2020高中數(shù)學(xué) 22 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（含解析）

課時分層作業(yè)（二十二）導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

（建議用時：40分鐘）

[_基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]

1.以長為10的線段力8為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積

的最大值為（）

A.10B.15C.25D.50

C[如圖，設(shè)/NO8=為則矩形面4—積s=5sin

0'2'5cos6=50sin0cos￡=25sin26,當(dāng)sin20=1時，函數(shù)取得最

大值此時夕，故

25,=45°5max=25.]

2.某箱子的體積與底面邊長x的關(guān)系為？（吊=?錯誤!（。＜^＜60）,

則當(dāng)箱子的體積最大時，箱子底面邊長為（）

A.30B.40C.50D.60

3

B[V（X）=—5/+60、=一錯誤!x（x—40）,

因?yàn)?＜牙＜60,所以當(dāng)0＜牙＜40叱V（x）＞0,此時P（x）

單調(diào)遞增；

當(dāng)40Vx＜60時，V（吊＜0,此時V{x）單調(diào)遞減，所以x=

40是的極大值，即當(dāng)箱子的體積最大時，箱子底面邊長為40o]

3.設(shè)底為正三角形的直棱柱的體積為匕那么其表面積最小時，

底面邊長為（）

A.B.錯誤！C.錯誤！D.2錯誤！

C[設(shè)底面邊長為x、側(cè)棱長為/則！/=錯誤!A2?sin60°-1,：.1

=錯誤！,「.S表=（?sin600+3?x?/=錯誤!幺+錯誤!,6表=錯誤!x—

錯誤!。令S表=0,.'.^—4^即X=錯誤!.又當(dāng)xC（0,錯誤!）時，S表

<0,當(dāng)x€（錯誤!，+8）時S表>0,...當(dāng)X=錯誤!叱表面積最小.]

4.某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可

以利用原有的墻壁（墻壁足夠長），其他三邊需要砌新的墻壁，若使

所用的材料最省,則堆料場的長和寬應(yīng)分別為（）

A.32米，16米B.30米，15米

C.64米,8米D.36米,18米

A[要使材料最省，則新砌的墻壁的總長度應(yīng)最短.設(shè)堆料場

寬為X米,則長為錯誤!米,因此新墻總長￡（x）=2x+錯誤!（x>0）,則L'

（x）=2一錯誤!。令￡'（x）=0,解得x=16（x=-16舍去）.故當(dāng)

x=16時，L（x）取得最小值，此時長為錯誤!=32（米）.]

5.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算,存款量與存款利

率的平方成正比，比例系數(shù)為《攵〉0）.已知貸款的利率為0。0486,

且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.設(shè)存款利率為x,xC

(0,0.0486),若使銀行獲得最大收益，則x的取值為(

A.0.0162B.0o0324

C.0.0243D.0o0486

B［依題意，得存款量是底，銀行支付的利息是h3,獲得的貸

款利息是0。0486^,其中xC(0,0。0486).

所以銀行的收益是y=0.0486&-&(0〈x<0.0486),則y'=

0.0972kx—3k?Q<x<0.0486).

令y'——0,得x=0.0324或x=0(舍去).

當(dāng)0VxV0.0324時，y>0；

當(dāng)0。0324Vx<0.0486時，y<0.

所以當(dāng)x=Qo0324時/取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.0324

叱銀行獲得最大收益.］

6.某商品每件的成本為30元，在某段時間內(nèi)，若以每件x元

出售，可賣出(200—匈件，當(dāng)每件商品的定價為元時，利潤

最大.

115［由題意知，利潤S(另=(x-30)(200—x)=—V+230x

-6000(30<x<200),所以S(x)=—2x+230。令S(x)=0,

解得x=115。

當(dāng)30<x<115時，S(A)>0；當(dāng)115〈xW200時,S(x)<0.

所以當(dāng)x=115時，利潤S(x)取得極大值，也是最大值.]

7.用長為18米的鋼條圍成一個長方體的框架，要求長方體的

長與寬之比為2:1,則該長方體的長、寬及高分別為時，

框架的體積最大.

2米、1米和錯誤!米[設(shè)長方體的寬為X米,則長為2x米，

_18-12%

高為=錯誤!一3源誤！,

則?2x?錯誤！=9d—6A3,

令M=18x—18A2=0,解得x=l,或x=0(舍去).

3

當(dāng)o〈x〈i時，V>0；當(dāng)ivx<5時，V<0

L-io

所以X=1時體積V取得極大值，也就是最大值，

此時長方體的長為2米，高為錯誤!米.]

8.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本。(x)=1200+錯誤!V(萬

元)，已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的

產(chǎn)品單價為50萬元，則產(chǎn)量定為件時，總利潤最大.

25[設(shè)產(chǎn)品的單價為夕萬元，根據(jù)已知，可設(shè)尸=錯誤!，其中

女為比例系數(shù).

因?yàn)楫?dāng)x=100時，0=50,所以斤=250000,

所以嚴(yán)=錯誤！，夕=錯誤！，X>0.

設(shè)總利潤為y萬元，

則J/=錯誤！?X—1200一錯誤!V

=500錯誤！一錯誤!f—l200o

求導(dǎo)數(shù)得，y=錯誤!一錯誤!A2.

令/=0得x=25.

故當(dāng)X<25時，y'〉0；當(dāng)X〉25時，y<0o

因此當(dāng)x=25叱函數(shù)y取得極大值，也是最大值.]

9.某工廠共有10臺機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力

和技術(shù)水平等因素限制，會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，

每臺機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P（萬件）與每臺機(jī)器的日產(chǎn)量x（萬件）

（4<xV12）之間滿足關(guān)系：P=0oIf—3.21nx+3.已知每生產(chǎn)1萬

件合格的元件可以盈利2萬元，但每產(chǎn)生1萬件次品將虧損1萬

元.（利潤=盈利一虧損）

（1）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤萬元）表示

為x的函數(shù)；

（2）當(dāng)每臺機(jī)器的日產(chǎn)量x（萬件）為多少時所獲得的利潤最大,

最大利潤為多少?

［解］⑴由題意得，所獲得的利潤為尸=10［2(x-P)-P］

=20x—3A2+961nx—90(4WxW12).

(2)由(1)知，y=錯誤!=錯誤!.

當(dāng)4Wx<6時，y>0,函數(shù)在［4,6］上為增函數(shù)；當(dāng)6Vx<12時，

y〈0,函數(shù)在［6,12］上為減函數(shù)，

所以當(dāng)x=6時，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大利潤為y

=20X6-3X62+961n6-90=961n6—78(萬元)

即當(dāng)每臺機(jī)器的日產(chǎn)量為6萬件時所獲得的利潤最大，最大利

潤為961n6-78萬元.

10.如圖所示，48。是正方形空地，邊長為30m,電源在點(diǎn)

夕處，點(diǎn)夕到邊4D,48距離分別為9m,3m.某廣告公司計(jì)劃在

此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF,MN：NE=16：9.線

段AW必須過點(diǎn)R端點(diǎn)"，N分別在邊力48上，設(shè)4N=xm,

2

液晶廣告屏幕戶的面積為5mo

⑴用含x的代數(shù)式表示AM;

⑵求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的定義域;

（3）當(dāng)x取何值時，液晶廣告屏幕7WEF的面積S最小？

［解］⑴力但錯誤?。?0VxW30）.

（2）=+=V+錯誤!.

班為MN：NE=\6：9,所以NE=錯誤!MV,

所以S=MN,NE=錯誤!兒兇=錯誤!錯誤!，定義域?yàn)椋?0,30］.

9

（3）S=77錯誤！=錯誤！X錯誤！,

16

令S=0,得x=9+3錯誤!或x=0（舍去）.

當(dāng)10Wx<9+3錯誤!時，S<0,S為減函數(shù)；當(dāng)9+3^!<X<30

時，S>0,S為增函數(shù)，

3

所以當(dāng)x=9+3#時，S取得最小值.

［能力提升練］

1.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品.若該

商品零售價定為夕元，銷售量為Q,則銷量Q（單位：件）與零售

價R單位：元）有如下關(guān)系：Q=8300—170〃一/,則最大毛利潤為

（毛利潤=銷售收入一進(jìn)支出）（）

A.30元B.60元

C.28000元D.23000元

D［毛利潤為(,一20)Q,

即=(P-20)(8300—170〃一〃)，

f'(乃=-3/一300〃+11700

=-3(P+130)(P-30).

令，(乃=0,得夕=30或夕=一130(舍去)，

當(dāng)20<P<30時，/(乃〉0,當(dāng)P>30時，f'(P)<0.

故當(dāng)夕=30時，毛利潤最大，

所以f(a)max=(30)=23000(元).］

2.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位

的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入火與年產(chǎn)量x的關(guān)系是H(吊

=1--+400^0WxW390,,90090x>390,則當(dāng)

總利潤最大叱每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()

A.150B.200

C.250D.300

D［由題意當(dāng)年產(chǎn)量為x時，總成本為20000+100x,

又總收入火與年產(chǎn)量x的關(guān)系是

R(X)=錯誤！

「?總利潤Q（吊=

錯誤！

即Q（X）=錯誤！

①當(dāng)0WxW390時，Q'（另=一錯誤!+300,令Q'（x）=0得x

=300,

由300VxW390得。（x）<0,此時Q（x）是減函數(shù)；

由0<x<300得Q'（x）>0,此時Q。）是增函數(shù)，

???當(dāng)0WxW390時，Q（吊max=<2（300）=40000（元）；

②當(dāng)x>390時，Q（吊=-100x+70090是減函數(shù)，

：.Q（x）<Q（390）=31090（元）；

.?.當(dāng)x=300時，Q（x）的最大值為40000。］

3.將邊長為1m的正三角形薄片沿一條平行于底面的直線剪成

兩塊，其中一塊是梯形，記5=錯誤!，則S的最小值是.

錯誤?。墼O(shè)剪成的小正三角形的邊長為X,

則S（勾=錯誤！=錯誤！?錯誤！

W（用=錯誤！?錯誤！=錯誤！?錯誤！，令S（匈=0（0<xVl），得X

1

=1。當(dāng)xW錯誤!時S（X）<0,S（刈單調(diào)遞減;當(dāng)xC錯誤!時，S（X）

>0,S（?單調(diào)遞增，故當(dāng)x=錯誤!時，S取得最小值，是錯誤!.］

4.已知某商品生產(chǎn)成本。與產(chǎn)量夕的函數(shù)關(guān)系式為。=100+

4夕，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為0=25—錯誤!夕。則產(chǎn)量q為

時，利潤/最大.

84[“攵入尺=族=州誤！=25g一錯誤！/。

利潤￡=尺一0=錯誤!一(100+4功=一錯誤!一+219—100(0<夕<

200),

法一：C=一錯誤!g+21,令￡'=0,即一錯誤!g+21=0,解得q

=84.

當(dāng)0<g<84時，￡'>0;當(dāng)84VgV200時，t<0,

所以當(dāng)夕=84時，/取得最大值，即產(chǎn)量為84時，利潤上最大.

法二：L——錯誤!+21g—100

=一錯誤！(/—168g+84^+錯誤！一100

=一錯誤！(q-84)2+782(0<q<200),

所以當(dāng)夕=84時，/取最大值782。

故產(chǎn)量為84時，利潤上最大.]

5.經(jīng)過多年的運(yùn)作，“雙十一”搶購活動已經(jīng)演變成為整個電

商行業(yè)的大型集體促銷盛宴.為迎接2019年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié)，

某廠家擬投入適當(dāng)?shù)馁M(fèi)用，對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷.經(jīng)調(diào)查測算，

該促銷產(chǎn)品在“雙十一”期間的銷售量P萬件與促銷費(fèi)用X

2

(0<a,a為正常數(shù))萬元滿足夕=3—~^■.已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品夕

萬件需投入成本(10+20)萬元(不含促銷費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷售價格定

為錯誤!元/件，假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求.

(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；

(2)投入促銷費(fèi)用多少萬元時，廠家獲得的利潤最大？

［解］(1)由題意知尸=錯誤!p—x—(10+20)=2p—x-\-10,

將0=