專題4.4 一次函數(shù)與方程、不等式之間的關系【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題4.4一次函數(shù)與方程、不等式之間的關系【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數(shù)與一元一次方程的解】 1【題型2兩個一次函數(shù)與一元一次方程】 2【題型3利用一次函數(shù)的變換求一元一次方程的解】 3【題型4一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解】 4【題型5不解方程組判斷方程組解的情況】 4【題型6一次函數(shù)與一元一次不等式的解集】 6【題型7兩個一次函數(shù)與一元一次不等式】 6【題型8一次函數(shù)與一元一次不等式組的解集】 8【題型9一次函數(shù)與不等式組中的陰影區(qū)域問題】 9【題型10絕對值函數(shù)與不等式】 11【知識點1一次函數(shù)與一元一次方程、不等式的關系】1.任何一個一元一次方程都可轉化為：kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）．當函數(shù)值為0時，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同．結論：由于任何一元一次方程都可轉化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉化為：當一次函數(shù)值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值．2.解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)的函數(shù)值大（?。┯?時，求自變量相應的取值范圍.【題型1一次函數(shù)與一元一次方程的解】【例1】（2023春·天津·八年級統(tǒng)考期末）已知方程ax+b=0的解為x=-32，則一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸交點的坐標為(

)A．(3,0) B．(-23,0) C．(-2,0) D．(-32【變式1-1】（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=kx+b的部分函數(shù)值如表所示，則關于x的方程kx+b=3的解為．x…-2-11…y…53-1…【變式1-2】（2023春·四川綿陽·八年級校聯(lián)考期末）已知關于x的方程ax﹣b＝1的解為x＝﹣2，則一次函數(shù)y＝ax﹣b﹣1的圖象與x軸交點的坐標為．【變式1-3】（2023秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點2,4，4,1，則方程ax+b=4的解是．【題型2兩個一次函數(shù)與方程組、不等式組】方程組的解與相應函數(shù)的交點坐標是相對應的。找到函數(shù)的交點坐標，也就找到了對應方程組的解，反之一樣。對于不等式組的解集也可以通過其對應的函數(shù)圖象來解決?！绢}型2兩個一次函數(shù)與一元一次方程】【例2】（2023春·青海西寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b與y2=k2x

【變式2-1】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）若一次函數(shù)y=kx+b與y=mx的圖象交于點2,4，則關于x的方程2k+bx=mx+m的解為x=【變式2-2】（2023春·湖南益陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線y=-x與y=kx+b交于點Pa,1，則方程kx+b=-x的解是x=

【變式2-3】（2023春·福建廈門·八年級廈門市松柏中學?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，直線l1，l2分別是函數(shù)y=k

（1）關于x的方程k1x+b（2）若x=m，x=n分別為方程k1x+b1=3和k2x+b2【題型3利用一次函數(shù)的變換求一元一次方程的解】【例3】（2023春·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）若關于x的一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A-1,0，則方程kx+2+b=0【變式3-1】（2023春·福建福州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象為直線l，則關于x的方程ax-3+b=0的解為【變式3-2】（2023秋·江蘇南京·八年級?？茧A段練習）若一次函數(shù)y＝kx+b（k為常數(shù)且k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣2，0），則關于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解為．【變式3-3】（2023秋?廬陽區(qū)校級期中）將直線y＝kx﹣2向下平移4個單位長度得直線y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解為x＝3，則k＝2，m＝﹣6．【題型4一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解】【例4】（2023春·江西宜春·八年級江西省宜豐中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點，已知k為整數(shù)，若函數(shù)y=2x-1與y=kx+k的圖象的交點是整點，則k的值有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式4-1】（2023春·北京東城·八年級北京二中?？计谥校┯脠D象法解某二元一次方程組時，在同一平面直角坐標系中作出相應的兩個一次函數(shù)的圖象（如圖所示），則所解的二元一次方程組是（

）A．x+y=2x-2y=1 B．x=y+22x+y=-1 C．x-y=22x-y=-1【變式4-2】（2023?德城區(qū)二模）若以關于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解為坐標的點（x，y）都在直線y=-12x+b﹣1上，則常數(shù)A．12 B．1 C．﹣1 D．【變式4-3】（2023春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線y=ax+b和直線y=kx交于點P，若二元一次方程組y=kxy=ax+b的解為x、y，則關于x+y=【題型5不解方程組判斷方程組解的情況】【例5】（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）【活動回顧】：八年級下冊教材中我們曾探究過“以方程x+y=5的解為坐標（x的值為橫坐標、y的值為縱坐標）的點的特性”，了解了二元一次方程的解與其圖象上點的坐標的關系．發(fā)現(xiàn)：以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖象與一次函數(shù)y=-x+5的圖象相同，是同一條直線；結論：一般的，以一個二元一次方程的解為坐標的點組成的圖象與相應的一次函數(shù)的圖象相同，是一條直線．

示例：如圖1，我們在畫方程x-y=0的圖象時，可以取點A(-1,-1)和B(2,2)，作出直線AB．（1）請你在圖2所給的平面直角坐標系中畫出二元一次方程組x-y=12x+3y=12中的兩個以二元一次方程的解為坐標的點組成的圖象（提示：依據(jù)“兩點確定一條直線”（2）觀察圖象，上述兩條直線的交點坐標為________，由此得出這個二元一次方程組的解是________；【拓展延伸】：（3）已知二元一次方程ax+by=7的圖象經(jīng)過兩點A(1,2)和B(4,1)，試求a+b的值．（4）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=x+3圖象l1和一次函數(shù)y=x-1的圖象l2，如圖3所示．請根據(jù)圖象，判斷方程組【變式5-1】（2023秋·廣東清遠·八年級統(tǒng)考期末）函數(shù)y=ax+b與函數(shù)y=cx+d的圖象是兩條直線，只有一個交點，則二元一次方程組y=ax+by=cx+dA．無數(shù)解 B．無解 C．唯一解 D．不能確定【變式5-2】（2023秋?泰興市校級期末）已知關于x，y的方程組y=kx+b（1）當k，b為何值時，方程組有唯一一組解；（2）當k，b為何值時，方程組有無數(shù)組解；（3）當k，b為何值時，方程組無解．【變式5-3】（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線l1：y＝x＋1與直線l2：y＝mx＋n相交于點P(1，b)．（1）求b的值；（2）不解關于x，y的方程組y=x+1y=mx+n（3）直線l3：y＝nx＋m是否也經(jīng)過點P？請說明理由．（4）直接寫出不等式x+1≥mx+n的解集．【題型6一次函數(shù)與一元一次不等式的解集】【例6】（2023秋·安徽馬鞍山·八年級?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、三象限，且與x軸交于點(-2，0)，則不等式ax>b的解集為【變式6-1】（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）已知一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)，x與y的部分對應值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是()x-2-10123y3210-1-2A．x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1【變式6-2】（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）已知一次函數(shù)y=ax+b（a、b是常數(shù)，a≠0）函數(shù)圖象經(jīng)過(-1，4)，(2，-2)兩點，下面說法中：（1）a=2，b=2；（2）函數(shù)圖象經(jīng)過(1，0)；（3）不等式ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正確的說法有．（請寫出所有正確說法的序號）【變式6-3】（2023秋·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(-2,0)，則關于x的不等式k(x-3)+b>0的解集為【題型7兩個一次函數(shù)與一元一次不等式】【例7】（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖，則

A．x>-1 B．x>2 C．x<-1 D．x<2【變式7-1】（2023春·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）直線y1=kx+2k+3和直線y2=-2x-1，當x<-2【變式7-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y1=kx+b與x軸交于點A1,0，直線y2=3x+m與x

(1)觀察圖象，直接寫出不等式kx+b<0的解集；(2)若不等式3x+m>kx+b的解集是x>-2，求點C的坐標．【變式7-3】（2023春·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線l1：y1=-12x+6分別與x軸、y軸交于點B、C，且與直線

(1)求出點A的坐標；(2)根據(jù)圖象，直接寫出y2>y(3)若M是線段OA上的點，且△COM的面積為9，求直線CM的解析式．【題型8一次函數(shù)與一元一次不等式組的解集】【例8】（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）已知：同一個坐標系中分別作出了一次函數(shù)y=k1x+b1和y=k2x+b2的圖象，分別與x軸交于點A，

(1)關于x的方程k1x+b1=0的解是_______；關于x(2)請直接寫出關于x的不等式k1(3)請直接寫出關于x的不等式組k1(4)求△ABC的面積．【變式8-1】（2023秋·浙江·八年級期末）如圖，直線y=kx+b(k≠0)經(jīng)過A(-1,-2)和B(-3,0)兩點，則關于x的不等式組x+1<kx+b<0的解是．【變式8-2】（2023秋·四川成都·八年級校聯(lián)考期末）已知直線y1=kx+1(k<0)與直線【變式8-3】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=﹣x﹣2與y=2x+m的圖象相交于點P（n，﹣4），則關于x的不等式組{2x+m＜-x-2【題型9一次函數(shù)與不等式組中的陰影區(qū)域問題】【例9】（2023春·全國·八年級專題練習）閱讀，我們知道，在數(shù)軸上，x=1表示一個點，而在平面坐標系中，x=1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解為坐標的點組成的圖形，就是一次函數(shù)y=2x+1的圖象，它也是一條直線，如圖1，可以得出，直線x=1與直線y=2x+1的交點P的坐標（1，3）就是方程組x=1,2x-y+1=0的解，所以這個方程組的解為在直角坐標系中，x≤1表示一個平面區(qū)域，即直線x=1以及它的左側的部分，如圖2；y≤2x+1，也表示一個平面區(qū)域，即直線y=2x+1以及它下方的部分，如圖3．回答下列問題：（1）在直角坐標系（如圖4）中，用作圖的方法求方程組x=-2,y=-2x+2.（2）用陰影表示x≥-2,y≤-2x+2,【變式9-1】（2023?黃岡中學自主招生）如圖，表示陰影區(qū)域的不等式組為（）A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0 B．C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0 D【變式9-2】（2023秋?包河區(qū)期中）圖中所示的陰影部分為哪一個不等式的解集（）A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5【變式9-3】（2023春·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：在平面直角坐標系中，二元一次方程x-y=0的一個解x=1y=1可以用一個點（1，1）表示，二元一次方程有無數(shù)個解，以方程x-y=0的解為坐標的點的全體叫作方程x-y=0的圖象．一般地，在平面直角坐標系中，任何一個二元一次方程的圖象都是一條直線，我們可以把方程x-y=0的圖象稱為直線x-y=0直線x-y=0把坐標平面分成直線上方區(qū)域，直線上，直線下方區(qū)域三部分，如果點M（x0，y0）的坐標滿足不等式x-y≤0，那么點M（x0，y0）就在直線x-y=0的上方區(qū)域內(nèi)．特別地，x=k（k為常數(shù)）表示橫坐標為k的點的全體組成的一條直線，y=m（m為常數(shù)）表示縱坐標為m的點的全體組成的一條直線．請根據(jù)以上材料，探索完成以下問題：（1）已知點A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直線3x-2y=4上的點有（2）已知點P（x，y）的坐標滿足不等式組0≤x≤4,0≤y≤3，則所有的點P組成的圖形的面積是（3）已知點P（x，y）的坐標滿足不等式組0≤x≤10≤y≤22x-3y≥-1,請在平面直角坐標系中畫出所有的點P組成的圖形（涂上陰影），并直接寫出上述圖形的面積【題型10絕對值函數(shù)與不等式】【例10】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝2-x+x+2下面是小東的探究過程．（1）化簡函數(shù)解析式，當x≤2時，y＝；當x>2時，y＝．（2）根據(jù)（1）中的結果，請在所給坐標系中畫出函數(shù)y＝2-x+x+2（3）結合函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質：．【變式10-1】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）某學習小組在綜合與實踐活動中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函數(shù)的關系課題時，對函數(shù)y=x+1下面是該學習小組的探究過程，請補充完整；(1)下表是y與x的幾組對應值，請將表格補充完整：x…-3-2-1012345…y…m-2-3-2-10n23…表格中m的值為__________，n的值為___________．(2)如圖，在平面直角坐標系中描點并畫出此函數(shù)的圖像：（提示：先用鉛筆