，數形結合即可

得解.

【解析】不等式.一內+弘>0對任意的正整數后成立,

X-Z+1

a矛+3&>0或x-k2+3k<0

對任意的正整數k成立,

x—%+1>0x-Z+l<0

x>k2-3k_^\x<k2-3k

或V對任意的正整數人成立,

x>k-\x<k-\

在同一直角坐標系內作出函數丁=幺-3萬(尤21)與丁=彳-1(工21)的圖象，并標出x取正整數

的點，如圖:

數形結合可知，若要使kv>1k2_3一k或x對<A?任—3k意的正整數k成立,

則xe(f,-2)U(2,3).

故選：A.

【點睛】

本題考查了分式不等式的求解及二次函數圖象的應用，考查了轉化化歸思想與數形結合思

想，屬于中檔題.

5.C

【分析】

由函數的奇偶性和川-x)=-f(1+x)可得〃x)是周期為4的函數，分別求得

/⑴，〃2),〃3),進而根據函數的周期性求解即可.

【解析】由題，因為/(x)是定義在R上的偶函數，所以x)=〃x),

因為/'(1一》)=一/(1+幻,所以/(尢-1)=—/(1+工),則/(》一2)=-/(外，

所以“X-4)=-/(x-2)=/(x),所以是周期為4的函數，

因為/。)=一/。),所以/(1)=0;

因為〃2)=-〃0)=-1,/(3)=/(-1)=八1)=0,

所以〃0)+/?⑴+f(2)+/(3)=0,

所以“0)+/(1)+…+/(2020)=505[〃0)+〃1)+/(2)+〃3)]+〃0)=505X0+1=1,

故選:C

【點睛】

本題考查利用函數的奇偶性和對稱性判斷函數周期性,考查利用函數周期性求值.

6.A

【分析】

首先判斷函數的奇偶性，再判斷函數的單調性，最后根據特殊值即可判斷；

【解析】解：因為丫=/("=/方定義域為R,―=故

函數y=〃X)=Y^為偶函數，圖象關于y軸對稱，故排除D;

X-+a~

又函數y=f在(0,+⑹上單調遞增，函數y=勺%>0)在(0,+8)上單調遞減，

根據復合函數的單調性可得函數/")=*了在(0,+8)上單調遞減，故排除B；

當x=0時，f(0)=1^=a>0,故排除C；

0'+?'

故選：A

【點睛】

本題考查函數圖象的識別，函數的單調性與奇偶性的應用，屬于中檔題.

7.D

【分析】

由題意，得到/(力-2=4(力+像(同是奇函數，再結合題設條件和函數的奇偶性，即可求

解.

【解析】由題意,F(x)=>(x)+-(x)+2,可得*x)—2=/'(x)+bg(x)

函數〃x),g(x)都是奇函數，

所以b(—x)-2=4(f)+bg(-X)=-{af(x)+bg(x)]=T尸(x)-2],

所以*x)—2=4(力+像(可是奇函數，

又由F(x)在(0,+s)上有最大值8,即尸(力48,所以F(x)—246,

當XC(T?,O)時，則-xe(0,+oo),

則F(—力一246,即一[/(同一2]46,所以尸(x)—22-6,即E(x)NY,

所以當xe(y),0)時，尸(x)有最小值T.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了函數奇偶性的應用，以及函數值及其意義，其中解答中根據函數的奇偶性的

性質，構造新函數尸(x)-2=4(x)+像(x)為奇函數是解答的關鍵，著重考查了推理與運算

能力，屬于基礎題.

8.C

【分析】

利用偶函數的性質將不等式變形為可愴可<〃1),再由函數y=/(x)在

[0,+w)上的單調性得出|也可<1,利用絕對值不等式的解法和對數函數的單調性即可求出結

果.

【解析】由于函數y=/(x)是偶函數，由/(lgx)</(—l)得/(|愴X)</(1)，

又???函數y=/(x)在[0,長。)上是增函數，則即解得自<x<10.

故選：C.

【點睛】

本題考查利用函數的單調性和奇偶性解不等式，同時也涉及了對數函數單調性的應用，考查

分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

9.BCD

【分析】

根據分段函數的解析式和函數的性質逐一判斷可得選項.

(1%=為有理數

【解析】因為函數f(x)=0x=為無理數，所以/(X)的值城為｛0,1｝，故A不正確；

因為函數〃X)=0:二端無理數，所以/(X)的定義城為R，故B正確；

因為VxeR,f(x)e{0,l},所以f(/(x))=l,故C正確;

對于任意一個非零有理數T,若x是有理數，則x+T是有理數；若x是無理數，則x+T是無

理數，根據函數的解析式，任取一個不為零的有理數T,都有/(x+T)=/(x)對任意xeR恒

成立，故D正確，

故選：BCD.

10.ABD

【分析】

畫出函數的圖像，根據圖像分析判斷即可

【解析】函數〃x)=|ln|2-刈的圖像如圖所示：

由圖可得：函數/(X)在區(qū)間(1,2)上單調遞增，故A正確；

函數y=/(x)的圖像關于直線x=2對稱，故B正確；

若入尸々，但/(芭)=/(々)，則當％>2,々>2時，%,+x2>4,故C錯誤；

函數/(x)的圖像與x軸有且僅有兩個交點，故D正確.

關鍵點點睛：此題考查函數與方程的綜合應用，考查函數的性質的應用，解題的關鍵是畫出

函數圖像，根據圖像求解即可,，考查數形結合的思想，屬于中檔題

11.BD

【分析】

根據不同的左值，研究函數的單調性、最值與值域等，從而可判斷各選項.

【解析】％>0時，-1+2=1,彳+/+2=2&+2,2k+2>\,f(x)在R上不是減函數，A錯;

由上面討論知Q0時，〃x)在［1,+8)上是減函數，無最小值.而x<l時/(x)=-x+2遞減,

也無最小值，因此/(x)無最小值,

當時，x>l,f(x)——F&+2是增函數，/⑴=2左+2,但2%+2>1,不是/(X)的

zx

最小值，

綜上，f(x)無最小值，B正確；

4=一1時，x<l,/(X)=-X+2G(1,+OO),

xNl時，f(x)=-」-l+2=-L+l是增函數，/(1)=0,/(%)=--!-+16[0,1),

XXX

???/(X)的值域是[O,l)u(L”),C錯；

女=-3時.，xNl時，/(x)=---le[-4,-l),而x<l時，/(%)=-%+2e(l,+oo),

x

(1,4]￡(1,4W),因此％21,3X2<1,使得/(西)+/(々)=0.D正確.

故選：BD.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查分段函數的單調性與值域，解題關鍵中根據上的不同取值，確定函數

的單調性，由單調性確定函數的值域.從而判斷各選項.

12.AD

【分析】

對A,結合韋達定理判斷；對B,先判斷定義域，再結合奇偶函數定義判斷；對C,結合函

數平移特點可判斷錯誤；對D,畫出/(》)=|3-丹的圖像，采用數形結合方法判斷即可

【解析】設方程/+(a—3)x+a=0的兩根分別為xi,X2,則xrX2=a<0,故A正確；

函數加+Jl-f的定義域為，:；-?則*=±1,.\/U)=0,所以函數兀t)既是奇

1-x>0,

函數又是偶函數，故B不正確；

函數7U+1)代表函數/(可向左平移一個單位，故人x+1)的值域與函數人的的值域相同，故

C不正確；

曲線y=|3一燈的圖像如圖，由圖知曲線y=|3—和直線y=“的公共點個數可能是2,3或

4,故D正確.

故選：AD

【點睛】

關鍵點睛：本題考查一元二次方程根與系數的關系，奇偶函數的判斷，函數圖像的平移與值

域的判斷，數形結合法判斷交點問題，綜合性強，解題關鍵在于：

(1)學會應用韋達定理處理兩根之和與兩根之積對應的系數問題；

(2)奇偶函數的判斷，一定要先判斷定義域，再根據〃-x)與“X)關系判斷即可；

(3)當函數圖像發(fā)生左右平移時，函數值域不變；

(4)數形結合法常用于處理兩函數圖像交點個數判斷問題.

13.(季)

【分析】

設/i(x)=/(x)-l=g(x)-g(-x),由已知不等式得函數f(x)是增函數，即得〃(X)是增函數，

又由函數表達式得函數為奇函數，不等式轉化為〃(X)的函數不等式，利用奇偶性變形，再

由單調性可解.

【解析】設〃(x)=f(x)-l=g(x)-g(-x),

因為對任意的西,々€(-l，l)，x產々，恒有[/(為)-f(w)](x_7)>0,

所以函數fM在以1,1)上為增函數,則h(x)在(-1,1)上為增函數,

又〃(-x)=g(-x)-g(x),而〃(x)=g(x)-g(-x),所以/z(x)+M-x)=O,

所以力(x)為奇函數，綜上，4(X)為奇函數，且在(-1,1)上為增函數,

所以不等式/(2x+1)+/(X)>2等價于f(2x+1)-1+/(x)-1>0,

即h(2x+l)+h(x)>0,亦即h(2x+1)>-h(x)=h(-x),

—1<2x+1<1,

可得一1<X<1,,解得-Q<X<。.

2x+l>-x,

故答案為：

14.［4,+<?)

【分析】

去絕對值將f(x)轉化為分段函數，求出其最大值，帆即可.

【解析】因為VxeR,不等式恒成立，則機2/。)皿,

-x-l-(3-x),x<-1-4,x<-l

/(x)=|x+l|-|x-3|=",x+l-(3-x),-l<x<3=<2x—2,—1<x<3,

x+l-(x-3),x>34,x>3

作出函數/(x)的圖象如圖:

所以機24,

所以實數”?的取值范圍是［4,+8),

故答案為：［4,+00)

5L

6

【分析】

依題意首先求出函數的周期，再結合周期及相關條件分別求得了(log,和“2018),進而

可得到結果.

【解析】函數/(?滿足：/(》+1)=7L，

可得：對VxwR,都有〃x+2)=Uy=/(x),

71/.函數/(x)的周期T=2.

總=〃1叫3-4)"(1暇3)=溫其=普=|,

由〃°)=赤=3得f(2018)=f(0)=g,

???{log高+/(2018)=|+>].

-7

故答案為：—■

0

【點睛】

結論點睛：定義在R上的函數/*),若存在非零常數。，使得對X/xeR,都有/(》+幻=7二,

f(x)

則函數f(x)的周期T=2a.

16.(-3,3)

【分析】

根據分段函數的單調性，把問題中的函數值大小比較轉化為自變量大小比較，從而求得解集.

【解析】由函數解析式知f(x)在R上單調遞增，且-/(2)=-2=/(-2),

則/(1-W)+〃2)>0n/(1-|動>-/(2)=/(-2),

由單調性知1-國>-2,解得xe(-3,3)

故答案為：(-3,3)

【點睛】

關鍵點點睛：找到函數單調性，將函數值大小比較轉化為自變量大小比較即可.

17.

⑴/(%)=—^-7

1+X

(2)證明見解析

⑶(0.1)

【分析】

(1)由f(O)=O,求得匕=0,再根據/(》=],求得。的值，即可求得函數的解析式.

(2)根據函數單調性的定義和判定方法，即可證得函數f(x)在區(qū)間(-1』)上是增函數.

(3)把不等式f(x—l)+f(x)<0轉化為f(x—l)=〃T),列出不等式組，即可求解.

(1)

(1)由題意，函數〃力=學岑是定義在(7,1)上的奇函數，

可得40)=0,即〃x)=b=0,可得6=0,即〃到=恐，

\_a

又由可得上「=叁，解得a=l,所以/(》)=三，

⑶51+(%51+x2

經驗證，此時滿足/(-x)=—/(x),所以函數/(x)為奇函數.

所以函數/(x)的解析式為/(力=品，

(2)

解：設內,%€(-1,1)且玉<多，

則/(蒼)-"々)=X,W=(王一%2)(1一中2)

1+工；1+考(1+內2)(1+《)，

2

因為歷,王W(—LD且看</，可得％-占<0A-X]X2>0,1+%(>0,l+Xj>0,

所以即/(x)</(w)，

所以函數/(X)在區(qū)間(T1)上是增函數.

(3)

(3)因為函數是定義在(T1)上的奇函數,

則不等式/(x-l)+F(x)<0可化為/(X-1)=-/(X)=F(T),

又因為函數/(X)在區(qū)間(-1,1)上是增函數,

x-\<-x

可得,解得0<x<；,即不等式的解集為(0,；)

18.對稱中心的坐標為

【分析】

設函數＞=￡幼(〃、〃為正實數)的圖像的對稱中心為C(機,〃)，進而根據定義域得

2-a

^=log2a,再根據點的對稱性求解得〃=f,進而得答案.

2a

【解析】解:記“X)=號2.設函數y=學2(a、b為正實數)的圖像的對稱中心為c(〃7,n).

2-a2-a

*4-h

因為函數y=-^——的定義域為(T?,log2a)U(log24+co)，所以機fog?。.

2-a

(2*+b\

由題意，對于函數圖像上任意一點PA;,,—,其關于點C的對稱點

、z一aJ

P'\2m-,2n-——也在函數y=的圖像上.

VXv2—a)2-a

所以42〃L%)=2〃-；、“+?，即2"-；=；2,吁、“+6對任意xe(-oo,log2a)u(log2?,+<?)

恒成立.

2^+h22gg2"*。+〃

將m=k>g2a代入上式，得2〃-二把.

2^-a2?鶴

a2,

?---Fb

記1=2”,整理得2〃一^一-=p——,即(2〃〃+/?—。)，=2W2—/+"對一切，￡(0,+00)恒成

-----a

2na+b-a=0iwna-b

立.所以解得〃F

Ina1-a2+ab=O'

綜上所述，函數二法nb為正實數)的對稱中心的坐標為(晦。，啜

19.

(1)證明見解析

(2)(72-1,1)

【分析】

(1)先求出/(X)的解析式，再利用定義法證明函數/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調遞增;

(2)利用單調性法解不等式，求出實數，”的取值范圍.

(1)

為定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數,

/./(0)=^=0,：.b=0.

又‘⑴=WH'?5L

QY—qV-

檢驗：當』，時‘小)=工,八-3

.../(x)為奇函數，符合題意,

???小)=言?

對任意的-2<X1<工2<2,

3x,3X3(%一玉)(4-辦々)

/(%)--(占)=2

x；+4x；+4(片+4)(W+4)?

-2<Xj<x2<2,

/.Xj-<0,x[x2<4,/.4-x1x2>0.

又#+4>0,x?+4>0,f(石)一。(電)<0.

函數〃x)在區(qū)間(-2,2)上單調遞增.

〃x)為定義在區(qū)間(-2,2)上的函數,

.—2<+1<2.

??<,,?0<772<1.

—2<2m—2<2

V/(;n2+l)4-/(2^-2)>0,且/(x)為定義在區(qū)間(—2,2)上的奇函數,

又/(%)在區(qū)間(-2,2)上單調遞增,

m2+1>2-2m,,,/??>\/2—1m<—y/2.—1?

綜上，實數〃7的取值范圍是

20.

x2-x,-2<x<0

(1)/(x)=<0,x=0

——x,0<xW2

(2)[-1,1]

【分析】

(1)利用奇函數的定義可得函數的解析式;

(2)由二次函數的性質可得函數/(x)的最小值，代入不等式，進而利用一次函數的性質列

不等式組，可得實數加的取值范圍.

(1)

因為函數/(x)為定義域上的奇函數，所以/(0)=0,

22

當x?0,2］時，-xe［-2,0),/(-x)=(-x)-(-x)=x+x,

因為f(x)是奇函數，所以/(一x)=-/(x)=d+x,

所以”X)=-x2-X,

x2-x,-2<x<0

所以〃x)=O,x=O

-x2-x,0<x<2

作出在區(qū)間［-2,2］上的圖象，如圖:

可得函數〃x)在［-2,2］上為減函數，所以/(x)的最小值為"2)=-6,

要使/(無)2加2-2加-9對所有工€［-2,2］,ae［-Ll］恒成立，

即-62癡2-2a/w-9對所有“w[-l,?亙成立，

令g(a)=_2ma+，〃2-3,?e[-l,l],

^(-l)=/w2+2/n-3<0f-3