高三數(shù)學(xué)下學(xué)期多選題單元 易錯(cuò)題綜合模擬測(cè)評(píng)檢測(cè)試題

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.已知函數(shù)“力=<；：：]，若存在實(shí)數(shù)。，使得則a的個(gè)數(shù)

不是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABD

【分析】

令/(a)=f,即滿(mǎn)足/(r)=r,對(duì)t進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合已知函數(shù)解析式代入即可求得滿(mǎn)

足題意的3進(jìn)而求得a

【詳解】

令/(a)=f,即滿(mǎn)足/(r)=f,轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(。與%=^有交點(diǎn)，結(jié)合圖像

由圖可知，/(，)=/有兩個(gè)根/1=()或f=l

/、/\[2-a.a>1

(1)當(dāng)￡=1,即/(a)=l,由，得.=±1時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)均滿(mǎn)足題意;

(2)當(dāng)r=0，即/(a)=0,當(dāng)aNl時(shí)，,f(a)=2-a=0,解得：a-2；當(dāng)a<l

時(shí),/(?)=a2=0,解得：(z=0；

綜上所述：共有4個(gè)a.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)

出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

2.函數(shù)“X)的定義域?yàn)镺,若存在區(qū)間仁。使“X)在區(qū)間網(wǎng)用上的值域也是

[m.n\,則稱(chēng)區(qū)間卜%為函數(shù)的〃和諧區(qū)間〃，則下列函數(shù)存在〃和諧區(qū)間〃的是

()

A.f(x)=GB./(x)=x2—2x+2C./(x)=x+—

D."x)=L

x

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)題意，可知若“X)在區(qū)間上”,〃]上的值域也是[m,〃],則“X)存在"和諧區(qū)

間"機(jī),〃，且加<〃，則匕〉/或/，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算求解

L」[/(〃)=〃[n)-m

…,即可判斷該函數(shù)是否存在"和諧區(qū)間

【詳解】

解：由題得，若.f(x)在區(qū)間[〃?,〃]上的值域也是[加,〃],則〃x)存在"和諧區(qū)

間"[根,〃],

/(/〃)=，"

可知，m<n,則《以1/(〃)=加

/(〃)=〃

f(m]=yjm=mm=0

A：/(x)=Vx(x＞0),若＜；；，解得：＜

rn=1

所以/(X)=?存在"和諧區(qū)間"[0,1]；

f(m\=m2-2m+2=m

B：/(x)=x2-2x+2(xe/?),若,J(〃)=〃2_2〃+2=“，解得：,

n=2

所以/(%)=/-2x+2存在"和諧區(qū)間"[1,2]；

11

f(m)=:〃2H—=m：0

mm

C：/(x)=x+—(x^O),若＜I,得ZR＜，故無(wú)解;

1

/(〃)=〃+—二n0

nn

1

m-\——二n

1m

/("?)=："2d——=n

mm2+/77+1_0

若?，即\化簡(jiǎn)得:

1m4-1nzn(m2+1)

/(〃)=孔+—=m

n1

幾十—=m

n

即機(jī)2+加+1=0，由于△=1?一4xlxl=-3vO，故無(wú)解;

若0<m<1v〃.?./(l)=wm=2,不成立

所以/(X)=X+L不存在"和諧區(qū)間"：

X

/(加)=—=n

D：/(x)=-(x^O),函數(shù)在(0,+8),(-8,0)單調(diào)遞減，則｛1,不妨令

f(n]=—=m

n

，1

m=-

<2,

n=2

所以/(X)=,存在"和諧區(qū)間"1,2；

X—乙，

綜上得：存在"和諧區(qū)間"的是ABD.

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以函數(shù)的新定義為載體，考查函數(shù)的定義域、值域以及零點(diǎn)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是理解"和諧區(qū)間"的定義，考查運(yùn)算能力以及函數(shù)與方程的思想.

—f—2xx<0

3.己知函數(shù)/.(x)=1'，以下結(jié)論正確的是()

/(x-2),x>0

A.函數(shù)在區(qū)間[2,4]上是減函數(shù)

B./(2020)+/(2021)=1

C.若方程/")一一1=0(〃蚱/?)恰有5個(gè)不相等的實(shí)根，則me1一；,—g]

8

D.若函數(shù)y=/(x)—Z在區(qū)間(一8,6)上有8個(gè)零點(diǎn)七。<8/6?/'),則￡王=16

/=1

【答案】BCD

【分析】

對(duì)于A,畫(huà)出函數(shù)的圖象即可判斷；對(duì)于B,由函數(shù)的周期性可計(jì)算求解；對(duì)于C,方程

/(x)-/加一1=0(m€/?)恰有5個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于y=/(x)與直線(xiàn)y=/wc+l有5

個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖形即可判斷求解；對(duì)于D,函數(shù)y=/(x)—左在區(qū)間(-8,6)上有8個(gè)零

點(diǎn)，則丁=/(力與丁=左有8個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可求解.

【詳解】

由題可知當(dāng)x20時(shí)，/(X)是以2為周期的函數(shù)，則可畫(huà)出/(x)的函數(shù)圖象，

對(duì)于A,根據(jù)函數(shù)圖象可得，/'(X)在(2,3)單調(diào)遞增，在(3,4)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,/(2020)=/(0)=/(—2)=0,/(2021)=/(1)=/(—1)=1,則

/(2020)+/(2021)=1,故B正確；

對(duì)于C,方程/(x)—，加一1=0。"eR)恰有5個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于y=/(x)與直線(xiàn)

y=〃a+1有5個(gè)交點(diǎn)，如圖，直線(xiàn)y=處+1過(guò)定點(diǎn)A(0,l),觀(guān)察圖形可知

kAB<m<kAC,其中8(4,0),C(6,0),則左八8=-!，加=一故相」一：，一故

46k407

C正確；

對(duì)于D,若函數(shù)y=.f(x)-左在區(qū)間(一8,6)上有8個(gè)零點(diǎn)，則y=/(x)與y=%有8個(gè)

8

交點(diǎn)，如圖，可知這八個(gè)零點(diǎn)關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，則工玉=4x4=16,故D正確.

Z=1

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的周期性，畫(huà)出函

數(shù)的圖象，即可將方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利

用數(shù)形結(jié)合的思想可快捷解決問(wèn)題.

4.下列命題正確的有()

A.已知。>()/>()且。+人=1,則4<2"=<2

2

B.3"=4"=/，則9彩=血

ab

C.y=x3-3f-x的極大值和極小值的和為-6

D.過(guò)A(-1,O)的直線(xiàn)與函數(shù)y=有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線(xiàn)斜率的取值范圍是

(一■j,2)U(2,+oo)

4

【答案】ACD

【分析】

由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求2”占的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求

史當(dāng)；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線(xiàn)與y=V一》有

ab

三個(gè)交點(diǎn)，即可知/i(x)=Y—x—%有兩個(gè)零點(diǎn)且x=_i不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.

【詳解】

A選項(xiàng)，由條件知b=l—a且所以a—b=2a—le(—1,1),即，<2"“<2；

2

B選項(xiàng)，3"=4〃=有a=log.?，b-log4V12.而

a+b11-八八-

——=-+7=2(log3+log,,4)=2；

ababl?

C選項(xiàng)，y'=3》2一6》一1中/>o且開(kāi)口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)尤|,々且X]+々=2、

%蒞=—g，即知x?為y兩個(gè)極值點(diǎn)，

22

所以y+%=(&+々)[(&+X2)-3X1X2]-3[(X1+x2)-2^%2]-(%1+%)=-6：

。選項(xiàng)，令直線(xiàn)為y=Hx+D與y=V-x有三個(gè)交點(diǎn)，即g(x)=(Y-左)。+1)有三

個(gè)零點(diǎn)，所以/l(x)=/-X-Z有兩個(gè)零點(diǎn)即可

△=1+4〃>0解得壯T⑵UQ收)

〃(一1)=2—左。0

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點(diǎn)情況求參數(shù)范

圍，屬于難題.

5.已知函數(shù)/(X)=X+，91

g(x)=尤2+則下列結(jié)論中正確的是)

XX

A./(x)+g(x)是奇函數(shù)B./(x)-g(x)是偶函數(shù)

C./(x)+g(x)的最小值為4D./(x>g(x)的最小值為2

【答案】BC

【分析】

利用奇偶性的定義可得A錯(cuò)B對(duì)；利用均值不等式可得C對(duì)；利用換元求導(dǎo)可得D錯(cuò).

【詳解】

1I21

f(X)+g(x)=X-----i-x**+—

Xx~

1911+%2+4

「?/(r)+g(r)=_]_*+(T)+--XH---

-x(一。XX

/(x)+g(x)=/(-x)+g(_x)

.?./(x)+g(x)是偶函數(shù)，A錯(cuò)；

/(x)?g(x)=x+Jx2+-^-

f(一%),g(-x)=-XH----?(_*)-

/(-%)-g(-x)=/(%)?g(x)

.,./(x)-g(x)是偶函數(shù)，B對(duì);

vf(x)+g(x)=X+-+X2+-^>2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=L和爐=二時(shí)，等號(hào)成立,

XXXX

即當(dāng)且僅當(dāng)爐=1時(shí)等號(hào)成立，C對(duì)；

/(X)?g(x)=*+三(尤2+?)

令『=x+g(/>2),貝iJ/(x>g(x)=Mr—2)=/—2r

，[/(x>g(x)]'=3*-2,令3產(chǎn)—2〉0,得/>遠(yuǎn)或"一巫

.?.此2時(shí)，/(x>g(x)單調(diào)遞增

，當(dāng)，=2有最小值，最小值為4,D錯(cuò)

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查奇偶性、均值不等式、利用導(dǎo)數(shù)求最值等，對(duì)學(xué)生知識(shí)的運(yùn)用能力要求較

高，難度較大.

6.若〃x)滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)%〃都有=9)且/⑴=2,則下列判

斷正確的有()

A.“X)是奇函數(shù)

B./(x)在定義域上單調(diào)遞增

C.當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，函數(shù)/(力>1

/(2),/(4)?/(6),/(2016),/(2018),

,川)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.計(jì)算出了⑴判斷A；先利用/(D=2〉1證明所有

有理數(shù)P,有/(p)〉l,然后用任意無(wú)理數(shù)夕都可以看作是一個(gè)有理數(shù)列的極限，由極限

的性質(zhì)得了(幻〉1，這樣可判斷C,由此再根據(jù)單調(diào)性定義判斷B,根據(jù)定義計(jì)算

八(及eN),然后求得D中的和，從而判斷D.

【詳解】

令。=0/=1,則/⑴="1+0)=/⑴/(0),即2=2/(0),「./(0)=1,/。)不可

能是奇函數(shù)，A錯(cuò)；

對(duì)于任意xeR,/(X)H0,若存在使得/(公)=0,則

/(0)=f(x0+(-x0))=/(x0)/(-x0)=0,與/(0)=l矛盾，故對(duì)于任意XGR,

/(X)豐0,

2

(xx\XX

二對(duì)于任意xwR,fM=fM=f>0,

\22)2>2>(11

???/⑴=2>1,.?.對(duì)任意正整數(shù)〃，

(\

f=個(gè)"斗wm]=2〉i,...?>1,

“/In\njynj\nj[_\nJ

<嗯J'^ir

同理f(n)=/(I+1+.??+1)=

對(duì)任意正有理數(shù)P,顯然有〃=一(加，〃是互質(zhì)的正整數(shù))，則

“d=/用=&(￡)]>i，

對(duì)任意正無(wú)理數(shù)4,可得看作是某個(gè)有理數(shù)列P1,P2，P3,…的極限，而

表N,???f(q)與/(pj的極限，，f(q)>l,

綜上對(duì)所有正實(shí)數(shù)x,有f(x)>l,c正確，

設(shè)為<七；，則/一芯>0，,/(彳2—蒼)>1，則

，(工2)=/(玉+(%2-%))=/(芭)?/。2—苞)>/(%)，/(X)是增函數(shù)，B正確;

由已知/(2〃)=/(2〃―1+1)=/(2"—1)/(1)=2/(2"—1),仔)2,

原+沏+邈+…S+S+S=^13=2xi0i0=202°

川)"3)“5)

,D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義函數(shù)，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力，運(yùn)算求解能

力，對(duì)學(xué)生要求較高，本題屬于難題.

4

7.已知函數(shù)"x)=x'+—m為正整數(shù))，則下列判斷正確的是()

X

A.函數(shù)/(X)始終為奇函數(shù)

B.當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為4

C.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)的極小值為4

D.當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=2x對(duì)稱(chēng)

【答案】BC

【分析】

4

由已知得了(—X)=(—*)“+7—",分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)得出函數(shù)/(X)的奇偶性，可判

(r)

斷A和；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，婷>(),運(yùn)用基本不等式可判斷B；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令/=￡,則

4

x>0j>0;x<0,r<0,構(gòu)造函數(shù)g(f)=r+一,利用其單調(diào)性可判斷c；當(dāng)〃=1時(shí)，取函

數(shù)/(x)=x+±上點(diǎn)P(L5),求出點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)y=2x對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，代入可判斷D.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)=x"+二("為正整數(shù))，所以/(T)=(一可”+-^-7,

X(-X)

44

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),f(-x)=+爐+，7=/&),函數(shù)/(幻是偶函數(shù);

I)"

4

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),/(-x)=-xn+-=-/(%),函數(shù)”x)是奇函數(shù)，故A不正確;

-X

444

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),x〃>0,所以/(工)=/+=22卜〃?二二4,當(dāng)且僅當(dāng)x〃=-7時(shí),

Xy/XX

即爐=2>0取等號(hào)，所以函數(shù)/(x)的最小值為4,故B正確;

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，令.=￡，則x>0j>0;x<0,t<0,函數(shù)/(x)化為g(f)=f+q

而g(f)=f+；在(-8,-2),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,0),(0,2)上單調(diào)遞遞減,

44

所以g⑺=1+—在，=2時(shí)，取得極小值g(2)=2+—=4,故C正確；

t2

當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)/(x)=x+g上點(diǎn)尸(1,5),設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)y=2x對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

117

X。

%T2，解得，1,即兄17191719

則《,而將《代入

2K1+玉)=5+%~5'~5

%T

4

/(X)=尤+—不滿(mǎn)足，

X

所以函數(shù)y=/(X)的圖象不關(guān)于直線(xiàn)y=2x對(duì)稱(chēng)，故D不正確，

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查綜合考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，以及函數(shù)的最值，屬于較難題.

-------,x>2

8.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)/*),滿(mǎn)足/(x)=j2x-3,下列敘述正確的

X2-2x+2,Q<x<2

是()

A.存在實(shí)數(shù)k,使關(guān)于X的方程/(X)=近有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.當(dāng)-1<玉<%<1時(shí)，恒有/(m)>/(々)

C.若當(dāng)xe(0,0時(shí)，/(x)的最小值為1,則

2

33

D.若關(guān)于x的方程/(x)=—和/(*)=機(jī)的所有實(shí)數(shù)根之和為零，則機(jī)=一二

22

【答案】AC

【分析】

根據(jù)奇函數(shù)/(-x)=-/(x),利用已知定義域的解析式，可得到對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的函數(shù)解析

式，然后結(jié)合函數(shù)的圖象分析各選項(xiàng)的正誤，即可確定答案

【詳解】

函數(shù)是奇函數(shù)，故"X)在R上的解析式為：

-------,x<-2

2x+3

—x~~2x—2,—2^x<0

0,x=0

X2-2X+2,0<X<2

—^―,x>2

l2x-3

對(duì)4如下圖所示直線(xiàn)4與該函數(shù)有7個(gè)交點(diǎn)，故A正確;

對(duì)c：如下圖直線(xiàn)，2：y=i,與函數(shù)圖交于（1,1）,g,l）,

若使得其與fW=m的所有零點(diǎn)之和為0,

故選：AC

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)奇函數(shù)確定對(duì)稱(chēng)區(qū)間上函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的

圖象分析命題是否成立

9.下列命題正確的是()

A.已知某函數(shù)/(x)=(m+1)2在(0,+8)上單調(diào)遞減則利=0或m=一2

B.函數(shù)/(x)=/-(2m+4)1+3根的有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于0,一個(gè)小于0的一個(gè)充分

不必要條件是m<-\.

C.已知函數(shù)/(x)=x3+sinx+ln(M)，若/(2。-1)>0,則4的取值范圍為

X+1

D.已知函數(shù)〃x)滿(mǎn)足/(-x)+/(x)=2,g(x)=--，且/(x)與g(x)的圖像的交點(diǎn)

X

為(石，苗),(工2，%)……(尤8，%)則2+々+…+/+y+必+…+%的值為8

【答案】BD

【分析】

根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和充分條件、必要條件的判

定，可得判定B是正確；根據(jù)函數(shù)的定義域，可判定C不正確；根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可判

定

D正確，即可求解.

【詳解】

對(duì)于A中，基函數(shù)/*)=?！?1)2獷"1,可得加+1=±1,解得加=0或加=一2,

當(dāng)加=0時(shí)，函數(shù)在。+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)機(jī)=一2時(shí)，函數(shù)/。)=》在

(0,+8)上單調(diào)遞增，所以A不正確；

對(duì)于B中，若函數(shù)/(%)=/一(2m+4A+3根的有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)大于0,一個(gè)小于

0,

則滿(mǎn)足/(0)=3加<0,解得〃?<0,

所以/”<一1是函數(shù)/(x)=--(2m+4)x+3加的有兩個(gè)零點(diǎn)，且一個(gè)大于0,一個(gè)小于

0的充分不必要條件，所以B是正確；

1_1_V*1_1_V*

對(duì)于C中，由函數(shù)/(x)=x3+sinx+ln(--),則滿(mǎn)足——->0,解得一Ivxvl,

1-%1-x

即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-1,1),所以不等式/(2?-1)>0中至少滿(mǎn)足

即至少滿(mǎn)足0<。<1,所以C不正確；

對(duì)于D中，函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(一x)+/(x)=2,可得函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于(0,1)點(diǎn)對(duì)

稱(chēng)，

__Y]丫1

又由g(—x)=———=--，可得雙一了)+8(元)=2,所以函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于

-XX

(0,1)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則X]+/+…+/+X+%+…+線(xiàn)=。+4x2=8,所以D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了以函數(shù)的基本性質(zhì)為背景的命題的真假判定，其中解答中熟記函數(shù)的基本

性質(zhì)，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.

10.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.

高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有"數(shù)學(xué)王子"之稱(chēng).有這樣一個(gè)函數(shù)就是以

他名字命名的：設(shè)xeR,用[可表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則,f(x)=[x]稱(chēng)為高斯函

數(shù)，又稱(chēng)為取整函數(shù).如：/(2.3)=2,/(-3.3)=-4.則下列正確的是()

A.函數(shù)f(x)是R上單調(diào)遞增函數(shù)

B.對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有/(a)+/S)V/(a+A)

C.函數(shù)g(x)=/(x)-以(無(wú)。0)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

34]「43

45J|_32

D.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,%則/(x)=/(y)是成立的充分不必要條件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析A選項(xiàng)，設(shè)出a,b的小數(shù)部分，根據(jù)其取值范圍可分析B選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合

可分析C選項(xiàng)，取特殊值可分析。選項(xiàng).

【詳解】

解：對(duì)于Z選項(xiàng)，〃1)=〃L2)=1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8選項(xiàng)，令。=同+「，〃=回+以「,q分別為a,b的小數(shù)部分)，

可知0,,r=a-同<1,0?q-b-\b\<\,[r+^]>0,

則J(a+b)=[[a]+回+r+q[=[a]+回+[r+q]..同+回=+，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于c選項(xiàng)，可知當(dāng)左〈》<人+1,左wZ時(shí)，則/(%)=[%]=左，

可得/(x)的圖象，如圖所示：

函數(shù)g(x)=/(x)-以(xoO)有3個(gè)零點(diǎn)，

，函數(shù)“X)的圖象和直線(xiàn)>有3個(gè)交點(diǎn)，且(0,0)為“X)和直線(xiàn)>=依必過(guò)的

點(diǎn)，

f341「43、

由圖可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)/(x)=/(y)時(shí)，即r,q分別為x,y的小數(shù)部分，可得0Wr<l,

k-丁|=卜]+-3-4=卜-4<|1-q=i；

當(dāng),一乂<1時(shí)，取x=-0.9,y=0.09,可得國(guó)=T,[y]=0,此時(shí)不滿(mǎn)足

/(x)=/(y)，

故/(x)=/(y)是打一乂<1成立的充分不必要條件,故。正確；

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是理解題意，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合

思想；

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.已知函數(shù)/(x)=sin以一asinx,xe[0,2"],其中a-lna>l,則下列說(shuō)法中正

確的是()

A.若J.(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則ae(0,￡|

B.若/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則/(x)20恒成立

C.若/(力只有兩個(gè)零點(diǎn)，則

D.若/(X)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)/,則/(%)<竺丁二1)恒成立

【答案】ABD

【分析】

利用/(0)=0以及零點(diǎn)存在定理推導(dǎo)出當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)/(x)在［0,2旬上至少有兩個(gè)零

點(diǎn)，結(jié)合圖象可知當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù).“X)在(0,2")上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)

分析函數(shù)“X)在(0,2")上的單調(diào)性，可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用A選項(xiàng)中的結(jié)論可判斷

B選項(xiàng)的正誤；取。=；，解方程/(x)=0可判斷C選項(xiàng)的正誤；分析出當(dāng)/(x)在

(0,2〃)上只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，0<a<l,分。=：、0<a<g、；<a<l三種情況討

論，結(jié)合sinx<x可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

1Y-］

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-lnx-l,其中x〉0,則g<x)=l--=:一.

XX

當(dāng)0<x<l時(shí),g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)X>1時(shí)，g'(x)>o,此時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

所以，g(xL=g6=°-

。一InQ>1,，a>0且aw1.

/(x)=sinax-asinx,則/(0)=0.

所以，當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,2句上至少有兩個(gè)零點(diǎn),

所以，當(dāng)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2句上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，0<a<l.

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)0<a<l時(shí)，f\x)~acosax-acosx-a(cosax-cosx).

a兀7i

?:0<。<1,則0<—<一,0<2arc<27r,

22

（兀、a兀

/"I—I=tzcos—>0,/'（2%）=a（cos2a7i一cos2?）=a（cos2CITV-l）<0,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)/（X）在區(qū)間（1,2乃］上至少有一個(gè)極值點(diǎn)，

令r（x）=0,可得cosax=cosx,

當(dāng)xe（O,2"）時(shí)，0<℃<%<2萬(wàn)，由cosar=cosx=cos（2;r-x）,可得

24

ax=2兀一x,解得光二----，

。+1

27r

所以，函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,2%）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x=/石.

作出函數(shù)弘=cosar與函數(shù)%=cosx在區(qū)間［0,2句上的圖象如下圖所示：

由圖象可知，函數(shù)y=cosax與函數(shù)％=cosx在區(qū)間（0,2萬(wàn)）上的圖象有且只有一個(gè)交

點(diǎn)，

記該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為力,當(dāng)0<x</時(shí)，cosax>cos%,此時(shí)/'（x）>0；

當(dāng)x（）<x<2萬(wàn)時(shí)，cosaxccosx,此時(shí)

所以，函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,天）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（X。,2乃）上單調(diào)遞減.

所以，7（力2=/（』）>〃°）=°，又"2%）=sin2麗.

若函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,2句上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則/（2萬(wàn)）=sin勿萬(wàn)>0.

*/0<a<1>則0<2。4<2%,所以，0<2。萬(wàn)<乃，解得0<a<‘，A選項(xiàng)正確；

2

對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,2句上有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

由A選項(xiàng)可知，函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,%）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（七,2萬(wàn)）上單調(diào)遞減.

Q/（0）=0,/（2"）=sin2ar>0,所以,對(duì)任意的xe［0,2句，/（x）>0,B選項(xiàng)正

確；

對(duì)于c選項(xiàng)，取。=‘，貝I」

2

x.xI..x.xx.x

f(x)=sin------sinx=sin——sin—cos—=sin—1-吟,

v7222222

XXX

?:0<x<2萬(wàn)，則04］《萬(wàn)，令/(x)=0,可得sin±=0或cos±=l,可得4=0或

222

x

一=71,

2

解得x=0或尢=2).

所以，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)。>1時(shí)，若0cxe2不，則0varv2a;r,且勿4>24，

當(dāng))?0,2萬(wàn))時(shí),令/"(x)=0,可得出cosox=cosx=cos(2左乃±x)(keZ),至少可

得出“￥=24一x或依=1+24，

即函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,2")上至少有兩個(gè)極值點(diǎn)，不合乎題意，所以，0<a<l.

rr

下面證明：當(dāng)。vxv7時(shí)，sinxvx,

2

構(gòu)造函數(shù)〃(x)=x-sinx,其中0cx<],則”(x)=1-cos%>0,

所以，函數(shù)"(x)=x-sinx在區(qū)間(o,?上為增函數(shù)，所以，〃(x)>〃(0)=0,即

sinx<x.

分以下三種情況來(lái)證明/(1)<"ITT-71恒成立.

???/'(%)=〃(cos叫一cosx0)=0,可得cosax()=cosx0,

27r

,/0<ax<x<2TT,由cosar。=cosx()可得出ax()=24一玉)，所以，x=-----

()00。+1

則sino^=sin(27r-)=-sin.

[21

①當(dāng)〃時(shí)，x0?則/'(x)usin^—§sinx,

3兀.〃1.3〃42萬(wàn)

sin------sin—=一<—,

23233

6Z4-1-|3?-1|

即〃/)<?1成立;

2

[27r茨2萬(wàn))，

②當(dāng)0<。<一時(shí)，xo=-----G

3Q+1

24

則/(x0)=sin-4zsinxo=-sinx0-tzsinx0=-(6f4-l)sinx0=-(a+l)sin

Q+1

=(a+1)sin(--=(Q+1)sin(2萬(wàn)一=(。+1)sin<(〃+1)?=2a7r

Q+1一j3a_

=--------!---------7T；

2

③當(dāng)g<a<l時(shí),

/(七)=sin"—asin/=—sin%—asin%=—(a+l)sin/=(a+l)sin(一%)

/、/、/、(2兀、/、(\-a\7r/、(1一〃)乃

=(a+1)sin(%一1)=(a+1)sin(------7rJ=(a+l)sin-----—<(a+1)?------—

/、a+1一|3Q_11

=[l-a)7V=----------------7T.

綜上所述，當(dāng)函數(shù)〃X)只有一個(gè)極值點(diǎn)X。時(shí)，/(/)<"「?"一"萬(wàn)恒成立.

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)y="

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

YI

12.已知函數(shù)/。)=/，8。)=1〃萬(wàn)+5的圖象與直線(xiàn)"=07分別交于48兩點(diǎn)，則()

A./(x)圖像上任一點(diǎn)與曲線(xiàn)g(x)上任一點(diǎn)連線(xiàn)線(xiàn)段的最小值為2+/2

B.3m使得曲線(xiàn)g(x)在8處的切線(xiàn)平行于曲線(xiàn)/(x)在A處的切線(xiàn)

C.函數(shù)/(x卜g(x)+m不存在零點(diǎn)

D.3m使得曲線(xiàn)g(x)在點(diǎn)B處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)f(x)的切線(xiàn)

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在/(x)與g(x)取兩點(diǎn)求距離，即可判斷出A選項(xiàng)的正誤；解方程

/'(/〃〃?)=g'(2e*)，可判斷出8選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)k/⑴r。)+加的單

調(diào)性，結(jié)合極值的符號(hào)可判斷出C選項(xiàng)的正誤；設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=g(x)相切于點(diǎn)C(〃，

g(〃))，求出兩切線(xiàn)的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出。選項(xiàng)

的正誤.進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

在函數(shù)/(》)=6、公(》)=1嗎+；上分別取點(diǎn)/3(0,1),。(2,3),則|PQ|=呼，而

姮<2+ln2(注In2ao.7),故A選項(xiàng)不正確；

2

x11

Q/(x)=,g(x)=ln-+-,則/'(x)=",gr()=-,

22xx

曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為f'(歷喻=m,

曲線(xiàn)y=g(x)在點(diǎn)B處的切線(xiàn)斜率為g'(2/W)=」T,

2em2

?_1?1?

m

令fVn,n)=g,(2eU)，即,”=不，即2me1^=1，則=n滿(mǎn)足方程=1'

2e2乙

.-.3^使得曲線(xiàn)y=f(x)在A處的切線(xiàn)平行于曲線(xiàn)y=g(x)在B處的切線(xiàn)，B選項(xiàng)正確;

y1,1

構(gòu)造函數(shù)尸(%)=f(x)-g(x)^m=ex-In-+m——,可得尸(x)=ex——,

22x

函數(shù)尸(x)=e、-L在(0,+8)上為增函數(shù)，由于尸d)=〃-2<0,F'(1)=e—l>0,

xe

則存在reg,1),使得F'(r)=e'—；=0,可得f=T%

當(dāng)0cxe，時(shí)，F(xiàn)(x)<0；當(dāng)工時(shí)，F(xiàn)f(x)>0.

F(x).=F(t)=er-ln—+m——=d-btf+m+ln2——

nun222

1._1/1._13..八

=-+/+〃？+In2—>2At—F〃？+ln2—=—+ln2+機(jī)>0,

222

函數(shù)尸(幻=/(x)-g(?+6沒(méi)有零點(diǎn)，C選項(xiàng)正確；

設(shè)曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=g(x)相切于點(diǎn)C(〃,g(〃)),

則曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為y-m=eh,,n(x-Inm),即y=+m(\-lnm),

同理可得曲線(xiàn)y=g(x)在點(diǎn)C處的切線(xiàn)方程為y=-x+ZttJ-i,

n22

加二一I

"n，消去〃得"一("2-+ln2+—=0,

m(l-Inm)=ln—~—

22

1r-11

令G(x)=x-(x-l)lnx+/〃2+—,則G'(x)=1---------bvc=——Inx,

2xx

函數(shù)y=G'(x)在(0,+o。)上為減函數(shù)，QG'(1)=l>0,G'(2)=g-/〃2<0,

則存在se(1,2),使得G'(S)=1-/〃S=0,且「〃：.

ss-e

當(dāng)0<x<s時(shí)，G\x)>0,當(dāng)x>s時(shí)，G\x)<0.

函數(shù)y=G(x)在(2,+oo)上為減函數(shù)，

517

QG(2)=/>0,G(8)=萬(wàn)一20/〃2<0,

由零點(diǎn)存定理知，函數(shù)y=G(x)在(2,+o。)上有零點(diǎn)，

即方程他一(〃?-1)/""?+/"2+,=0有解.

2

：.3m使得曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=g(x)的切線(xiàn).

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的最值、零點(diǎn)以及切線(xiàn)問(wèn)題，計(jì)算量較大，考查了轉(zhuǎn)

化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬難題.

13.己知函數(shù)/(X)對(duì)于任意xeR,均滿(mǎn)足〃x)=/(2—x).當(dāng)X41時(shí)

/、finx,O<x<l/、-/、

/(1”1上.。，若函數(shù)g(x)=〃?W-2-7(x),下列結(jié)論正確的為()

A.若加<0,則g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)

B.若］<m<e,則g(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.若0<m《耳，則g(x)恰有四個(gè)零點(diǎn)

D.不存在也使得g(x)恰有四個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABC

【分析】

設(shè)刈力=加國(guó)—2,作出函數(shù)g(x)的圖象，求出直線(xiàn)丁=如一2與曲線(xiàn)

y=Inx(0<x<1)相切以及直線(xiàn)y=2過(guò)點(diǎn)A(2』)時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)m的值，數(shù)形結(jié)合

可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

由/。)=〃2-力可知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng).

令g(x)=0,即加國(guó)一2=f(x),作出函數(shù)〃x)的圖象如下圖所示:

令7?("=加國(guó)—2,則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)〃x)、々X)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

的定義域?yàn)镽,Hh(-x)=m|-x|-2=m|x|-2=A(JC),則函數(shù)/i(x)為偶函

數(shù)，

且函數(shù)"(x)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(0,-2),

3

當(dāng)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(2,l)時(shí)，有〃⑵=2加―2=1,解得加=]

過(guò)點(diǎn)(0,一2)作函數(shù)y=lnx(O<x<l)的圖象的切線(xiàn)，

設(shè)切點(diǎn)為(毛，In/),對(duì)函數(shù)y=lnx求導(dǎo)得y'=L

所以，函數(shù)y=lnx的圖象在點(diǎn)(玉),皿毛)處的切線(xiàn)方程為y-lnXo='(x-Xo),

*0

切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,-2),所以，一2-解得/=工，則切線(xiàn)斜率為e,

e

即當(dāng)m=e時(shí)，函數(shù)y=〃(x)的圖象與函數(shù)y=111%(0<%<1)的圖象相切.

若函數(shù)g(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，篦<0或相=e,A選項(xiàng)正確；

若函數(shù)g(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)，由圖可得5<e,B選項(xiàng)正確；

3

若函數(shù)g(x)恰有四個(gè)零點(diǎn)，由圖可得C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與％軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)y

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

14.下列不等式正確的有()

A.V31n2<ln3B.In兀C.2^<15D.3eln2<4