專題04 一線三等角模型（原卷版）（人教版）

專題04一線三等角模型【基本模型】應(yīng)用：通過證明全等實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對應(yīng)的幾何問題；【例題精講】例1．（基本模型1）在中，，，直線MN經(jīng)過點C，且于D點，于E點．（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，求證：；（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖②、圖③的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系．

例2．（基本模型2）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點，在的邊、上，，點，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）例3．（培優(yōu)綜合）（1）觀察理解：如圖1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點C，點A，B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D，E，求證：△AEC≌△CDB．（2）理解應(yīng)用：如圖2，過△ABC邊AB、AC分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I．利用（1）中的結(jié)論證明：I是EG的中點．（3）類比探究：①將圖1中△AEC繞著點C旋轉(zhuǎn)180°得到圖3，則線段ED、EA和BD的關(guān)系_______；②如圖4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰DC繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DE，△AED的面積為．例4．（與坐標(biāo)綜合）【問題解決】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；【類比探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)0°<∠BAC<180°時，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，AC=BC，∠ACB=90°，點C的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（1，2），請求出點A的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，則△BCD的面積為_________．2．（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．證明∶DE=BD+CE．（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．3．已知：CD是經(jīng)過∠BCA的頂點C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點，∠BEC＝∠CFA＝∠α．（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進(jìn)行證明．4．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點A，直線l，直線l，垂足分別為點D，E．求證：．（2）組員小明想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過的邊AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高．延長HA交EG于點I．若，則______．【課后訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．如圖，，于點A，D是線段AB上的點，，．(1)判斷與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．(2)如圖2，若點D在線段的延長線上，點F在點A的左側(cè)，其他條件不變，試說明（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當(dāng)∠BDE＝115°時，∠BAD＝°，點D從B向C運動時，∠BAD逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當(dāng)∠BAD等于多少時，△ADE是等腰三角形．4．如圖，線段AB=6，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊做正方形APCD，且點C、D與點B在AP兩側(cè)，在線段DP上取一點E，使得∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A、B不重合），（1）求證：△AEP≌△CEP；（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說明理由；（3）△AEF的周長是否為定值，若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．5．如圖，在中，，點D在BC的延長線上，且，過點B作，與BD的垂線DE交于點E，連結(jié)AD，取AD中點O，連結(jié)OC，OE．（1）求證：．（2）求證：．6．通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）7．綜合與實踐數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點A．小華分別過B、C兩點作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：；(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點C的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．