淺談矩陣的應(yīng)用

淺談矩陣的應(yīng)用作者摘要：矩陣是數(shù)學(xué)的重要研究工具之一，其應(yīng)用很廣泛，矩陣的應(yīng)用對(duì)于矩陣?yán)碚撘约皵?shù)學(xué)發(fā)展有著非常重要的作用。本論文主要討論了矩陣在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用，有非常重要的理論及現(xiàn)實(shí)意義。本研究的開(kāi)展以文獻(xiàn)研究法為基礎(chǔ)，通過(guò)具體實(shí)例來(lái)將矩陣在不同領(lǐng)域當(dāng)中的應(yīng)用問(wèn)題解決。主要討論的矩陣應(yīng)用領(lǐng)域主要有經(jīng)濟(jì)生活、密碼學(xué)、交通運(yùn)輸、文獻(xiàn)管理以及在解方程組、矩陣秩、在計(jì)算機(jī)中、向量組秩領(lǐng)域。關(guān)鍵詞：矩陣；應(yīng)用；線性方程組1引言在漢代《九章算術(shù)》當(dāng)中就已經(jīng)提出了矩陣的概念，但并非為獨(dú)立概念，主要是在實(shí)際的問(wèn)題當(dāng)中進(jìn)行應(yīng)用。至19世紀(jì)末，其概念逐漸形成。到了20世紀(jì)開(kāi)始，矩陣迅速發(fā)展，且遍布生活的每個(gè)領(lǐng)域當(dāng)中，隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，矩陣在經(jīng)濟(jì)中廣泛而深入的應(yīng)用是當(dāng)前經(jīng)濟(jì)學(xué)最為深刻的因素之一，矩陣的應(yīng)用是具備重要的現(xiàn)實(shí)意義的，在不同領(lǐng)域當(dāng)中都會(huì)有它的身影[1]。高校中的必須科目就是代數(shù)學(xué)，而矩陣的應(yīng)用也是代數(shù)學(xué)的重要載體之一。因此，了解且掌握矩陣的應(yīng)用，對(duì)于解決代數(shù)學(xué)等問(wèn)題尤為重要。本文也將對(duì)有關(guān)矩陣應(yīng)用的內(nèi)容進(jìn)行了解，并通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明矩陣在經(jīng)濟(jì)學(xué)、密碼學(xué)、交通運(yùn)輸、文獻(xiàn)管理以及在解方程組、矩陣秩、在計(jì)算機(jī)中、向量組秩等方面的應(yīng)用。2.預(yù)備知識(shí)由個(gè)數(shù)a(1,2,..j.=1.2...n)排成的行列的數(shù)表稱(chēng)為行列矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)行矩陣。只有一行的矩陣A=aa...a)稱(chēng)為行矩陣或行向量，只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣或列向量。矩陣計(jì)算的合適出發(fā)點(diǎn)是矩陣與矩陣的乘法。這一問(wèn)題在數(shù)學(xué)上雖然簡(jiǎn)單,但從計(jì)算_上來(lái)看卻是十分豐富的。矩陣相乘可以有好幾種不同的形式，還將引入矩陣劃分的概念，并將其用來(lái)刻畫(huà)計(jì)算上的幾種線性代數(shù)的“級(jí)”。如果一個(gè)矩陣具有某種結(jié)構(gòu)，則它常?？梢约右岳?。例如一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，只需要一個(gè)一般矩陣的一半空間即可儲(chǔ)存。在矩陣乘向量中如果矩陣有許多零元素，則可減少許多時(shí)間。矩陣計(jì)算是基于線性代數(shù)運(yùn)算的，點(diǎn)積運(yùn)算包括標(biāo)量的加法和乘法。矩陣向量相乘由點(diǎn)積組成。（1）轉(zhuǎn)置（2）相加（3）標(biāo)量和矩陣相乘（4）矩陣和矩陣相乘此類(lèi)運(yùn)算均為構(gòu)建矩陣計(jì)算基石對(duì)任意的數(shù)。(2)逆矩陣對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣，使，則說(shuō)矩陣是可逆的，并把矩陣稱(chēng)為的逆矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)逆陣。如果矩陣是可逆的那么的矩陣是唯一的。的逆陣記作:1即若，則。.若矩陣可逆，則。若,則矩陣可逆，且，其中*為矩陣的伴隨陣。3矩陣的應(yīng)用下面將討論矩陣在經(jīng)濟(jì)學(xué)、密碼學(xué)、交通運(yùn)輸、文獻(xiàn)管理以及在解方程組、矩陣秩、在計(jì)算機(jī)中、向量組秩方面的應(yīng)用。3.1矩陣在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用定義：矩陣乘法屬于一種高效算法，能將一些一維遞推優(yōu)化到，還能求路徑的方案等。因此，其更屬于一種應(yīng)用性非常強(qiáng)的算法。矩陣為線性代數(shù)當(dāng)中的一個(gè)基本概念。一個(gè)的矩陣就是個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣。因?yàn)槠鋵⒑芏鄶?shù)據(jù)集中在一起，因此有時(shí)能將某些復(fù)雜模型簡(jiǎn)單的表示。定理：設(shè)AB為屬于P上的矩陣，則：也就是矩陣乘積行列式等于其因子的行列式乘積。探究：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)接觸到各種各樣的量，比如，水果店賣(mài)單一品種且單一等級(jí)的水果，用數(shù)表示單價(jià).當(dāng)出售的水果包括兩種以上，例如蘋(píng)果、梨，等級(jí)也分為優(yōu)等、中等，那么如何列出價(jià)格表，標(biāo)出不同品種，不同等級(jí)的水果單價(jià)呢。例1：小蘭家里開(kāi)一個(gè)超市，門(mén)口兼顧出售3種水果，它們的單價(jià)和利潤(rùn)如表所示：品種西瓜哈密瓜普通優(yōu)等365中等254單價(jià)向量和利潤(rùn)向量構(gòu)成的長(zhǎng)方形數(shù)表為。從以上案例我們可以發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些數(shù)據(jù)需要矩陣表示出來(lái)，這樣有些關(guān)系例如不同品種的水果價(jià)格便于查詢(xún)、計(jì)算和管理，為此，有必要對(duì)他們進(jìn)行深入探究[2]。例2：發(fā)電廠需要使用煤也需要使用電，還需要一定程度的鐵路運(yùn)能。因此，系統(tǒng)當(dāng)中的每一個(gè)生產(chǎn)部門(mén)也就是消耗部門(mén)，稱(chēng)消耗系統(tǒng)內(nèi)部的產(chǎn)品為投入，生產(chǎn)獲得的產(chǎn)品為本部門(mén)的產(chǎn)出。假設(shè)下表中給出的已知數(shù)據(jù)為：消耗部門(mén)生產(chǎn)部門(mén)煤礦電廠鐵路煤礦0.000.360.41電廠0.210.060.16鐵路0.410.160.16通過(guò)表中數(shù)據(jù)可以獲得以下矩陣：現(xiàn)設(shè)三個(gè)企業(yè)訂單分別是：煤礦訂單為40000元，電廠訂單為35000元，鐵路訂單為15000元。以下將對(duì)企業(yè)月總產(chǎn)出量是多少，才可以將訂單任務(wù)完成。設(shè)，，依次為三個(gè)企業(yè)的產(chǎn)出，那么其產(chǎn)出要將系統(tǒng)內(nèi)部所需滿足，也要將訂單任務(wù)滿足，可以得到以下：令，，那么上述公式即是：也就是其中，是列昂節(jié)夫矩陣通過(guò)上述內(nèi)容可以知道，不管外部存在任何的需求（其元是非負(fù)值），總可以獲得的解。也就是說(shuō)，此種經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是可行的。2.2矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用定義：二階單位矩陣：矩陣，叫做2階單位矩陣，記作。定理：如果，都是方陣，那么的行列式完全可以寫(xiě)作的行列式乘以的行列式。如果矩陣是可逆矩陣，那么矩陣的逆矩陣是唯一的，記作的逆。密碼是通訊雙方的一種秘密約定，以防密碼被第三者破譯。本論文介紹一種新的編碼方式，用矩陣來(lái)編碼。密碼發(fā)送、接受的原理是：發(fā)送方把要發(fā)送的明文信息用加密矩陣加密成密文發(fā)出，接收方收到后用解密矩陣對(duì)解密，獲得明文通常，加密矩陣與解密矩陣是互逆的，即根據(jù)這一原理，矩陣成為密碼應(yīng)用的有力工具。具體方法是：將要發(fā)送的明文信息幾數(shù)字化用矩陣表示，取可逆矩陣為加密密鑰，用左乘得到密文發(fā)出，收方用解密密鑰，左乘對(duì)密文解密，得到明文信息。本論文以二階矩陣為例，矩陣在密碼學(xué)中的作用[3]。二階可逆矩陣：設(shè)定一個(gè)二階方陣，若存在一個(gè)二階方陣使得，則稱(chēng)是可逆的，且是的逆陣，記做。例3：已知矩陣，求。解：設(shè)，，，則，，，，得。例4：將英文字母數(shù)字化，，，···，發(fā)送方傳出的密文為16，23，24，60，加密密鑰矩陣為，試破解發(fā)送密碼。解：設(shè)，數(shù)字矩陣為發(fā)送方傳出的明文，那么，即，所以。即發(fā)送方傳出的明文為2，1，3，11，將數(shù)字英文化，其實(shí)發(fā)送者想傳遞的信息是“back”[5]。2.3矩陣在交通運(yùn)輸中的應(yīng)用定義：矩陣樹(shù)定理是一個(gè)計(jì)數(shù)定理，常用于解決無(wú)向聯(lián)通圖的生成樹(shù)計(jì)數(shù)問(wèn)題。在交通運(yùn)輸中應(yīng)用矩陣需要應(yīng)用樹(shù)定理：定理：若連通圖的鄰接矩陣為，將的對(duì)角線元素依次換為節(jié)點(diǎn)的度，其余元素取的相反數(shù)，所得矩陣記為，則的每個(gè)代數(shù)余子式相等，且等于的生成樹(shù)的數(shù)目。四個(gè)城市間的單向航線如圖1所示。如圖1四個(gè)城市間的單向航線若令1，從i市到j(luò)市有1條單向航線四個(gè)城市之間的航線連接可用矩陣表示為：A=AA2表示從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到市的單向航線條數(shù)，如b42=2表示城市經(jīng)過(guò)一次中轉(zhuǎn)到城市有兩條航線。類(lèi)似可算出A3，A4···An，矩陣中的每個(gè)元素表示i市經(jīng)兩次，三次，···次中轉(zhuǎn)到2.4矩陣在文獻(xiàn)管理中的應(yīng)用定義：在線性代數(shù)中，列向量是一個(gè)的矩陣，即矩陣由一個(gè)含有個(gè)元素的列所組成:列向量的轉(zhuǎn)置是一個(gè)行向量，反之亦然。所有的列向量的集合形成一個(gè)向量空間，它是所有行向量集合的對(duì)偶空間。定理：假如數(shù)據(jù)庫(kù)中包括了個(gè)文件，而搜索所用的關(guān)鍵詞有個(gè)，如果關(guān)鍵詞按字母順序排列，我們就可以把數(shù)據(jù)庫(kù)表示為的矩陣。其中每個(gè)關(guān)鍵詞占矩陣的一行，每個(gè)文件用矩陣的列表示。的第列的第一個(gè)元素是一個(gè)數(shù)，它表示第一個(gè)關(guān)鍵詞出現(xiàn)的相對(duì)頻率；第二個(gè)元素表示第二個(gè)關(guān)鍵詞出現(xiàn)的相對(duì)頻率；…，依次類(lèi)推。用于搜索的關(guān)鍵詞清單用空間的列向量表示。如果關(guān)鍵詞清單中第個(gè)關(guān)鍵詞在搜索列中出現(xiàn)，則的第個(gè)元素就賦值1，否則就賦值0。為了進(jìn)行搜索，只要把乘以[7]。下面我們來(lái)看一個(gè)例子：假如，數(shù)據(jù)庫(kù)包含有一下書(shū)名：B1-應(yīng)用線性代數(shù)，B2-初等線性代數(shù)，B3-初等線性代數(shù)及其應(yīng)用，B4-線性代數(shù)，B5-線性代數(shù)應(yīng)用，B6-矩陣代數(shù)及應(yīng)用，B7-矩陣?yán)碚摗６阉鞯?個(gè)關(guān)鍵詞組成的集按以下的拼音字母次序排列；初等，代數(shù)，矩陣，理論，線性，應(yīng)用因?yàn)檫@些關(guān)鍵詞在書(shū)名中做多出現(xiàn)1次，所以其相對(duì)頻率數(shù)不是0就是1[8]。當(dāng)?shù)趥€(gè)關(guān)鍵詞出現(xiàn)在第本書(shū)名上時(shí)，元素就等于1，否則就等于0。這樣我們的數(shù)據(jù)庫(kù)矩陣就可用下表表示：關(guān)鍵詞書(shū)B(niǎo)1B2B3B4B5B6B7初等0110000代數(shù)1111110矩陣0000010理論0000001線性1111100應(yīng)用1011110假如讀者輸入的關(guān)鍵詞是“應(yīng)用，線性，代數(shù)”，則數(shù)據(jù)庫(kù)矩陣和搜索向量為：搜索結(jié)果可以表示為兩者的乘積：，于是可得的各個(gè)分量就表示各書(shū)與搜索向量匹配程度。因?yàn)椋f(shuō)明四本書(shū)B(niǎo)1，B3，B4，B5必然包含所有三個(gè)關(guān)鍵詞。這四本書(shū)就被認(rèn)為具有最高的匹配度，因而在搜索的結(jié)果中會(huì)把這幾本書(shū)排在最前面[9]。本例把線性變換的概念進(jìn)一步擴(kuò)展，它不一定是在具體的幾何空間內(nèi)進(jìn)行的變量變換，在本例中是從“關(guān)鍵詞”到“文獻(xiàn)目錄”的變換[10]?，F(xiàn)代搜索中往往包括幾百萬(wàn)個(gè)文件和成千的關(guān)鍵詞，但由于矩陣和向量的稀疏性，節(jié)省計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間和搜索時(shí)間。2.5矩陣在解方程組方面的應(yīng)用定義：在數(shù)論當(dāng)中，整數(shù)矩陣是一種有重要應(yīng)用的矩陣。表示元素；均為整數(shù)階矩陣。如果階整數(shù)矩陣的行列式全為1，那么稱(chēng)作是幺模矩陣，一個(gè)整數(shù)矩陣存在逆整數(shù)矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)此矩陣為幺模矩陣。定理：整矩陣的所有特征值為整數(shù)的充分必要條件為，其中與，是分量全部為整數(shù)的整向量且滿足證充分性。例5：求解線性方程：解：編寫(xiě)一個(gè)函數(shù)，程序及結(jié)果見(jiàn)附錄1.解得原方程組的解為:.這是方程組有唯一解的情況，下面我們來(lái)看一下方程組有無(wú)窮解的情況：例6求解線性方程組解:編寫(xiě)一個(gè)函數(shù)，程序及結(jié)果見(jiàn)附錄2.解得原方程組的通解為:2.6在矩陣秩方面的應(yīng)用定義：在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣的列秩是的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類(lèi)似地，行秩是的線性無(wú)關(guān)的橫行的極大數(shù)目。通俗一點(diǎn)說(shuō)，如果把矩陣看成一個(gè)個(gè)行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)。定理：矩陣的秩等于非零子式的極大階。例6：求矩陣的秩，其中；解：法一（定義1）有4個(gè)3階子式，，，，.即它的所有3階子式均為0.我們?cè)匐S便寫(xiě)幾個(gè)它的2階子式，，故的秩為2.法二（定義2）令，，.則.顯然中兩兩不成比例，故秩不可能是1，但可能是2，這還需要驗(yàn)證，令.則帶入數(shù)據(jù)，即有，解得，即有，也就是能被線性表出。故其秩為2.法三（定義3），最終階梯型矩陣不為0的行數(shù)是2，故其秩為2.2.7矩陣在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用定義：變換矩陣為數(shù)學(xué)線性代數(shù)當(dāng)中的概念之一。在線性代數(shù)當(dāng)中，線性變換可以使用矩陣來(lái)進(jìn)行表示。若為一個(gè)將映射至Rm的線性變換，并且為一個(gè)具有元素的列向量，則將的矩陣稱(chēng)作是的變換矩陣。定理：如果已經(jīng)有一個(gè)函數(shù)型的線性變換，那么通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)基每個(gè)向量進(jìn)行簡(jiǎn)單變換，然后將結(jié)果插入矩陣的列中，這樣很容易就可以確定變換矩陣。例7：在二維直角坐標(biāo)系中有三角形ABC，坐標(biāo)分別為（2，3），（3，1），（1，1），現(xiàn)將其向軸正方向平移2個(gè)單位，向軸正方向平移2個(gè)單位，求平移后各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)及相應(yīng)的變換矩陣？解：先寫(xiě)出ABC三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)，（2，3，1），(3，1，1)，(1，1，1)平移的矩陣變換式為此處，，則變換矩陣為經(jīng)上述變換后，點(diǎn)齊次坐標(biāo)為（4，5，1）,點(diǎn)齊次坐標(biāo)為(5，3，1),點(diǎn)齊次坐標(biāo)為（3，3，1）?？梢钥闯鰣D形的一種變換對(duì)應(yīng)著一個(gè)矩陣運(yùn)算，也就是說(shuō)二維圖形變換可以表示為圖形點(diǎn)集的齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換矩陣相乘的形式[11]。我們可以定義以下二維變換矩陣：這樣，二維空間中的某點(diǎn)的二維變換可以表示成點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與三維齊次坐標(biāo)變換矩陣相乘的形式，即根據(jù)在變換中的具體作用，進(jìn)一步可以將分成4個(gè)子矩陣。矩陣的作用是對(duì)點(diǎn)進(jìn)行比例、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)和錯(cuò)切變換。矩陣的作用是對(duì)點(diǎn)進(jìn)行平移變換。矩陣的作用是進(jìn)行透視投影變換。矩陣的作用是產(chǎn)生整體比例變換。2.8求向量組秩方面的應(yīng)用定義：向量組秩向量組的秩為線性代數(shù)的基本概念，它表示的是一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。定理：因?yàn)槌醯茸儞Q不將矩陣的秩改變，并且任意一個(gè)矩陣都能夠經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換轉(zhuǎn)化成階梯矩陣。座椅，要將一個(gè)矩陣的秩確定，在其不是階梯矩陣的時(shí)候，可先通過(guò)初等行變換將其化為階梯矩陣，之后就能夠由階梯矩陣的秩將原矩陣的秩確定。例8：已知，求解：由于存在2個(gè)非零行向量，因此，。注：若要求向量組的秩，可以將每一向量當(dāng)做矩陣的列，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成為求矩陣的秩，還可以求最大線性無(wú)關(guān)組。如果求向量一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，且將其余的向量使用最大無(wú)關(guān)組來(lái)表示。通過(guò)上述矩陣可以得到向量組的秩是2，為一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并且可以獲得。這里需要應(yīng)用矩陣乘法定理：兩個(gè)矩陣的乘法僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A的列數(shù)和另一個(gè)矩陣B的行數(shù)相等時(shí)才能定義。例9：設(shè)有向量組（1）.（2）試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，向量組（1）與（2）不等價(jià)？解：作初等航變換，有當(dāng)時(shí)，有由于，線性方程組無(wú)解，故向量不能由線性表示.因此向量組（1）與（2）不等價(jià)。向量組的秩與向量組的最大無(wú)關(guān)組密切相關(guān)，向量空間的基的本質(zhì)就是向量空間的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，向量組的秩又恰好等于其構(gòu)成的矩陣的秩，這使得矩陣的秩與向量空間的維數(shù)和向量空間的基相聯(lián)系[12]。因此，研究矩陣的秩、向量組的秩、向量空間的維數(shù)以及線性方程組解得理論和方法密不可分。結(jié)論在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，矩陣式重要的工具，矩陣在生活中的經(jīng)濟(jì)等不同領(lǐng)域中都可以發(fā)揮著重要的作用。本文在有關(guān)文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上對(duì)矩陣的應(yīng)用做更進(jìn)一步的研究，分別從矩陣的應(yīng)用以及矩陣在其他領(lǐng)域當(dāng)中的應(yīng)用展開(kāi)說(shuō)明，并通過(guò)例題進(jìn)行分析。關(guān)于矩陣的應(yīng)用部分，分別從矩陣在經(jīng)濟(jì)學(xué)中、在密碼學(xué)中、在文獻(xiàn)管理中、在交通運(yùn)輸中、在解方程組方面、在矩陣秩方面、在計(jì)算機(jī)中以及求向量組秩方面的應(yīng)用進(jìn)行細(xì)致的說(shuō)明[15]。同時(shí)本論文的開(kāi)展也將對(duì)矩陣的認(rèn)識(shí)加深，對(duì)矩陣的實(shí)際應(yīng)用有了更深刻的了解。通過(guò)具體例子能夠看出，矩陣的應(yīng)用可以更加簡(jiǎn)便的將復(fù)雜的問(wèn)題解決，且在解題的過(guò)程當(dāng)中具備邏輯性，可以說(shuō)學(xué)生對(duì)于矩陣的學(xué)習(xí)是非常有必要且具有重要的現(xiàn)實(shí)意義的，同時(shí)在更多領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用也是具有很好的發(fā)展前景的。

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