專(zhuān)題3.17 構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專(zhuān)題3.17構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題【方法】當(dāng)題目中出現(xiàn)直角，而不具備直角三角形時(shí)，常常通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題；或當(dāng)題目中沒(méi)有直角時(shí)，也常常通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題。1．在中，，，．求的長(zhǎng)．

2．如圖，在等腰三角形中，，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)求的面積．3．在中，為邊上的高，且，求的周長(zhǎng)．4．在中，，，邊上的高，求另一邊的長(zhǎng)．5．已知四邊形中，，為中點(diǎn)，且，，．(1)求的值；(2)求直線與直線的距離．6．在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖甲，小明據(jù)此構(gòu)造出該島的一個(gè)數(shù)學(xué)模型（如圖乙四邊形），是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中千米，千米，千米，千米．(1)求小溪流的長(zhǎng)．(2)求四邊形的面積．（結(jié)果保留根號(hào)）7．如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線A-C-B-A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)斜邊上的高是．(2)若點(diǎn)P在的角平分線上，則t的值為．(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出是等腰三角形時(shí)t的值．（提示：三角形的兩邊中點(diǎn)的連線等于第三邊的一半）8．如圖①正方形中，點(diǎn)E是對(duì)角線上任意一點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖②，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，若．求的長(zhǎng)．9．如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“美麗三角形”．(1)如圖，在中，，，求證：是“美麗三角形”；(2)在中，，，若是“美麗三角形”，求的長(zhǎng)．10．如圖，在中，為邊上的中線，，，，求證：．11．已知某開(kāi)發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地，如圖所示，經(jīng)測(cè)量，，，，，求這塊空地的面積？

12．某學(xué)校內(nèi)有一塊如圖所示的三角形空地，其中米，米，米，計(jì)劃將這塊空地建成一個(gè)花園，以美化校園環(huán)境，預(yù)計(jì)花園每平方米造價(jià)為元，則學(xué)校修建這個(gè)花園需要投資多少元？13．如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)在的斜邊上．(1)判斷與間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)直接寫(xiě)出線段、、間滿足的數(shù)量關(guān)系．14．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，，求線段的長(zhǎng)．15．如圖，在△ABC中，，以為一邊作正方形，過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，求的長(zhǎng)．16．已知：如圖，中，，，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，射線交直線于點(diǎn)F，連接．(1)設(shè)，用含的代數(shù)式表示的大小，并求的度數(shù)；(2)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．17．【問(wèn)題提出】如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．【問(wèn)題解決】解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把、、集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．由此得出中線的取值范圍是________．【應(yīng)用】如圖②，在中，為邊的中點(diǎn)，已知，，，求的長(zhǎng)．【拓展】如圖③，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連接．已知，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．18．【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖①，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是________．A．；B．；C．；D．由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是________．【初步運(yùn)用】（2）如圖②，是的中線，交于，交于，且．若，，求線段的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】如圖③，在中，，為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．試猜想線段．．三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．參考答案1．【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)已知得出是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得，根據(jù)，即可求解．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了根據(jù)勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．(1)見(jiàn)分析；(2)48【分析】（1）連接，證明是直角三角形，即可求出答案；（2）用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解．解：（1）證明：連接，如圖所示，

∵在中，，E是的中點(diǎn)，∴，∴是直角三角形，又∵D是的中點(diǎn)∴；（2）解：∵E是的中點(diǎn)，，∴，在中，，，∴，∴；【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．的周長(zhǎng)為或【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，在，中，勾股定理分別求得，分類(lèi)討論（當(dāng)在線段上時(shí)，在的延長(zhǎng)線上時(shí)），即可求解．解：如圖所示，當(dāng)在線段上時(shí)，∵為邊上的高，∴在中，,∴，在中，，∴∴的周長(zhǎng)為當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，則的周長(zhǎng)為【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．10或6【分析】分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據(jù)勾股定理求得，，再由圖形求出，在銳角三角形中，，在鈍角三角形中，．解：如圖，銳角中，，，邊上高，在中，，，由勾股定理得：，則，在中，，，由勾股定理得：，則，故的長(zhǎng)為；（2）鈍角中，，，邊上高，在中，，由勾股定理得：，則，在中，，由勾股定理得：，則，故的長(zhǎng)為．綜上可得的長(zhǎng)為10或6．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，把三角形斜邊轉(zhuǎn)化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分類(lèi)討論，不要漏解，難度一般．5．(1)；(2)【分析】（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)可得，，再由中點(diǎn)可得，可判定，則有，，再由垂直可得，利用勾股定理即可求，從而可求解；（2）利用三角形的面積可求得點(diǎn)到的距離，即可求與的距離．（1）解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，

，，，為中點(diǎn)，，在與中，，，，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作，如圖，

，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．(1)小溪流的長(zhǎng)為7千米；(2)平方千米【分析】（1）連接，利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）利用勾股定理逆定理，得到為直角三角形，利用兩個(gè)直角三角形的面積之和即為四邊形的面積，進(jìn)行求解即可．（1）解：連接，∵千米，千米，∴(千米)；答：小溪流的長(zhǎng)為7千米．（2）解：∵千米，千米，∴，∴為直角三角形，∴四邊形的面積平方千米．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理和勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用．熟練掌握勾股定理和逆定理，是解題的關(guān)鍵．7．(1)4.8；(2)；(3)或或10s或9.5s【分析】（1）先在中，由勾股定理得：；再設(shè)斜邊上的高為，等面積法求得斜邊上的高為；（2）當(dāng)點(diǎn)在的角平分線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，證明，在中，由勾股定理得：勾股定理即可求解．（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)必在線段或線段上，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，此時(shí)是等腰直角三角形，②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，分類(lèi)討論畫(huà)出圖形，即可求解．解：（1）在中，，，，由勾股定理得：；設(shè)斜邊上的高為，，，．斜邊上的高為；故答案為：；（2）當(dāng)點(diǎn)在的角平分線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，如圖：平分，，，，，，在和中，，，，又，，在中，由勾股定理得：即，解得：．故答案為：．（3）由圖可知，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)必在線段或線段上，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，此時(shí)是等腰直角三角形，此時(shí)，，，；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度為：，，；若，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在中，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度為：，，；若，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，，為的中位線，，在中，由勾股定理得：，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度為：，，．綜上，的值為或或或．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．8．(1)見(jiàn)詳解；(2)；(3)【分析】（1）證明即可求證；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可求得；（3）過(guò)點(diǎn)作，證明，在四邊形中求出，證明是等邊三角形，即可求出的長(zhǎng)．解：（1）證明：在和中，，∴，∴．（2）∵，∴，∴；（3）過(guò)點(diǎn)作，在和中，，∴，∴，在四邊形中∵，∴，又∵，

∴，又∵，∴，∴是等邊三角形，設(shè)，則，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴解得，∴．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用正方形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理的知識(shí)點(diǎn)．9．(1)詳見(jiàn)分析；(2)或【分析】（1）作的中線，根據(jù)三線合一得出，勾股定理求得，根據(jù)美麗三角形的定義即可得出結(jié)論；（2）①作的中線，根據(jù)是“美麗三角形”,得出，根據(jù)勾股定理求得；②作的中線，勾股定理求得，根據(jù)美麗三角形的定義得出，進(jìn)而即可求解．解：（1）證明：如圖，作的中線，，是的中線，，，在中，由勾股定理得，，是美麗三角形.（2）解:①如圖，作的中線，是“美麗三角形”,當(dāng)時(shí)，則,由勾股定理得②如圖作的中線，是“美麗三角形”,當(dāng)時(shí)則，，在中，由勾股定理得，則，解得，∴綜上：或．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，勾股定理，理解新定義是解題的關(guān)鍵．10．見(jiàn)分析【分析】倍長(zhǎng)中線，即延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，連接．證明，得到，利用勾股定理逆定理證明是直角三角形，即，從而，得證．解：證明：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，連接，∵為邊上的中線，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴∴∴．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的逆定理，三角形全等的證明，“倍長(zhǎng)中線”是解題常用的方法．11．【分析】根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)逆定理判定，進(jìn)一步根據(jù)面積公式求解．解：連接，如圖所示：

在中，，在中，，，而，即，∴，；答：這塊空地的面積為．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理及逆定理的綜合運(yùn)用，正確的選擇運(yùn)用勾股定理或其逆定理是解題的關(guān)鍵．12．元【分析】過(guò)A作于D，則，設(shè)米，則米，在和中，由勾股定理得，進(jìn)而求得，利用三角形的面積公式即可求解．解：過(guò)A作于D，則，設(shè)米，則米，在和中，由勾股定理得，則，解得，∴（米），∴（平方米），則總造價(jià)元，答：學(xué)校修建這個(gè)花園需要投資元．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意，作高構(gòu)造直角三角形求解是解答的關(guān)鍵．13．(1)見(jiàn)分析；(2)，理由見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，即，即可得出；（2）證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，求得，進(jìn)而勾股定理即可得證．解：（1）理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2），如圖所示，連接，

由（1）可得∵∴∴，，∵∴∵在四邊形中，∴是直角三角形，∴又是等腰直角三角形，∴，即,又∵，∴【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．(1)見(jiàn)分析；(2)【分析】（1）欲證，觀察這兩條線段可放在與中，設(shè)法證明這兩個(gè)三角形全等，結(jié)合與D為的中點(diǎn)，即可得證．（2）欲求得的長(zhǎng)度，設(shè)法將已知線段與所求的聯(lián)系在一起，連續(xù)后，根據(jù)，得出，再結(jié)合，把所求的線段與已知線段集中在直角中，由勾股定理可求得的長(zhǎng)，也就是的長(zhǎng)度，從而使問(wèn)題得解．解：（1）證明：是的中點(diǎn)，．，．，．．（2）解：連接．，，，．，，．在中，，且，．．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的證明、勾股定理的運(yùn)用、等腰三角形的中線等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，善于將已知量、未知量通過(guò)等量關(guān)系轉(zhuǎn)換是解本題的關(guān)鍵．15．或【分析】根據(jù)題意畫(huà)出兩個(gè)圖形，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，再利用勾股定理得出的長(zhǎng)，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．解：分兩種情況：①過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖1所示，∵，∴由勾股定理得，，∵四邊形是正方形∴，∴，又，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理可得：；②如圖2所示，同理可得，，又四邊形是正方形∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴根據(jù)勾股定理可得：．綜上所述，BF的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．16．(1)，；(2)，證明見(jiàn)分析．【分析】（1）由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，，再由直角三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而可證，則，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）過(guò)C作于C交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，證明，得CM=CF，再證明，得，則MF=AF+MA=AF+BF，然后在由勾股定理即可得出結(jié)論．解：（1）A、E關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，．，．，．．．（2）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．過(guò)C作于C交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．A、E關(guān)于對(duì)稱(chēng)．．．．又．．．，．．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等明三角形是解題的關(guān)鍵．17．問(wèn)題解決：；應(yīng)用：；拓展：【分析】問(wèn)題解決：證明得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求得的取值范圍，進(jìn)而得結(jié)論；應(yīng)用：延長(zhǎng)到，使得，連接，證明得，再證明，由勾股定理求得，進(jìn)而得；拓展：延長(zhǎng)到，使得，連接，，證明，得，，再證明，由勾股定理求得，由線段垂直平分線性質(zhì)得．解：?jiǎn)栴}解決：如圖所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，再連接，∵是邊上的中線，∴，在和中，，，，，，，，故答案為：；應(yīng)用：如圖所示，延長(zhǎng)到，使得，連接，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，，，，，，∴，，，；拓展：如圖所示，延長(zhǎng)到，使得，連接，，，，，，，，，，，即，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（1）A，；（2）7；（3），證明見(jiàn)分析【分析】（1）證明，即可求解；根據(jù)得出，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出，進(jìn)而即可求