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專(zhuān)題04一線三等角模型【基本模型】應(yīng)用:通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化,便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題;【例題精講】例1.(基本模型1)在中,,,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且于D點(diǎn),于E點(diǎn).(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí),求證:;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系.
例2.(基本模型2)(1)課本習(xí)題回放:“如圖①,,,,,垂足分別為,,,.求的長(zhǎng)”,請(qǐng)直接寫(xiě)出此題答案:的長(zhǎng)為_(kāi)_______.(2)探索證明:如圖②,點(diǎn),在的邊、上,,點(diǎn),在內(nèi)部的射線上,且.求證:.(3)拓展應(yīng)用:如圖③,在中,,.點(diǎn)在邊上,,點(diǎn)、在線段上,.若的面積為15,則與的面積之和為_(kāi)_______.(直接填寫(xiě)結(jié)果,不需要寫(xiě)解答過(guò)程)例3.(培優(yōu)綜合)(1)觀察理解:如圖1,∠ACB=90°,AC=BC,直線l過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)A,B在直線l同側(cè),BD⊥l,AE⊥l,垂足分別為D,E,求證:△AEC≌△CDB.(2)理解應(yīng)用:如圖2,過(guò)△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC邊上的高,延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I.利用(1)中的結(jié)論證明:I是EG的中點(diǎn).(3)類(lèi)比探究:①將圖1中△AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3,則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______;②如圖4,直角梯形ABCD中,,AB⊥BC,AD=2,BC=3,將腰DC繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE,△AED的面積為.例4.(與坐標(biāo)綜合)【問(wèn)題解決】(1)已知△ABC中,AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線l上,且有∠BDA=∠AEC=∠BAC.如圖①,當(dāng)∠BAC=90°時(shí),線段DE,BD,CE的數(shù)量關(guān)系為:______________;【類(lèi)比探究】(2)如圖②,在(1)的條件下,當(dāng)0°<∠BAC<180°時(shí),線段DE,BD,CE的數(shù)量關(guān)系是否變化,若不變,請(qǐng)證明:若變化,寫(xiě)出它們的關(guān)系式;【拓展應(yīng)用】(3)如圖③,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),請(qǐng)求出點(diǎn)A的坐標(biāo).【變式訓(xùn)練】1.如圖,∠ABC=∠ACD=90°,BC=2,AC=CD,則△BCD的面積為_(kāi)________.2.(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明∶DE=BD+CE.(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.3.已知:CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線,CA=CB,E、F是直線CD上兩點(diǎn),∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部,∠BCD>∠ACD.①如圖1,∠BCA=90°,∠α=90°,寫(xiě)出BE,EF,AF間的等量關(guān)系:.②如圖2,∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系,能使①中的結(jié)論仍然成立?寫(xiě)出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系.(2)如圖3.若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部,∠α=∠BCA,①中的結(jié)論是否成立?若成立,進(jìn)行證明;若不成立,寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明.4.(1)某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí),發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,已知:在中,,,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,直線l,直線l,垂足分別為點(diǎn)D,E.求證:.(2)組員小明想,如果三個(gè)角不是直角,那結(jié)論是否會(huì)成立呢?如圖2,將(1)中的條件改為:在中,,D,A,E三點(diǎn)都在直線l上,并且有,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神,并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題:如圖3,過(guò)的邊AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC邊上的高.延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I.若,則______.【課后訓(xùn)練】1.如圖,在△ABC中,AB=AC=9,點(diǎn)E在邊AC上,AE的中垂線交BC于點(diǎn)D,若∠ADE=∠B,CD=3BD,則CE等于()A.3 B.2 C. D.2.如圖,,于點(diǎn)A,D是線段AB上的點(diǎn),,.(1)判斷與的數(shù)量關(guān)系為,位置關(guān)系為.(2)如圖2,若點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè),其他條件不變,試說(shuō)明(1)中結(jié)論是否成立,并說(shuō)明理由.3.如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(D不與B,C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于E.(1)當(dāng)∠BDE=115°時(shí),∠BAD=°,點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BAD逐漸變(填“大”或“小”);(2)當(dāng)DC等于多少時(shí),△ABD≌△DCE,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ADE的形狀也在改變,判斷當(dāng)∠BAD等于多少時(shí),△ADE是等腰三角形.4.如圖,線段AB=6,射線BG⊥AB,P為射線BG上一點(diǎn),以AP為邊做正方形APCD,且點(diǎn)C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè),在線段DP上取一點(diǎn)E,使得∠EAP=∠BAP,直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合),(1)求證:△AEP≌△CEP;(2)判斷CF與AB的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)△AEF的周長(zhǎng)是否為定值,若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.5.如圖,在中,,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,且,過(guò)點(diǎn)B作,與BD的垂線DE交于點(diǎn)E,連結(jié)AD,取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OC,OE.(1)求證:.(2)求證:.6.通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí),解決下列問(wèn)題:(1)如圖1,∠BAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°,可以推理得到△ABC≌△DAE.進(jìn)而得到AC=,BC=AE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“K字”模型或“一線三等角”模型;(2)如圖2,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接BC,DE,且BC⊥AF于點(diǎn)F,DE與直線AF交于點(diǎn)G.求證:點(diǎn)G是DE的中點(diǎn);(深入探究)(3)如圖,已知四邊形ABCD和DEGF為正方形,△AFD的面積為S1,△DCE的面積為S2,則有S1S2(填“>、=、<”)7.綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師讓同學(xué)們以“過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究.(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖甲,在中,,且,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.小華分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線,垂足分別為點(diǎn)D、E.易證,此時(shí),線段、、的數(shù)量關(guān)系為:;(2)拓展應(yīng)用:如圖乙,為等腰直角三角形,,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
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