線性代數(shù)完整

第一章行列式

線性代數(shù)§1–1二階與三階行列式第一章行列式§1–3n階行列式的定義§1–2全排列及其逆序數(shù)§1–4對換§1–5行列式的性質(zhì)§1–6行列式的展開§1–7克拉默法則§1-1二階與三階行列式行列式（determinant

）的歷史行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過程中。十七世紀萊布尼茨的著作中已使用行列式來確定線性方程組解的個數(shù)及形式。十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀以后，行列式理論進一步得到發(fā)展和完善。

萊布尼茨：歷史上少見的通才，被譽為十七世紀的亞里士多德。在數(shù)學(xué)上，他和牛頓先后獨立發(fā)明了微積分。在哲學(xué)上，萊布尼茨的“樂觀主義”最為著名。他對物理學(xué)的發(fā)展也做出了重大貢獻。由于萊布尼茨曾在德國漢諾威生活和工作了近四十年，為紀念他和他的學(xué)術(shù)成就，2006年7月1日，也就是萊布尼茨360周年誕辰之際，漢諾威大學(xué)正式改名為漢諾威萊布尼茨大學(xué)。

用消元法解二元線性方程組a11x1

a12x2

b1a21x1

a22x2

b2

一、二元線性方程組與二階行列式

1、二元線性方程組b1b2a12a22a11a21a12a22————

x1

a11a21

b1b2a11a21a12a22————

x2

a11a21a12a22

我們用符號

表示代數(shù)和a11a22

a12a21

這樣就有a11a21a12a22

我們用符號

表示代數(shù)和a11a22

a12a21

稱為二階行列式。2、二階行列式即二階行列式表示為：行列式中的相關(guān)術(shù)語

行列式的元素、a11a21a12a22行、列、主對角線、副對角線a11a21a12a22對角線法則

a12a21

=a11a22二階行列式是主對角線上兩元素之積減去的副對角線上二元素之積所得的差

[例1]求解二元線性方程組

[解]二、三階行列式

1、三階行列式的定義設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表：用符號

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31

并稱它為三階行列式。代表代數(shù)和2、行列式中的相關(guān)術(shù)語行列式的元素、行、列、主對角線、副對角線

3、三階行列式的計算（對角線法則或沙路法則

）

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31

[例2]

計算三階行列式

1-2-3224-41-2D=按對角線法則

有

[解]

(

4)

2

(

3)

(

4)

(

2)

4D

1

2

(

2)

2

1

(

3)

1

1

4

2

(

2)

(

2)

14[例3]

求解方程1241391xx2=0

即x2

5x

6

0[解]方程左端的三階行列式

x2

5x

6

D

3x2

4x

18

9x

2x2

12x

2或x

3

值得注意的是：四階及四階以上行列式?jīng)]有像二、三階行列式那樣的對角線法則

§1-2全排列及其逆序數(shù)

依次選定百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)。

[引例]用1、2、3三個數(shù)字

可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

[解]

百位數(shù)有3種選法

十位數(shù)有2種選法

個位數(shù)有1種選法

所以可以組成6個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)

321

這6個三位數(shù)是123

132

231

213

312

我們把n個不同的對象(稱為元素)排成一列

叫做這n個元素的全排列(簡稱排列)

n個不同元素的所有排列的總數(shù)

通常用Pn表示。

Pn的計算公式Pn

n

(n

1)

(n

2)

3

2

1

n!

1、全排列

舉例

由a

b

c組成的所有排列為cbacab

bca

bac

acb

abc

abb是排列嗎?

在一個排列中

如果某兩個元素的先后次序與標準排列的次序不同

就說有1個逆序。2、標準排列在n個自然數(shù)的全排列中排列123

n稱為標準排列。3、逆序與逆序數(shù)一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個排列的逆序數(shù)。

在排列p1p2

pn中

如果pi的前面有ti個大于pi的數(shù)

就說元素pi的逆序數(shù)是ti。4、逆序數(shù)的計算排列的逆序數(shù)為舉例

在排列32514中

t5

1

t4

3

t3

0

t2

1

t1

0

排列32514的逆序數(shù)為t

0

1

0

3

1

5

標準排列12345的逆序數(shù)是多少?

例（P26，練習(xí)2-(5))求排列：13…（2n-1）24…（2n)的逆序數(shù)。

解：13…

（2n-1）24…

2k…

（2n)舉例

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列；5、奇排列與偶排列排列32514的逆序數(shù)是5

它是奇排列。標準排列12345的逆序數(shù)是0

它是偶排列。

逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列?！?-3n階行列式觀察與想考

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31.a11a21a31a12a22a32a13a23a33

三階行列式存在什么規(guī)律?

為了給出n階行列式的定義

我們先研究三階行列式的結(jié)構(gòu)。

1、三階行列式結(jié)構(gòu)

(1)行列式右邊任一項除正負號外可以寫成三階行列式的結(jié)構(gòu)其中p1p2p3是1、2、3的某個排列。

(2)各項所帶的正負號可以表示為(

1)t

其中t為列標排列的逆序數(shù)。三階行列式可以寫成

其中t為排列p1p2p3的逆序數(shù)

∑表示對1、2、3三個數(shù)的所有排列p1p2p3取和（共6種）。二、n階行列式的定義

定義：由n2個數(shù)aij(i

j

1

2

n)構(gòu)成的代數(shù)和稱為n階行列式

記為簡記為det(aij)

其中p1p2

pn為自然數(shù)1

2

n的一個排列

t為這個排列的逆序數(shù)

∑表示對所有排列p1p2

pn取和

特別規(guī)定一階行列式|a|的值就是a。

在n階行列式D中

數(shù)aij為行列式D的(i

j)元。

[例6]證明行列式說明：此行列式稱為左下三角形行列式

[證明]因為它的列標排列為標準排列

其逆序數(shù)為0

所以在它前面帶有正號

要使取自不同行不同列的n個元素的乘積不為零

第一行只能取a11

第二行只能取a22

第三行只能取a33

第n行只能取ann

這樣的乘積項只有一個

即a11a22a33

ann

因此D

a11a22a33

ann

稱為右上三角形行列式，它的值=？稱為主對角行列式，它的值=？說明：下面六種特殊三角形行列式的值可作為結(jié)論用，即當將某個行列式化成上述六個行列式之一時，則該行列式的值即可得到。左下三角形行列式：右上三角形行列式：主對角行列式：副對角行列式：右下三角形行列式：左上三角形行列式：§1-4對換在排列中

將任意兩個元素對調(diào)

其余的元素不動

就得到另一個排列

這種對排列的變換方法稱為對換

將相鄰兩個元素對換

叫做相鄰對換

對換舉例

在排列21354中

對換1與4

排列21354的逆序數(shù)是2

經(jīng)過對換

排列的奇偶性發(fā)生了變化

得到的排列是24351

排列24351的逆序數(shù)是5

>>>

這是因為

由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)

而標準排列是偶排列

因此知推論成立

定理1-1

一個排列中的任意兩個元素對換

排列改變奇偶性

推論

奇排列變成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)

偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)

其中t為行標排列p1p2

pn的逆序數(shù)

n階行列式也可定義為定理1-2§1-5行列式的性質(zhì)將行列式D的行變?yōu)榱泻蟮玫降男辛惺椒Q為D的轉(zhuǎn)置行列式

記為DT。a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=

a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

則

DT=即一、行列式的轉(zhuǎn)置a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=

則bij=aji(i,j=1,2,

,n)

顯然如果b11b21…bn1

b12b22…bn2

b1nb2n…bnn

…………

DT=

二、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。即：D=DT性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列），行列式反號。推論若行列式有兩行（列）完全相等，則此行列式等于0。

性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式。推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到記號的外面。性質(zhì)4

行列式中若有兩行元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零。

性質(zhì)5

若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，如第i行的元素都是兩數(shù)之和：則D等于下列兩個行列式之和：性質(zhì)6

把行列式某一行（列）的各元素乘以數(shù)k，加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。即：性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)形式舉例備注D=DT性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列），行列式反號。推論若行列式有兩行（列）完全相等，則此行列式等于0。

行列式的性質(zhì)總結(jié)性質(zhì)形式舉例備注性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式。推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到記號的外面。性質(zhì)4

行列式中若有兩行元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零。

性質(zhì)形式舉例備注性質(zhì)5

若行列式的某行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則行列式可以寫成兩個行列式之和。推論若行列式某一行（列）的元素都是m（≥2）個數(shù)的和，則此行列式可以寫成m個行列式之和。

性質(zhì)6

把行列式某一行（列）的各元素乘以數(shù)k，加到另一行（列）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。

以數(shù)k乘第j行加到第i行上

記作ri

krj

以數(shù)k乘第j列加到第i列上

記作

ci

kcj

在計算行列式時,可以使用如下記號以便檢查:1、符號規(guī)定

第i行(或列)提出公因子k

記作ri

k(或ci

k)

交換i

j兩行記作ri

rj

交換i

j兩列記作ci

cj

以數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)上

記作ri

krj

(ci

kcj)

說明：行列式中的行—row

行列式中的列—column

三、利用行列式的性質(zhì)計算行列式2、消零化三角形法

用歸納法可證明任何n階行列式總能利用運算ri+krj化為右上三角形行列式或左下三角形行列式。即ri+krjri+krj

2

1

4

3

1

1

3

3

1

3

2

1

1

3

2

1

016

7

2

0

2

1

1

1

1

0

5

3

1

2

1

5

1

4

3

2

0

1

1

1

5

3

3例7計算

3

1

2

1

5

1

4

3

2

0

1

1

1

5

3

3

3

5

2

1c1

c2

r2

r1r4

5r1

0

0

816

6

4

0

2

1

1

7

2

0

8

6

4r2

r3

[解]

0

1

2

3

1

2

1

1

0

0

10

8

0

1

2

3

1

2

1

1

0

0

10

8

0

015

10

r3

4r2r4

8r2

0

05/2

0

40

3

1

111

31

1

1

11

3

113

1例8計算

[解]6

1

1

1

1

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

1

3

1

1

3

1

c1

c2

c3

c4

6

6

6

6

1

3

1

1

1

1

1

3

1

1

3

16

c1

6

1

1

1

1

1

3

1

1

1

1

1

3

1

1

3

1r2

r1r4

r1r3

r1

0

2

0

0

0

0

0

2

0

0

2

0

6

8

48[解法二]

3

1

1

1

1

3

1

1

1

1

1

3

1

1

3

1

48

1

3

1

1

3

1

1

1

1

1

1

3

1

1

3

1-r1?

r2r23r1r4

r1r3

r1例9計算

[解]Dr4

r3r3

r2r2

r1abcd0aa

ba

b

c0a2a

b3a2b

c0a3a

b6a3b

cabcd0aa

ba

b

c00a2a

b00a3a

br4

r3r3

r2abcd0aa

ba

b

c00a2a

b000

ar4

r3

a4

例10

設(shè)證明：D

D1

D2。證：對D1作行運算ri

krj

把D1化為下三角形行列式

設(shè)為：

對D2作列運算ci

kcj

把D2化為下三角形行列式

設(shè)為：

同樣

對D的前k行作運算ri

krj

再對后n列作運算ci

kcj

把D化為下三角形行列式

故D

p11

pkkq11

qnn

D1

D2

3、拆項法例：已知求:a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=

有：bij=aji(i,j=1,2,

,n)

性質(zhì)1證明：b11b21…bn1

b12b22…bn2

b1nb2n…bnn

…………

DT=

由定理1-2，有：

性質(zhì)2證明：記當時當時[例]若試證明：計算4階行列式思考題思考題解答解§1-6行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式

在n階行列式中

把元素aij所在的第i行和第j列劃去后

剩下來的n

1階行列式叫做元素aij的余子式

記作Mij。

記

Aij

(

1)i

jMijAij叫做元素aij的代數(shù)余子式。

A23

(

1)2

3M23

M23

例如

則a23的余子式和代數(shù)余子式為余子式Mij與代數(shù)余子式Aij關(guān)系：二、行列式按行（列）展開法則引理：

一個n階行列式

若其中第i行所有元素除(i,j)元aij外都等于零，則該行列式等于aij與其代數(shù)余子式

的乘積，即

證：先證i＝1，j＝1的情形，此時

由例10知

一般情形，只要適當交換D的行與列的位置，即可得到結(jié)論。

定理1-3[行列式按行(列)展開法則]

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即：證：三、利用展開法則求行列式[例]計算行列式

[解]

由定理1-3，將Ｄ按第１行展開：

結(jié)合利用性質(zhì)６，對行列式進行運算（某行或某列盡量多的元素為0)，然后展開。

3

1

2

1

5

1

4

3

2

0

1

1

1

5

3

3如用此法重解例7范德蒙德（Vandermonde)行列式[例12]證明

證明

后一行減去前一行的x1倍按第1列展開即有：

例：計算行列式

解：[推論]行列式一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即

證明：當ij,將式中ajk換成aik(k=1,2,…,n),可得第i行第j行“加邊法”求行列式代數(shù)余子式的性質(zhì)小結(jié)如下:代數(shù)余子式的性質(zhì)可反過來用，這就是所謂的“加邊法”。例

計算行列式

[解]

當x＝0或y＝0時，顯然D＝0，現(xiàn)假設(shè)x≠0且y≠0，由引理知

進一步推廣的結(jié)果

行列式按第i行展開

得將元素ai1換成b1

ai2換成b2

ain換成bn

得同理如果第j列的元素為b1

b2

bn

則有[例13]設(shè)A11

A12

A13

A14及M11

M21

M31

M41

D的（i,j）元的余子式和代數(shù)余子式分別記為Mij和Aij，求：[解]按第3列展開§1-7克拉默法則一、克拉默法則本節(jié)討論n個未知數(shù)n個方程的線性方程組的求解問題。(＊)行列式稱為方程組(＊)的系數(shù)行列式

克拉默法則如果線性方程組(＊)的系數(shù)行列式D不等于零

則方程組(＊)有唯一解：其中Dj

(j

1

2

…

n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素a1j

a2j

…

anj對應(yīng)地換為方程組的常數(shù)項b1

b2

…

bn后所得到的n階行列式：

因為

解D

27

D1

81

[例14]解線性方程組提示

27

81

因為

D

27

D1

81

[例14]解線性方程組提示

108

D2

108

27

解

因為

D

27

D1

81

[例14]解線性方程組提示