數(shù)字濾波器課件

可編輯1第3章數(shù)字濾波器3.1數(shù)字濾波器概述3.2數(shù)字濾波器分析3.3數(shù)字濾波器設計可編輯23.1數(shù)字濾波器概述

數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理的重要基礎，在對信號過濾、檢測、參數(shù)估計等處理中，有著廣泛的應用。數(shù)字濾波器是一個用有限精度算法實現(xiàn)的線性時不變離散系統(tǒng)，它實質就是一個運算過程，可以實現(xiàn)各種變換和處理。它將輸入的數(shù)字信號(序列)通過特定的運算轉變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，任何一個線性時不變系統(tǒng)都可以看作是數(shù)字濾波器?？删庉?

傳統(tǒng)數(shù)字濾波器應用：對模擬濾波器的功能進行模擬。功能：頻率選擇?？捎妙l域特性表示：Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)

只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇H(ejω)，使濾波后的結果H(ejω)X(ejω)符合人們的要求，即達到了濾波的目的。這就是傳統(tǒng)數(shù)字濾波器的基本濾波原理，又稱傳統(tǒng)濾波思想。H(ejω)X(ejω)Y(ejω)可編輯4

現(xiàn)代數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器越來越多地在計算機上實現(xiàn)，促使數(shù)字濾波算法不斷推新利用計算機實現(xiàn)數(shù)字濾波器時，既可以在頻域中進行(如頻率選擇)，也可以在時域中進行。這使得許多非頻域濾波算法產(chǎn)生，將濾波的概念從狹義的頻率選擇與處理功能擴展為任何可實現(xiàn)的變換與處理，也因此產(chǎn)生了現(xiàn)代數(shù)字濾波器。可編輯53.1.1數(shù)字濾波器分類1.按頻率響應幅度特性分類按傳統(tǒng)的濾波概念，數(shù)字濾波器也像模擬濾波器一樣，根據(jù)其頻率響應振幅的通帶特性，分為低通、高通、帶通、帶阻4種類型?？删庉?圖6.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性可編輯7

顯然，數(shù)字濾波器的頻帶限于|ω|<π（即|f|<1/(2T)）的范圍，幅頻特性從通帶到止帶(阻帶)的交界點是其重要參數(shù)。由于各種因素及誤差的存在，實際的濾波器特性不可能達到理想化的要求，具有誤差容限。通帶：0<ω<ωp

阻帶：ωs<ω<π

過渡帶：ωp<ω<ωsωc：截止頻率

δ1：通帶幅度誤差容限

δ2：阻帶幅度誤差容限圖6.1.2低通濾波器的技術要求可編輯8

通帶和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用分貝數(shù)表示。通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs

表示：(6.1.3)(6.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：(6.1.5)(6.1.6)

幅度下降到0.707時，ω=ωc，αp=3dB，稱ωc為3dB通帶截止頻率?？删庉?2.按沖激響應h(n)長度分類將數(shù)字濾波器看作線性時不變系統(tǒng)時，可以用沖激響應描述它。如果沖激響應h(n)(即單位脈沖響應)為無限長序列，則由該h(n)確定的濾波器稱為無限沖激(脈沖)響應(IIR)濾波器；如果沖激響應h(n)(即單位脈沖響應)為有限長序列，則由該h(n)確定的濾波器稱為有限沖激(脈沖)響應(FIR)濾波器。

IIR與FIR濾波器在設計方法上有明顯的不同?？删庉?03.按實現(xiàn)方法(或結構形式)分類數(shù)字濾波器可用常系數(shù)線性差分方程表示：

如果濾波器的當前輸出y(n)由輸入的當前值x(n)與過去值x(n-1),x(n-2),…,x(n-M)和輸出的過去值y(n-1),y(n-2),…,y(n-N)確定，該濾波器稱為遞歸濾波器；如果濾波器的當前輸出y(n)僅由輸入的當前值x(n)和過去值x(n-1),x(n-2),…確定，與輸出y(n)的過去值無關，該濾波器稱為非遞歸濾波器?？删庉?1

從結構上看，遞歸濾波器系統(tǒng)必有反饋回路，而非遞歸濾波器系統(tǒng)無反饋回路，其系統(tǒng)函數(shù)為：

作為遞歸系統(tǒng)，H(z)在Z平面上有不在原點上的極點。而非遞歸系統(tǒng)可以在時域直接用卷積描述。通常，IIR用遞歸結構實現(xiàn)較容易，F(xiàn)IR用非遞歸結構實現(xiàn)較容易。(6.1.1)(6.1.2)可編輯123.1.2數(shù)字濾波器結構

數(shù)字濾波器結構常用方框圖、信號流圖和矩陣表示。當用計算機實現(xiàn)濾波器時，可以把濾波器結構看作軟件算法說明，依此編寫程序；當用專用數(shù)字硬件實現(xiàn)濾波器時，可將濾波器結構作為硬件實現(xiàn)的邏輯框圖，依此設計硬件?？删庉?31.方框圖與信號流圖數(shù)字濾波器通常有三種基本運算，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運算用方框圖與流圖表示如圖所示。

圖5.2.1三種基本運算的方框圖、流圖表示可編輯14

方框圖可以直觀地展示濾波器的組成部件及它們的連接關系，便于實現(xiàn)。信號流圖與方框圖等效，但表示方法簡單，又便于應用較完善的數(shù)字網(wǎng)絡理論，故常被采用?？删庉?52.幾種基本的濾波器結構每個數(shù)字濾波器都可以對應不同的結構，而結構的不同又會影響濾波器的精度(誤差)、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性、運算速度等性能。

FIR網(wǎng)絡中一般不存在輸出對輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述：其單位脈沖響應h(n)是有限長的，h(n)表示為其它n可編輯16

而IIR網(wǎng)絡結構存在輸出對輸入的反饋支路，也就是說，信號流圖中存在環(huán)路。這類網(wǎng)絡的單位脈沖響應是無限長的。例如一個簡單的一階IIR網(wǎng)絡差分方程為

y(n)=ay(n-1)+x(n)

其單位脈沖響應h(n)=anu(n)。這兩類不同的網(wǎng)絡結構各有不同的特點。可編輯17IIR濾波器基本網(wǎng)絡結構(1)直接型濾波器用N階常系數(shù)線性差分方程表示如下：可編輯18

圖5.3.1IIR網(wǎng)絡直接型結構

可編輯19圖5.3.2例5.3.1流圖例5.3.1IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為畫出該濾波器的直接型結構。解：由H(z)寫出差分方程如下：可編輯20

(2)級聯(lián)型(串聯(lián)型)

在(5.1.2)式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子分母均為多項式，且多項式的系數(shù)一般為實數(shù)，現(xiàn)將分子分母多項式分別進行因式分解，得到(5.3.1)

形成一個二階網(wǎng)絡Hj(z)，Hj(z)如下式：式中，β0j、β1j、β2j、α1j和α2j均為實數(shù)。(5.3.2)

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這樣，H(z)可以分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡的級聯(lián)形式，如下式：

H(z)=H1(z)H2(z)…Hk(z)(5.3.3)

式中Hi(z)表示一個一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)，每個Hi(z)的網(wǎng)絡結構均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡結構，如圖5.3.3所示。

圖5.3.3一階和二階直接型網(wǎng)絡結構(a)直接型一階網(wǎng)絡結構；(b)直接型二階網(wǎng)絡結構可編輯22

在IIR級聯(lián)結構中，極點、零點的配對方式及所得二階子系統(tǒng)級聯(lián)的次序具有較大的靈活性。對于無限精度運算來說，所有各種配對方式和級聯(lián)次序都是等效的，但對于有限精度運算而言，由于有限字長的影響，實際上他們可能差別很大，有一個最優(yōu)選擇問題，這也是為什么要討論網(wǎng)絡結構的原因之一。對于IIR，級聯(lián)結構中的每一個二階子系統(tǒng)只是關系到數(shù)字濾波器的某一對極點和一對零點，單獨調整第k對極點和(或)零點(調整二階子系統(tǒng)系數(shù))，不影響其他極、零點，故級聯(lián)結構的優(yōu)點就是便于準確地實現(xiàn)數(shù)字濾波器的零、極點，也便于調整整個數(shù)字濾波器的性能。另外，這種結構受參數(shù)量化影響較小，實際中使用較多?？删庉?3例5.3.2設系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡結構。解：將H(z)分子分母進行因式分解，得到圖5.3.4例5.3.2流圖

可編輯24

(3)并聯(lián)型如果將級聯(lián)形式的H(z)，展開部分分式形式，得到IIR并聯(lián)型結構。

式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡和二階網(wǎng)絡，網(wǎng)絡系統(tǒng)均為實數(shù)。二階網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)一般為(5.3.4)式中，β0i、β1i、α1i和α2i都是實數(shù)。如果a2i=0則構成一階網(wǎng)絡。由(5.3.4)式，其輸出Y(z)表示為

Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+…+Hk(z)X(z)可編輯25

對于IIR，并聯(lián)結構中的每個二階子系統(tǒng)的極點位置可單獨調整，但不能像級聯(lián)結構那樣直接控制零點。在運算誤差方面，由于并聯(lián)型各二階子系統(tǒng)的誤差互不影響，故并聯(lián)型比級聯(lián)型誤差稍小些?？删庉?6例5.3.3畫出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結構。解:將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：將每部分用直接型結構實現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡結構如圖5.3.5所示。圖5.3.5例5.3.3流圖

可編輯27有限長脈沖響應基本網(wǎng)絡結構

FIR網(wǎng)絡結構特點是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應是有限長的。設單位脈沖響應h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為可編輯28

(1)直接型按照H(z)或者差分方程直接畫出結構圖如圖5.4.1所示。這種結構稱為直接型網(wǎng)絡結構或者稱為卷積型結構，由該結構確定的濾波器也叫橫向濾波器。

(2)級聯(lián)型將H(z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形式，這樣就構成由一階或二階因子組成的級聯(lián)結構(也有最優(yōu)選擇問題)，其中每一個因式都用直接型實現(xiàn)。

圖5.4.1FIR直接型網(wǎng)絡結構

可編輯29例5.4.1設FIR網(wǎng)絡系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：

H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3

畫出H(z)的直接型結構和級聯(lián)型結構。

解：將H(z)進行因式分解，得到

H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2)

其直接型結構和級聯(lián)型結構如圖5.4.2所示。圖5.4.2例5.4.1流圖可編輯30

3.數(shù)字濾波器設計步驟

(1)按照實際任務要求，確定濾波器的性能指標；

(2)用一個因果、穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(或頻率響應)去逼近這一性能要求?？梢杂肐IR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)；

(3)利用有限精度算法實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇結構、合適的字長、有效的處理方法。在實際實現(xiàn)時，還要選擇是用計算機軟件還是專用數(shù)字濾波器硬件實現(xiàn)，或者采用兩者的結合。后面介紹的濾波器設計方法主要解決(2)?？删庉?13.2數(shù)字濾波器分析(1)對于一個已有的濾波器，如何了解它的性能，它是否可以為我們所用，需要通過分析才能加以確定。

(2)數(shù)字濾波器的設計常常不是一次性設計就可以達到目的，一般需要有一個反復修正、多次逼近希望構造的濾波器(性能)的過程。在這個過程中，除了采取有效的設計方法外，還需要對所設計的濾波器進行分析，以便確定所設計的濾波器是否滿足性能要求，采用何種實現(xiàn)方法確保系統(tǒng)在有限精度條件下的性能與設計指標相符。因此，對數(shù)字濾波器進行分析，也是濾波器設計的一個環(huán)節(jié)，對濾波器的成功設計十分有用?？删庉?2

下面通過一些簡單的例子來說明數(shù)字濾波器的分析方法，并給出一些有用的概念。

例1：某數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=z+1(1)確定零、極點結構及頻率特性；

(2)推導濾波器的遞推公式；

(3)確定沖激響應h(n)；

(4)畫出濾波器結構圖?？删庉?3解：(1)H(z)由單一零點構成，結構圖為圖1(a)。由系統(tǒng)函數(shù)確定頻率響應為用上式計算或根據(jù)零、極點結構進行幾何作圖得頻率特性曲線為圖1(b)。可編輯34

由頻率特性曲線可知，該濾波器為低通濾波器。但也可以看出低通特性不夠理想。圖1(b)幅頻、相頻特性曲線π/2-π/2π3πωπ2π3π-πω2圖1(a)Z平面零、極點結構圖ImRe可編輯35(2)Y(z)=H(z)X(z)=(z+1)X(z)

作Z反變換得輸入輸出遞推公式為

y(n)=x(n+1)+x(n)

該遞推公式表明，濾波器的輸出由輸入信號的當前值x(n)和超前時刻值x(n+1)決定。如果要求實時實現(xiàn)該濾波器，顯然是做不到的。所以，該濾波器是不可實現(xiàn)的。從H(z)可以看出，當零點數(shù)目>極點數(shù)目時，遞推公式中必然出現(xiàn)輸入的超前時刻值，從而導致實時不可實現(xiàn)性。可編輯36(3)h(n)的求解可利用4種方法實現(xiàn)：

a.對H(z)求Z反變換得h(n)；

b.將H(z)展開成z-1多項式，利用Z變換定義，(z-1)i項系數(shù)即為h(i)；

c.利用沖激響應h(n)的概念，即令x(n)=δ(n)，利用遞推公式求出y(n)，則h(n)=y(n)；

d.遞推公式與卷積y(n)=h(n)*x(n)均是對濾波器輸入輸出關系的描述，用非遞歸遞推公式與卷積表示式做比較確定出h(n)。若求解出h(n)，濾波器的輸出就可以用卷積實現(xiàn)(用FFT實現(xiàn)快速卷積)，這是濾波器實現(xiàn)的一種途徑?？删庉?7∵y(n)=x(n+1)+x(n)=h(n)*x(n)=h(-1)x(n+1)+h(0)x(n)∴

由于h(n)中含有n<0的序列值，所以該系統(tǒng)(濾波器)是非因果的，同樣也說明其具有不可實現(xiàn)性。增加(零點數(shù)-極點數(shù))個原點上的極點，可將系統(tǒng)的不可實現(xiàn)轉化為可實現(xiàn)，且保持系統(tǒng)的幅頻特性不變，即

可編輯38(4)軟件可按遞推公式實現(xiàn)，硬件可按結構圖實現(xiàn)。Z-1y(n)x(n-1)x(n)x(n)x(n-1)y(n)z-1可編輯39例2：將例1系統(tǒng)函數(shù)改為解：(1)該濾波器為高通濾波器。有z=1處的零點，使高通性能得到改善(利用零、極點作用)。(α略小于1)圖2(a)Z平面零、極點結構圖απ2πω2/(1-α)圖2(b)幅頻特性曲線可編輯40(2)

為遞歸濾波器。遞歸實現(xiàn)有累計誤差。(3)將H(z)展開為z-1多項式，即為IIR濾波器?？删庉?1

也可將該遞歸濾波器轉化為非遞歸形式，即用非遞歸結構實現(xiàn)該濾波器時，必然出現(xiàn)截斷誤差，且所需要的存儲量與計算量遠大于遞歸型濾波器。用Z平面中非原點上的極點等效非遞歸結構中的諸多零點，使非遞歸濾波器可以轉化為遞歸形式。(4)Z-1y(n)x(n-1)x(n)Z-1-1-αx(n)y(n)z-1-1-α可編輯42例3：寫出有10個等沖激響應系數(shù)的滑動平均濾波器的非遞歸與遞歸遞推公式，并且(1)畫出它的階躍響應，確定濾波器輸出的過渡過程時間τ(啟動瞬變寬度)；(2)畫出它在0<f<(1/2T)Hz頻率范圍內(nèi)的頻率響應幅度特性。解：可編輯43可編輯44(1)若輸入x(n)為階躍函數(shù)u(n)，且y(n-i)=0(i>0)，則階躍響應為x(n)n11234y(n)n1/101291τ可編輯45(2)平滑濾波器實質為低通濾波器，屬于FIR，可以用遞歸型結構實現(xiàn)，也可以用非遞歸濾波器實現(xiàn)。

(a)零、極點分布圖(b)幅頻特性曲線可編輯46例4：系統(tǒng)函數(shù)為式中r=0.990，ω0=100π(弧度/s)，T是采樣間隔。對頻率分布于-400π<ω<400π(弧度/s)范圍內(nèi)的信號以500(樣本/秒)采樣后，用該濾波器對信號進行濾波，試求：(1)零、極點結構圖及0<ω<π/T范圍內(nèi)的幅頻特性曲線；(2)濾波器作用；(3)包含一個復共軛極點對有什么好處？(4)

遞推公式?？删庉?7π/5解：(1)T=1/500(s)=2msω0T=100π/500=π/5(弧度)

Φ(ω)=0可編輯48(2)該濾波器稱為陷波器，它可以對某個特定頻率分量進行濾除。本系統(tǒng)濾除的頻率分量為50Hz為電源干擾(工頻干擾)，所以該濾波器可以濾除電源干擾。(3)極點作用：改善性能。(4)為遞歸結構。100ππ/Tω無極點情況可編輯493.3數(shù)字濾波器設計

傳統(tǒng)數(shù)字濾波器的設計依據(jù)是頻率響應。從頻率域設計一個數(shù)字濾波器的一般方法是：

(1)在Z平面內(nèi)根據(jù)濾波器性能指標適當?shù)剡x擇一組零、極點，構成H(z)；

(2)根據(jù)H(z)確定其頻率響應特性H(ejω)，分析H(ejω)與設計目標Hd(ejω)的逼近程度；

(3)若H(ejω)與Hd(ejω)的誤差在容限范圍內(nèi)，則H(z)即為所設計系統(tǒng)，否則調整零、極點數(shù)目及位置，重復上述操作?？删庉?0

顯然，在此設計中有效地選擇一組零、極點十分重要，它可以使我們盡快獲得所需濾波器。但這項工作的完成卻較為困難，它需要許多先驗知識或經(jīng)驗，才能使我們做到有的放矢。為了有效地設計濾波器，已研究出針對IIR或FIR濾波器的設計方法。3.3.1IIR濾波器設計3.3.2FIR濾波器設計3.3.3最佳濾波器設計可編輯513.3.1IIR濾波器設計

設計IIR濾波器最常用的方法是將滿足設計指標要求的模擬濾波器數(shù)字化。這樣做有以下原因：

(1)模擬濾波器設計技巧成熟，有用的成果多，有些方法有較簡單的現(xiàn)成設計公式，因此，容易利用模擬濾波器研究出數(shù)字濾波器的設計方法，且容易獲得簡單的實現(xiàn)方法；

(2)許多應用需要用數(shù)字濾波器模擬一個模擬濾波器?？删庉?2

一些經(jīng)典的模擬濾波器有：巴特沃斯(Butterworth)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、考爾(Cauer)濾波器、橢圓(Elliptic)濾波器等。在模擬濾波器數(shù)字化過程中，從連續(xù)空間S平面映射到離散空間Z平面，應滿足2個性質：

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的，即左半S平面的點(Re[s]<0)應映射到Z平面單位圓內(nèi)(|z|<1)；

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響，以保持原模擬濾波器的頻率選擇性，即S平面的虛軸應映射到Z平面的單位圓上?？删庉?3下面介紹幾種常用、有效的IIR濾波器設計方法。

3.3.1.1沖激響應不變法

3.3.1.2雙線性變換法

3.3.1.3頻率變換法

3.3.1.4直接設計法可編輯54

設計思想：將模擬濾波器沖激響應的采樣序列作為數(shù)字濾波器的沖激響應函數(shù)，即h(n)=ha(t)|t=nT，T為時域采樣間隔由時頻關系可知，若ha(t)Ha(jΩ)，h(n)H(ejω)，則上式說明，將模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)作周期延拓，并經(jīng)z=esT映射，即得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。3.3.1.1沖激響應不變法可編輯55如果模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)可表示為則此時，S平面s=si處的極點變換為Z平面z=esiT處的極點，且Ai不變(注：零點不保證這種映射關系)。(6.3.1)(6.3.2)(6.3.3)(6.3.4)可編輯56考慮到Ｔ較小時，數(shù)字濾波器可能有較高的增益，如模擬濾波器充分帶限時，有因此實際實現(xiàn)該方法時，采用可編輯57由于沖激響應不變法采用映射關系，因此Ｓ平面與Ｚ平面映射關系如圖6.3.1。(6.3.6)圖6.3.1

S平面與Z平面之間的映射關系(z=esT)可編輯58圖6.3.2沖激響應不變法的頻率混疊現(xiàn)象顯然，是一種周期性映射，即１對多映射，它是造成數(shù)字濾波器頻譜混疊效應的根本原因，如圖6.3.2?？删庉?9沖激不變法優(yōu)點：(1)模擬與數(shù)字頻率間是線性關系(ω=ΩT)，除混疊外，頻率響應形狀基本保持不變。如果模擬濾波器是線性相位低通濾波器，變換后，數(shù)字濾波器仍是線性相位低通濾波器。(2)保持模擬到數(shù)字濾波器的沖激響應波形不變。這種波形不變的概念可以推廣，如階躍響應不變法就是利用階躍響應波形不變原理，使數(shù)字濾波器保持模擬濾波器良好的階躍響應特性(上升時間短，過沖峰值低)。沖激不變法的缺點：Ｓ與Ｚ平面的多值映射，造成數(shù)字濾波器頻譜可能出現(xiàn)混疊。沖激不變法僅適用于帶限濾波器，適當選擇采樣間隔Ｔ，可消除該方法中的混疊效應。對高通、帶阻濾波器，該方法造成高頻出現(xiàn)嚴重的混疊失真，應附加限帶要求或不用該方法?？删庉?0

一般Ｈa(s)的極點si是一個復數(shù)，且共軛成對出現(xiàn)，形成一個二階基本節(jié)，如果模擬濾波器的二階基本節(jié)形式為極點為(6.3.11)則數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實數(shù)乘法)的形式為

(6.3.12)(6.3.13)(6.3.14)若模擬濾波器二階基本節(jié)為(6.3.13)，則數(shù)字濾波器為(6.3.14)可編輯61例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ｈa(s)為用沖激響應不變法將Ｈa(s)轉換成數(shù)字濾波器的H(z)。解：首先將Ｈa(s)寫成部分分式：極點為s1=-(0.3224+j0.7772)，s2=-(0.3224-j0.7772)那么H(z)的極點為則(T=1s)(T=0.1s)+0.5247可編輯62圖6.3.3例6.3.1的幅度特性可編輯63例：模擬濾波器原型為

則用沖激響應不變法得數(shù)字濾波器為fs=10Hz可編輯643.3.1.2雙線性變換法

沖激響應不變法使數(shù)字濾波器在時域上較好地模仿了模擬濾波器，但由于從S平面到Z平面的多值映射，使設計出的數(shù)字濾波器不可避免地出現(xiàn)頻譜混疊。雙線性變換的基本思想就是選擇一種變換關系，使S平面與Z平面間建立一對一的單值映射關系，消除混疊現(xiàn)象，以便有效地保持幅度頻率響應特性不變?？删庉?5一種單值變換關系為：由此確定的S平面與Z平面對應關系見圖6.4.1。(6.4.3)(6.4.4)可編輯66圖6.4.1雙線性變換法的映射關系可編輯67例6.4.1試分別用脈沖響應不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉換成數(shù)字濾波器。解：首先按照圖6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為利用脈沖響應不變法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為可編輯68利用雙線性變換法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡結構分別如圖6.4.5(a)(b)所示。圖6.4.5例6.4.1中H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡結構

(a)H1(z)(b)H2(z)—1可編輯69圖6.4.6例6.4.1中數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性可編輯70雙線性變換所確定的模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω間的關系為：令s=jΩ，z=ejω，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)圖6.4.2雙線性變換法的頻率變換關系可編輯71

在ω不大時，模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω間的映射大致是線性的，但在大部分頻率刻度上，映射是高度非線性的，即當Ω不斷增大時，ω增長得越來越慢，當Ω→+∞時，ω終止于ω=π處。這給雙線性變換法在何時可以應用增加了很大的限制，它要求被變換的連續(xù)系統(tǒng)的幅頻響應必須分段為常數(shù)，否則，數(shù)字幅頻響應會產(chǎn)生彎曲變形。這種頻率的非線性關系可以通過頻率的預畸變進行校正而加以補償?？删庉?2圖6.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射可編輯73

帶有預畸變處理的雙線性變換法設計步驟為：

(1)由待設計數(shù)字濾波器轉折(臨界)頻率(通、阻帶截止頻率)及采樣頻率(1/T)應用

計算出預畸變后模擬濾波器的轉折頻率(參考圖6.4.3)；

(2)按預畸變后模擬轉折頻率設計模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)；

(3)作雙線性變換，即這樣就可以保證變換后的數(shù)字濾波器臨界頻率滿足設計要求?？删庉?4例：對沖激響應不變法最后一例應用雙線性變換法。解：可編輯75雙線性變換法與沖激響應不變法相比，顯然幅頻無混疊。(a)沖激響應不變法(b)雙線性變換法fs=10Hz可編輯76優(yōu)點：(1)雙線性變換法在模擬濾波器和數(shù)字濾波器之間提供了一種簡單的映射，本質上是一種代數(shù)變換，它將S平面上的虛軸映射到Z平面的單位園上；

(2)它具有將可實現(xiàn)的穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)映射為可實現(xiàn)的穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)的性質；

(3)寬帶銳截止模擬濾波器可以映射為寬帶銳截止數(shù)字濾波器，同時不產(chǎn)生頻響混疊。缺點：(1)連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應必須分段為常數(shù)，以補償模擬頻率和數(shù)字頻率刻度間的非線性影響；

(2)經(jīng)雙線性變換后的數(shù)字濾波器沒有保持模擬濾波器的沖激響應和相位響應?？删庉?73.3.1.3頻率變換法

數(shù)字濾波器設計也可以像模擬濾波器一樣，采用頻率變量作適當?shù)淖儞Q，由歸一化的低通濾波器產(chǎn)生出各類數(shù)字濾波器來。結合模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器的各種方法，可以從2個途徑由歸一化的模擬低通原型濾波器得到所需特性的數(shù)字濾波器：設計歸一化模擬低通濾波器

頻率變換

數(shù)字化

數(shù)字→數(shù)字沖激不變法雙線性變換等低通數(shù)字濾波器所需特性數(shù)字濾波器Ωc=1設計歸一化模擬低通濾波器

頻率變換

數(shù)字化

模擬→模擬沖激不變法雙線性變換等所需特性模擬濾波器所需特性數(shù)字濾波器Ωc=1可編輯781.模擬頻率變換

頻率變換在S域中進行：低通→低通Ωc=1Ωp低通→高通Ωc=1Ωp低通→帶通

Ωc=1ΩLΩH低通→帶阻

Ωc=1ΩLΩHΩp:實際低通濾波器的截止頻率(一般指通帶寬度)Ωp:實際高通濾波器的截止頻率(一般指阻帶寬度)ΩL:實際帶通濾波器的通帶下截止頻率ΩH:實際帶通濾波器的通帶上截止頻率ΩL:實際帶阻濾波器的阻帶下截止頻率ΩH:實際帶阻濾波器的阻帶上截止頻率可編輯79

從上述變換可以看出：頻率變換是高度非線性的。由于被變換濾波器的頻率響應在感興趣的頻帶內(nèi)要求逼近一個分段為常數(shù)的特性，使這種非線性不致于引起設計困難。當?shù)屯ㄌ匦宰儞Q到其他特性時，其幅度特性和波動情況仍然保持不變(如圖示)。1δ1Ω|HaN(jΩ)|0歸一化低通濾波器1δΩLΩ|HBP(jΩ)|0帶通濾波器ΩHΩ0可編輯80設計步驟：(1)將待設計的IIR數(shù)字濾波器技術指標轉換成歸一化原型模擬低通濾波器的技術指標；(2)按技術指標設計歸一化原型模擬低通濾波器，得系統(tǒng)函數(shù)為HaN(s)；(3)將歸一化模擬低通濾波器HaN(s)通過頻率變換，轉換成所需性能的低通、高通、帶通、帶阻模擬濾波器Ha(s)；(4)采用沖激響應不變法、雙線性變換法等進行數(shù)字化，將模擬濾波器Ha(s)轉換成所需性能的數(shù)字濾波器H(z)?？删庉?12.數(shù)字頻率變換

頻率變換在Z域中進行：θp

為數(shù)字原型低通濾波器截止頻率低通→低通

θpωp低通→高通

θpωpωp:要求的截止頻率ωp:要求的截止頻率可編輯82低通→帶通

θpωLωHΩL:要求的下截止頻率ΩH:要求的上截止頻率低通→帶阻

θpωLωHΩL:要求的下截止頻率ΩH:要求的上截止頻率可編輯83設計步驟：(1)將待設計的IIR數(shù)字濾波器技術指標轉換成歸一化原型模擬低通濾波器的技術指標；(2)按技術指標設計歸一化原型模擬低通濾波器，得系統(tǒng)函數(shù)為HaN(s)；(3)對歸一化模擬低通濾波器HaN(s)，采用沖激響應不變法、雙線性變換法等進行數(shù)字化，轉換成截止頻率為θp的數(shù)字低通濾波器Hd(z)；(4)利用Z域頻率變換，將數(shù)字低通濾波器Hd(z)轉換成所需性能的數(shù)字濾波器H(z)?？删庉?4

與模擬頻率變換法相比，數(shù)字頻率變換法適用范圍更大。因為在途徑1中，若實現(xiàn)的目標是高通或帶阻數(shù)字濾波器，則數(shù)字化時不宜采用沖激響應不變法，否則高通或帶阻模擬濾波器在數(shù)字化時將產(chǎn)生混疊效應而造成高通或帶阻數(shù)字濾波器頻率特性的改變?？删庉?53.3.1.3直接設計法

前述IIR濾波器設計方法，均是通過模擬原型濾波器數(shù)字化獲得數(shù)字濾波器的，這是一種間接的設計方法，數(shù)字濾波器的幅度特性受到所選模擬濾波器特性的限制，不適宜設計任意幅度特性的數(shù)字濾波器。以下方法可以在數(shù)字域直接設計任意幅度特性的數(shù)字濾波器。可編輯861.零極點累試法方法：(1)根據(jù)欲設計數(shù)字濾波器的幅頻特性|Hd(ejω)|確定零、極點位置，依此寫出系統(tǒng)函數(shù)H(z)，計算幅頻特性|H(ejω)|；

(2)比較|H(ejω)|與|Hd(ejω)|，若不滿足設計指標，修正零、極點位置與數(shù)目，重復上步操作。零極點累試法在確定零極點位置時要注意：

(1)極點必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；

(2)復數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的?？删庉?7

圖6.6.1例6.6.1圖(a)零極點分布(b)幅度特性可編輯882.幅度平方誤差最小法設IIR濾波器由K個二階網(wǎng)絡級聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)為(6.6.1)式中，A是常數(shù)，ai、bi、ci、di是待求系數(shù)。設Hd(ejω)是希望設計的濾波器頻響，如果在(0,π)區(qū)間取N點數(shù)字頻率ωi(i=1,2,…,N)，在這N點頻率上，定義|Hd(ejω)|和|H(ejω)|的幅度平方誤差E為顯然，當E→0時，H(ejω)→Hd(ejω)。(6.6.2)2024/1/589可編輯90

設計原則：使E最小。按照(6.6.2)式，E是(4K+1)個未知數(shù)的函數(shù)，表示為令則解方程組

即可獲得(4K+1)個待定系數(shù)，由此確定出系統(tǒng)函數(shù)H(z)。(6.6.3)可編輯91

幅度平方誤差最小法實質為最小二乘準則，該準則追求的目標是使總的逼近誤差能量最小，但允許在個別頻率點上有較大的誤差。例如，在過渡帶附近。在設計過程中，由于對系統(tǒng)函數(shù)零點或極點的位置沒有加任何限制，有可能使某些零點或極點位于單位圓外。為保證設計出的濾波器是穩(wěn)定的，必須對不穩(wěn)定(單位圓外)的極點進行修正，即用z=1/p*處的極點代替z=p處的極點(假設|p|>1)。如果所設計濾波器要求是最小相位的，則對于單位圓外的零點可以采用同樣的方法重新確定零點位置。用新確定的零、極點再按上述方法重新設計，最終找出逼近設計目標的H(z)?？删庉?2

圖6.6.2例6.6.2圖(a)要求的幅度特性(b)k=1,2時的幅度特性例6.6.2設計低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖6.6.2(a)所示，截止頻率ωs=0.1πrad?？删庉?3若使用的誤差函數(shù)為(6.6.12)則稱為最小p誤差準則。使Ep最小，即可獲得所需H(z)。3.幅值平方函數(shù)設計法數(shù)字濾波器幅值平方函數(shù)表示為如果H(z)H(z-1)可以因式分解確定出零、極點，則Z平面單位圓內(nèi)的極點及對稱零點的一半即構成了H(z)。由于因式分解并非總是可行，因此這種方法受到很大限制。|)p可編輯943.3.2FIR濾波器設計IIR數(shù)字濾波器設計方法能夠較好地保留模擬濾波器的優(yōu)良特性，因而得到廣泛應用。但這一特性的獲得是以相位的非線性為代價的。在許多應用中，如數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹鬟f系統(tǒng)中所需的濾波器，既要求有滿意的幅頻特性，又要具有線性相位特性。FIR即具有此獨特的優(yōu)點，它在設計出任意幅頻特性的同時，可以保證精確、嚴格的線性相位特性?？删庉?53.3.2.1FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性3.3.2.2窗函數(shù)法3.3.2.3頻率采樣法3.3.2.4IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較可編輯963.3.2.1FIR數(shù)字濾波器的線性相位特性1.線性相位條件

FIR數(shù)字濾波器的單位沖激響應h(n)為實序列且有限長(0≤n≤N-1)，其頻率響應為(7.1.1)(7.1.2)可編輯97

如果h(n)滿足偶對稱條件，即

h(n)=h(N-n-1)0≤n≤N-1(7.1.5)

則它具有嚴格線性相位特性(稱為第一類線性相位濾波器)，其相位特性為

θ(ω)=-τω,τ為常數(shù)(7.1.3)

τ=(N-1)/2

此時有τp=τq=τ=常數(shù)，其中相延遲群延遲

群延遲是濾波器平均時延的度量，為頻率函數(shù)。可編輯98

如果h(n)滿足奇對稱條件，即

h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)

則它具有線性相位特性(稱為第二類線性相位濾波器)，其相位特性為

θ(ω)=θ0-τω,θ0是初始相位(7.1.4)

θ0=±π/2τ=(N-1)/2

此時相位為分段線性函數(shù)，濾波器具有恒定群延遲。說明信號通過該濾波器不僅有(N-1)/2個采樣周期的群延遲，而且有±π/2的相移?？删庉?9證明：(1)第一類線性相位條件將(7.1.5)式代入上式得令m=N-n-1，則有(7.1.7)可編輯100按照上式可以將H(z)表示為將z=ejω代入上式，得到：

按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)Hg(ω)和相位函數(shù)分別為(7.1.8)(7.1.9)可編輯101(2)第二類線性相位條件(7.1.10)令m=N-n-1,則有同樣可以表示為n-可編輯102因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為(7.1.11)(7.1.12)2.線性相位FIR濾波器幅度特性Hg(ω)的特點

1)h(n)=h(N-n-1)，N=奇數(shù)Hg(ω)以(N-1)/2為中心，且偶對稱，故幅度函數(shù)表示為可編輯103令m=(N-1)/2-n,則有(7.1.13)(7.1.14)式中

由于(7.1.13)式中cos(ωn)項對ω=0,π,2π皆為偶對稱，因此幅度特性的特點是對ω=0,π,2π偶對稱。mm=1可編輯1042)h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù)

Hg(ω)中相等的項合并成N/2項，即令m=N/2-n,則有(7.1.15)(7.1.16)

幅度特性的特點是對ω=π奇對稱，且ω=π處零點使Hg(π)=0?？删庉?053)h(n)=-h(N-n-1)，N=奇數(shù)

令m=(N-1)/2-n，則有(7.1.17)(7.1.18)

幅度特性Hg(ω)在ω=0,π,2π處為零，即z=±1處是零點，且Hg(ω)對ω=0,π,2π呈奇對稱。可編輯1064)h(n)=-h(N-n-1)，N=偶數(shù)令m=N/2-n,則有(7.1.19)(7.1.20)(

幅度特性Hg(ω)在ω=0,2π處為零，即z=1處是零點，且Hg(ω)對ω=0,2π呈奇對稱，對ω=π呈偶對稱?？删庉?07可編輯108奇對稱h(n)=-h(N-n-1)可編輯1093.線性相位FIR濾波器零點分布特點第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(7.1.7)式和(7.1.10)式，綜合起來表示為：(7.1.21)圖7.1.1線性相位FIR濾波器零點分布

零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，確定其一，另外3(或1)個隨之確定?？删庉?104.線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡結構設N為偶數(shù)，則有令m=N-n-1,則有(7.1.22)如果N為奇數(shù)，則將中間項h[(N-1)/2]單獨列出，(7.1.23)可編輯111圖7.1.2第一類線性相位網(wǎng)絡結構可編輯112圖7.1.3第二類線性相位網(wǎng)絡結構可編輯113

結論：

FIR線性相位特性說明，只要將h(n)設計成有限長對稱結構，則由h(n)確定的濾波器必然具有線性相位特性。從設計角度來看，線性相位特性的最大好處就是可以簡化FIR濾波器的設計。因為此時濾波器對輸入信號的所有頻率分量呈現(xiàn)相同的純時間延遲(該延遲等于相頻特性的斜率，即時常數(shù))，所以設計該類濾波器時只需逼近期望的幅頻特性即可?？删庉?145.FIR濾波器特點由于h(n)有限，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)函數(shù)和遞推公式表示為

系統(tǒng)函數(shù)由(N-1)個零點及(N-1)個原點上的極點構成，故濾波器特性完全由零點確定。濾波器輸出只取決于輸入，故結構為橫向、非遞歸結構?？衫肍FT通過快速卷積確定濾波器輸出，有時也可用遞歸結構實現(xiàn)FIR濾波器(更經(jīng)濟)。由于零點對系統(tǒng)穩(wěn)定性沒有影響，所以FIR濾波器總是穩(wěn)定的；又由于h(n)全部定義在正時間軸上，所以FIR濾波器也總是因果的?？删庉?153.3.2.2窗函數(shù)法

1.設計思想設計FIR濾波器最直接最簡單的方法就是將無限時寬沖激響應截短得到有限長度沖激響應。窗函數(shù)法的設計依據(jù)是濾波器的理想頻率響應Hd(ejω)，由此可確定出與其對應的單位脈沖響應hd(n)，即由于Hd(ejω)一般為分段恒定，且在通帶與阻帶邊界上有突跳點，故hd(n)一般具有無限時寬。n可編輯116

為了構造長度為N的線性相位濾波器，用RN(n)(矩形窗序列)截取hd(n)，得

h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)

再使h(n)對(N-1)/2對稱，這樣即獲得了數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)

這就是用窗函數(shù)法設計FIR濾波器的基本思想?？删庉?17圖7.2.1理想低通的單位脈沖響應及矩形窗可編輯1182.窗函數(shù)的影響研究結果表明，這種加窗處理方法會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象(振蕩)。對(7.2.3)式進行傅里葉變換，根據(jù)復卷積定理，得式中Hd(ejω)和RN(ejω)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即RN(ω)稱為矩形窗的幅度函數(shù)。(7.2.5)可編輯119將Hd(ejω)寫成Hd(ω)為理想數(shù)字濾波器的幅度特性，將Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得將H(ejω)也寫成(7.2.6)可編輯120圖7.2.2矩形窗對理想低通幅度特性的影響可編輯121

由上述分析可知，對hd(n)加矩形窗后，H(ω)和理想Hd(ω)有以下差別：

(1)在理想特性不連續(xù)點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN(ω)主瓣寬度，即4π/N。

(2)窗函數(shù)的旁瓣使通帶內(nèi)增加了波動，最大的峰值在ωc-2π/N處；阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負峰在ωc+2π/N處。波動幅度取決于旁瓣與主瓣相對幅度，波動數(shù)目取決于旁瓣數(shù)目。

(3)增加窗函數(shù)的長度N，只能減少其主瓣寬度，而不能改變旁瓣與主瓣幅度的相對值，該值主要取決于窗函數(shù)的形狀?？删庉?22

為了使H(ejω)盡可能逼近Hd(ejω)，需要從窗函數(shù)的長度、形狀加以適當選擇。窗函數(shù)選擇的一般原則為：

(1)具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度；

(2)旁瓣幅度下降速率要大，以利于增加阻帶衰減；

(3)主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶。選擇平滑窗函數(shù)可以降低旁瓣幅度，減輕吉布斯現(xiàn)象，但付出的代價是加寬了主瓣，從而加寬了濾波器的過渡帶?？删庉?233.常用的窗函數(shù)設h(n)=hd(n)w(n)

式中w(n)表示窗函數(shù)。下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。

(1)矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)

其頻率響應為主瓣寬度4π/N，第一旁瓣幅度比主瓣低13dB?？删庉?24(2)三角形窗(BartlettWindow)(7.2.8)其頻率響應為主瓣寬度8π/N，第一旁瓣幅度比主瓣低26dB。(7.2.9)可編輯125(3)漢寧(Hanning)窗——升余弦窗當時，N-1≈N，能量更集中于主瓣，代價為主瓣寬度8π/N。w可編輯126圖7.2.3漢寧窗的幅度特性可編輯127(4)哈明(Hamming)窗——改進的升余弦窗(7.2.11)其頻域函數(shù)WHm(ejω)為其幅度函數(shù)WHm(ω)為當N>>1時，可近似表示為Ww

主瓣能量約占99.96%，寬度8π/N，第一旁瓣幅度比主瓣低40dB?？删庉?28(5)布萊克曼(Blackman)窗(7.2.13)其頻域函數(shù)為其幅度函數(shù)為(7.2.14)w44旁瓣進一步抵消，阻帶衰減進一步增加，過渡帶是矩形窗的3倍?？删庉?29圖7.2.4常用窗函數(shù)可編輯130

圖7.2.5常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗可編輯131

圖7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；

(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗可編輯132(6)凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-BaselWindow)式中I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：

一般I0(x)取15~25項。α控制窗形狀，α加大，主瓣加寬，旁瓣減小，典型值為4<α<9。當α=5.44時，窗函數(shù)接近哈明窗；α=7.865時，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為(7.2.16)可編輯133

表7.2.1凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響可編輯134表7.2.2六種窗函數(shù)的基本參數(shù)可編輯135

窗函數(shù)法設計FIR濾波器的步驟：(1)Hd(ejω)→hd(n)

如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ejω)，則或用Hd(ejω)的M個采樣點計算(7.2.17)(7.2.18)根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應滿足如下關系：可編輯136(2)選擇w(n)

根據(jù)對過渡帶Δω及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式、窗口長度N。待求濾波器過渡帶Δω近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，N≈A/Δω，A選擇見7.2.2表。(3)hd(n)→hN(n)

由于Hd(ejω)通常以ω=0偶對稱，使得hd(n)以n=0為對稱軸，為了獲得對稱的hN(n)(線性相位條件)，將w(n)定義在[-N/2，N/2-1]區(qū)間上，得

hN(n)=hd(n)w(n)-N/2≤n≤N/2-1可編輯137(4)hN(n)→因果序列h(n)hN(n)為非因果序列，通過移位可將其轉變?yōu)橐蚬蛄衕(n)，即N為奇數(shù)：

N為偶數(shù)：(5)濾波器分析設計出的濾波器頻率響應為：檢驗技術指標是否滿足要求，若滿足指標，設計結束；否則重新選擇w(n)，重復步驟(2)~(5)。實現(xiàn)：利用計算機并采用試探法為可行途徑。可編輯138

窗函數(shù)法是一種很吸引人的技術，但有3個問題常常妨礙它的實際應用：一是利用積分求解h(n)可能存在一定困難(如得不到閉合解，求解過于復雜等)，用采樣值求解可能會引入誤差；二是缺乏設計的靈活性，設計中只能改變窗函數(shù)；三是設計出的濾波器難于確定邊界頻率，這是由于窗孔“涂抹”掉了濾波器頻域中的不連續(xù)點，使其變?yōu)榱诉^渡帶。優(yōu)點：能用最少的計算量比較直接地獲得濾波器的沖激響應。缺點：得到的FIR濾波器不滿足已知的任何最優(yōu)準則?？删庉?39例7.2.1用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計FIR低通濾波器，設N=11,ωc=0.2πrad。解：用理想低通作為逼近濾波器，按照(7.2.2)式，有顯然h(n)=h(N-1-n)，所以該濾波器具有線性相位特性?？删庉?40用漢寧窗設計：用布萊克曼窗設計：可編輯141圖7.2.7例7.2.1的低通幅度特性可編輯142例：采用矩形窗，設計具有理想高通特性的FIR線性相位濾波器。N為奇數(shù)，截止頻率為ωc。解：可編輯1433.3.2.3頻率采樣法1.設計思想

2.設計實現(xiàn)設待設計的濾波器的頻率響應函數(shù)為Hd(ejω)，對它在ω=0到2π之間等間隔采樣N點，得到Hd(k)再對N點Hd(k)進行IDFT，得到h(n)(7.3.1)(7.3.2)N可編輯144(7.3.2)式確定的h(n)就是所設計濾波器的沖激響應，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為(7.3.3)(7.3.4)可編輯145

(1)頻率采樣結構

(7.3.4)式說明，由H(z)確定的系統(tǒng)結構是FIR子系統(tǒng)和IIR子系統(tǒng)的串聯(lián)。將(7.3.4)式寫成下式：(5.4.2)式中Hc(z)是FIR濾波器，稱為梳狀濾波器(參考第八章)，其零點為Hk(z)是單極點IIR濾波器，稱為諧振器，諧振頻率為可編輯146圖5.4.3FIR濾波器頻率采樣結構

H(k)=Hd(k)可編輯147頻率采樣結構特點優(yōu)點：

(1)在頻率采樣點ωk，Hd(ejωk)=H(k)，只要調整H(k)(即一階網(wǎng)絡Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k))，就可以有效地調整頻響特性，使調整方便可行。

(2)只要h(n)長度N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N個一階網(wǎng)絡部分結構完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標準化、模塊化。缺點：

(1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠單位圓上的N個零極點對消來保證的，若由于誤差等原因造成零極點無法對消，會使系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(2)結構中，H(k)和WN-k一般為復數(shù)，要求乘法器完成復數(shù)乘法運算，這對硬件實現(xiàn)是不方便的?？删庉?48修正結構：首先，將單位圓上的零極點向單位圓內(nèi)收縮到半徑為r的圓上，取r<1且r≈1。此時H(z)為(5.4.3)

其次，利用DFT的共軛對稱性。如果h(n)是實數(shù)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關于N/2點共軛對稱，即

H(k)=H*(N-k)，且WN-k=WN-(N-k)

將Hk(z)和HN-k(z)合并為一個二階網(wǎng)絡，并記為Hk(z)，則可編輯149

顯然，二階網(wǎng)絡Hk(z)的系數(shù)都為實數(shù)，其結構如圖5.4.4(a)所示。當N為偶數(shù)時，H(z)可表示為式中(5.4.4)

式中H(0)和H(N/2)為實數(shù)，對應的頻率采樣修正結構由N/2-1個二階網(wǎng)絡和兩個一階網(wǎng)絡并聯(lián)構成，如圖5.4.4(b)所示。當N=奇數(shù)時，只有一個采樣值H(0)為實數(shù)，H(z)可表示為(5.4.5)可編輯150圖5.4.4頻率采樣修正結構可編輯151(2)頻率響應特性|Hc(ejω)|ωπ均勻分布的N個零點ImReω1=2π/NImReωk=2πk/N|Hk(ejω)|ωπ梳狀濾波器諧振器可編輯152Hc(z)與Hk(z)級聯(lián)，得當i=k時，梳狀濾波器的零點WN-k與諧振器的極點WN-k相抵消，使頻率點ωk=(2πk)/N上的頻率響應等于H(k)，如圖所示。

N個諧振器Hk(z)(k=0~N-1)的N個極點恰好各自抵消梳狀濾波器的一個零點，使N個頻率采樣點(ωk=(2πk)/N,k=0~N-1)上的頻率響應分別等于N個H(k)值。ImReωk=2πk/N|HFIk(ejω)|ωπ|H(k)|可編輯153

所以，系統(tǒng)的總頻率響應由HFIk(ejω)疊加而成，即可編輯154

顯然，由頻率采樣法確定的系統(tǒng)在頻率采樣點上嚴格有而在采樣點間則為內(nèi)插值(頻域采樣定理的一種實現(xiàn))。(3)頻率采樣法設計線性相位濾波器的條件

FIR濾波器具有線性相位的條件：h(n)是實序列，且滿足h(n)=h(N-n-1)。已推導出此時頻率響應幅度函數(shù)應滿足的條件是：(7.3.5)(7.3.6)(7.3.7)奇數(shù)偶數(shù)可編輯155

在ω=0~2π之間等間隔采樣N點，

將ω=ωk代入(7.3.4)~(7.3.7)式中，并寫成k的函數(shù)：(7.3.8)(7.3.9)(7.3.10)(7.3.11)奇數(shù)偶數(shù)NN可編輯156(4)逼近誤差對待設計數(shù)字濾波器特性的描述一般采用連續(xù)頻譜，當用有限采樣值逼近時，必然存在一定的逼近誤差(時域反映即為用有限長沖激響應逼近無限長沖激響應)。當被逼近的頻率響應較平滑時，在各采樣點之間的逼近誤差較??；反之，逼近誤差較大。為了減小逼近誤差，可采用人為地擴展過渡帶的方法。經(jīng)證明，過渡帶中的內(nèi)插函數(shù)對于相鄰頻帶中的波紋能產(chǎn)生良好的抵消作用?？删庉?57圖7.3.1理想低通濾波器增加過渡點可編輯158例7.3.1利用頻率采樣法設計線性相位低通濾波器，要求截止頻率ωc=π/2rad，采樣點數(shù)N=33，選用h(n)=h(N-1-n)情況。解：用理想低通作為逼近濾波器。按照(7.3.12)式，對理想低通幅度特性采樣情況如