工程力學(xué)課件

1研究對(duì)象被抽象為剛體，暫不考慮其變形，為研究力系的平衡提供了極大的方便。--形狀和大小不變，且內(nèi)部各點(diǎn)的相對(duì)位置也不變的一種物體理想模型。剛體研究剛體在力系作用下的平衡問(wèn)題。剛體靜力學(xué)若干定義：剛體靜力學(xué)基本概念與理論2(3)應(yīng)用平衡條件解決工程中的各種問(wèn)題。(2)平衡條件—建立物體處?kù)镀胶鉅顟B(tài)時(shí)，作用在其上各力組成的力系所應(yīng)滿足的條件。(1)受力分析—分析作用在物體上的各種力弄清被研究對(duì)象的受力情況?；締?wèn)題：返回主目錄32.1力單位：NorKN；

力不可直接度量?？梢远攘康氖瞧湫?yīng)，作用效應(yīng)相同，則力系等效。定義：力是物體間的相互作用，作用效應(yīng)是使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化（外）或使物體變形（內(nèi)）。1.基本概念作用力和反作用力：力是成對(duì)出現(xiàn)的，作用在不同的物體上，等值、反向、共線。力是向量：

力的作用效果，取決於大小、方向、作用點(diǎn)。剛體--不考慮內(nèi)效應(yīng)；則力可沿其作用線滑移。三要素成為力的大小、方向和作用線。因此，對(duì)於剛體而言，力是滑移矢。力的合成滿足向量加法規(guī)則。

若干個(gè)共點(diǎn)力，可以合成為一個(gè)合力。返回主目錄42.共點(diǎn)力的合成用幾何法求匯交力系合力時(shí)，應(yīng)注意分力首尾相接，合力是從第一力的箭尾指向最後一力的箭頭。幾何法：用平行四邊形法則進(jìn)行合成和分解。

FR=F1+F2+…+Fn=

FOa)平行四邊形法則F2F1FRb)力三角形F2FRd)力多邊形F1OF5Oc)匯交力系F4F2F1F3OF1F2F4F3F5FR5

F2q20

F1FR故可知：

=70

時(shí)，F(xiàn)2最小。且可求得：F1=940N,F2=342N。例2.1圖中固定環(huán)上作用著二個(gè)力F1和F2，若希望得到垂直向下的合力F=1kN，又要求力F2盡量小，試確定

角和F1、F2的大小。解：力三角形如圖。有F2/sin20

=F/sin(180

-20

-

)F1/sin

=F/sin(180

-20

-

)

dF2/d

=-Fsin20

cos(160

-

)/sin2(160

-

)=0由F2最小的條件，還有q20

FRF1F26

解析法（投影求和法）力F在任一軸x上的投影，等於力的大小乘以力與軸正向夾角的余弦。有：

Fx=Fcos

力的投影是代數(shù)量。或者：力在任一軸上投影的大小等於力的大小乘以力與軸所夾銳角的余弦，其正負(fù)則由從力向量起點(diǎn)到終點(diǎn)的投影指向與軸是否一致確定。aFx力在任一軸上的投影Fx7y

xFO

力在任一軸上的投影大小都不大於力的大小。而分力的大小卻不一定都小於合力。力在任一軸上的投影可求，力沿一軸上的分量不可定。xFOFx分力Fx=？討論：力的投影與分量可見(jiàn)，力F在垂直坐標(biāo)軸x、y上的投影分量與沿軸分解的分力大小相等。力F在相互不垂直的軸x、y'上的投影分量與沿軸分解的分力大小是不相等的。FxyOxFy

OFyFxFyFxFyFx8合力投影定理：合力在任一軸上的投影等於各分力在該軸上之投影的代數(shù)和。

表示合力FR與x軸所夾的銳角，合力的指向由FRx、FRy的符號(hào)判定。

ac-bc=ab由合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy合力的投影abcFRF1xF2正交坐標(biāo)系有:;RxRxFF=RyRyFF=合力:FRxxyFRyFRa9例2.3求圖示作用在O點(diǎn)之共點(diǎn)力系的合力。FRx=

Fx=-400+250cos45

-200×4/5=-383.2NFRy=

Fy=250cos45

-500+200×3/5=-203.2N解：取座標(biāo)如圖。合力在坐標(biāo)軸上的投影為：35445F3=500NF4=200NyxOF2=250NF1=400N

FR合力為：

=433.7N;

=arctg(203.2/383.2)=27.9

在第三象限，如圖所示。22RyRxRFFF+=yxOF2F3F4F1

FR103.二力平衡:二力桿或二力構(gòu)件:

只在二點(diǎn)受力而處?kù)镀胶獾臒o(wú)重桿或無(wú)重構(gòu)件。ABCF三鉸拱BC二力桿推論：在力系中加上或減去一平衡力系並不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效果。若剛體在二個(gè)力的作用下處?kù)镀胶?，則此二力必大小相等、方向相反、且作用在兩受力點(diǎn)的連線上。FCFBABOAB棘爪棘輪返回主目錄112.2力偶（又一基本量）作用在同一平面內(nèi)，大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩個(gè)力。1.基本概念力偶使剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。作用效應(yīng)度量轉(zhuǎn)動(dòng)作用效應(yīng)的物理量。單位為N.m或kN.m在平面內(nèi)，M是代數(shù)量，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。力偶矩力偶的作用平面、轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小，可以用一個(gè)向量（力偶矩矢M）來(lái)描述。力偶的三要素FF’hoxyM返回主目錄122.平面力偶的等效與合成b)在保持力偶矩不變的情況下，可以任意改變力和力臂的大小。由此即可方便地進(jìn)行力偶的合成。

平面力偶等效定理同一平面內(nèi)的二個(gè)力偶，只要其力偶矩相等，則二力偶等效。a)力偶可以在剛體內(nèi)任意移轉(zhuǎn)。即力偶矩矢M的作用點(diǎn)可以在平面上任意移動(dòng)，力偶矩矢是自由矢。推論60N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.m13c）平面力偶系的合成若干個(gè)力偶組成的力偶系，可以合成為一個(gè)合力偶。平面力偶系的合力偶之矩等於力偶系中各力偶之矩的代數(shù)和。

M=

Mi合力偶定理F1h1F2h2h1F1+h1F2h2M=F1h1+F2h214比較：使物體沿力的作用線移動(dòng)。使物體在其作用平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。力力偶力是向量（滑移矢）力偶是向量(自由矢)平面力偶是代數(shù)量共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)合力。平面力偶系可合成為一個(gè)合力偶。合力偶定理:

M=

Mi合力投影定理有：

FRx=F1x+F2x+…+Fnx=

FxFRy=F1y+F2y+…+Fny=

Fy

返回主目錄152.3約束與約束力W運(yùn)動(dòng)受到限制的物體。吊重、火車、傳動(dòng)軸等。非自由體：限制物體運(yùn)動(dòng)的周圍物體。如繩索、鐵軌、軸承。約束：約束作用於被約束物體的力。約束力：是被動(dòng)力，大小取決於作用於物體的主動(dòng)力。作用位置在約束與被約束物體的接觸面上。作用方向與約束所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。FT返回主目錄16W1)可確定約束力方向的約束約束力只能是沿柔性體自身的拉力。約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。柔性約束:FT2FT1FT1FT2FT1FT2171)可確定約束反力方向的約束約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。W0G光滑約束（接觸面法向壓力）G1G2FNFN約束反力是沿接觸處的公法線且指向物體的壓力。光滑約束:FN1FN2FN1FN2FN3181)可確定約束反力方向的約束約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。約束反力是沿接觸處的公法線且指向物體的壓力。光滑約束:節(jié)圓20°20°壓力角FNF

N192)可確定約束反力作用線的約束反力作用線過(guò)鉸鏈中心且垂直於支承面，指向待定約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。滾動(dòng)支承（滾動(dòng)鉸）：滾動(dòng)(鉸)支承AAFA可動(dòng)鉸BFBCFC滾動(dòng)支座202)可確定約束反力作用線的約束滑道滑塊導(dǎo)軌滑套約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。約束反力垂直於滑道、導(dǎo)軌，指向亦待定?；?、導(dǎo)軌：二力構(gòu)件:二力沿作用點(diǎn)連線,指向亦待定。FNFNBCG二力桿AFCFA21AA固定鉸鏈3)可確定作用點(diǎn)的約束約束反力RA，過(guò)鉸鏈中心。大小和方向待定，用XA、YA表示。約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。固定鉸鏈：約束力可與固定鉸同樣表示。中間鉸：中間鉸CFCyFCxxyFAFAxFAyFAxFAy22ABAA空間球鉸一對(duì)軸承固定端4)幾種常見(jiàn)約束約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。反力是過(guò)球鉸中心的FAx、FAy、FAz三個(gè)分力?？臻g球鉸共五個(gè)反力。允許繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)；x方向有間隙。一對(duì)軸承限制所有運(yùn)動(dòng)，有六個(gè)反力。固定端FAzFAyFAxFAxFAzFAyFBzFByFAzFAyMxMyMz23ABAA平面如果討論的是x、y平面內(nèi)的問(wèn)題，則：約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。指向不能確定的約束反力，可以任意假設(shè)。若求解的結(jié)果為正，所設(shè)指向正確；為負(fù)則指向與假設(shè)相反。固定端用二個(gè)反力限制移動(dòng)，一個(gè)反力偶限制轉(zhuǎn)動(dòng)。空間球形鉸鏈

相當(dāng)於固定鉸，反力用FAx、FAy二分力表示.一對(duì)軸承則只有三個(gè)反力。FAyMAFAxFAyFAxFAyFAxFBy返回主目錄242.4受力圖將研究對(duì)象（物體或物體系統(tǒng)）從周圍物體的約束中分離出來(lái)，畫(huà)出作用在研究對(duì)象上全部力（主動(dòng)力和約束力）的圖，稱為受力圖或分離體圖。畫(huà)受力圖是對(duì)物體進(jìn)行受力分析的第一步，也是最重要的一步。畫(huà)受力圖時(shí)必須清楚：研究對(duì)象是什麼？將研究對(duì)象分離出來(lái)需要解除哪些約束？約束限制研究對(duì)象的什麼運(yùn)動(dòng)？如何正確畫(huà)出所解除約束處的反力？返回主目錄25例2.4球G1、G2置於牆和板AB間，BC為繩索。畫(huà)受力圖。注意FK與FK

、FE與FE

…間作用力與反作用力關(guān)係。還要注意，部分受力圖中反力必須與整體受力圖一致。未解除約束處的系統(tǒng)內(nèi)力，不畫(huà)出。G1(b)(c)G2G2G1AB(d)(e)ABG2G1ABC(a)G1G2

D

E

H

KFAxFAyFTFDFKFDFEFDFHFEF

KFHFDFAxFAyFTFAxFAyF

HF

EFT26例2.5連桿滑塊機(jī)構(gòu)如圖，受力偶M和力F作用，試畫(huà)出其各構(gòu)件和整體的受力圖。注意，若將個(gè)體受力圖組裝到一起，應(yīng)當(dāng)?shù)玫脚c整體受力圖相同的結(jié)果。力不可移出研究對(duì)象之外。AMBCFBC解:研究系統(tǒng)整體、桿AB、BC(二力桿)及滑塊C。AMBCFFAyFAxFCFBCFCBFAyFAxF

BCF

CBFC27例2.6試畫(huà)出圖示梁AB及BC的受力圖。ABCFqCFqFAyFAxMAFByFBxFAyFAxMAFCF

ByF

BxFC28正確畫(huà)出受力圖的一般步驟為：取研究對(duì)象，解除其約束，將研究對(duì)象分離出來(lái)畫(huà)出已知外力(力偶),按約束類型畫(huà)出約束反力是否有二力桿注意作用力與反作用力的關(guān)係注意部分與整體受力圖中同一約束處反力假設(shè)的一致性關(guān)鍵是正確畫(huà)出所解除約束處的反力。反力方向與約束所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。29受力圖討論1：FAＢＣＤFDFＡ30受力圖討論2：BCFABCDEFAyFAxMAF

DBF

CEFAyFAxMAFDAEFDEFFCEDF

DEFDBFDA31DC---二力桿？受力圖討論3：DCACABABCFDFACFCAFDxFDyFF

CAFAxFAyF

DyF

DxFBFAxFAyFB？ABFAxFAyF

DyF

DxFBF

ACFAxFAyFABxFAByF

AC32習(xí)題：2-1;2-5;2-6;2-7

再見(jiàn)返回主目錄332.5平面力系的平衡條件研究思路：受力分析如何簡(jiǎn)化？共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力力偶系可合成為一個(gè)合力偶力向一點(diǎn)平移力系的簡(jiǎn)化平衡條件一般力系xyM2M1問(wèn)題：如何將力移到同一個(gè)作用點(diǎn)上？或者說(shuō)力如何移到任一點(diǎn)O？OF返回主目錄342.5平面力系的平衡條件作用在剛體上力的F，可以平移到其上任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一力偶，力偶矩等於力的大小乘以點(diǎn)到力作用線間的距離。2.5.1力對(duì)點(diǎn)之矩1.力的平移定理OFOF'F''hFoM=FhF352.力對(duì)點(diǎn)之矩力F平移，等效變換成作用在O點(diǎn)的力F

和力偶M。力偶矩M=Fh，是力F使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。力臂h為點(diǎn)O（矩心）到力F作用線的垂直距離。

注意力和力偶對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果的差別。故力F對(duì)任一點(diǎn)O之矩(力矩)為:OF'F''hF力對(duì)點(diǎn)之矩與點(diǎn)有關(guān)；若力過(guò)O點(diǎn)，則MO(F)=0。力矩是代數(shù)量，逆時(shí)針為正。36合力矩定理：合力對(duì)點(diǎn)之矩等於其各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。直接求力矩：MO(F)=F.d=F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb=F(Lsina+bcosa+asina)=MO(F)利用合力矩定理：OaF求MO(F)FxFy37推論：力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩就等於該力偶矩。注意：力偶在任一軸上的投影為零。MO(F)+MO(F

)=F

AO+F

BO=F

AB=M

F

F

OAB力偶有:F=F

;F//F

請(qǐng)自行證明:Fx+Fy

=0

xF

F

382.5.2平面一般力系的簡(jiǎn)化

若作用於物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱為平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用線匯交於同一點(diǎn)(不含力偶)匯交力系:平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1匯交力系yxA平行力系yxM339平面一般力系，向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力FR'（主矢）,即：

FR'=F1+F2+…+Fn=

Fi或用解析法寫(xiě)為:FR

x=F1x+F2x+…+Fnx=

Fx

FR

y=F1y+F2y+…+Fny=

Fy注意：FR'與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置選取無(wú)關(guān)。得到一個(gè)匯交於O點(diǎn)的共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OFR'MO40力偶系可合成為一個(gè)合力偶，合力偶之矩MO是各力偶之矩的代數(shù)和。即:

MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=

MO(Fi)FR'M0O平面一般力系力主矢FR

力偶主矩MO

簡(jiǎn)化力？平移MO稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩，顯然，MO與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置有關(guān)。h=M0/FR

FRA41

情況向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果分類 主矢FR'

主矩MO（與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)）討論1平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果yxOFR'MOFRh3 FR

0MO=0合力FR=FR

，作用線過(guò)O點(diǎn)。2 FR'=0MO

0 一個(gè)合力偶，M=MO。1 FR’=0MO=0 平衡狀態(tài)（力系對(duì)物體的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果均為零）。4FR‘

0MO

0一個(gè)合力，其大小為FR=FR

，

作用線到O點(diǎn)的距離為h=MO/FR'FR在O點(diǎn)哪一邊，由LO符號(hào)決定平面力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶饬ο怠?2例：求圖示力系的合力。FR

x=

Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5kNFR

y=

Fy=-3F2/5-4F3/5+F4

=-6-12+8=-10kN合力FR=FR

=11.1kN；作用線距O點(diǎn)的距離h為：

h=M0/FR

=1.09(m)；

位置由Mo

的正負(fù)確定，如圖。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3/5)-4F4+M=12kN.m解：力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，有：xO(m)y(m)22242F1=6kNF2=10kNF3=15kNF4=8kNM=12kN.m4FR

hFR'MO主矢

FR

==kN；指向如圖。22yRxRFF￠￠+12543設(shè)載荷集度為q(x)，在距O點(diǎn)x

處取微段dx,微段上的力為q(x)dx。討論2同向分佈平行力系合成合力FR的作用線到O的距離為：

h=MO/FR'=

/

òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O(shè)點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，主矢和主矩為：

FR

=

q(x)dx=

；MO=

xq(x)dx=òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(FR'

0，MO

0；故可合成為一個(gè)合力，且

FR=FR'=òl(fā)dxxq0)(FR大小等於分佈載荷圖形的面積FR的作用線通過(guò)分佈載荷圖形的形心。44故同向分佈平行力系可合成為一個(gè)合力，合力的大小等於分佈載荷圖形的面積，作用線通過(guò)圖形的形心，指向與原力系相同。例求梁上分佈載荷的合力。

解：載荷圖形分為三部分，有設(shè)合力FR距O點(diǎn)為x，由合力矩定理有：

-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力為3.1kN，作用在距O點(diǎn)2.06m處，向下。FR1=1.6kN;作用線距O點(diǎn)1m。FR2=0.6kN;作用線距O點(diǎn)3.5m。FR3=0.9kN;作用線距O點(diǎn)3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx45例求圖中分布力系的合力。解：

FR1=2q1=1kN;

FR2=3q2/2=6kN;合力的大?。?/p>

FR=FR2-FR1=5kN方向同F(xiàn)R2，如圖。合力作用位置(合力矩定理):

FR

x=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx462.5.3平面力系的平衡條件

平面一般力系處?kù)镀胶?，充分和必要條件為力系的主矢FR'和主矩MO都等於零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過(guò)O點(diǎn)；1、2式指出：若有合力。必垂直於x軸且垂直於y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行於y軸）47平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式：二力矩式（AB不垂直於x軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)平衡方程。但只要滿足了其中一組，其餘方程均應(yīng)自動(dòng)滿足，故獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)。三力矩式(A、B、C三點(diǎn)不共線)48取匯交點(diǎn)為矩心，力矩方程自動(dòng)滿足。獨(dú)立平衡方程只有二個(gè),為：

平面匯交力系:取x軸垂直於各力，則x的投影方程滿足。獨(dú)立平衡方程也只有二個(gè),為：平面平行力系:yxMyx49三拱鉸受力再分析ABCF三鉸拱ABFo討論1：二力平衡必共線F1oF2討論2：三力平衡必共點(diǎn)F1F2F3oBCFB二力桿FC50問(wèn)題討論1：若q=a,求梁上分佈載荷的合力。aaar=aq2q解：

FR1=3qa=3a2

FR2=2a2-

a2/2

FR=5a2-

a2/2;由合力矩定理有：

FR

x=1.5aFR1+2aFR2=4.5a3+4a3-

a3=8.5a3-

a3

x=(8.5-)a/(5-/2)

FR2FR1xFR51問(wèn)題討論2：判斷所列平衡方程組是否必要且充分的。(a)(b)(c)

Fx=0

Fy=0

M0(F)=0

Fy'=0

Fy'=0

MA(F)=0

MA(F)=0

MA(F)=0

MB(F)=0思路：平面力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力；或一力偶；或平衡。滿足任一力矩平衡方程，則不可能有合力偶；滿足任一投影平衡方程，若有合力則必垂直於投影軸。由此，用反證法判斷。

充分

可能有合力（過(guò)A垂直於y）

可能有合力（垂直於OAB）xyx

y

oABC52小結(jié)1)剛體靜力學(xué)研究的基本問(wèn)題是：受力分析，平衡條件，解決靜力平衡問(wèn)題。4)力F對(duì)任一點(diǎn)O之矩為Mo(F)=

F.h。合力對(duì)某點(diǎn)之矩等於其分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。5)作用在剛體上力的F，可平移到任一點(diǎn)，但須附加一力偶，其矩等於力F對(duì)平移點(diǎn)之矩MO(F)。3)約束力作用方向與其所限制的運(yùn)動(dòng)方向相反。2)只在二點(diǎn)受力而處?kù)镀胶獾臒o(wú)重桿，是二力桿。53

7)同向分佈平行力系可合成為一個(gè)合力。合力的大小等於分佈載荷圖形的面積，作用線通過(guò)分佈載荷圖形的形心，指向與原力系相同。6)平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果有三種可能：即一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶猓ê狭榱悖Ｒ话銋R交

平行力系；力系；

力系；8)平面力系的平衡方程（基本形式）為：54三個(gè)基本概念：力力偶約束三組平衡方程：（力系簡(jiǎn)化後的結(jié)論）一般力系匯交力系平行力系三類基本定理：合力投影定理合力矩定理力的平移定理三種基本能力：力的投影力對(duì)點(diǎn)之矩約束反力分析55靜力平衡問(wèn)題3.1平面力系的平衡問(wèn)題3.2含摩擦的平衡問(wèn)題3.3平面桁架3.4空間力系的平衡問(wèn)題返回主目錄563.1平面力系的平衡問(wèn)題思路：研究對(duì)象

受力分析

平衡方程

求解一、平面力系平衡問(wèn)題的分析方法ABC靜力平衡問(wèn)題，一般有二類：

對(duì)於完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對(duì)於未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時(shí)外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力。60

ABCDF57例3.1

求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫(huà)整體受力圖。注意BC為二力桿。驗(yàn)算，再寫(xiě)一個(gè)不獨(dú)立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0

結(jié)果正確。2）取座標(biāo)，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30

=0ABCF=2kNFq30q=0.5kN/m

L=2m1.5mFq=2q=1kNFCFAyFAxxy

Fy=FAy+FCsin30

-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4kN;FAy=1kN;FAx=2kN

矩心取在二未知力交點(diǎn)A處，力矩方程中只有一個(gè)未知量FC，可直接求解。58例3.3

夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，求F力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。需要求的是FC。列平衡方程：

Fy=FB-F=0

FB=F

解：逐一討論A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFA

MA(F)=FB.ABcos

-FC.ABsin

=0

FC=Fctga。

越小，夾緊力越大。討論：若將矩心取在FA、FB二未知力交點(diǎn)O，則由力矩方程直接可得:

MO(F)=F

ABcos

-FC

ABsin

=0

FC=Fctg

59例3.4

梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩餘二個(gè)方程中含三個(gè)未知約束反力，不足以求解。

列平衡方程：

Fx=FAx=0---(1)

Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)

MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA60

2)小車為研究對(duì)象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁為研究對(duì)象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN

將FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有時(shí)需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBF

EFCyFByFCx=061補(bǔ)充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A(chǔ)、B

及D處的約束力。解：研究整體有：

Fy=FAy-F=0

FAy=F

MA(F)=FB

2a-Fa=0

FB=F/2

Fx=FAx+FB=0

FAx=-FB=-F/2

研究CD桿，有：

MC(F)=FDya=0

YD=0

Fy=FACsin45

-F=0

FAC

Fx=FDx-FACcos45

=0

FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC請(qǐng)驗(yàn)算：AB桿(帶銷A)受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy62求解平面力系平衡問(wèn)題的一般方法和步驟為：弄清題意，標(biāo)出已知量整體受力圖，列平衡方程，解決問(wèn)題否？選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和矩心，注意正負(fù)號(hào)。檢查結(jié)果，驗(yàn)算補(bǔ)充選取適當(dāng)研究對(duì)象，畫(huà)受力圖，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一軸上的投影為零；力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩即為M。63問(wèn)題1：不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)F1、F2之關(guān)係。問(wèn)題2:三鉸拱受力偶M作用，不計(jì)拱的重量，求A、

B處的約束力。bＣMABac4560

ABCDF1F2問(wèn)題3：試求圖示雙跨梁A端的約束力。ABCF

q2aaa45

64問(wèn)題1.

不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)

F1、F2之關(guān)係。4560

ABCDF1

F2FDFC

ME(F)=F2

AE-F1sin60

BE=0注意：BE=AB；AE=

AB可解得：

F2=......F12E

65問(wèn)題2:三鉸拱受力偶M作用，不計(jì)拱的重量，求A、B處的約束力。解:BC為二力桿;

外力只有力偶M,以AC為軸寫(xiě)投影方程可知，A處反力為FAy=0,整體受力如圖所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0F

CFAFBABbＣMcdaBAFF=BdFM=×+-0有0(F)=?AM又由可解得BF66問(wèn)題2再論:不計(jì)拱重，分析三鉸拱的約束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過(guò)其交點(diǎn)。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。67問(wèn)題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對(duì)象，再處理其上的分佈載荷。解：1）研究整體：

2）研究BC，受力如圖。求出FC即可。

MB(F)=2aFCcos45

-Fa-qa2/2=02一般力系，3個(gè)方程，

4個(gè)未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCF

q2aaa45

FCFAyFAxMA68討論：判斷下述分析的正誤。MA=

M+Fa-2Pa

固定鉸的約束力作用於銷釘上。多桿用同一銷釘連接，討論某桿時(shí)，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;

FAy=P;MA=

M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy69第一種情形ACBlllF問(wèn)題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。llFABDCFBFAydFAx第二種情形lllACBM=F

l

MA(F)=0FB

d-F2l=0FB=22F

MB(F)=0FAy

l+F

l=0FAy=-F

Fx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F70第二種情形lllACBM=F

lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD桿受力M=F

l考察BC桿的平衡:FCx=FBx;FCy=FBy

MB(F)=0:FCy

lBC+Fl=02=-—F

2

FCy=FBy再考察AB桿，

由

MA(F)=0可求得FBx71由ABD桿的平衡有：

MA(F)=02

FBx=—Fˉ2

MB(F)=0FAy=

0

MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形lllACBM=F

l更簡(jiǎn)單方法以整體為研究對(duì)象如何？FAxlllABDCM=F

lFCxFAyFCy?BCM=F

lFCxFBxllABDFBxFAx?72二、靜不定問(wèn)題的概念1)靜定問(wèn)題完全約束住的n個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處?kù)镀胶?，共可?xiě)出3n個(gè)平衡方程。若反力未知量是3n個(gè)，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問(wèn)題

--未知量數(shù)=獨(dú)立平衡方程數(shù)ABCF30如例1

系統(tǒng)

二根桿

六個(gè)平衡方程；約束

三處鉸鏈

六個(gè)反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個(gè)，但B、C處約束力未知量也減少了二個(gè)。73本題作用於小車的是平行於Y軸的平行力系，系統(tǒng)

三個(gè)物體

8個(gè)平衡方程；約束

固定端3；中間鉸2；活動(dòng)鉸、車輪接觸處各1

共8個(gè)反力，是靜定問(wèn)題。如例3系統(tǒng)

三個(gè)物體

9個(gè)方程，反力只有8個(gè)。小車可能發(fā)生水準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少於獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動(dòng)的可能。CABWP742）靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨(dú)立平衡方程數(shù)，問(wèn)題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問(wèn)題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n<3n

未完全約束

m=3n

靜定問(wèn)題

>3n

靜不定問(wèn)題靜不定的次數(shù)為：

k=m-3n75ＣMAB討論：試判斷下列問(wèn)題的靜定性。約束力數(shù)m=8

物體數(shù)n=3

m<3n

未完全約束

m=6

n=2

m=3n靜定結(jié)構(gòu)

m=3

n=1+2+2+4=9

m=3n靜定結(jié)構(gòu)60

ABCDF1F2ABCFDFABxFAByFACxFACyFAxFAy76思考題：3-1，習(xí)題：3-1，3-3，3-5，3-6。再見(jiàn)返回主目錄773.2含摩擦的平衡問(wèn)題摩擦給運(yùn)動(dòng)帶來(lái)阻力，消耗能量，降低效率；利用摩擦可進(jìn)行傳動(dòng)、驅(qū)動(dòng)、制動(dòng)、自鎖。

摩擦是二物體接觸表面間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)）時(shí)的阻礙作用。接觸表面間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)的摩擦，是靜滑動(dòng)摩擦。一、靜滑動(dòng)摩擦返回主目錄aABWGCFAOM512DdDABFLFTAFLFTFNAFBF

NAF

FNBFF0FT靜止滑動(dòng)FmaxFTC78只要滑動(dòng)未發(fā)生，物體仍靜止，則F由平衡方程確定。

摩擦力F也是被動(dòng)力，它阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，但不能完全約束物體的運(yùn)動(dòng)。

F作用在沿接觸面切向且指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。APTNFVf是靜滑動(dòng)摩擦係數(shù)，F(xiàn)N是法向反力。臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜（滑動(dòng)）摩擦力與法向反力的大小成正比，即

Fmax=f

FNF0FT靜止滑動(dòng)FmaxFTC

FT=0,

靜止，無(wú)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)；F=00<FT<FTC

,靜止，有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)；F=FT

FT=FTc,臨界狀態(tài)；F=FT=FTc=Fmax

FT>FTc,

運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；一般有FT<Fmax79二、含摩擦的平衡問(wèn)題的分析方法特點(diǎn)：5）有平衡方程和摩擦補(bǔ)充方程Fmax=f

FN。4）考慮可能發(fā)生滑動(dòng)的臨界情況(此時(shí)F=Fmax)，並由此判斷摩擦力指向。3）二物體接觸面間的摩擦力，也是相互作用的作用力與反作用力。1）問(wèn)題中含有可能發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的摩擦面。AFLFTFNAFBF

NAF

FNBF2）受力圖中應(yīng)包括摩擦力，摩擦力沿滑動(dòng)面切向，指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。80AOMCF1mineaL2）制動(dòng)桿受力如圖。有平衡方程

MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0摩擦方程

Fmax=f

FN;

FN=M/fr代入後求得F1min=(Ma/fr-Me/r)/L

=M(a-fe)/frL1）取輪O研究，畫(huà)受力圖。有平衡方程

MO(F)=M-Fmax

r=0

得到Fmax=M/r解：討論F1最小而制動(dòng)，摩擦力最大的臨界狀態(tài)。例3.5

剎車裝置如圖。塊C與輪間摩擦係數(shù)為f，求F1min。制動(dòng)的要求是F1>F1min=M(a-fe)/frLMOFmaxFNFOxFOyAF1minFmaxFNFAxFAy81例3.6

圖示懸臂可沿柱滑動(dòng),摩擦係數(shù)為f。為保證不卡住，試確定力F0的作用位置。解：1)F0向下，懸臂下滑。臨界狀態(tài)x=xmax；有：

Fx=FND-FNA=0；

Fy=FA+FD-F0=0

MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0

及FA=f

FNA,FD=f

FND

解得：FNA=FND=F0/2f,xmax=h/2f.懸臂不卡住，應(yīng)有xmax<h/2f而與F0無(wú)關(guān)。ABCDxmaxhdF0FDFNDFNAFA82例3.6

圖示懸臂可沿柱滑動(dòng),摩擦係數(shù)為f。為保證不卡住，試確定力Fo的作用位置。解：2)F0向上，懸臂上滑。臨界狀態(tài)x=xmax；有：

Fx=FNB-FNC=0；

Fy=F0-FB-FC=0

MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0

及FB=f

FNB,FC=f

FNC

同樣解得：FNB=FNC=F0/2f

xmax=h/2f.ABCDxmaxhdF0FCFNCFNBFA懸臂不卡住，應(yīng)有xmax<h/2f，而與F0無(wú)關(guān)；與上下滑無(wú)關(guān)。83含摩擦的平衡問(wèn)題的分析方法：研究對(duì)象

受力分析

平衡方程

求解先回憶靜力平衡問(wèn)題的一般方法：（此時(shí)F=Fmax）

可滑動(dòng)的臨界情況分析摩擦力沿滑動(dòng)面切向，指向與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反。加摩擦方程Fmax=f

FN解有一個(gè)區(qū)間範(fàn)圍WaFTBA84討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象設(shè)主動(dòng)力之合力FA的作用線與法向夾角為a，若a<r，則無(wú)論FA多大，總有全反力FR與之平衡，物體保持靜止；這種現(xiàn)象稱為自鎖。摩擦角

：臨界狀態(tài)(F=Fmax)

時(shí)，F(xiàn)R與法向間的夾角。顯然有:tg

=Fmax/FN=f即摩擦角

的正切等於靜摩擦係數(shù)f?？芍戳R的作用線只能在摩擦角(錐)之內(nèi)。全反力FR:支承面法向反力

FN和摩擦力F之合力。FRFNFrmaxFRQfr自鎖FAa滑動(dòng)FAa>r若a>r,則無(wú)論FA多小，物體都不能保持平衡。85

2.夾緊裝置如圖。夾緊後OA水準(zhǔn)，欲在力F0除去後工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直徑

3.破碎機(jī)軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計(jì)）

1.木楔打入牆內(nèi)，摩擦角為

，試問(wèn)a為多大時(shí)木楔打入後才不致退出？aa利用自鎖條件，研究下述問(wèn)題：861.木楔打入牆內(nèi)，摩擦角為

，試問(wèn)a為多大時(shí)木楔打入後才不致退出？aa

不計(jì)重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處?kù)镀胶?，則FR1、FR2必共線且沿鉛垂方向(對(duì)稱性)。臨界狀態(tài)有：

a=r;自鎖條件為：a

rFR1F1maxF2maxrFR2FN187問(wèn)題：

2.夾緊裝置如圖。夾緊後OA水準(zhǔn)，欲在F0力除去後工件不松，求偏心距e.自鎖條件：

a

tga=e/(d/2)

tg=f得:e

fd/2aFROAFA

3.破碎機(jī)軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計(jì)）

二力平衡必共線。臨界狀態(tài):tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B工件D直徑aFRa88討論二：皮帶傳動(dòng)的摩擦力

皮帶在輪O上，包角

。緊邊FT2，松邊FT1，輪O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。研究皮帶微段。法向壓力dFN，摩擦力dF，二端拉力為FT+dFT和FT。在臨界狀態(tài)下，dF=f

dFN。FT1oMbFT2oaFN=FN(a)F=F(a)FT1FT2FT2FT1研究皮帶受力。接觸面法向分佈壓力FN、摩擦力F都是

的函數(shù)。dadFNdFyda/2oFTFT+dFT有平衡方程：

Fx=FTcos(d

/2)+f

dFN-(FT+dFT)cos(d

/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d

/2)-(FT+dFT)sin(d

/2)=089注意d

是小量，有sin(d

/2)=d

/2,cos(d

/2)=1；略去二階小量dFTd

；得到：

fdFN=dFT和dFN=FTd

;再消去dFN，

即得：dFT/FT=f

d

積分,注意

=0時(shí)，F(xiàn)T=FT1；

=

時(shí)，F(xiàn)T=FT2；有：FT1oMbFT2由平衡方程已得到：

Fx=FTcos(d

/2)+f

dFN-(FT+dFT)cos(d

/2)=0

Fy=dFN-FTsin(d

/2)-(FT+dFT)sin(d

/2)=0可見(jiàn)：1)若f=0，即光滑接觸，有FT1=FT2，輪O不能傳遞扭矩。2)摩擦存在時(shí)，有扭矩M作用在輪上，且

M=[FT2-FT1]

r=FT2r[1-exp(-f

)].3)摩擦係數(shù)f越大，皮帶包角

越大，輪徑r越大，可傳遞的扭矩M越大。90思考題：3-4習(xí)題：3-13,3-14,3-16(b)，3-17(b)。返回主目錄913.3平面桁架橋樑結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)：桿件間的結(jié)合點(diǎn)。桁架：桿組成的幾何形狀不變的框架。平面桁架:桿軸線和外力在同一平面內(nèi)。返回主目錄92平面桁架的基本假設(shè):2)載荷都在桁架平面內(nèi)，且作用於桁架的節(jié)點(diǎn)處，或可作為集中載荷分配到節(jié)點(diǎn)處。故：力系是平面力系；桿都是在二端節(jié)點(diǎn)處受力的二力桿。桿內(nèi)力是沿桿的拉/壓力。1)桿均為無(wú)重直桿，

節(jié)點(diǎn)均為鉸接點(diǎn)。3)桁架只在節(jié)點(diǎn)處受到約束。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFB93無(wú)餘桿桁架：除掉任一根桿便不能保持其形狀的桁架。n個(gè)節(jié)點(diǎn)均為匯交力系，有2n個(gè)平衡方程；未知量有m根桿的內(nèi)力和三個(gè)約束，m+3=2n，是靜定問(wèn)題。

基本三角形有三根桿和三個(gè)節(jié)點(diǎn)，其餘(n-3)個(gè)節(jié)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)二根桿，故無(wú)餘桿桁架中桿數(shù)m和節(jié)點(diǎn)數(shù)n應(yīng)當(dāng)滿足：m=3+2(n-3),即m=2n-3顯然，無(wú)餘桿桁架是靜定桁架。有餘桿桁架（m>2n-3）則是靜不定的。AB123C45D67保證桁架形狀的必要條件：以基本三角形框架為基礎(chǔ)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)就增加二根桿件。94F討論下列桁架及問(wèn)題的靜定性桿數(shù)m=7節(jié)點(diǎn)數(shù)n=5m=2n-3靜定桁架約束力3

靜定問(wèn)題

靜定桁架，反力4一次靜不定問(wèn)題

桿數(shù)m=6節(jié)點(diǎn)數(shù)n=4m-(2n-3)=1靜不定桁架約束力3

一次靜不定

m-(2n-3)=2靜不定桁架，約束力4

三次靜不定問(wèn)題

F953.3.1節(jié)點(diǎn)法用節(jié)點(diǎn)法求平面桁架中桿內(nèi)力的步驟為：1)研究整體，求約束反力。求反力FAx、FAy

由A節(jié)點(diǎn)平衡求F1、F2

由D節(jié)點(diǎn)求F3、F4

由C節(jié)點(diǎn)求F5、F6

3)從含已知力且只有二桿受力未知的節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，

逐一列平衡方程求解。若求得的結(jié)果為負(fù)，則是壓力。2)選取節(jié)點(diǎn)，畫(huà)受力圖。假定桿內(nèi)力為拉力。AB12345678910111213FAxCDFCFAyFBAF1FAyFAxF2DF

2F3F4CFCF

1F

3F6F5963.3.2截面法2)任取一截面，截取部分桁架作為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖。桿內(nèi)力假定為拉力。截面法求解桁架問(wèn)題時(shí)，不需逐個(gè)節(jié)點(diǎn)分析，其分析方法可歸納為：3)列平衡方程求解。因?yàn)樽饔迷谘芯繉?duì)象上的是平面一般力系，可以求解三個(gè)未知量。1)研究整體，求約束反力。97例3.11

求圖示桁架中各桿內(nèi)力。解：1)由整體求得：

FAx=0;FAy=FE/3;FB=2FE/32)截取上部研究，受力如圖。有

Fx=0

F2=0

MD(F)=-FE(2a/3)-F3a=0

F3=-2FE/3

Fy=-FE-F3-F1=0

F1=-FE/3綜合應(yīng)用截面法和截點(diǎn)法，可提高求解的效率。ABCDEH123456789FEa/2a/2aaa333FBFAxFAyCD456FEF3F2F13)研究節(jié)點(diǎn)D，可求得F4、F6；4)研究節(jié)點(diǎn)C，可求得F5、F6；5)研究節(jié)點(diǎn)B，可求得F8、F9；6)研究節(jié)點(diǎn)A，可求得F7、F9；DF6F4F1CF6F5F3BF8F9F3FBF9F7F1FAxFAyA98討論1：求桁架指定截面內(nèi)力。FAB123aaaaa4FF1ABF2F3F41AB23aFaaaFFFF1F2F399AKEBDCJF討論2：看板由桿系支撐，風(fēng)載作用如圖。如何求各桿內(nèi)力？思考：零桿是否可以不要？KEDCJF

FCB=0D

FCD=0EKCJF100思考題：3-4習(xí)題：3-13,3-14,3-16(b)，3-17(b)。

再見(jiàn)返回主目錄1013.4

空間力系的平衡問(wèn)題

力F

為Fz、Fxy；

Fxy

Fx、Fy；顯然有：F=Fx+Fy+Fz；且各分力為：由定義知後者正是力在各軸上的投影。故正交坐標(biāo)系中，投影和分力大小相等。二次投影法：先投影到座標(biāo)面，再投影到軸上。1.力在空間坐標(biāo)軸上的投影AA′abxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzog一、空間中力的投影及力對(duì)軸之矩返回主目錄102物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量。以門(mén)繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)為例來(lái)討論。顯然有：Mz(F1)=0；Mz(F2)=02.力對(duì)軸之矩

將力F分解成Fz和Fxy，可見(jiàn)

Mz(Fz)=0;Mz(Fxy)=MO(Fxy)

力F對(duì)軸z之矩Mz(F)等於力在垂直於z軸之平面內(nèi)的分量Fxy對(duì)軸z與該平面交點(diǎn)O之矩。正負(fù)用右手螺旋法確定，（圖中為正）。力與軸相交或平行，對(duì)軸之矩為零故力F對(duì)軸z之矩可寫(xiě)為：Mz(F)=MO(Fxy)=

Fxy

h

zF1FF2yhOxFxyFz103例:

試寫(xiě)出圖中力F在軸上的投影及對(duì)力軸之矩。Fx=0Fy=(4/5)F=40NFZ=(3/5)F=30NMx(F)=-Fy

z+Fz

y=-40+36=-4N.mMy(F)=-FZ

x=-6N.mMz(F)=Fy

x=8N.m利用合力矩定理，進(jìn)一步有：

Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fx

y+Fy

xOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mA'F=50Naa=0.6mb=0.8maFyFZ104二、力偶矩的向量表示故：力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所確定。力偶矩矢是自由矢，可平行移動(dòng)。

空間力偶系的合成可按力偶矩向量求和進(jìn)行。力偶矩矢

M：矢的長(zhǎng)度--力偶矩的大??；

矢的指向--力偶作用平面的法向；轉(zhuǎn)向由右手螺旋規(guī)則確定。1）力偶矩矢：空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決於力偶矩的大??；力偶作用平面；力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。F'xyzFM1052）空間中力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩間的關(guān)係如圖，力F對(duì)O點(diǎn)之矩矢MO垂直於OAB平面且大小為：

MO=MO(F)=F

h=2

OABAzBOMOFh另一方面：力F對(duì)軸z之矩等於其在垂直於軸z之的平面內(nèi)的分量F

對(duì)交點(diǎn)O之矩，即：故可知：力對(duì)某點(diǎn)之矩矢在過(guò)該點(diǎn)任一軸上的投影等於力對(duì)該軸之矩。Mz(F)=M0(F

)=2

Oab=2

OAB

cos

=MOcos

F'abMzg106三、空間一般力系的簡(jiǎn)化和平衡1.空間中力的平移力F平移到A點(diǎn)，得到力F

和作用於Abc面以力偶矩矢表示的力偶M?？臻g匯交力系空間力偶系主矩MO力偶矩矢表示主矢FR'匯交於O空間一般力系向某點(diǎn)O平移2.空間力系的簡(jiǎn)化力F向A點(diǎn)平移F

和M,F

M

xyzOFbAcF

M=MO(F)107當(dāng)主矢和主矩都等於零時(shí)，空間力系為平衡力系?？臻g一般力系向某點(diǎn)O平移主矢FR'主矩MO若FR

0，MO=0；為一合力，且FR=FR空間力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果：若FR

=0，MO0；為一合力偶且M=MO2)MO

FR’，在MO、FR平面內(nèi)將向量MO分解，得到力FR和與其平行的力偶矩矢MR，稱為力螺旋。1)MO

FR，反向應(yīng)用力的平移定理，得到一合力。