蘇州市六區(qū)聯(lián)考2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

2021－2022學(xué)年江蘇省蘇州市六區(qū)聯(lián)考九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.已知一組數(shù)據(jù)：1，2，2，4，6，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】把一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┡判?，若數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)個，則排在最中間的數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，若數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)個，則排在最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，根據(jù)定義直接作答即可.【詳解】解：一組數(shù)據(jù)：1，2，2，4，6，排在最中間的數(shù)據(jù)是2，所以其中位數(shù)是2，故選A【點睛】本題考查的是中位數(shù)的含義，掌握“利用中位數(shù)的定義求解一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)”是解本題的關(guān)鍵.2.方程x2＝﹣x的根是（）A.x＝0 B.x＝﹣1 C.x1＝1，x2＝﹣1 D.x1＝0，x2＝﹣1【答案】D【解析】【分析】先移項，把方程化為，再利用因式分解的方法把原方程化為兩個一次方程即可.【詳解】解：x2＝﹣x移項得：解得：故選D【點睛】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“把方程分右邊變?yōu)?，再把左邊分解因式”是解本題的關(guān)鍵.3.若線段a＝2cm，線段b＝8cm，則a，b的比例中項c為（）A.4cm B.5cm C.6cm D.32cm【答案】A【解析】【分析】由是的比例中項可得再代入數(shù)據(jù)解方程即可.【詳解】解：是的比例中項，且（負根舍去）故選A【點睛】本題考查的是線段的比例中項的含義，掌握“線段的比例中項的含義”是解本題的關(guān)鍵.4.已知⊙O的直徑為10cm，圓心O到直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.相交或相切【答案】B【解析】【分析】圓的半徑為圓心O到直線l的距離為當時，直線與圓相切，當時，直線與圓相離，當時，直線與圓相交，根據(jù)原理直接作答即可.【詳解】解：⊙O的直徑為10cm，圓心O到直線l的距離為5cm，⊙O的半徑等于圓心O到直線l的距離，直線l與⊙O的位置關(guān)系為相切，故選B【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系的判定，掌握“直線與圓的位置關(guān)系的判定方法”是解本題的關(guān)鍵.5.據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實驗，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實像CD．若物體AB的高為6cm，小孔O到物體和實像的水平距離BE，CE分別為8cm，6cm，則實像CD的高度為（）A.4cm B.4.5cm C.5cm D.6cm【答案】B【解析】【分析】先證明可得再代入數(shù)據(jù)進行計算即可.【詳解】解：由題意得：物體AB的高為6cm，小孔O到物體和實像的水平距離BE，CE分別為8cm，6cm，故選B【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)與判定，證明是解本題的關(guān)鍵.6.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，則cosB的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，過作于先求解再利用即可得到答案.【詳解】解：如圖，過作于AB＝AC＝5，BC＝6，故選B【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，銳角的余弦的定義，掌握“等腰三角形的三線合一，銳角的余弦的定義”是解本題的關(guān)鍵.7.如圖，在中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，則的長度為（）A. B. C.π D.2π【答案】C【解析】【分析】由題意知，，為等邊三角形，，可得弧長的值．【詳解】解：如圖連接、、∵，∴，∴為等邊三角形∴故選C．【點睛】本題考查了圓周角，弧長等知識．解題的關(guān)鍵在于找出弧長所對的圓心角以及半徑．8.已知函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣3（a≠0），當x＝m和x＝n時函數(shù)值相等，則當x＝m＋n時的函數(shù)值為（）A.2 B.1 C.﹣2 D.﹣3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)當x＝m和x＝n時函數(shù)的值相等，得出，根據(jù)a≠0，，得出，把x=4代入函數(shù)求值即可．【詳解】解：∵當x＝m和x＝n時函數(shù)的值相等，∴，∴，∴，∴，∵a≠0，，∴，當x=4時．故選擇D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的函數(shù)值，因式分解，掌握二次函數(shù)的函數(shù)值，因式分解是解題關(guān)鍵．9.如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖像經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（m，0），點C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列結(jié)論：①2a＋b＞0，②2a＋c＜0，③方程ax2＋bx＋c＝﹣m有兩個不相等的實數(shù)根，④不等式ax2＋（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜m，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用二次函數(shù)的對稱軸方程可判斷①，結(jié)合二次函數(shù)過可判斷②，由與有兩個交點，可判斷③，由ax2＋（b﹣1）x＜0可得ax2+bx+c＜x+c，可理解成y＝ax2＋bx＋c與y=x+c的圖象交點問題，就可以判斷④，從而可得答案；【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖像經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（m，0），拋物線的對稱軸為：∵2＜m＜3，則而圖象開口向上即故①符合題意；∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的圖像經(jīng)過點A（﹣1，0），則則故②符合題意；∴與有兩個交點，∴方程ax2＋bx＋c＝﹣m有兩個不相等的實數(shù)根，故③符合題意；∵ax2＋（b﹣1）x＜0∴ax2+bx-x＜0，整理一下可得：ax2+bx+c＜x+c，∴此選項可理解成y＝ax2＋bx＋c與y=x+c的圖象交點問題，如圖所示：∴兩個圖象交點分別是C（0，-m）、B（m，0），∵ax2+bx+c＜x+c，∴解集為0＜x＜m，∴不等式ax2＋（b﹣1）x＜0的解集不是0＜x＜m，故④符合題意；綜上：符合題意的有①②③④；故選：D．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用二次函數(shù)的圖象判斷及代數(shù)式的符號，二次函數(shù)與一元二次方程，不等式之間的關(guān)系，熟練的運用數(shù)形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵．10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再將△ADC沿AD翻折，得到△ADE，連接BE，則tan∠EBC的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解：如圖，連接，交于過作于先求解設(shè)再利用勾股定理構(gòu)建方程組，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：如圖，連接，交于過作于由對折可得：設(shè)解得：或（舍去）故選A【點睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，銳角的正切，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）．11.1995年，聯(lián)合國教科文組織宣布4月23日為“世界讀書日”．2021年世界讀書日當天，中國新聞出版研究院發(fā)布了第18次全國國民閱讀調(diào)查結(jié)果，其中2020年我國14至17周歲青少年課外讀書人均閱讀量是13.07本．某中學(xué)課外閱讀小組的5位成員在2020年的課外閱讀量如表：成員成員1成員2成員3成員4成員5閱讀量（單位：本）1314141618則這5位成員在2020年的平均課外閱讀量為______本．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)求平均數(shù)的公式計算即可．【詳解】(本)．所以這5位成員在2020年的平均課外閱讀量為15本．故答案為：15．【點睛】本題考查求平均數(shù)．掌握求平均數(shù)的公式是解答本題的關(guān)鍵．12.用黑白兩種全等的等腰直角三角形地磚鋪成如圖所示的方形地面，一只小蟲在方形地面上任意爬行，并隨機停留在方形地面某處，則小蟲停留在黑色區(qū)域的概率是______．【答案】##【解析】【分析】先由圖得出地磚的總數(shù)及黑色地磚的塊數(shù)，讓黑色地磚的塊數(shù)除以地磚總數(shù)即可．【詳解】解：可觀察圖形，黑色地磚與白色地磚的面積相等，停在黑色和白色地磚上的概率是相同的，由此可知小蟲停在黑地磚上的概率為，故答案為：【點睛】本題考查了幾何概率，掌握“幾何概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．”是解本題的關(guān)鍵.13.已知關(guān)于x的方程x2﹣6x＋m2﹣3m﹣5＝0的一個根為﹣1，則m＝_____．【答案】1或2【解析】【分析】根據(jù)題意可得出，然后利用因式分解法解出該方程的解即可．【詳解】解：∵方程的一個根是-1，∴，整理得：，解得：．故答案為：1或2．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及利用因式分解法解一元二次方程，理解使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖，在?ABCD中，AB＝8，AD＝6，E為AD延長線上一點，且DE＝4，連接BE，BE交CD于點F，則CF＝_____．【答案】##4.8

【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，即可證明，推出，由此即可求出CF的長．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，即，∴，，∴，∴．∵，∴．∵∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．15.這是小明在閱讀一本關(guān)于函數(shù)的課外讀物時看到的一段圖文，則被墨跡污染的二次函數(shù)的二次項系數(shù)為______．由圖像知，當x＝﹣1時二次函數(shù)y＝■x2＋6x﹣5有最小值．【答案】【解析】【分析】由圖象可得：拋物線的對稱軸為：再利用拋物線的對稱軸公式建立方程求解即可.【詳解】解：由圖象可得：拋物線的對稱軸為：而解得：故答案為：【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握“利用二次函數(shù)的對稱軸方程求解未知系數(shù)的值”是解本題的關(guān)鍵.16.如圖，將半徑為6cm的圓分別沿兩條平行弦對折，使得兩弧都經(jīng)過圓心，則圖中陰影部分的面積為______cm2．【答案】【解析】【分析】設(shè)該圓圓心為O，并用大寫字母表示出其它點，作于點C．根據(jù)所作圖形可知，再根據(jù)題意可知，，即得出．結(jié)合勾股定理，在中，可求出長，即可求出AB的長，最后根據(jù)，結(jié)合圓的面積公式、扇形的面積公式，三角形面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】如圖，設(shè)該圓圓心為O，其它點如圖所示，并作于點C．根據(jù)垂徑定理可知，．∵該圓分別沿兩條平行弦對折，且兩弧都經(jīng)過圓心，∴，∴，∴，∴．∵在中，，∴，∴．∴．故答案為：【點睛】本題考查不規(guī)則圖形的面積計算，涉及垂徑定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓的面積公式，扇形的面積公式．正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．17.我們給出定義：如果兩個銳角的和為45°，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝_____．【答案】【解析】【分析】作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，則△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CD、BD的長，然后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，∵∠A，∠B互為半余角，∴∠BCD=∠A+∠B=45°，∴∠CBD=45°，∴∠BCD=∠CBD，∴BD=CD，∵，∴可設(shè)BC=，AC=，∵BD2+CD2=BC2，∴BD=CD=，∴AD=3x+2x=5x，∴tanA＝，故答案為：．【點睛】本題考查了新定義，勾股定理，以及正切的定義，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．18.如圖，以面積為20cm2的Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙O，∠ACB的平分線交⊙O于點D，若，則AC＋BC＝_____．【答案】##厘米【解析】【分析】連接，延長交于點，連接，先根據(jù)圓周角定理和圓的性質(zhì)可得，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得，從而可得，作，交于點，從而可得，然后在中，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，設(shè)，從而可得，利用直角三角形的面積公式可求出的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，延長交于點，連接，都是的直徑，，，，在中，，，平分，且，，，，，如圖，作，交于點，，在中，，，設(shè)，則，，，解得或（不符題意，舍去），則，故答案為：．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、圓周角定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和等腰三角形是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10小題，共76分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.計算：sin60°﹣tan30°＋cos45°．【答案】【解析】【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：.．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合計算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．20.解方程：．【答案】，【解析】【分析】移項將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，然后利用因式分解法求解即可.【詳解】解：∴或，解得：，.【點睛】本題考查了利用因式分解法解一元二次方程，先將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，然后將左面因式分解是解決此題的關(guān)鍵.21.國家實施“雙減”政策后，為了解學(xué)生學(xué)業(yè)負擔的減輕情況，學(xué)校隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，調(diào)查設(shè)置“顯著”，“一般”，“略有”，“未有”四個減輕程度的等級．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制如下不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校共有1800名學(xué)生，請根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估算該校學(xué)生學(xué)業(yè)負擔“顯著”和“一般”減輕的總?cè)藬?shù)．【答案】（1）150；（2）補全條形統(tǒng)計圖見解析；（3）該校學(xué)生學(xué)業(yè)負擔“顯著”和“一般”減輕的總?cè)藬?shù)為1260名．【解析】【分析】（1）利用等級為“未有”程度的學(xué)生人數(shù)除以其所占百分比即可得出所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；（2）根據(jù)總?cè)藬?shù)減去其它等級的人數(shù)，求出等級為“一般”程度的學(xué)生人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（3）求出該校學(xué)生學(xué)業(yè)負擔“顯著”和“一般”減輕的人數(shù)所占的百分比，再乘以總?cè)藬?shù)1800即得出答案．【小問1詳解】根據(jù)題意可知：等級為“未有”程度的學(xué)生有30名，其占比為20%，所以總?cè)藬?shù)為：．故答案為：150．小問2詳解】等級為“一般”程度的學(xué)生為：名，故補全條形統(tǒng)計圖如下：．【小問3詳解】該校學(xué)生學(xué)業(yè)負擔“顯著”和“一般”減輕的人數(shù)所占百分比為，故該校學(xué)生學(xué)業(yè)負擔“顯著”和“一般”減輕的總?cè)藬?shù)為名【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖相關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體．根據(jù)分析條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖得到必要的信息和數(shù)據(jù)是解答本題的關(guān)鍵．22.如圖，電路圖上有A，B，C，D4個開關(guān)和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)A，B，或同時閉合開關(guān)C，D都可以使小燈泡發(fā)亮．（1）在開關(guān)A閉合的條件下，任意閉合開關(guān)B，C，D中的一個，小燈泡發(fā)亮的概率為；（2）任意閉合開關(guān)A，B，C，D中的兩個，求小燈泡發(fā)亮的概率（請用列表或畫樹狀圖的方法求概率）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在開關(guān)A閉合的條件下，任意閉合開關(guān)B，C，D中的一個，只有閉合B才會發(fā)光，從而可得答案；（2）先列表求解所有的等可能的結(jié)果，再根據(jù)只有閉合或才會發(fā)光，再利用概率公式求解即可.【小問1詳解】解：在開關(guān)A閉合的條件下，任意閉合開關(guān)B，C，D中的一個，小燈泡發(fā)亮的概率為故答案為：【小問2詳解】解：列表如下：由表格信息可得：所有的等可能的結(jié)果數(shù)有種，能發(fā)光的有種，任意閉合開關(guān)A，B，C，D中的兩個，小燈泡發(fā)亮的概率【點睛】本題考查的簡單隨機事件的概率，利用列表法或畫樹狀圖的方法求解簡單隨機事件的概率，掌握“列表或畫樹狀圖的方法”是解本題的關(guān)鍵.23.如圖，二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接AC，BC，判定△ABC的形狀，并說明理由．【答案】（1）；（2）直角三角形，理由見解析．【解析】【分析】（1）將點C的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出a的值，即得出二次函數(shù)表達式；（2）令，求出x的值，即得出A、B兩點的坐標．再根據(jù)勾股定理，求出三邊長．最后根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷的形狀．【小問1詳解】解：將點C代入函數(shù)解析式得：，解得：，故該二次函數(shù)表達式為：．【小問2詳解】解：令，得：，解得：，．∴A點坐標為(-1，0)，B點坐標為(3，0)．∴OA=1，OC=，，∴，．∵，即，∴的形狀為直角三角形．【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標，勾股定理逆定理．根據(jù)點C的坐標求出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．24.2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)統(tǒng)計，該店2021年10月的銷量為3萬件，2021年12月的銷量為3.63萬件．（1）求該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率；（2）假設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率保持不變，求2022年1月“冰墩墩”的銷量．【答案】（1）該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為10%；（2）2022年1月“冰墩墩”的銷量為3.993萬件．【解析】【分析】（1）設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率x，等量關(guān)系是12月銷量，兩用增長率表示12月份銷量=3.63，列方程3（1+x）2=3.63，解方程即可；（2）列算式3.63（1+10%）計算即可．【小問1詳解】解：設(shè)該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率x，根據(jù)題意，得：3（1+x）2=3.63,∴∴，或∵增長率不能為負數(shù)，舍去，經(jīng)檢驗符合題意答該店“冰墩墩”銷量的月平均增長率為10%；【小問2詳解】解：3.63（1+10%）=3.993萬件，答2022年1月“冰墩墩”的銷量為3.993萬件．【點睛】本題考查列一元二次方程解增長率問題應(yīng)用題，有理數(shù)乘法運算，掌握列一元二次方程解增長率問題應(yīng)用題方法與步驟，有理數(shù)乘法運算法則是解題關(guān)鍵．25.圖①是某小區(qū)折疊道閘的實景圖，圖②是其工作示意圖，道閘由垂直于地面的立柱AB，CD和折疊桿“AE﹣EF”組成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之間的水平距離BD＝2.5m，AE＝1.5m．道閘工作時，折疊桿“AE﹣EF”可繞點A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同時桿EF始終與地面BD保持平行．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）（1）當張角∠BAE為135°時，求桿EF與地面BD之間的距離（結(jié)果精確到0.01m）；（2）試通過計算判斷寬度為1.8m，高度為2.45m的小型廂式貨車能否正常通過此道閘？【答案】（1）2.26米；（2）不能，理由見解析．【解析】【分析】（1）作，交BD于點M，AC于點N．根據(jù)題意結(jié)合作圖可知，．再由∠BAE為時，可求出，即可判斷為等腰直角三角形，在根據(jù)勾股定理即可求出EN的值，從而可求出EM的值，即桿EF與地面BD之間的距離；（2）當張角∠BAE最大，為時，可通過車輛的寬度和高度都是最大的，如圖，在BD上截取DP=1.8m，再過點P作，交AC于點Q，PQ延長線交AE于點G．由作圖可知，．再根據(jù)，可求出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可求出，即符合G點在AE上．最后根據(jù)銳角三角函數(shù)解直角三角形可求出的大小，從而求出GP的大小，與該小型廂式貨車的高度作比較即可．【小問1詳解】如圖，作，交BD于點M，AC于點N．根據(jù)題意可知，∴，∴四邊形為矩形，∴，．當張角∠BAE為時，，∴為等腰直角三角形，∴，∴故桿EF與地面BD之間的距離為2.26米．【小問2詳解】當張角∠BAE最大，為時，可通過車輛的寬度和高度都是最大的，如圖，在BD上截取DP=1.8m，再過點P作，交AC于點Q，PQ延長線交AE于點G．同理由作圖可知．∵，∴，即．∵DP=18m，∴，∴，符合G點在AE上．∴在中，，∴故該小型廂式貨車不能正常通過此道閘．【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的實際應(yīng)用等知識．理解題意，作出合適的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．26.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D為AB延長線上一點，過點D作⊙O的切線，切點為E，連接BE，CE，AE．（1）若，求證：△ACE∽△EBD；（2）在（1）的條件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分別證明即可得到結(jié)論；（2）如圖，連接并延長交于連接利用相似三角形的性質(zhì)證明再證明可得而可得再利用等角的三角函數(shù)值相等建立方程求解即可.【小問1詳解】證明：四邊形是的內(nèi)接四邊形，【小問2詳解】解：如圖，連接并延長交于連接而為的切線，為的直徑，而所以的半徑為【點睛】本題考查的是圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.27.如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx＋c的圖像經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．（1）填空：b＝，c＝；（2）過點C作軸，交二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx＋c的圖像于點D，點M是二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx＋c圖像上位于線段CD上方的一點，過點M作軸，交線段BC于點N．設(shè)點M的橫坐標為m，四邊形MCND的面積為S．①求S與m的函數(shù)表達式，并求S的最大值；②點P為直線MN上一動點，當S取得最大值時，求△POC周長的最小值．【答案】（1）（2）①當時，；②【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸的交點坐標可得再寫出的值即可；（2）①如圖，記的交點為先推導(dǎo)再分別表示建立二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；②當取得最大值，此時記此時與軸的交點為則證明與的交點即是點此時此時周長最短，再求解周長即可.【小問1詳解】解：二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx＋c的圖像經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（3，0），拋物線為故答案為：【小問2詳解】解：①如圖，軸，軸，記的交點為令則則設(shè)為解得：為則軸，拋物線的對稱軸為：當時，②當取得最大值，此時記此時與軸的交點為則如圖，則與的交點即是點此時此時周長最短，周長的最小值為：【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，列面積的二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握“利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解面積的最大值，利用軸對稱的性質(zhì)求解周長的最小值”是解本題的關(guān)鍵.28.如圖，在矩形OABC中，頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，頂點B的坐標為（8，4），∠EAF＝90°，且∠EAF的一邊與線段OC交于點E，∠EAF的另一邊與線段CB的延長線交于點F，連接EF，作AG⊥EF，垂足為G（m，n），連接OG．（1）當點E由點O移動到點C時，點F運動的路程為；（2）求n與m的函數(shù)表達式，并說明點B在直線OG上；（3）當△AOE與△GOE的面積之差為時，求線段OE的長度．【答案】（1）2；（2），點B在直線OG上；（3）線段OE的長度為1或3．【解析】【分析】（1）當點E運動到C時，CB=OA=8，OC=AB=4，∠OAB=90°，根據(jù)∠EAF=90°，可證∠OAE=∠BAF，再證△COA∽△FBA，得出即，求出BF即可；（2）過點G作GH⊥y軸于H，GJ⊥x軸于J，連結(jié)OB，根據(jù)四邊形A