專題2.3 角平分線模型（壓軸題專項講練）（浙教版）（解析版）

專題2.3角平分線模型【典例1】在△ABC中，AE、BF是角平分線，交于O點．（1）如圖1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度數(shù)．（2）如圖2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度數(shù)．（3）如圖3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．【思路點撥】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABO＝30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）連接OC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OM＝ON，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EOM＝∠FOH，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（3）連接OC，過O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD＝OG＝OH，根據(jù)三角形的面積公式即可得的結(jié)論．【解題過程】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）如圖2，連接OC，∵AE、BF是角平分線，交于O點，∴OC是∠ACB的角平分線，∴∠OCF＝∠OCE，過O作OM⊥BC，ON⊥AC，則OM＝ON，在Rt△OEM與Rt△OFN中，OE=OFOM=ON∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分線，∴∠AOB＝90°+12∠即90°+12∠ACB＝180°﹣∠∴∠ACB＝60°；（3）如圖3，連接OC，過O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AE、BF是角平分線，交于O點，∴OD＝OG＝OH，∴S△ABC=12×8×6=12×10OD+∴OD＝2，∴S△AOB=12×10×21．（2022春?振興區(qū)校級期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為15，20，25，點O是△ABC三條角平分線的交點，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【思路點撥】過O點作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到OD＝OE＝OF，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC．【解題過程】解：過O點作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如圖，∵點O是△ABC三條角平分線的交點，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（12AB?OD）：（12OE?BC）：（12OF?AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4故選：D．2．（2021秋?藁城區(qū)校級月考）如圖，已知點P是∠AOB角平分線上的一點，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中點，DM＝4cm，如果點C是OB上一個動點，則PC的最小值為（）A．2 B．1 C．4 D．3【思路點撥】過P點作PH⊥OB于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PH＝PD，∠AOP＝30°，再根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得到OP＝2DM，所以PD＝DM＝4cm，然后根據(jù)垂線段最短解決問題．【解題過程】解：過P點作PH⊥OB于H，如圖，∵OP平分∠AOB，∴PH＝PD，∠AOP＝30°，∵M(jìn)是OP的中點，∴OP＝2DM，∴PD=12OP＝DM＝4∵點C是OB上一個動點，∴PC的最小值為線段PH的長，即PC的最小值為4cm．故選：C．3．（2022春?海州區(qū)校級期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．116° B．100° C．128° D．120°【思路點撥】連接AA'，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2＝2∠BAC，即可解答．【解題過程】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=1∵∠BA'C＝122°，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°，∴∠ABC+∠ACB＝116°，∴∠BAC＝180°﹣116°＝64°，∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×58°＝128°，故選：C．4．（2021秋?全椒縣期末）如圖，在△ABC中，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N，且PM＝PN，點Q在AC上，∠PAQ＝∠APQ，則下面結(jié)論中不一定正確的是（）A．AM＝AN B．∠BAP＝∠CAP C．PQ∥AB D．PQ＝PC【思路點撥】可利用角平分線的性質(zhì)判斷選項B，利用HL判斷選項A，利用平行線的判定定理判定選項C．【解題過程】解：∵PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N，PM＝PN，∴點P在∠BAC的角平分線上．∴∠BAP＝∠CAP，故選項B正確；∵∠PAQ＝∠APQ，∴∠BAP＝∠APQ．∴PQ∥AB，故選項C正確；在Rt△APM和Rt△APN中，PM=PNAP=AP∴Rt△APM≌Rt△APN（HL）．∴AM＝AN，故選項A正確；由于不能說明∠C與∠CQP相等，也不能直接證明PQ與PC相等，故選項D錯誤．故選：D．5．（2022春?南崗區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結(jié)論：①∠BOC＝90°+12∠A，②∠EBO=12∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④設(shè)OD＝m，AE+AF＝n，則SA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】利用角平分線的定義得到∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，則∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到180°﹣∠BOC=12（180°﹣∠A），則可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEF＝∠EBC，然后利用OB平分∠EBC得到∠EBO=12∠EBC，則可對②進(jìn)行判斷；利用互余和∠OCB＝∠OCD可對【解題過程】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴180°﹣∠BOC=12（180°﹣∠∴∠BOC＝90°+12∠A，所以∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠EBC，而OB平分∠EBC，∴∠EBO=12∠∴∠EBO=12∠AEF，所以∵OD⊥AC于D，∴∠ODC＝90°，∴∠DOC+∠OCD＝90°，∵OC平分∠BCD，∴∠OCB＝∠OCD，∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正確；∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴O點到BA和BC的距離相等，O點到BC和AC的距離相等，∴O點到AB的距離等于OD的長，即O點到AE的距離等于m，∴S△AEF=12AE?m+12AF?m=12m（AE+AF故選：D．6．（2021秋?黃石期末）如圖，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．則下列結(jié)論中正確的個數(shù)（）①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】過P作PQ⊥AC于Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PQ＝PN，PQ＝PM，求出PQ＝PM＝PN，求出∠PMA＝∠PNC＝∠PQA＝∠PQC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐個判斷即可．【解題過程】解：過P作PQ⊥AC于Q，∵∠ACF、∠EAC的角平分線CP、AP交于點P，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM＝PQ，PQ＝PN，∴PM＝PN，∴P在∠ABC的角平分線上，即BP平分∠ABC，故①正確；∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，在Rt△PMA和Rt△PQA中，PA=PAPM=PQ∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），∴∠MPA＝∠QPA，同理Rt△PQC≌Rt△PNC，∴∠QPC＝∠NPC，∵∠PMA＝∠PNC＝90°，∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正確；∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，又∵∠PCN=12∠ABC+∠∴∠ABC+∠CAB＝2（12∠ABC+∠CPB∴∠CAB＝2∠CPB，故③正確；∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正確；即正確的個數(shù)是4，故選：D．7．（2020秋?永城市期末）如圖，∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，C是OB上的動點，連接PC，若PD＝4，則PC的最小值為4．【思路點撥】過點P作PE⊥OB于點E，先證明PD＝PE＝4，再根據(jù)垂線段最短得PC≥PE，即可求解．【解題過程】解：過點P作PE⊥OB于點E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE＝4，∵C是OB上的動點，∴PC≥PE（垂線段最短），∴PC的最小值為4．故答案為：4．8．（2022春?雙峰縣期末）如圖，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中點，只需添加ME＝MN，就可使CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線．【思路點撥】根據(jù)HL判定Rt△MEC≌Rt△MNC，Rt△MFA≌Rt△MNA，即可得證．【解題過程】解：添加MN＝ME，理由如下：∵EF⊥CD，MN⊥AC，∴∠MEC＝∠MNC＝90°，在Rt△MEC和Rt△MNC中，MN=MECM=CM∴Rt△MEC≌Rt△MNC（HL），∴∠MCE＝∠MCN，∴CM平分∠ACD，∵EF⊥AB，MN⊥AC，∴∠MFA＝∠MNA＝90°，∵M(jìn)是EF的中點，∴ME＝MF，∴MN＝MF，在Rt△MFA和Rt△MNA中，MF=MNAM=AM∴Rt△MFA≌Rt△MNA（HL），∴∠MAF＝∠MAN，∴AM平分∠CAB，∴CM，AM分別為∠ACD和∠CAB的平分線，故答案為：ME＝MN．9．（2021秋?樊城區(qū)月考）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為27和16，則△EDF的面積為5.5．【思路點撥】過D點作DH⊥AC于H，如圖，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DH，再證明Rt△ADF≌Rt△ADH得到S△ADF＝S△ADH，證明Rt△EDF≌Rt△GDH得到S△EDF＝S△GDH，然后利用S△EDF+S△AED＝S△ADG﹣S△GDH得到S△EDF+16＝27﹣S△EDF，從而可求出S△EDF的值．【解題過程】解：過D點作DH⊥AC于H，如圖，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，AD=ADDF=DH∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S△ADF＝S△ADH，在Rt△EDF和Rt△GDH中，DE=DGDF=DH∴Rt△EDF≌Rt△GDH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，∴S△EDF+S△AED＝S△ADG﹣S△GDH，即S△EDF+16＝27﹣S△EDF，∴S△EDF＝5.5．故答案為：5.5．10．（2021秋?興城市期末）如圖，AD、CF分別是△ABC的高和角平分線，AD與CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，連接BM交AD于H，且知BM⊥AE．有下列結(jié)論：①∠AMC＝135°；②△AMH≌△BME；③∠AGC+∠BAC＝180°；④BC＝BH+2MH；⑤AH+CE＝AC．其中，正確的結(jié)論有①②③⑤．（填序號）【思路點撥】由”雙角平分線模型“可得∠AMC＝135°；先證△CMA≌△CMB，從而易得出AM＝BM，再利用互余得∠MAH＝∠MBE，所以△AME≌△BME；表示∠AGC和∠BAC的度數(shù)，可得相加等于定角180°；由△AME≌△BME可得AH＝BE，從而得AH+CE＝AC；延長BM交AC于點N，先證△AMH≌△AMN得出2MH＝HN，從而得到BH+2MH＝BN≠BC．【解題過程】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AM、CM平分∠CAD、∠ACD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，在△ACD中，90°+2∠2+2∠3＝180°，∴∠2+∠3＝45°，∴∠AMC＝180°﹣（∠2+∠3）＝135°．故①正確；∴∠AMF＝45°，∵AD⊥DC，BM⊥AE，∴∠AMH＝∠BME＝∠ADB＝90°，∴∠1+∠7＝∠6+∠5＝90°，又∵∠6＝∠7，∴∠1＝∠5＝∠2．在△CMA和△CMB中，∠3=∠4CM=CM∴△CMA≌△CMB（ASA）．∴AC＝BC．∵CF平分∠ACB，∴CF⊥AB，即∠MFA＝90°，∴∠MAF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠MBF＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠MAF，∴MB＝MA．在△AMH和△BME中，∠1=∠5AM=BM∴△AMH≌△BME（ASA）．故②正確；∴AH＝BE，∵BC＝BE+CE，且BC＝AC，∴AH+CE＝AC．故⑤正確；∵∠AGC＝180°﹣∠1﹣45°，∠BAC＝∠MAF+∠2＝45°+∠1，∴∠AGC+∠BAC＝180°﹣∠1﹣45°+45°+∠1＝180°，故③正確；延長BM交AC于點N，∵BM⊥AE，∴∠AMH＝∠AMN＝90°，在△AMH和△AMN中，∠1=∠2AM=AM∴△AMH≌△AMN（ASA）．∴HM＝MN，∴2MH＝HN，∴BH+2MH＝BM＜BC，故④錯誤．所以正確的結(jié)論是①②③⑤．11．（2022春?海陽市期末）如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點P，且D，P，C在同一條直線上．（1）求∠PAD的度數(shù)；（2）求證：P是線段CD的中點．【思路點撥】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠C＝180°﹣∠D＝90°，∠DAB+∠ABC＝180°，再計算出∠PBC＝60°，則利用角平分線的定義得到∠ABC＝120°，所以∠DAB＝60°，然后利用角平分線的定義得到∠PAD的度數(shù)；（2）過P點作PE⊥AB于E點，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE＝PD，PE＝PC，從而得到PD＝PC．【解題過程】（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠PAD=12∠DAB＝（2）證明：過P點作PE⊥AB于E點，如圖，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是線段CD的中點．12．（2021秋?龍江縣期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長．【思路點撥】（1）連接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD＝CD，繼而可證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得BE＝CF；（2）首先證得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后設(shè)BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．【解題過程】（1）證明：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，BD=CDDE=DF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，設(shè)BE＝x，則CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．13．（2021秋?雨花區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝3，CD＝4，求線段AC的長．【思路點撥】（1）先由∠ABC＝60°，得到∠BAC+∠BCA＝120°，然后由AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB得到∠PAC+∠PCA的值，進(jìn)而得到∠APC的度數(shù)；（2）在AC上截取AF＝AE，連接PF，然后證明△AEP≌△AFP，從而得到∠APE＝∠APF，然后由∠APC＝120°得到∠DPC＝60°，從而得到∠APE＝∠APF＝60°，進(jìn)而得到∠FPC＝∠DPC＝60°，再結(jié)合CE平分∠ACB、CP＝CP得到△PCF≌△PCD，即可得到CD＝CF，最后得到AC＝AE+CD．【解題過程】解：（1）∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠PAC+∠PCA=12（∠BAC+∠BCA）＝∴∠APC＝120°．（2）如圖，在AC上截取AF＝AE，連接PF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，AE=AF∠EAP=∠FAP∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACP＝∠BCP，在△CPF和△CPD中，∠FPC=∠DPCCP=CP∴△CPF≌△CPD（ASA），∴CF＝CD，∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．14．（2021秋?南沙區(qū)期末）如圖①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠A＝α．（1）如圖①，若∠A＝50°，求∠BOC的度數(shù)．（2）如圖②，連接OA，求證：OA平分∠BAC．（3）如圖③，若射線BO與∠ACB的外角平分線交于點P，求證OC⊥PC．【思路點撥】（1）利用三角形的內(nèi)角和先求出∠ABC與∠ACB的和，再根據(jù)角平分的定義求出∠OBC與∠OCB的和即可解答；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，想到過點O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，證出OE＝OF即可解答；（3）根據(jù)角平分的定義求出∠OCP＝90°即可解答．【解題過程】（1）解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；（2）證明：過點O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF，∴OE＝OF，∴OA平分∠BAC；（3）證明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACP=1∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP=12∠ACB+=12=1＝90°，∴OC⊥CP．15．（2021秋?聊城期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說明理由．（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．【思路點撥】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）利用（1）的方法解答即可；（3）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可以判定△BEO和△CFO為等腰三角形，利用線段和差的關(guān)系可得結(jié)論．【解題過程】解：（1）EF與BE、CF之間的關(guān)系為：EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．（2）第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在，即EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．∴第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在．（3）圖中還存在等腰三角形△BEO和△CFO，此時EF＝BE﹣CF，理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．∴△BEO是等腰三角形，同理可證△CFO是等腰三角形，∵BE＝EO，OF＝FC∴BE＝EF+FO＝EF+CF，∴EF＝BE﹣CF．16．（2021秋?臺江區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°時，直接寫出CD與CB的數(shù)量關(guān)系為CD＝CB；（2）如圖1，當(dāng)α≠90°時，（1）中結(jié)論是否還成立，說明理由；（3）如圖2，O為AC中點，M為AB上一點，BM＝AD，求CMDO【思路點撥】（1）利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可；（2）過點C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延長線于F，利用角平分線的性質(zhì)可得CE＝CF，再證明△CDF≌△CBE（AAS），從而證明結(jié)論；（3）延長DO至點N，使ON＝DO，連接AN，首先利用SAS證明△AON≌△COD，得∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，再證明△AND≌△BCM（SAS），得CM＝DN＝2DO，即可得出答案．【解題過程】解：（1）當(dāng)α＝90°時，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等，可得CD＝CB，故答案為：CD＝CB；（2）仍然有CD＝CB，理由如下：過點C作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD的延長線于F，則∠CEB＝∠CFD＝90°，∵∠ADC+∠CDF＝180°，∠ADC＝180°﹣a，∴∠CDF＝α＝∠ABC，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∴△CDF≌△CBE（AAS），∴CD＝CB；（3）延長DO至點N，使ON＝DO，連接AN，∵AO＝OC，∠AON＝∠COD，∴△AON≌△COD（SAS），∴∠N＝∠CDO，AN＝CD＝CB，∴CD∥AN，∴∠DAN+∠ADC＝180°，∴∠DAN＝180°﹣∠ADC＝α＝∠B，又∵AD＝BM，∴△AND≌△BCM（SAS），∴CM＝DN＝2DO，∴CMDO=17．（2021秋?順平縣期末）如圖（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分線．（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，則∠ADB＝71°．（2）若AB＝6，設(shè)△ABD和△CBD的面積分別為S1和S2，已知S1S2=23，則BC（3）如圖（2），∠ACE是△ABC的一個外角，CF平分∠ACE，BD的延長線與CF相交于點F，CG平分∠ACB，交BD于點H，連接AF，設(shè)∠BAC＝α，求∠BHC與∠HFC的度數(shù)（用含α的式子表示）．【思路點撥】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）如圖（1），過D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義得到∠HBC=12∠ABC，∠HCB=1【解題過程】解：（1）∵∠ABC＝58°，BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=12∠ABC∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝71°，故答案為：71；（2）如圖（1），過D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的角平分線，∴DF＝DE，∴S1∴BC＝9，故答案為：9；（3）解：在△ABC中，由∠BAC＝α，可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CG平分∠ACB∴∠HBC=12∠ABC，∠HCB=1∴∠HBC+∠HCB=12∠ABC+12∠ACB=12=12（180°﹣＝90°-12在△BHC中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（90°-12＝90°+12∵∠ACE為△ABC的外角，設(shè)∠ABC＝β，∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝α+β，∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACE，∴∠FBE=12∠ABC=12β∠FCE∴∠HFC＝∠FCE﹣∠FBE=12（α+β）-1218．（2022春?海陵區(qū)校級期末）△ABC中，三個內(nèi)角的平分線交于點O，過點O作∠ODC＝∠AOC，交邊BC于點D．（1）如圖1，求∠BOD的度數(shù)；（2）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點F．①求證：BF∥OD；②若∠F＝50°，求∠BAC的度數(shù)；③若∠F＝∠ABC＝50°，將△BOD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在直線與FC平行，請直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度α的值．【思路點撥】（1）根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得到答案．（2）①根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得到答案．②結(jié)合角平分線的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．③求出∠ODB的度數(shù)即可解決【解題過程】解：（1）∵三個內(nèi)角的平分線交于點O，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°∵∠OBC=12∠∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+12∠ABC＝90°+∠∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC，∴∠BOD＝90°；（2）①∵三個內(nèi)角的平分線交于點O，∴∠EBF=12∠ABE=12（180°﹣∠ABC）＝90°∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，∴∠FBE＝∠ODB，∴BF∥OD；②∵三個內(nèi)角的平分線交于點O，∴∠EBF=12∠ABE=12（∠∴∠FCB=12∠∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF=12（∠BAC+∠ACB）-12∠ACB∵∠F＝50°，∴∠BAC＝2∠F＝100°；③∵∠F＝∠ABC＝50°，∴由②可知，∠BAC＝100°，∴∠ACB＝30°，∵OC平分∠ACB，∴∠OCD＝15°，∠COD＝50°，∴∠BDO＝∠COD+∠OCD＝65°，∠DOF＝130°，∵將△BOD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，∴∠B'D'O＝∠BDO＝65°，∵B'D'∥FC，∴∠COD'＝∠B'DO＝65°，∴∠DOD'＝∠COD'﹣∠COD＝15°，即此時旋轉(zhuǎn)角度為α＝15°，∵BD'∥FC，∴∠FOD'＝∠B'OD＝65°，∴α＝∠DOF+∠FOD'＝130°+65°＝195°，∴△BOD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)15°或195°后得△B'O′D′，B′D′所在直線與FC平行．19．（2021秋?沂水縣期中）【問題提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD為∠BAC的角平分線，探究線段AB，AC，CD的數(shù)量關(guān)系．【問題解決】如圖1，當(dāng)∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AB，垂足為E，易得AB＝AC+CD；由此，如圖2，當(dāng)∠ACB≠90°時，猜想線段AB，AC，CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出證明．【方法遷移】如圖3，當(dāng)∠ACB≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，探究線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不證明．【思路點撥】【問題解決】結(jié)論：AB＝AC+CD，構(gòu)造全等三角形解決問題即可；【方法遷移】結(jié)論：AB＝CD﹣AC，如圖3．在AF上截取AH＝AC，連接DH，證明△ADH≌△ACD（SAS），可得結(jié)論．【解題過程】解：【問題解決】：如圖1中，當(dāng)∠ACB＝90°時，∵AD為∠BAC的角平分線，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴DE＝BE，在△AED和△ACD中，∠DAE=∠DAC∠AED=∠ACD∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；當(dāng)∠ACB≠90°時，結(jié)論：AB＝CD+AC，理由：如圖2，在AB上截取AG＝AC，連接DG，∵AD為∠BAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，在△ADG和△ADC中，AG=AC∠DAG=∠DAC∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC∴AB＝BG+AG＝CD+AC；【方法遷移】結(jié)論：AB＝CD﹣AC，理由：如圖3．在AF上截取AH＝AC，連接DH，∵AD為∠FAC的平分線，∴∠HAD＝∠CAD，在△ADH和△ACD中，AH=AC∠DAH=∠DAC∴△ADH≌△ACD（SAS），∴CD＝HD，∠AHD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FHD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FHD＝2∠B，∵∠FHD＝∠B+∠HDB，∴∠B＝∠HDB，∴BH＝DH＝DC，∴AB＝BH﹣AH＝CD﹣AC．20．（2021秋?江漢區(qū)校級月考）如圖：在∠EAF的平分