初中數(shù)學(xué)歸納與類比強(qiáng)化練習(xí)

初中數(shù)學(xué)歸納與類比強(qiáng)化練習(xí)

學(xué)校:姓名：班級(jí):考號(hào)：

一、單選題

1.在同一平面內(nèi)，我們把兩條直線相交將平面分得的區(qū)域數(shù)記為4,三條直線兩兩相

交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為七，四條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為

生，…,（〃+1）條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為％,若

A.10B.11C.20D.21

千——十

2.我國(guó)在1905年清朝課堂的課本中用“/?壽_L而三二”來(lái)表示代數(shù)式，其含義

T丙，甲-乙?

大致相當(dāng)于代數(shù)式+生.如果甲=一1,乙=2,那么會(huì)由）的值

5327甲一乙一甲乙

為（）

A.-B.-C.--D.--

2222

3.在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至

于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無(wú)限與有限

的轉(zhuǎn)化的思想，比如在1+；+/+/+/+…中，“…”代表按規(guī)律不斷求和，設(shè)

1+；+/+/+}+-=*.則有x=l+；x,解得x=2,故

1+；+*+盤■+/+…=2.類似地1+*/+'■+…的結(jié)果為（）

A.-B.-C.-D.2

385

4.求1+2+2?+23+…+2刈3的值，可令S=l+2+2?+…+2劉3,則

2s=2+2?+23+…+22叫因此2S—S=22°M—1.仿照以上推理，計(jì)算出

1+5+5?+53+...+5刈3的值為（）

4：2014_1^2013_?

A.52014-1B.52013-1C.-——D.-——

44

5.如圖所示，將形狀、大小完全相同的和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1

幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為6,第2幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為生，第3幅圖形中“?”的個(gè)數(shù)為

t.1111,

。3，…，以此類推，則一+—+—+…+——的值為（）

%4%"19

?*****?...

■

??

第1幅圖第2幅圖第3幅圖第4幅圖

A,”61「589c431

DC.---D.---

2184840760

6.全等圖形是相似比為1的相似圖形,匕全等是特殊的相似，我們可以由研究全等

三角形的思路，提出相似三角形的問(wèn)題和研究方法.這種其中主要利用的數(shù)學(xué)方法是

()

A.代入法B.列舉法C.從特殊到一般D.反證法

7.任意大于1的正整數(shù)"，的三次基均可“分裂”成，"個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：23=3+5,

33=7+9+11,4=13+15+17+19,…按此規(guī)律，若加分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是

203,則m的值是()

A.13B.14C.15D.16

8.觀察規(guī)律丁==1-4,上運(yùn)用你觀察到的規(guī)律解決以下

1x222x3233x434

問(wèn)題：如圖，分別過(guò)點(diǎn)由耳。)("=1、2、…)作x軸的垂線，交丫=加(〃>0)的圖象于點(diǎn)

111

A,,交直線y=一以于點(diǎn)紇.則:三+7丁+…+7丁的值為()

n22an

A，a(n-l)B-仁n(n+l)a(n+1)

二、填空題

9.我國(guó)古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即

“結(jié)繩記數(shù)”.如圖一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來(lái)記錄

孩子自出生后的天數(shù)，如圖1,孩子出生后的天數(shù)=3x72+2x71+6=147+14+6=167

(天).請(qǐng)根據(jù)圖2,計(jì)算孩子自出生后的天數(shù)是天.

10.兩條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線最多有6個(gè)交

點(diǎn)……那么六條直線最多有個(gè)交點(diǎn).

11.已知兩個(gè)正數(shù)。，b,可按規(guī)則c=H+a+匕擴(kuò)充為一個(gè)新數(shù)c在小6,c,三個(gè)數(shù)中

取兩個(gè)較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)，依次下去，將每擴(kuò)充一次得到一個(gè)

新數(shù)稱為一次操作，(1)若。=1力=3,按上述規(guī)則操作三次，擴(kuò)充所得的數(shù)是

;(2)若P”>0,經(jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)為(4+l)"'(p+l)"-l

(加，”為正整數(shù))，則，”+〃的值為.

12.我國(guó)古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，

即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”.如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來(lái)

記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是天.

13.為豐富師生的課余生活，某地區(qū)的五所學(xué)校聯(lián)合舉行教師籃球賽和學(xué)生聯(lián)誼活

動(dòng)，每校派一支教工籃球隊(duì)，各派10名學(xué)生參加聯(lián)誼活動(dòng).

(1)若籃球賽采取單循環(huán)比賽(每?jī)芍ш?duì)伍之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽)，則籃球賽共進(jìn)行

了場(chǎng)；

(2)學(xué)生聯(lián)誼活動(dòng)中，全體同學(xué)制作了手工小禮品，活動(dòng)結(jié)束，全體同學(xué)互贈(zèng)手工小

禮品(每?jī)蓚€(gè)同學(xué)之間都互贈(zèng)，數(shù)量剛好夠贈(zèng)送)，則本次活動(dòng)共制作了件小

禮品.

14,計(jì)算1+4+9+16+25+...的前29項(xiàng)的和是.

15.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)計(jì)算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制數(shù)(只有數(shù)碼0和1),它們

兩者之間可以互相換算如將(101)2,(1011)2換算成十進(jìn)制數(shù)分別是(101)2=

1X22+0X2'+1=4+0+1=5,(1011)2=^2^22+^2'+1=11,按此方式將二進(jìn)制

(1001)2+(10110)2換算成十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果是.

16.如圖，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，以正方形ABC。的對(duì)角線AC為邊作

第二個(gè)正方形ACEF,再以第二個(gè)正方形的對(duì)角線AE為邊作第三個(gè)正方形

AEGH.....記正方形A8c。的邊長(zhǎng)為4=1,依上述方法所作的正方形的邊長(zhǎng)依次

為生嗎…必，根據(jù)以上規(guī)律寫出第〃個(gè)正方形的邊長(zhǎng)=

三、解答題

17.由(a-4NO得，/22";如果兩個(gè)正數(shù)a,b,即。>0/>0,則有下面的

不等式：a+b>2yfab,當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取到等號(hào).

例如：已知x>0,求式子x+3的最小值.

X

4t-4I~44

解：令。=工,6=一，則由〃+人>2，^,+—>2JX?—=4,當(dāng)且僅當(dāng)工=一時(shí)，即

XX\XX

x=2時(shí)，式子有最小值,最小值為4.

請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)x>0,式子x的最小值為；當(dāng)x<0,則當(dāng)x=

X

時(shí)，式子4x+吸取到最大值；

X

(2)用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻

(墻長(zhǎng)20米)，問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是

多少？

(3)如圖，四邊形ABCO的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，AAOB、△*>￡>的面積分

別是8和14,求四邊形ABCD面積的最小值.

18.定義：將一個(gè)大于。的自然數(shù)，去掉其個(gè)位數(shù)字，再把剩下的數(shù)加上原數(shù)個(gè)位數(shù)

字的4倍，如果得到的和能被13整除，則稱這個(gè)數(shù)是“一刀兩斷”數(shù)，如果和太大無(wú)法

直接觀察出來(lái)，就再次重復(fù)這個(gè)過(guò)程繼續(xù)計(jì)算，例如

55263T5526+12=5538,5538—553+32=585,585—58+20=78,78+13=6,所以

55263是“一刀兩斷”數(shù).3247f324+28=352,35+8=43,43+13=3……4,所以3247

不是“一刀兩斷”數(shù).

(1)判斷5928是否為“一刀兩斷”數(shù)：(填是或否)，并證明任意一個(gè)能被13整

除的數(shù)是“一刀兩斷''數(shù)；

(2)對(duì)于一個(gè)“一刀兩斷”數(shù)

m=1000a+100b+10c+d0釉9,09,礴9,啖出9,a,b,c,d均為正整數(shù))，規(guī)定

G(附=]然若"的千位數(shù)字滿是啜h4,千位數(shù)字與十位數(shù)字相同，且能被65

整除，求出所有滿足條件的四位數(shù)加中，G(M的最大值.

19.閱讀下列材料:小明為了計(jì)算1+2+22+…+2如9+22儂的值,采用以下方法：

設(shè)s=l+2+22+…+2如9+2?儂①，

則2s=2+2之+…+22儂+22⑼②,

②XD得：25-5=5=22021-1.

請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問(wèn)題：

(1)1+2+2?+…+29=.

(2)3+32+---+3|0=.

(3)求i+a+〃+/+…相的和(a>i,〃是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過(guò)程).

20.取一個(gè)自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘3加上1,若它是偶數(shù)，則除以2,按此規(guī)則經(jīng)

過(guò)若干步的計(jì)算最終可得到1.這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒(méi)有得到證明.但舉例驗(yàn)證都是

正確的.例如：取自然數(shù)5.最少經(jīng)過(guò)下面5步運(yùn)算可得1,即：

5"I>16-刀+2滔+2總+2>],如果自然數(shù)機(jī)最少經(jīng)過(guò)7步運(yùn)算可得到

1.則所有符合條件的，〃的值為多少？

21.定義1：如圖1,若點(diǎn)”在直線/上，在/的同側(cè)有兩條以”為端點(diǎn)的線段M”、

NH,滿足Nl=N2,則稱MH和NH關(guān)于直線I滿足“光學(xué)性質(zhì)”；

定義2：如圖2,在中，APQR的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在BC、AC.A3上，

若RP和QP關(guān)于BC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR

關(guān)于AB滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱“PQR為AABC的光線三角形.

閱讀以上定義，并探究問(wèn)題：

A

在AABC中，NA=30。，AB=AC,△￡>￡尸三個(gè)頂點(diǎn)。、E、F分別在8C、AC,AB

上.

(1)如圖3,若FE〃BC,QE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求NECC的度數(shù)；

(2)如圖4,在AABC中，作CFLAB于F,以AB為直徑的圓分別交AC,BC于點(diǎn)E,

D.

①證明：ADEE為AABC的光線三角形；

②證明：AABC的光線三角形是唯一的.

22.閱讀材料：

小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+2

叵=(1+72)2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：

設(shè)〃+8及=(〃?+〃后)2(其中〃、b、m、”均為整數(shù))，則有a+6應(yīng)=加2+2〃2+2正

mn..,.a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+b夜的式子化為平方式

的方法.

請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：

(1)當(dāng)a、b、m、〃均為正整數(shù)時(shí)，若a+b6=(,"+〃當(dāng))2,用含瓶、”的式子分別

表zna、b,得：a—，b—；

(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、〃填空：+6=

(+G)2；

(3)若a+66=(加+/6)2,且a、"均為正整數(shù)，求。的值？

參考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根據(jù)直線相交得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律，再利用裂項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算即可解題.

【詳解】

根據(jù)題意得，

2條直線最多將平面分成4個(gè)區(qū)域6=4,

3條直線最多將平面分成7個(gè)區(qū)域的=7,

4條直線最多將平面分成11個(gè)區(qū)域4=11,

5條直線最多將平面分成16個(gè)區(qū)域％=16…

則a}-l=3=l+2,

a2-1=6=1+2+3,

a3-1=10=1+2+3+4,

a4-1=15=1+2+3+4+5…

an-l=l+2+3+4+5---+n+l

111

---++???+----

q-la2-\----an-\

111

=--------1-------------F,??4----------------------------------

1+21+2+31+2+3+…+(n+l)

-----1---1-11-,??4-1----------

(l+2)x2(l+3)x3(l+n+l)(n+l)

F2

J111

=2---------1----------h,?H------------------------

2x33x4(〃+l)(〃+2)

,F111111

=2----H------------F???H-----------------------

n

n+2

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

n_10

〃+2-77

?210

,,n+211

.2_I

?"+2=22

/.n=20

經(jīng)檢驗(yàn)n=20是原方程的根

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查相交線，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

2.B

【解析】

【分析】

二四一1

先根據(jù)題意將市三，3?近用代數(shù)式表示出來(lái)，再代入求值.

甲一乙甲乙

【詳解】

解：根據(jù)題意可得，所求的式子表示為必，

?.?甲=-1,乙=2,

/.a=-l,b=2,

原式=1+1+2=1，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中的定義將待求代數(shù)式表示出來(lái).

3.B

【解析】

【分析】

設(shè)1+5+/+"+—-，仿照例題進(jìn)行求解.

【詳解】

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

設(shè)1+鏟+F+?

11111乙111)

則nl11+*+3+寸…=1+犬1+三+尹+寸…〉

I1

:.x=\+—x,

9

解得，x=3，

o

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查類比推理，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

4.C

【解析】

【分析】

類比題目中所給的解題方法解答即可.

【詳解】

解：設(shè)4=1+5+52+53+...+52013,

則5a=5(1+5+52+53+…+5263)=5+52+53+…+52013+5234,

：.5a-a=(5+52+53+…+52013+5珈4)一(1+5+52+53+...+52013)=52014-1,

52014_I

即——1.

4

故選：C.

【點(diǎn)晴】

本題是閱讀理解題，類比題目中所給的解題方法是解決問(wèn)題的基本思路.

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)給定幾幅圖形中黑點(diǎn)數(shù)量的變化可找出其中的變化規(guī)律"4=〃5+2)(〃為正整

\\(\1A1111

數(shù))”，進(jìn)而可求出一=彳-------,將其代入一+—+—+…+一中即可求得結(jié)論.

an2\nn+2)aya2a3al9

【詳解】

解：；第一幅圖中“?”有4=1x3=3個(gè)；

第二幅圖中“?”有的=2x4=8個(gè);

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

第三幅圖中“?”有的=3x5=15個(gè);

...第〃幅圖中“?”有為=〃(〃+2)(〃為正整數(shù))個(gè)

a?2("n+2)

二當(dāng)〃=19時(shí)

1111

-----1--------1------1■…-I--------

%o,a3

1111

=+++十

3-8-

15399

1111

=----+------+-----+.......+

1x32x43x519x21

1

???-----X

23

111111

3243519

589

-840

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律解決問(wèn)題.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)全等是特殊的相似，即可得到“提出相似三角形的問(wèn)題和研究方法”是從特殊到一般.

【詳解】

???全等圖形是相似比為1的相似圖形，全等是特殊的相似,

由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的問(wèn)題和研究方法，是從特殊到一般的數(shù)學(xué)

方法.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查研究相似三角形的數(shù)學(xué)方法，理解相似三角形和全等三角形的聯(lián)系，是解題

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

的關(guān)鍵.

7.B

【解析】

【分析】

由題意知，n的三次方就是n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，且從2開始，這些三次方的分解正好是從

奇數(shù)3開始連續(xù)出現(xiàn)，由此規(guī)律即可找出nP的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是203時(shí)，m的值.

【詳解】

由題意，從23到nP,正好用去從3開始的連續(xù)奇數(shù)共2+3+4+…+m=(“+2)-1)

2

203是從3開始的第101個(gè)奇數(shù)

當(dāng)m=13時(shí)，從23到133,用去從3開始的連續(xù)奇數(shù)共2"13二11個(gè)

2

當(dāng)m=14時(shí)，從23到143,用去從3開始的連續(xù)奇數(shù)共比=104個(gè)

2

故m=14

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查歸納推理，求解的關(guān)鍵是根據(jù)歸納推理的原理歸納出結(jié)論，其中分析出分解式中

項(xiàng)數(shù)及每個(gè)式子中各數(shù)據(jù)之間的變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵.

8.D

【解析】

【分析】

2

由月(〃,0)(〃=1、2「)可得：A?P?=an,BnPn=an,則可得二加+的，貝|J可得

11111

A“B“a(n+n)、，再利用n(丁n+Fl)=n--n-+71，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

:過(guò)點(diǎn)？(〃⑼(〃=12…)的垂線,交y=0?(。＞0)的圖象于點(diǎn)4,交直線于點(diǎn)

B“；

...令x=〃，可得：A“縱坐標(biāo)為即2,B,,縱坐標(biāo)為,

\4勺=卬?2，B“P”=an,

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

2

\\Bn=an+an.

1111

----=---------=—?-------

AnBn-------------a〃(/z+l)an

111

-----1-----+…+

A4

\B2

a22334nn+l

an+l

1n

an+\

n

tz(n+l)

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)與垂直于x軸直線交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，以及由特殊到一般的歸

納總結(jié)方法，掌握歸納總結(jié)的方法是解題的關(guān)鍵.

9.109

【解析】

【分析】

類比于現(xiàn)在我們的十進(jìn)制“滿十進(jìn)一”，可以表示滿七進(jìn)一的數(shù)為：百位上的數(shù)X72+十位上

的數(shù)X71+個(gè)位上的數(shù).

【詳解】

解：由題意，孩子自出生后的天數(shù)=2x72+1x71+4=98+7+4=109（天），

故答案為：109.

【點(diǎn)睛】

本題是以古代“結(jié)繩計(jì)數(shù)''為背景，按滿七進(jìn)一計(jì)算自孩子出生后的天數(shù)，運(yùn)用了類比的方

法，根據(jù)圖中的數(shù)學(xué)列式計(jì)算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識(shí)，另

一方面也考查了學(xué)生的思維能力.

10.15

【解析】

【分析】

畫出圖形，結(jié)合圖形，找出規(guī)律解答即可

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

【詳解】

如圖，3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有

10個(gè)交點(diǎn).

而3=21,6=刎巴1,10=2)

222

.??八條直線相交，最多有"x("T)個(gè)交點(diǎn).

2

.??6條直線兩兩相交，最多有6X(67)=I5個(gè)交點(diǎn).

2

故答案為15.

【點(diǎn)睛】

此題主要考察了圖形的變化類問(wèn)題，在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜

想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法.

11.25521

【解析】

【分析】

(1)a=l,b=3,按規(guī)則操作三次，第一次：c=7,第二次：c=31,第三次：c=255由此即

可求解；

(2)p>q>0,按規(guī)則重復(fù)兩次，第一次得：q=pq+p+q=(g+l)(p+l)T,第二次得：

0=(p+l)2(q+l)-l,所得新數(shù)大于任意舊數(shù),故經(jīng)過(guò)6次擴(kuò)充,所得數(shù)為

(0+1甘(4+1)8-1,即可求解.

【詳解】

(1)第一次，c=lx3+l+3=7；第二次，c=3x7+3+7=31；第三次，

￡■=31x7+7+31=255；

⑵第一次，c,=pq+q+p=(p+l)(q+l)-1■

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

第二次,c2=[(p+D(g+i)T+i](p+i)T=(p+i)2(g+i)-i；

第三次C3=[(P+l)(q+l)-l+l][(p+l)2(q+l)_]+l]_]=(p+l)3(q+l)2_l；

23253

第四次，c4=[(p+l)(9+l)-l+l][(^+l)(<?+l)-l+l]-l=(/7+l)(9+l)-l:

533285

第五次，C5=[(p+l)(？+l)-l+l][(p+l)(9+l)-l+l]-l=(p+l)(9+l)-l;

第六次，，6=(P+l)"(g+l)8—1，所以,“+”=13+8=21.

故答案為(1)255；(2)21.

【點(diǎn)睛】

本題考查了推理與論證，整式規(guī)律探究，新定義運(yùn)算，主要考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能

力，求出經(jīng)過(guò)6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)是關(guān)鍵.

12.510

【解析】

【分析】

類比于現(xiàn)在我們的十進(jìn)制“滿十進(jìn)一”，可以表示滿七進(jìn)一的數(shù)為：千位上的數(shù)X73+百位

上的數(shù)x72+十位上的數(shù)X7+個(gè)位上的數(shù).

【詳解】

解：孩子自出生后的天數(shù)是1x73+3x72+2x7+6=510,

故答案為：510.

【點(diǎn)睛】

本題是以古代“結(jié)繩計(jì)數(shù)”為背景，按滿七進(jìn)一計(jì)算自孩子出生后的天數(shù)，運(yùn)用了類比的

方法，根據(jù)圖中的數(shù)學(xué)列式計(jì)算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識(shí)，

另一方面也考查了學(xué)生的思維能力.

13.102450

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意列出式子進(jìn)行解答即可；

(2)根據(jù)題意得出規(guī)律即可.

【詳解】

解：(1)籃球賽采取單循環(huán)比賽,則籃球賽共需賽5x(5-l)+2=10場(chǎng);

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

(2)本次活動(dòng)共制作了50x(50-1)=2450件小禮品.

【點(diǎn)睛】

本題考查了握手問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，要注意去掉重復(fù)計(jì)算的情況，如果球隊(duì)數(shù)量比較少可以

用枚舉法解答，如果數(shù)量比較多可以用公式：比賽場(chǎng)數(shù)』(n-l)+2解答.

14.8555

【解析】

【詳解】

試題分析：根據(jù)每一項(xiàng)分別是口、22、32、42、52可找到規(guī)律，可知

12+22+32+42+52+…+292+…+彥

=0x14-1+1x2+2+2x3+3+3x4+4+4x5+5+...(n-I)n+n

=(1+2+3+4+5+…+n)+[0x1+1x2+2x34-3x4+...+(n-1)n|

="(〃+l)+J(1x2x3-0x1x2)+-(2x3x4-1x2x3)+-(3x4x5-

2333

2x3x4)+?■?+：[(n-1)*n*(n+1)-(n-2),(n-1)*n]}

n(n+i)1、

=——U-[(n-1)(zn+1)]

23

=-------------,

6

.?.當(dāng)『29時(shí)，原式=29x(29+1)(2x29+1)=8555

6

故答案為8555.

15.31

【解析】

【分析】

根據(jù)新定義列式(1006+(10110)2=lx23+0+0+l+lx24+lx22+lx2'+l再根據(jù)法則計(jì)算即可。

【詳解】

解:(1001)2+(10110)2

=1X23+0X22+0X2'+1+1X24+0X23+1X22+1X2+0

=8+1+16+4+2

=31

故答案為：31.

【點(diǎn)睛】

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

本題考查學(xué)生對(duì)于十進(jìn)制和二進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換的掌握，根據(jù)題意找出己知條件根據(jù)一定運(yùn)算

規(guī)則可以求出答案。

16.(V2f

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的夜倍求解即可.

【詳解】

解：由題意得，ai=1,

a2=>/2,

a,=V2a,=(啦『,

a4==(&尸,

??=V2a?_|=(x/2)"-1.

故答案為：(&)"'.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，熟記正方形對(duì)角線等于邊長(zhǎng)的夜倍是解題的關(guān)鍵，要注意加

的指數(shù)的變化規(guī)律.

17.(1)2；-3；(2)長(zhǎng)為8,寬為4；最短籬笆為16；(3)32+86.

【解析】

【分析】

(1)直接套公式計(jì)算，取相反數(shù)后，套用公式計(jì)算即可；

(2)設(shè)籬笆的長(zhǎng)為x,則寬為3二2，則籬笆的周長(zhǎng)為x+6力4，套用公式計(jì)算即可；

XX

(3)設(shè)點(diǎn)B到AC的距離BE=%，點(diǎn)、D到0C的距離DF=%,用AC,%,h2表示四邊形

的面積，后套用公式計(jì)算即可.

【詳解】

(1),/x>0,

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

x+—>2j.r--=2，

XX

，式子X+，的最小值為為2,

x

故答案為：2；

Vx<0,

/.—x>0,

：.(-4%)+—>2./(-4x)?—>24,

(-x)

當(dāng)且僅當(dāng)，（如尸工時(shí)，等號(hào)成立,

解得x=3不符合題意，舍去，取x=-3,

-(4xH-----)224,

x

??.4x+—<-24,

x

?,?當(dāng)x=-3時(shí)，式子4X+迎取到最大值,

x

故答案為：-3；

（2）設(shè)籬笆的長(zhǎng)為x,則寬為必，.?.籬笆的周長(zhǎng)為x+2x%=》+2,

xxx

Vx>0,

.?一+空2后

=16，

x

64

當(dāng)且僅當(dāng),x=—等號(hào)成立，解得x=8或x=-8（舍去）,

x

.??必=4,

X

，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8米、寬為4米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是16米;

（3）設(shè)點(diǎn)8到AC的距離點(diǎn)拉到OC的距離OF=H，

V^AOB、△COD的面積分別是8和14,

1628

/.OA=—,OC=~,

4h2

1628

?\AC=OA+OC=—+—,

h】h

???S四邊形△梯。+*^AADC

答案第II頁(yè)，共19頁(yè)

=—AC?hy+—AC*/^

=§AC4%+h2）

]1628

=]（九+砧（丁又）

=22+”,

&h2

:?也＞0也＞0,

,辛詈2卷W

?：22+華+詈3板

工四邊形ABC。面積的最小值22+8萬(wàn).

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義運(yùn)算，矩形的性質(zhì)，三角形的面積，四邊形的面積，準(zhǔn)確理解新定義運(yùn)

算的意義，構(gòu)造條件使用公式是解題的關(guān)鍵.

18.(1)是；證明見解析；(2)G(，〃)的最大值為45.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“一刀兩斷”數(shù)的定義，計(jì)算即可得，設(shè)任意一個(gè)能被13整除的〃位數(shù)前位

數(shù)字為P，個(gè)位數(shù)字為。，則這個(gè)〃位數(shù)可表示為10P+Q=13k,根據(jù)定義進(jìn)行推理即可

證得；

(2)由m能被65整除，得出m是13的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，可得d=0或5,分情況討

論，分別求出滿足條件的所有的m的值，代入G(〃?)中計(jì)算即可判斷出.

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

【詳解】

(1)5928—592+32=624,624—62+16=78,78+13=6,所以5928是“一刀兩斷”數(shù)

證明：設(shè)任意一個(gè)能被13整除的“位數(shù)前”-1位數(shù)字為P,個(gè)位數(shù)字為Q,則這個(gè)〃位數(shù)

可表示為10P+Q=13&(k為正整數(shù))，

:.Q=\3k-WP,

..10P+Q->P+4。=P+4(13V-10P)=52&-39P=13(?-3P),

???1OP+0是“一刀兩斷”數(shù)；

.??任意一個(gè)能被13整除的數(shù)是“一刀兩斷''數(shù)，

故答案為：是；

(2),.,m=1000a+100b+10c+d,/n能被65整除,且a=c,

，機(jī)既能被13整除又能被5整除.

;.d=0或4=5.

、,，…100a+10h+c+4Jl(X)4+10b+a101。+10〃-10(a+6)

當(dāng)4=0時(shí)，----------------=------------=---------=la+---------,

〃是13的倍數(shù).

???掇收9,礴9,

:.a-\-b=\3.

又，?啜h4,

Ji.

[b=9

.?."2=4940.

、i,r-ii-L100。+1Oh+c+4d100。+1Ob+〃+20101。+10〃+20r10（。+"2）

當(dāng)d=5時(shí)，===----------------------=la-\--------------------

13131313

.,.a+b+2是13的倍數(shù),

。+力+2=13,

/.67+Z?=ll.

???1領(lǐng)h4,

}=2pz=3卜=4

[b=9[8=8[h=l

m-2925或m-3835或加=4745.

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

G(4940)=—,G(4745)=45,G(3835)=—,G(2925)=—.

423

???G(m)的最大值為45,

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】

本題考查了“一刀兩斷”數(shù)的新定義，分類討論的思想，5的倍數(shù)的特征數(shù)，代數(shù)式求值，

理解“一刀兩斷”數(shù)的新定義是解題的關(guān)鍵.

+

19.(1)2,0-1;(2)=3"-3；(3)a-"——'-1

2a—1

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍，設(shè)S=l+2+2?+…+23計(jì)算2s的值，運(yùn)用

整體思想，將兩個(gè)式子相減即可解題；

(2)由(1)中的解題思路解題，設(shè)S=3+3?+…+3%計(jì)算3s的值，運(yùn)用整體思想，將

兩個(gè)式子相減即可解題；

(3)由特殊到一般的思想，設(shè)S=l+a+/+…+a",計(jì)算aS的值，運(yùn)用整體思想，將兩

個(gè)式子相減即可解題.

【詳解】

(1)設(shè)S=l+2+2?+…+29①，

則2s=2+2?+…+2i°②，

②一①得2S-S=S=2'°-1，

/.S=1+2+22+---+29=2I0-1.

故答案為：

(2)設(shè)5=3+32+…+3，°①,

則3s=3?+33+…+3”②，

②一①得2s=3"-3,

3H-3

所以-

2

即3+32+…+31°=^^.

2

故答案為：9.

(3)設(shè)S=l+〃+/+…+a"①,

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

則aS=a+a」+/+a，+…+a"+an+x，

②一①得(a-l)S=G-1,

a=1時(shí),

所以S=

a-1

_nn+]-1

即1+a+〃+…+〃"=------.

a-\

【點(diǎn)睛】

本題考查與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

20.128、21、20、3

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題意，應(yīng)用逆推法，用1乘以2,得到2；用2乘以2,得到4；用4乘以2,得

到8；用8乘以2,得到16；然后分類討論，判斷出所有符合條件的m的值為多少即可.

【詳解】

解：由題意可得，機(jī)是一個(gè)自然數(shù)且團(tuán)經(jīng)過(guò)7步變成1,如圖所示，采用逆推的方法求出

加的值.

________x2、7________x2、A_________x2、o________x2、iA

―此處不能3x+l)乙-1比處不能3x+l)—-此處不能3x+l—>°―此處不能3x+】>1°

x非自然數(shù)x非自然數(shù)如果用，則x=l,x非自然數(shù)

就已經(jīng)到了1.

此處不能3x+l(下一個(gè)數(shù)是偶數(shù)

卜一個(gè)數(shù)是偶數(shù)x非自然數(shù)7128

_>32f64，

x2x2下一個(gè)數(shù)是奇數(shù)

T21

、X2

此處不能3x+l

下一個(gè)數(shù)是奇數(shù)x非自然數(shù)T20

->5-10<x2

3x+1x2下一個(gè)數(shù)是奇數(shù)

—>3

則所有符合條件的根的值為128、21、20、3.

故答案為：128、21、20、3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查探尋數(shù)列規(guī)律問(wèn)題以及逆推法的應(yīng)用，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應(yīng)

用規(guī)律.同時(shí)考查推理和論證問(wèn)題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①演繹推理

是從一般規(guī)律出發(fā)，運(yùn)用邏輯證明或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得出特殊事實(shí)應(yīng)遵循的規(guī)律，即從一般到

特殊.②歸納推理就是從許多個(gè)別的事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論，即從特殊到

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

一般.

21.(1)30°

(2)①證明過(guò)程見解析；②證明過(guò)程見解析.

【解析】

【分析】

⑴由“光學(xué)性質(zhì)”定義得到由FE〃BC得到/FEA=NC=75。，最后在△￡?EC

中由三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(2)①根據(jù)定義一和定義二，證明ZAEF