經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第三版） 教案 5.描述性統(tǒng)計(jì)分析

長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課題描述性統(tǒng)計(jì)分析授課課時(shí)2課型新授課教案編號(hào)教學(xué)目標(biāo)（知識(shí)、技能、素質(zhì)）：1、知識(shí)目標(biāo)：掌握基本統(tǒng)計(jì)量及線性相關(guān)的度量。2、技能目標(biāo)：分析解決問(wèn)題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力3、素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理性的思維方式和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)：掌握基本統(tǒng)計(jì)量，散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：隨機(jī)變量的分布形狀，用EXCEL求常用統(tǒng)計(jì)量主要教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式、講授法教學(xué)環(huán)節(jié)與內(nèi)容一、問(wèn)題引入統(tǒng)計(jì)在日常生活和各類(lèi)職業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用，例如，在社會(huì)學(xué)領(lǐng)域，需要調(diào)查青年對(duì)婚姻家庭、經(jīng)濟(jì)收入、相貌等因素的態(tài)度以便進(jìn)行正確引導(dǎo)；在康復(fù)醫(yī)療領(lǐng)域，需要對(duì)患有抑郁癥的病人，按照測(cè)量得到的指標(biāo)，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)貧w類(lèi)以便進(jìn)行有針對(duì)性的治療；在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，需要考慮商品的市場(chǎng)反應(yīng)與價(jià)格、消費(fèi)者收入和廣告等因素之間的相互關(guān)系，以及建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)等問(wèn)題。二、新課講授（1）重要統(tǒng)計(jì)概念在一個(gè)描述性統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，往往涉及到三個(gè)主要概念：總體、樣本以及描述性統(tǒng)計(jì)。定義1：總體是指研究對(duì)象的某一個(gè)指標(biāo)(或多個(gè))全體，組成總體的每一個(gè)單元稱(chēng)為個(gè)體，總體中所包含個(gè)體的總數(shù)稱(chēng)為總體容量。定義2：在總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，記其指標(biāo)值為X1,X2,…,Xn，則X1,X2,…,Xn稱(chēng)為總體的一個(gè)樣本，n稱(chēng)為樣本容量，樣本中的個(gè)體稱(chēng)為樣品。（2）常用統(tǒng)計(jì)量定義5統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)理論中用來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、檢驗(yàn)的變量。=1\*romani）中心趨勢(shì)中心趨勢(shì)又稱(chēng)為定位度量或者平均數(shù)，是一組數(shù)據(jù)典型的或者有代表意義的值。由于這些典型值趨向于落在根據(jù)數(shù)值大小排列的數(shù)據(jù)的中心，因此被稱(chēng)為中心趨勢(shì)度量。可以定義中心趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量包括：算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等。算數(shù)平均數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)為樣本均值)：設(shè)一個(gè)樣本的觀測(cè)值為，樣本算數(shù)平均數(shù)記為，則有.其中，符號(hào)“”表示將記作的意思，讀成“記作”。幾何平均數(shù)：度量平均值的另一種方法，特別是在計(jì)算平均增長(zhǎng)率、平均收益率時(shí)被經(jīng)常使用。中位數(shù)：把所有觀測(cè)值依序排列(遞增或遞減)，位于最中間的觀測(cè)值就是中位數(shù)。當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則中位數(shù)是位于中間的兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)。眾數(shù)：樣本觀測(cè)值中發(fā)生次數(shù)最多的觀測(cè)值。使用眾數(shù)作為中心趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)量，會(huì)有兩個(gè)問(wèn)題：第一，在一個(gè)小樣本內(nèi)，它可能不是一個(gè)很好的觀測(cè)值；第二，它可能不唯一。例9.1求引例9.1牙膏銷(xiāo)售問(wèn)題中的本公司銷(xiāo)售價(jià)格的平均價(jià)格，價(jià)格的眾數(shù)和中位數(shù)？解平均價(jià)格；因?yàn)楸竟句N(xiāo)售價(jià)格3.7元出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)；將本公司銷(xiāo)售價(jià)格從低到高排序，第15位、第16位都是3.75，因此中位數(shù).對(duì)于一組數(shù)據(jù)，僅僅知道平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等這些描述數(shù)據(jù)中心趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量還不夠，還需知道數(shù)據(jù)的分散程度.描述數(shù)據(jù)的分散程度的常用統(tǒng)計(jì)量有極差、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差等.=2\*romanii）離散趨勢(shì)除了知道中心趨勢(shì)外，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)描述還需要知道數(shù)據(jù)圍繞中心點(diǎn)是如何分散的，稱(chēng)之為離散趨勢(shì)。常用的統(tǒng)計(jì)量有：極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和方差系數(shù)等。極差：樣本最大觀測(cè)值和最小觀測(cè)值之間的差。樣本方差：一個(gè)樣本的觀測(cè)值為，樣本算數(shù)平均數(shù)記為，樣本方差記為，則有.需要注意的是，樣本方差的計(jì)算公式中，是使用偏差平方和除以，而不是除以，這是因?yàn)槲覀冊(cè)谟脴颖竟烙?jì)總體時(shí)，除以所建立起的統(tǒng)計(jì)量是對(duì)總體方差更好的估計(jì)。樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本方差的算術(shù)平方根，即。樣本方差在比較兩組或者更多組數(shù)據(jù)的離散程度時(shí)，是一個(gè)很好的統(tǒng)計(jì)量。通常，樣本方差越大，代表數(shù)據(jù)本身的離散程度越大。而樣本標(biāo)準(zhǔn)差則可以幫助我們了解數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)區(qū)域。方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)能較好的反映出數(shù)據(jù)的離散程度，是描述一組數(shù)據(jù)變異程度或離散程度大小的重要指標(biāo).例9.2求引例9.1牙膏銷(xiāo)售問(wèn)題中的本公司銷(xiāo)售價(jià)格的極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.解因?yàn)楸竟句N(xiāo)售價(jià)格的最大值為3.9，最小值為3.55，所以極差為R=3.9－3.55=0.35,,.方差系數(shù)：樣本觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本均值的結(jié)果，即.例9.3表3-7給出了東風(fēng)汽車(chē)和上海機(jī)場(chǎng)兩種股票在12個(gè)交易日的價(jià)格，試比較兩種股票價(jià)格在這12個(gè)交易日內(nèi)的活躍程度。表3-7兩只股票12個(gè)交易日的價(jià)格表日期東風(fēng)汽車(chē)上海機(jī)場(chǎng)日期東風(fēng)汽車(chē)上海機(jī)場(chǎng)200503103.1716.06200503182.9716.52200503113.1616.55200503212.9416.65200503143.1017.27200503222.71171016.82200503232.7416.90200503163.0916.60200503242.7616.86200503173.0216.65200503252.7516.79解分別計(jì)算兩組樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差和方差系數(shù)，得東風(fēng)汽車(chē)：均值為2.96，標(biāo)準(zhǔn)差為0.176，方差系數(shù)為0.059；上海機(jī)場(chǎng)：均值為16.74，標(biāo)準(zhǔn)差為0.316，方差系數(shù)為0.019。如果從標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)看，上海機(jī)場(chǎng)的股票活躍程度要大于東風(fēng)汽車(chē)，但從方差系數(shù)來(lái)看，上海機(jī)場(chǎng)的方差系數(shù)僅為0.019，遠(yuǎn)小于東風(fēng)汽車(chē)的0.059。兩者存在矛盾是因?yàn)樯虾C(jī)場(chǎng)的股價(jià)要高于東風(fēng)汽車(chē)，因此含有量綱的標(biāo)準(zhǔn)差就會(huì)偏高，而采用方差系數(shù)考慮了股價(jià)的均值，因此能更好地反映股價(jià)的活躍程度，因此可以從方差系數(shù)做出判斷，東風(fēng)汽車(chē)股價(jià)的活躍度高于上海機(jī)場(chǎng)。=3\*romaniii）分布形狀隨機(jī)變量的分布形狀主要包括偏度和峰度。偏度：反映以平均值為中心的分布的不對(duì)稱(chēng)程度的量，其計(jì)算公式為.其中，為樣本均值，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，為樣本容量。若sk<0，則分布具有負(fù)偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值左邊的比位于右邊的少，直觀表現(xiàn)為左邊的尾部相對(duì)于右邊的尾部要長(zhǎng)，因?yàn)橛猩贁?shù)變量值很小，使曲線左側(cè)尾部拖得很長(zhǎng).若sk>0，則分布具有正偏態(tài)，此時(shí)數(shù)據(jù)位于均值右邊的比位于左邊的少，直觀表現(xiàn)為右邊的尾部相對(duì)于左邊的尾部要長(zhǎng)，因?yàn)橛猩贁?shù)變量值很大，使曲線右側(cè)尾部拖得很長(zhǎng).而sk接近0則可認(rèn)為分布是對(duì)稱(chēng)的。如圖3-11所示。圖3-11三種偏態(tài)示意圖如果偏度表示的是數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱(chēng)程度，則峰度用來(lái)表述分布的尖銳度或者平坦度，用與正態(tài)分布的比較值來(lái)度量。峰度：反映與正態(tài)分布相比某一分布的尖銳度或平坦度，其計(jì)算公式為.其中，為樣本均值，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，為樣本容量。若bk<0，則表示峰度比正態(tài)分布平坦；若bk>0，則表示峰度比正態(tài)分布陡峭；若bk=0，則表示峰度跟正態(tài)分布相同。如圖3-12所示。圖3-11三種峰度示意圖例9.4表3-8給出某股票在18個(gè)交易日的價(jià)格，試求該股票價(jià)格的偏度和峰度。表3-8某股票18個(gè)交易日的價(jià)格表日期價(jià)格日期價(jià)格日期價(jià)格200503106.4200503186.29200503285.97200503116.38200503216.16200503295.93200503146.44200503226.12200503305.94200503156.36200503236.08200503315.54200503166.24200503245.99200504015.36200503176.35200503255.93200504045.4解數(shù)據(jù)的偏度和峰度的計(jì)算公式較為復(fù)雜，我們可以借助EXCEL輔助計(jì)算。其中，偏度的EXCEL指令是“=SKEW(數(shù)據(jù)對(duì)象)”，峰度的EXCEL指令是“=KURT(數(shù)據(jù)對(duì)象)”。借助EXCEL求解，可得該股票價(jià)格的偏度，峰度為。說(shuō)明股票價(jià)格成負(fù)偏態(tài)；峰度值接近于0，其陡峭程度與正態(tài)分布接近。事實(shí)上，由于上述統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用十分廣泛，EXCEL在分析工具中專(zhuān)門(mén)編寫(xiě)了“描述統(tǒng)計(jì)”指令來(lái)實(shí)現(xiàn)快速和智能化的計(jì)算，其調(diào)用步驟為：?jiǎn)螕簟緮?shù)據(jù)】中的【數(shù)據(jù)分析】命令，在彈出的數(shù)據(jù)分析對(duì)話框中，選中【描述統(tǒng)計(jì)】。注意：如果在【數(shù)據(jù)】中沒(méi)有見(jiàn)到【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)，則要依次通過(guò)【文件】【選項(xiàng)】【加載項(xiàng)】【轉(zhuǎn)到】，在出現(xiàn)的【加載宏】對(duì)話框中選定【分析工具庫(kù)】。（3）相關(guān)分析與回歸分析現(xiàn)實(shí)生活中，事物之間存在相互關(guān)系.比如，職業(yè)種類(lèi)和收入之間的關(guān)系、商品銷(xiāo)售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系、糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系、人體類(lèi)內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系、工業(yè)產(chǎn)值與用電量等等.認(rèn)識(shí)事物之間的關(guān)系可以對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)和推斷.下面將介紹線性相關(guān)關(guān)系，并利用線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行回歸分析.1.變量間相關(guān)關(guān)系的描述與度量什么是線性相關(guān)關(guān)系？由表9-1看出，隨著其他廠家平均價(jià)格與本公司銷(xiāo)售價(jià)格之差(即價(jià)格差)的增加，牙膏銷(xiāo)售量也在增加，這就說(shuō)明牙膏銷(xiāo)售量與價(jià)格差有關(guān)系，但是這種關(guān)系不是我們以前研究過(guò)的函數(shù)關(guān)系.也就是說(shuō)當(dāng)一個(gè)變量(如價(jià)格差)確定后，無(wú)法確定另一個(gè)變量(如牙膏銷(xiāo)售量).相關(guān)關(guān)系是指變量之間確實(shí)存在密切關(guān)系，但是一個(gè)變量或幾個(gè)變量取的確定值時(shí)，不能求出另一個(gè)變量的確定值，而在大量的資料中，這種關(guān)系又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的關(guān)系.為了刻畫(huà)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，可以通過(guò)散點(diǎn)圖直接觀察，也可以通過(guò)相關(guān)系數(shù)的大小進(jìn)行判斷.=1\*GB2⑴散點(diǎn)圖用坐標(biāo)的水平軸代表自變量，縱軸代表因變量，每組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中用一個(gè)點(diǎn)表示，組數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中形成的個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為散點(diǎn)，由坐標(biāo)及其散點(diǎn)形成的二維數(shù)據(jù)圖稱(chēng)為散點(diǎn)圖(scatterdiagram).散點(diǎn)圖是描述變量之間關(guān)系的一種直觀方法，從中可以大體上看出變量之間的關(guān)系形態(tài)及關(guān)系強(qiáng)度.如果散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)都大致分布在一條直線的周?chē)?，這就說(shuō)明變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，否則不存在線性相關(guān)關(guān)系.以引例9.1中所給的數(shù)據(jù)為例，得到牙膏銷(xiāo)售量對(duì)價(jià)格差及廣告費(fèi)用的散點(diǎn)圖分別如圖9-1、圖9-2所示.圖9-1銷(xiāo)售量對(duì)價(jià)格差散點(diǎn)圖圖9-2銷(xiāo)售量對(duì)廣告費(fèi)用散點(diǎn)圖由圖9-1、圖9-2可以看出，雖然數(shù)據(jù)點(diǎn)不全在一條直線上，但近似在一條直線附近.因此可以認(rèn)為牙膏銷(xiāo)售量對(duì)價(jià)格差及廣告費(fèi)用之間存在線性相關(guān)關(guān)系.=2\*GB2⑵相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)是對(duì)變量之間線性關(guān)系密切程度的度量.若變量的個(gè)數(shù)據(jù)，，則變量相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為.其中.可以證明，相關(guān)系數(shù)的取值范圍在+1和－1之間，即.若，表明變量之間存在正線性相關(guān)關(guān)系；若，表明變量之間存在負(fù)線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)時(shí)，變量可視為高度相關(guān);時(shí)，變量可視為中度相關(guān);時(shí)，變量可視為低度相關(guān);當(dāng)時(shí)，說(shuō)明變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不線性相關(guān).例9.5根據(jù)表9-1中所給的數(shù)據(jù)，計(jì)算牙膏銷(xiāo)售量和價(jià)格差以及牙膏銷(xiāo)售量和廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù).解牙膏銷(xiāo)售量和價(jià)格差之間的相關(guān)系數(shù)為.牙膏銷(xiāo)售量和廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)為.從牙膏銷(xiāo)售量對(duì)價(jià)格差及廣告費(fèi)用之間的相關(guān)