2022年中考數(shù)學(xué)幾何模型之動點最值之瓜豆模型(講+練)(原卷版)

專題16動點最值之瓜豆模型模型一、運動軌跡為直線問題1：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？解析：當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．問題2：如圖，點C為定點，點P、Q為動點，CP=CQ，且∠PCQ為定值，當(dāng)點P在直線AB上運動，Q的運動軌跡是？解析：當(dāng)CP與CQ夾角固定，且AP=AQ時，P、Q軌跡是同一種圖形，且PP1=QQ1理由：易知△CPP1≌△CPP1，則∠CPP1=CQQ1，故可知Q點軌跡為一條直線.模型總結(jié)：條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量；主動點、從動點到定點的距離之比是定量．結(jié)論：①主動點、從動點的運動軌跡是同樣的圖形；②主動點路徑做在直線與從動點路徑所在直線的夾角等于定角③當(dāng)主動點、從動點到定點的距離相等時，從動點的運動路徑長等于主動點的運動路徑長；例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（－3，0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．例2.如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y＝－x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB＝30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當(dāng)點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，求CG的最小值是多少？【變式訓(xùn)練2】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E在AB上，點D為BC的中點，△EDM為等邊三角形．若點E從點B運動到點A，則M點所經(jīng)歷的路徑長為．【變式訓(xùn)練3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，點F是對角線AC上的一個動點，連接DF，以DF為斜邊作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使點E和點A位于DF兩側(cè)，點F從點A到點C的運動過程中，點E的運動路徑長是．【變式訓(xùn)練4】如圖，已知線段AB＝12，點C在線段AB上，且△ACD是邊長為4的等邊三角形，以CD為邊的右側(cè)作矩形CDEF，連接DF，點M是DF的中點，連接MB，則線段MB的最小值為.模型二、運動軌跡為圓問題1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？解析：Q點軌跡是一個圓理由：Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，．問題2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？解析：Q點軌跡是一個圓理由：∵AP⊥AQ，∴Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q點軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．模型總結(jié)：條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．例1.如圖，點P（3，4），圓P半徑為2，A（2.8，0），B（5.6，0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．例2.如圖，A是⊙B上任意一點，點C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A．4＋4 B．4 C．4＋8 D．6例3.如圖，正方形ABCD中，，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．【變式訓(xùn)練1】如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當(dāng)半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．【變式訓(xùn)練2】如圖，AB為的直徑，C為上一點，其中，，P為上的動點，連AP，取AP中點Q，連CQ，則線段CQ的最大值為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】如圖，中，于點是半徑為2的上一動點，連結(jié)，若是的中點，連結(jié)，則長的最大值為（）A．3 B． C．4 D．課后訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠A＝30o，BC＝2，D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90o，連接BE，則線段BE的最小值為.3.如圖，，點O在線段上，，的半徑為1，點P是上一動點，以為一邊作等邊，則的最小值為_____．4.點A是雙曲線在第一象限上的一個動點，連接AO并延長交另一交令一分支點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但始終在某函數(shù)圖像上運動，則這個函數(shù)的解析式為.7．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連AP，取AP中點Q，連CQ，則線段CQ的最大值為____________．8.如圖，已知點M（0，4），N（4，0），開始時，△ABC的三個頂點A、B、C分別與點M、N、O重合，點A在y軸上從點M