實驗數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理

第二章實驗數(shù)據(jù)誤差分析和數(shù)據(jù)處理實驗數(shù)據(jù)的誤差分析由于實驗方法和實驗設(shè)備的不完善，周圍環(huán)境的影響，以及人的觀察力，測量程序等限制，實驗觀測值和真值之間，總是存在一定的差異。人們常用絕對誤差、相對誤差或有效數(shù)字來說明一個近似值的準確程度。為了評定實驗數(shù)據(jù)的精確性或誤差，認清誤差的來源及其影響，需要對實驗的誤差進行分析和討論。由此可以判定哪些因素是影響實驗精確度的主要方面，從而在以后實驗中，進一步改良實驗方案，縮小實驗觀測值和真值之間的差值，提高實驗的精確性。一、誤差的根本概念測量是人類認識事物本質(zhì)所不可缺少的手段。通過測量和實驗?zāi)苁谷藗儗κ挛铽@得定量的概念和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律性?？茖W(xué)上很多新的發(fā)現(xiàn)和突破都是以實驗測量為根底的。測量就是用實驗的方法，將被測物理量與所選用作為標準的同類量進行比擬，從而確定它的大小。真值是待測物理量客觀存在確實定值，也稱理論值或定義值。通常真值是無法測得的。假設(shè)在實驗中，測量的次數(shù)無限多時，根據(jù)誤差的分布定律，正負誤差的出現(xiàn)幾率相等。再經(jīng)過細致地消除系統(tǒng)誤差，將測量值加以平均，可以獲得非常接近于真值的數(shù)值。但是實際上實驗測量的次數(shù)總是有限的。用有限測量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有以下幾種:(1)算術(shù)平均值算術(shù)平均值是最常見的一種平均值。設(shè)、、……、為各次測量值，代表測量次數(shù)，那么算術(shù)平均值為

(2-1)(2)幾何平均值幾何平均值是將一組n個測量值連乘并開n次方求得的平均值。即(2-2)〔3〕均方根平均值(2-3)(4)對數(shù)平均值在化學(xué)反響、熱量和質(zhì)量傳遞中，其分布曲線多具有對數(shù)的特性，在這種情況下表征平均值常用對數(shù)平均值。設(shè)兩個量、，其對數(shù)平均值(2-4)應(yīng)指出，變量的對數(shù)平均值總小于算術(shù)平均值。當/≤2時，可以用算術(shù)平均值代替對數(shù)平均值。當/=2，=1.443,1.50,(-)／=4.2%,即/≤2，引起的誤差不超過%。以上介紹各平均值的目的是要從一組測定值中找出最接近真值的那個值。在化工實驗和科學(xué)研究中，數(shù)據(jù)的分布較多屬于正態(tài)分布，所以通常采用算術(shù)平均值。根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，一般分為三類：〔1〕系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在測量和實驗中未覺察或未確認的因素所引起的誤差，而這些因素影響結(jié)果永遠朝一個方向偏移，其大小及符號在同一組實驗測定中完全相同，當實驗條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就獲得一個客觀上的恒定值。當改變實驗條件時，就能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：測量儀器不良，如刻度不準，儀表零點未校正或標準表本身存在偏差等；周圍環(huán)境的改變，如溫度、壓力、濕度等偏離校準值；實驗人員的習(xí)慣和偏向，如讀數(shù)偏高或偏低等引起的誤差。針對儀器的缺點、外界條件變化影響的大小、個人的偏向，待分別加以校正后，系統(tǒng)誤差是可以去除的。〔2〕偶然誤差在已消除系統(tǒng)誤差的一切量值的觀測中，所測數(shù)據(jù)仍在末一位或末兩位數(shù)字上有差異，而且它們的絕對值和符號的變化，時而大時而小，時正時負，沒有確定的規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差或隨機誤差。偶然誤差產(chǎn)生的原因不明，因而無法控制和補償。但是，倘假設(shè)對某一量值作足夠?qū)掖蔚牡染葴y量后，就會發(fā)現(xiàn)偶然誤差完全服從統(tǒng)計規(guī)律，誤差的大小或正負的出現(xiàn)完全由概率決定。因此，隨著測量次數(shù)的增加，隨機誤差的算術(shù)平均值趨近于零，所以屢次測量結(jié)果的算數(shù)平均值將更接近于真值?！?〕過失誤差過失誤差是一種顯然與事實不符的誤差，它往往是由于實驗人員粗心大意、過度疲勞和操作不正確等原因引起的。此類誤差無規(guī)那么可尋，只要加強責(zé)任感、多方警惕、細心操作，過失誤差是可以防止的。3、精密度、準確度和精確度反映測量結(jié)果與真實值接近程度的量，稱為精度〔亦稱精確度〕。它與誤差大小相對應(yīng)，測量的精度越高，其測量誤差就越小?！熬权晳?yīng)包括精密度和準確度兩層含義?！?〕精密度：測量中所測得數(shù)值重現(xiàn)性的程度，稱為精密度。它反映偶然誤差的影響程度，精密度高就表示偶然誤差小?！?〕準確度測量值與真值的偏移程度，稱為準確度。它反映系統(tǒng)誤差的影響精度，準確度高就表示系統(tǒng)誤差小?！?〕精確度〔精度〕它反映測量中所有系統(tǒng)誤差和偶然誤差綜合的影響程度。在一組測量中，精密度高的準確度不一定高，準確度高的精密度也不一定高，但精確度高，那么精密度和準確度都高。為了說明精密度與準確度的區(qū)別，可用下述打靶子例子來說明。如圖2-1所示。圖2-1(a)中表示精密度和準確度都很好，那么精確度高；圖2-1(b)表示精密度很好，但準確度卻不高；圖2-1(c)表示精密度與準確度都不好。在實際測量中沒有像靶心那樣明確的真值，而是設(shè)法去測定這個未知的真值。學(xué)生在實驗過程中，往往滿足于實驗數(shù)據(jù)的重現(xiàn)性，而忽略了數(shù)據(jù)測量值的準確程度。絕對真值是不可知的，人們只能訂出一些國際標準作為測量儀表準確性的參考標準。隨著人類認識運動的推移和開展，可以逐步逼近絕對真值。〔a〕〔b〕〔c〕圖2-1精密度和準確度的關(guān)系4、誤差的表示方法利用任何量具或儀器進行測量時，總存在誤差，測量結(jié)果總不可能準確地等于被測量的真值，而只是它的近似值。測量的質(zhì)量上下以測量精確度作指標，根據(jù)測量誤差的大小來估計測量的精確度。測量結(jié)果的誤差愈小，那么認為測量就愈精確。〔1〕絕對誤差測量值和真值之差為絕對誤差，通常稱為誤差。記為：(2-5)由于真值一般無法求得，因而上式只有理論意義。常用高一級標準儀器的示值作為實際值以代替真值。由于高一級標準儀器存在較小的誤差，因而A不等于，但總比更接近于。與之差稱為儀器的示值絕對誤差。記為(2-6)與d相反的數(shù)稱為修正值，記為(2-7)通過檢定，可以由高一級標準儀器給出被檢儀器的修正值。利用修正值便可以求出該儀器的實際值。即(2-8)〔2〕相對誤差衡量某一測量值的準確程度，一般用相對誤差來表示。示值絕對誤差與被測量的實際值的百分比值稱為實際相對誤差。記為(2-9)以儀器的示值代替實際值的相對誤差稱為示值相對誤差。記為(2-10)一般來說，除了某些理論分析外，用示值相對誤差較為適宜。〔3〕引用誤差為了計算和劃分儀表精確度等級，提出引用誤差概念。其定義為儀表示值的絕對誤差與量程范圍之比。(2-11)--示值絕對誤差；--標尺上限值-標尺下限值。〔4〕算術(shù)平均誤差算術(shù)平均誤差是各個測量點的誤差的平均值。(2-12)—測量次數(shù)；—為第次測量的誤差。〔5〕標準誤差標準誤差亦稱為均方根誤差。其定義為(2-13)上式使用于無限測量的場合。實際測量工作中，測量次數(shù)是有限的，那么改用下式(2-14)標準誤差不是一個具體的誤差，的大小只說明在一定條件下等精度測量集合所屬的每一個觀測值對其算術(shù)平均值的分散程度，如果的值愈小那么說明每一次測量值對其算術(shù)平均值分散度就小，測量的精度就高，反之精度就低。在化工原理實驗中最常用的形管壓差計、轉(zhuǎn)子流量計、秒表、量筒、電壓等儀表原那么上均取其最小刻度值為最大誤差，而取其最小刻度值的一半作為絕對誤差計算值。5、測量儀表精確度測量儀表的精確等級是用最大引用誤差〔又稱允許誤差〕來標明的。它等于儀表示值中的最大絕對誤差與儀表的量程范圍之比的百分數(shù)。(2-15)式中：δmax——儀表的最大測量引用誤差；dmax——儀表示值的最大絕對誤差；Xn——標尺上限值—標尺下限值。通常情況下是用標準儀表校驗較低級的儀表。所以，最大示值絕對誤差就是被校表與標準表之間的最大絕對誤差。測量儀表的精度等級是國家統(tǒng)一規(guī)定的，把允許誤差中的百分號去掉，剩下的數(shù)字就稱為儀表的精度等級。儀表的精度等級常以圓圈內(nèi)的數(shù)字標明在儀表的面板上。例如某臺壓力計的允許誤差為1.5%，這臺壓力計電工儀表的精度等級就是，通常簡稱級儀表。儀表的精度等級為a，它說明儀表在正常工作條件下，其最大引用誤差的絕對值δmax不能超過的界限，即(2-16)由式(2-16)可知，在應(yīng)用儀表進行測量時所能產(chǎn)生的最大絕對誤差〔簡稱誤差限〕為(2-17)而用儀表測量的最大值相對誤差為(2-18)由上式可以看出，用只是儀表測量某一被測量所能產(chǎn)生的最大示值相對誤差，不會超過儀表允許誤差a%乘以儀表測量上限Xn與測量值X的比。在實際測量中為可靠起見，可用下式對儀表的測量誤差進行估計，即(2-19)[例2-1]用量限為5A，精度為級的電流表，分別測量兩個電流，I1=5A,I2=,試求測量I1和I2的相對誤差為多少？由此可見，當儀表的精度等級選定時，所選儀表的測量上限越接近被測量的值，那么測量的誤差的絕對值越小。[例2-2]欲測量約90V的電壓，實驗室現(xiàn)有級0-300V和1.0級0-100V的電壓表。問選用哪一種電壓表進行測量為好？用級0-300V的電壓表測量90V的相對誤差為用級0-100V的電壓表測量90V的相對誤差為上例說明，如果選擇得當，用量程范圍適當?shù)募墐x表進行測量，能得到比用量程范圍大的級儀表更準確的結(jié)果。因此，在選用儀表時，應(yīng)根據(jù)被測量值的大小，在滿足被測量數(shù)值范圍的前提下，盡可能選擇量程小的儀表，并使測量值大于所選儀表滿刻度的三分之二，即X＞2Xn/3。這樣就可以到達滿足測量誤差要求，又可以選擇精度等級較低的測量儀表，從而降低儀表的本錢。二、有效數(shù)字及其運算規(guī)那么在科學(xué)與工程中，該用幾位有效數(shù)字來表示測量或計算結(jié)果，總是以一定位數(shù)的數(shù)字來表示。不是說一個數(shù)值中小數(shù)點后面位數(shù)越多越準確。實驗中從測量儀表上所讀數(shù)值的位數(shù)是有限的，而取決于測量儀表的精度，其最后一位數(shù)字往往是儀表精度所決定的估計數(shù)字。即一般應(yīng)讀到測量儀表最小刻度的十分之一位。數(shù)值準確度大小由有效數(shù)字位數(shù)來決定。有效數(shù)字一個數(shù)據(jù)，其中除了起定位作用的“0〞外，其他數(shù)都是有效數(shù)字。如只有兩位有效數(shù)字，而那么有四位有效數(shù)字。一般要求測試數(shù)據(jù)有效數(shù)字為4位。要注意有效數(shù)字不一定都是可靠數(shù)字。如測流體阻力所用的U形管壓差計，最小刻度是1mm，但我們可以讀到，如。又如二等標準溫度計最小刻度為℃，我們可以讀到℃，如℃。此時有效數(shù)字為4位，而可靠數(shù)字只有三位，最后一位是不可靠的，稱為可疑數(shù)字。記錄測量數(shù)值時只保存一位可疑數(shù)字。為了清楚地表示數(shù)值的精度，明確讀出有效數(shù)字位數(shù)，常用指數(shù)的形式表示，即寫成一個小數(shù)與相應(yīng)10的整數(shù)冪的乘積。這種以10的整數(shù)冪來記數(shù)的方法稱為科學(xué)記數(shù)法。如75200有效數(shù)字為4位時，記為7.520*105有效數(shù)字為3位時，記為7.52*105有效數(shù)字為2位時，記為7.5*1050.00478有效數(shù)字為4位時，記為4.780*10-3有效數(shù)字為3位時，記為8*10-3有效數(shù)字為2位時，記為4.7*10-32、有效數(shù)字運算規(guī)那么〔1〕記錄測量數(shù)值時，只保存一位可疑數(shù)字?！?〕當有效數(shù)字位數(shù)確定后，其余數(shù)字一律舍棄。舍棄方法是四舍六入，即末位有效數(shù)字后邊第一位小于5，那么舍棄不計；大于5那么在前一位數(shù)上增1；等于5時，前一位為奇數(shù)，那么進1為偶數(shù)，前一位為偶數(shù)，那么舍棄不計。這種舍入原那么可簡述為：“小那么舍，大那么入，正好等于奇變偶〞。如：保存4位有效數(shù)字→;→→→〔3〕在加減計算中，各數(shù)所保存的位數(shù)，應(yīng)與各數(shù)中小數(shù)點后位數(shù)最少的相同。例如將24三個數(shù)字相加時，應(yīng)寫為24.65+0.01+1.63=26.29?！?〕在乘除運算中，各數(shù)所保存的位數(shù)，以各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個數(shù)為準；其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)亦應(yīng)與原來各數(shù)中有效數(shù)字最少的那個數(shù)相同。例如：××應(yīng)寫成××6=0.328。上例說明，雖然這三個數(shù)的乘積為0.3281823，但只應(yīng)取其積為0.328?！?〕在對數(shù)計算中，所取對數(shù)位數(shù)應(yīng)與真數(shù)有效數(shù)字位數(shù)相同。三、誤差的根本性質(zhì)在化工原理實驗中通常直接測量或間接測量得到有關(guān)的參數(shù)數(shù)據(jù)，這些參數(shù)數(shù)據(jù)的可靠程度如何？如何提高其可靠性？因此，必須研究在給定條件下誤差的根本性質(zhì)和變化規(guī)律。1、誤差的正態(tài)分布如果測量數(shù)列中不包括系統(tǒng)誤差和過失誤差，從大量的實驗中發(fā)現(xiàn)偶然誤差的大小有如下幾個特征：〔1〕絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的時機多，即誤差的概率與誤差的大小有關(guān)。這是誤差的單峰性。〔2〕絕對值相等的正誤差或負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相當，即誤差的概率相同。這是誤差的對稱性?！?〕極大的正誤差或負誤差出現(xiàn)的概率都非常小，即大的誤差一般不會出現(xiàn)。這是誤差的有界性?！?〕隨著測量次數(shù)的增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。這叫誤差的低償性。根據(jù)上述的誤差特征，可疑的出誤差出現(xiàn)的概率分布圖，如圖2-2所示。圖中橫坐標表示偶然誤差，縱坐標表示個誤差出現(xiàn)的概率，圖中曲線稱為誤差分布曲線，以表示。其數(shù)學(xué)表達式有高斯提出，具體形式為：(2--20)或(2--21)上式稱為高斯誤差分布定律亦稱為誤差方程。式中σ為標準誤差，h為精確度指數(shù)，σ和h的關(guān)系為(2--22)假設(shè)誤差按函數(shù)關(guān)系分布，那么稱為正態(tài)分布。σ越小，測量精度越高，分布曲線的峰越高切窄；σ越大，分布曲線越平坦且越寬，如圖1-3所示。由此可知，σ越小，小誤差占的比重越大，測量精度越高。反之，那么大誤差占的比重越大，測量精度越低。2、測量集合的最正確值在測量精度相同的情況下，測量一系列觀測值,,,……,所組成的測量集合，假設(shè)圖2-2誤差分布其平均值為,那么各次測量誤差為,i=1、2…n，當采用不同的方法計算平均值時，所得到誤差值不同，誤差出現(xiàn)的概率亦不同。假設(shè)選取適當?shù)挠嬎惴椒?，使誤差最小，而概率最大，由此計算的平均值為最正確值。根據(jù)高斯分布定律，只有各點誤差平方和最小，才能實現(xiàn)概率最大。這就是最小乘法值。由此可見，對于一組精度相同的觀測值，采用算術(shù)平均得到的值是該組觀測值的最正確值。圖2-3不同σ的誤差分布曲線有限測量次數(shù)中標準誤差σ的計算由誤差根本概念知，誤差是觀測值和真值之差。在沒有系統(tǒng)誤差存在的情況下，以無限屢次測量所得到的算術(shù)平均值為真值。當測量次數(shù)為有限時，所得到的算術(shù)平均值近似于真值，稱最正確值。因此，觀測值與真值之差不同于觀測值與最正確值之差。令真值為A，計算平均值為a，觀測值為M，并令d=M-a，D=M-A，那么…………因為代入中，即得〔2—23〕將式〔2—23〕式代入di=Mi-a中得〔2—24〕將式〔2—24〕兩邊各平方得…………對i求和因在測量中正負誤差出現(xiàn)的時機相等，故將〔ΣDi〕2展開后，D1﹒D2、D1﹒D3…，為正為負的數(shù)目相等，彼此相消，故得從上式可以看出，在有限測量次數(shù)中，自算數(shù)平均值計算的誤差平方和永遠小于自真值計算的誤差平方和。根據(jù)標準誤差的定義式中ΣDi2代表觀測次數(shù)為無限多時誤差的平方和，故當觀測次數(shù)有限時，〔2—25〕4．可疑觀測值的舍棄由概率積分知，隨機誤差正態(tài)分布曲線下的全部積分，相當于全部誤差同時出現(xiàn)的概率，即〔2—26〕假設(shè)誤差x以標準誤差σ的倍數(shù)表示，即x=tσ，那么在±tσ范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為2Φ(t)，超出這個范圍的概率為1-2Φ(t)。Φ(t)稱為概率函數(shù)，表示為〔2—27〕2Φ(t)與t的對應(yīng)值在數(shù)學(xué)手冊或?qū)Ｖ芯接写祟惙e分表，讀者需要時可自行查取。在使用積分表時，需t值。由表2-1和圖〔2-4〕給出幾個典型及其相應(yīng)的超出或不超出|x|的概率。由表2-1知，當t=3,|x|=3σ時，在370次觀測中只有一次測量的誤差超過3σ范圍。在有限次的觀測中，一般測量次數(shù)不超過十次，可以認為誤差大于3σ，可能是由于過失誤差或?qū)嶒灄l件變化未被覺察等原因引起的。因此，但凡誤差大于3σ的數(shù)據(jù)點予以舍棄。這種判斷可疑實驗數(shù)據(jù)的原那么稱為3σ準那么。5．函數(shù)誤差上述討論主要是直接測量的誤差計算問題，但在許多場合下，往往涉及間接測量的變量，所謂間接測量是通過直接測量的量之間有一定的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)函數(shù)被測的量，如傳熱問題中的傳熱速率。因此，間接測量值就是直接測量得到的各個測量值的函數(shù)。其測量誤差是各個測量值誤差的函數(shù)。圖2-4誤差分布曲線的積分表2-1誤差概率和出現(xiàn)次數(shù)t|x|=tσ不超出|x|的概率2φ(t)超出|x|的概率1-2φ(t)測量次數(shù)n超出|x|的測量次數(shù)σ2111σ3122σ22133σ370144σ111111函數(shù)誤差的一般形式在間接測量中，一般為多元函數(shù)，而多元函數(shù)可用下式表示：y=f(x1,x2,…,xn)〔2—28〕式中y—間接測量值；xi—直接測量值。由臺勞級數(shù)展開得〔2—29〕或它的最大絕對誤差為〔2—30〕式中—誤差傳遞系數(shù)；Δxi—直接測量值的誤差；Δy—間接測量值的最大絕對誤差。函數(shù)的相對誤差δ為〔2—31〕〔2〕某些函數(shù)誤差的計算函數(shù)y=x±z絕對誤差和相對誤差由于誤差傳遞系數(shù)，那么函數(shù)最大絕對誤差Δy=±〔|Δx|+|Δz|〕〔2—32〕相對誤差〔2—33〕②函數(shù)形式為，x、z、w為變量誤差傳遞系數(shù)為：函數(shù)的最大絕對誤差為〔2—34〕函數(shù)的最大相對誤差為〔2—35〕現(xiàn)將某些常用函數(shù)的最大絕對誤差和相對誤差列于表2—2中。[例2-3]用量熱器