初中八年級數(shù)學(xué)下-平行四邊形幾何模型詳解

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初中八年級數(shù)學(xué)下必考點(diǎn)-平行四邊形幾何模型詳解

一'基礎(chǔ)知識

條件的組合搭配是解決幾何綜合題目的基本思路,在進(jìn)行組合搭配中往往遇到一些常用的結(jié)構(gòu).可以通過補(bǔ)全圖形，從而構(gòu)造熟悉的結(jié)構(gòu)：

等腰+中點(diǎn),考慮:直角+中點(diǎn)，考慮

三線合一斜邊上的中線等于斜邊的一半

A

BC

A°'、D

平行+（夾）中點(diǎn)，考慮一邊上的中點(diǎn)，考慮

邊長證全倍長證全等

多個中點(diǎn)，考慮坐標(biāo)系中見中點(diǎn),

中位線考慮中點(diǎn)坐標(biāo)公式

平行+角平分線，考慮三線中兩線重合,考慮

等腰三角形等腰三角形

三角形的三線：底邊上的中線、底邊上的高線、頂角的角平分線.

二、方法技能

1.幾何計算、證明的基本思考獻(xiàn)

①標(biāo)注條件，合理轉(zhuǎn)化；

②組合特征，分析結(jié)構(gòu)；

③由因?qū)Ч?，?zhí)果索因.

2.特殊四邊形中隱含條件

①平行四邊形中隱含條件：平行'中點(diǎn)；

②菱形中隱含條件：平行、中點(diǎn)、角平分線、垂直；

③矩形中隱含條件：平行、中點(diǎn).垂直；

④正方形中隱含條件：平行.中點(diǎn)、角平分線、垂直.

3.四邊形中常見幾何結(jié)構(gòu)舉例

①中點(diǎn)結(jié)構(gòu)：直角+中點(diǎn)，平行+中點(diǎn)，多個中點(diǎn)；

②旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)：等線段共點(diǎn)，對角互補(bǔ)；

③弦圖結(jié)構(gòu)：外弦圖，內(nèi)弦圖，等腰直角，三垂；

④面積結(jié)構(gòu)：三個“一半”，平行轉(zhuǎn)化.

三個一半

BChS〉BC廣$△BCA

平行轉(zhuǎn)化

田日岡臼

三、典例精講

1.如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB,CE±AB于點(diǎn)E,F為AD的中點(diǎn)，若/AEF=54°,則/B=_.

【分析】(體會條件組合與搭配)

方法一：

①ABllCD,F為AD的中點(diǎn)；一平行夾中點(diǎn)一延長證全等；

②zGCE=zCEB=90°,F為AD的中點(diǎn);一直角+中點(diǎn)一直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

??.易證AAF國ADFG(SAS),

.-.EF=FG

/zGCE=zCEB=90°,

,-.EF=GF=CF

?/BC=2AB,

/.FD=CD

vzAEF=54°,

/.zFEC=zFCE=36。，zCFD=zFCD=zG=54°

.?.zB=zCDF=180°-108°=72°

方法

方法二：

F為AD的中點(diǎn)，取CE中點(diǎn)造梯形AECD的中位線（構(gòu)成&CEF兩線合一）?.zAEF=54°,

.-.zFEC=zFCE=36°,zCFD=zFCD=54°

.*.zB=zCDF=180°-108°=72°

BC

方法二

方法三：

?.CE±AB于點(diǎn)E,

??.取BC中點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

又；BC=2AB,

.-.BG=EG=CG=CD=FD=AF,

.'.ABIIFGIICD,

/.zGEF=zGFE=zAEF=54°,zB=zGEB=72°

方法三

2.如圖，在菱形ABCD中,zA=110。，E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn),若EP±CD于點(diǎn)P,則/FPC=_.

【分析】

四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)分別是邊BC的中點(diǎn)，構(gòu)成平行夾中點(diǎn)一延長證ABEF%CGF(SAS)

-EF=FG=FP,AE=BE=BF=FG(菱形的四邊相等)

.■.zB=70",zBFE=zBEF=zG=zFPC=55"

3.如圖，在菱形ABCD中,AB=BD點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上，且AE=DF連接BF,與DE相交于點(diǎn)G,連接CG,與BD相交于點(diǎn)H.則下列結(jié)論：

①M(fèi)ED孚DFB;②/BGD=120°

③S四邊形8CDG=￥CG?

其中正確的是_.（填序號）

【分析】

①3ED￥DFB（SAS）,

??①正確

②由MED當(dāng)DFB得N1=/2,

/.zBGE=zl+z3=z2+z3=60°,zBGD=1200「?②正確

?/zBGD+zBCD=120°+60°=180°（對角互補(bǔ)），CD=CB（等線段共點(diǎn)C）

..可以考慮將ACDG繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60。到《BM,也可將《BG繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60。

注意：輔助線的敘述與三點(diǎn)共線

敘述一：將^CDG旋轉(zhuǎn)到ACBM，必須根據(jù)對角互補(bǔ)說明G、B、M三點(diǎn)在一條直線上；

敘述二：延長GB至M，使BM=DG(保證了G、B、M三點(diǎn)在一條直線上)，連接CM,此法只需要證明ACBM*CDG(SAS),從而證得MZGM是等邊

三角形.

11

S四邊形88G=5XCGXMN=—xCGx——CG=

..?③正確

4.(2019)如圖，在-ABC中，zACB=90°,AC=BC=6，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線AD(與A重合)上的一個動點(diǎn)，貝U當(dāng)-PBC為直角三角形時，AP

的長為.

A

【分析】

..點(diǎn)P是射線AD上的一點(diǎn)，且不與A重合，

.'.zBCP=90°

■.zACB=90°,AC=BC=6，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

AD=ylcD2+AC2=375

當(dāng)N8PC=90。，點(diǎn)尸在線段4。上，構(gòu)成直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，AP=3舊-3

當(dāng)N8PC=90。，點(diǎn)P在線段力。延長線上，構(gòu)成直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，AP=3后+3

當(dāng)NPBC=90。時，BP//AC,點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，構(gòu)成平行夾中點(diǎn)，AP5DMCD

：.PD=AD=3后,AP=64.

綜上，力戶的值為：3萬—3或3遙+3或6石.

四、典型練習(xí)

1.如圖，在中，40=2/8,CELAB于點(diǎn)、E,尸為力。的中點(diǎn)，連接W,則下列結(jié)論：

①NDCF=；NBCD：②EF=CF：③S^BEC=2SACEF；④NDFE=34EF.其中一定正確的是

（填序號）

【思路分析】

本題給出F為AD的中點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形提供的對邊平行，故考慮"平行夾中點(diǎn)”，借助全等轉(zhuǎn)移邊、轉(zhuǎn)移角.

①?：AD〃BC,AF=FD=CD,：.ZBCF=Zl=Z2,.?.①正確：

②易證：MEF,VAB//CD,CE1AB,F為4D的中點(diǎn),EF=CF=GF,.?.②正確：

③..?/為AD的中點(diǎn)，SA￡CG=2SACEF?,*,BE*CG,SABEC*S.CG?^ABEC=2S&CEF,③錯誤

@VAB//CD,：.ZG=ZAEF,,：FC=FG,FD=CD,/.ZG=Z2=Z1=Z.AEF,

:.NDFE=Z.AEF+4=4AEF+(180°-ZADC)=/.AEF+Z1+Z2=3^AEF,故④正確.

綜上,其中一定正確的是①②④.

2.（2018哈爾濱）如圖，在口力8c。中，對角線4C,8。相交于點(diǎn)O,46=08,點(diǎn)E,點(diǎn)"分別是。4,

0。的中點(diǎn)，連接E尸，ZC￡F=45°,EM1BC于息M,EM交BD干點(diǎn)、N,FN=弧,則線段8C

的長為.

【思路分析】

本題給出AB=0B，點(diǎn)E是0A的中點(diǎn)（等腰+中點(diǎn)構(gòu)三線合一）

.1連接BE得BEJLAC

由中位線定理得EF//AD//BC,EF=-AD=-BC\

由NC￡b=45。，EMtBC于點(diǎn)、M,得NBCM=NCEF=45。,:.BM=EM=MC=EF

易證AFEN,:?BN=FN=M,MN=NE=x,：.BM=2x,BC=4x

由勾股定理得：X2+(2x)2=(V10)2,：,x=y/2,BC=4X=4A/I.

3.如圖，在梯形ABCD中，ADllBC，點(diǎn)E在BC邊上，AE=BE,F是CD邊的中點(diǎn)，且AF_LAB.若AD=2.7,AF=4,AB=6,則CE的長為.

【思路分析】

本題給出ADIIBC,F是CD邊的中點(diǎn),這是很典型的"平行夾中點(diǎn)“

..延長AF,BC交于點(diǎn)G,易證SDFaGCF,

/.AF=FG=4,

-/AF±AB,

由勾股定理可得BG=10.

/AE=BE,/.zB=z2,

/.zB+zG=zl+z2=90°,

.1.zl=zG,AE=EG=BE=5,

.-.CE=5-2.7=23

4.如圖，以的斜邊8C為一邊，在AJ8C的同側(cè)作正方形BCEE,設(shè)正方形8CEE的中心為O,

連接。1.若48=4,0A=642,則力。的長為.

【思路分析】

本題給出正方形內(nèi)含有正方形結(jié)構(gòu)，

.?構(gòu)造弦圖易證：AABC^GFB,

△AOBGAGOF彳導(dǎo)0A=0G,zAOG=90°,AG=12,

/.AC=GB=12+4=16

5.如圖，已知四邊形46co是正方形，對角線4C,8。相交于點(diǎn)。，在R/ADCE中,ZCED=90°,

ADCE=30°,若OE="+立-,則正方形48co的面積為

2

【思路分析】

本題給出ABCD是正方形,zCED=90°,

/.zCOD+zCED=180°,zODE+zOCE=180°構(gòu)成對角互補(bǔ)，

1.OC=OD,構(gòu)成等線段共點(diǎn)，

..可考慮將-DE順時針旋轉(zhuǎn)90°

??將OE順時針旋轉(zhuǎn)90。到OF,連接CF,易證AABC*GFB,

/.zODE=zOCFzDE=CF,OE=OF

，ZOCE+ZOCD=ZOCE+40DE=180°,，￡、C、F三點(diǎn)共線，EF=410E

(VJ+1)67=V2X在,Q=1,

正方形。

?*,CD=2a=2tSMe=4.

6.如圖，兩個邊長均為2的正方形重疊在一起，正方形OPQR的頂點(diǎn)。與正方形ABCD的中心重合.給出以下結(jié)論：

①四邊形OECF的面積為1;

②CE+CF=2;

@0E+0F=2;

④四邊形OECF的周長為4

其中正確的是一（填序號）

【思路分析】

本題給出正方形OPQR的頂點(diǎn)0與正方形ABCD的中心重合.

方法一：

.?ZEOF+NECF=90°+90°=：L80°（對角互補(bǔ)），連接OC、0D,入。EC與-OFD構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型全等.

（D；.S四邊形0ECf=S&COD=正方形/8C￡>=1，①正確

?：.CE=DF,CE+CF=EF+CF=CD=2,②正確

@'：\<OE<42,\<OF<y[2,：.2<OE+OF<2y[2,，③錯誤（運(yùn)動觀考慮線段長的取值范圍）

④由②③可得四邊形月的周長大于或等于4,小于或等于2拒+2,...④錯誤

綜上，正確結(jié)論為①?

方法二：

???/EOF這個直角的兩邊不是水平線和鉛垂線（稱為斜直角），解決“斜直角”問題常用的方法就是“斜直角放正"（直角的兩邊由水平績口鉛垂線構(gòu)成），

這種方法在直角坐標(biāo)系中用得很多！

.?作0G_LBC于G,OHJLCD于H,

易證-OGE學(xué)OHF,同樣可得上述結(jié)論.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，正方形48CO的頂點(diǎn)力的坐標(biāo)為(0,2),頂點(diǎn)8在x軸上，對角線4C,

80相交于點(diǎn)若OM=36,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【思路分析】

/AMF是斜直角，可考慮"斜直角放正"，得，、AMG乎BMF,

..AG=FB,GM=FM

二?四邊形OGMF是正方形，

OG=OF=3,AG=FB=1;

AOAB*EBC（三垂全等），

.BE=OA=2,CE=OB=4,

..點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,4）構(gòu)造弦圖可得：AOABS^EBC（三垂全等），

〃OME是等腰直角三角形，

.■.0E=6,BE=OA=2,CE=OB=4,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,4）

E

C

BE

8.如圖，正方形ABCD的面積為18,菱形AECF的面積為6,則菱形的邊長為

A

【思路分析】

本題給出正方形和菱形，他們的對角線都是互相垂直平分的，

;連接BD,AC

???S正方形=??./C=8Q=6，S菱形=g%CxEF=6，；?EF=2

：.OA=OC=3,OE=OF=\,，AE=Sl+0E?=M..?.菱形的邊長為師.

A

9.如圖，四邊形ABCD和CEFG都是菱形，連接AG、GE.AE,若NF=60°，EF=4,則SEG的面積為」

【思路分析】

本題給出兩個銳角為60°的菱形，

二連接AC,可得NACB=/GEC=60°,

.'.ACIIBG,

sMGE=SACGE=；CEXGH=gX4X26=4也

（構(gòu)造平行線造等底等高，平行轉(zhuǎn)移）

10.如圖，E是口ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，若口ABCD的面積為8,則圖中陰影部分的面積為

【思路分析】

過點(diǎn)E作AD的平行^交AB于G,交CD于F,利用平行轉(zhuǎn)移得：

SMDE+SABCE~SMDF+52CF='S平行四邊形/次第=4

11.如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,NB=60°,點(diǎn)E,F,G,H分別在邊AB,AD,DC,CB上，且AF=CH,BE=DG=2.P是直線EF,GH之間的任

一點(diǎn)，連接PE,PF,PG,PH,則WEF與-PGH的面積之和為.

【思路分析】

由已知易證&AEF*CGH,-BEH孚DGF,

.'.EF=GH,EH=FG

二?四邊形EFGH是平行四邊形，

...由"三個一半,平行轉(zhuǎn)化"知連接EG,過點(diǎn)P作EF的平行線

因此

SM>EF+SAPGH=萬S平四=,"]S平四48cc=彳BCxAM=—x4x273=2后.

12.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB:BC=3:2,zDAB=60°，點(diǎn)E在AB邊上，且AE:EB=1:2,F為BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP_LAF于點(diǎn)P,DQ±CE

于點(diǎn)Q，則DP:DQ的值為

D,C

F

P

Q

AEB

【思路分析】

'.DQ±CE,DP±AF,由"三"半"得

SAEDC=S好AD=5S平四/BCD，

iir)p

：.-CExDQ=-AFxDP,—.

2~2DQAF

（求兩高之比，由面積公式轉(zhuǎn)化為底邊之反比）

由已知數(shù)據(jù)求得：

曰［布?DP=26二25

CE=273,AF=y/AG2+GF2+

T）-，??而一右一十

A1E2

五、重點(diǎn)提升

【中點(diǎn)結(jié)構(gòu)】

1.已知48=12,4BA.BC于點(diǎn)B,J.力。于點(diǎn)力，AD=5,BC=\O.若點(diǎn)E是CO的中點(diǎn),

則AE的長是________.

2.如圖，在四邊形Z8CO中，AD//BC,=90。，點(diǎn)M是46的中點(diǎn).若CM=6.5,CD=5,

BC=I,則40的長為.

3.如圖，在四邊形48CO中，AD//BC,AB=AD+BC,M是CO的中點(diǎn)，如果4BC50°,

那么NBAM的度數(shù)為.

4.己知：如圖，&48C和AC0E均為等腰直角三角形，4BC=NCDE=90。,AB=BC,DC=DE,

CD>BC,點(diǎn)、C、B、。在同一直線上，廠是4E的中點(diǎn).則：?DF=BF：②AB=BF；③DF工BF：

@BD=41BC.以上結(jié)論中一定正確的有.

C

5.如圖所示，OE為A48C的中位線，點(diǎn)廠在OE上，且以必=90。，若48=5,8c=8,

則EF的長為.

6.如圖，在菱形48co中，4=80。，E、/分別是邊力8和8C的中點(diǎn)，EP上CD于點(diǎn)P,

則NFPC的度數(shù)為

7.如圖，在平行四邊形力8co中，4=135。，E、/分別是邊和8C的中點(diǎn)，EP工CD于點(diǎn)、P,若

AB=S,AD=342,貝

8.如圖，在邊長為1的正方形48co中,對角線力C,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)F分別是48,8c的中

點(diǎn)，CE交BD于點(diǎn)、G,連結(jié)。/，OF,GF,則N8EG—N8￡)F=

△ACE三ABDF,Z1=Z2

ABGF三&BGF,Z3=Z4

Z3-Zl=Z4-Z2=Z5=45°

【垂直結(jié)構(gòu)】

1.已知/8。=90。，0是直線48上的點(diǎn)，AD=BC.

①如圖1,過點(diǎn)力作力EJ.48,并截取力七=8。，連接。C、DE、CE,則ACQ￡的形狀是

②如圖2,￡是直線8C上一點(diǎn)，且CE=BD,直線力E、CO相交于點(diǎn)尸，則4尸。=

r,A

①AADE亞BCDEU

△CDE是等腰直角三角形\

②△.WDG三ABCD,\

△(7X；是等腰直角三角形'Aj1￡

四邊形4￡CG是平行四邊形

AZAPD=ZDCG=45°

D

根據(jù)圖1的啟示，構(gòu)造全等，總結(jié)解法，不難想到另兩種構(gòu)圖方法.

2.如圖，4。為A48C的外角平分線，且/1OJ.8。、〃為8。的中點(diǎn)，若48=12,JC=18,

求的長為.

角平分線+垂線（兩線合一），考慮構(gòu)造等腰和中位線.

3、如圖，平行四邊形/8CO中，48c=72。，力/_18。于尸，AF交BD于E,若?！?2/8,則

AAED=.

8取的中點(diǎn)O,連接04

'：DE=2AB.AABC=12°,AFAJiC

：.ZHAF=\R004=OIAOE=.4B

設(shè)N4OO=NQ4Z>x,

則ZM)B=/ABO=2x.NO.4E=ZOEA=9()0-x

.,.90°-x=2x+18o,x=2