人教B版（新）必修一第三章 函數(shù)3.4 數(shù)學(xué)建?；顒?決定蘋果的最佳出售時間點(diǎn)

《數(shù)學(xué)建?；顒樱簺Q定蘋果的最佳出售時間點(diǎn)》課件

數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界的橋梁。下面我們用實例來介紹，怎樣從現(xiàn)實世界中發(fā)現(xiàn)問題，如何通過數(shù)學(xué)建模來求解特定的問題，并探討怎樣整理數(shù)學(xué)建模的結(jié)果.

俗話說，“物以稀為貴”一般來說，當(dāng)市面上某種商品的出售量比較多時，這種商品的價格就會比較低；而出售量比較少時，價格就會比較高。例如，當(dāng)市面上的蘋果比較多時，蘋果的價格就會降低。這時，如果將蘋果利用一定的技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲，等到市面上的蘋果變少、價格上升之后再出售，則同樣多的蘋果就可以獲得比較高的銷售收入.不過，需要注意的是，保鮮存儲是有成本的，而且成本會隨著時間的延長而增大。針對上述這種日常生活中的現(xiàn)象，我們可以提出一些什么問題呢？

當(dāng)然，我們可以探討的問題很多。例如，為什么會發(fā)生這些現(xiàn)象？什么情況下不會發(fā)生這樣的現(xiàn)象？能夠利用哪些技術(shù)手段進(jìn)行保鮮存儲？哪種保鮮存儲的成本最低？等等.類似的這些問題，因為不僅僅涉及量的關(guān)系，所以如果只用數(shù)學(xué)手段研究，將是十分困難的.

不過，上述現(xiàn)象中，涉及了量的增大與減少的問題，這可以用數(shù)學(xué)符號和語言進(jìn)行描述。仍以蘋果為例，設(shè)市面上蘋果的量為x萬噸，蘋果的單價為y元，上述現(xiàn)象說明，y會隨著x的增大而減少，且y也會隨著x的減少而增大也就是說，如果y是x的函數(shù)并記作y=f（x）的話，f（x）是減函數(shù)

同樣地，如果設(shè)保鮮存儲的時間為t天，單位數(shù)量的保鮮存儲成本為C元，且C是t的函數(shù)并記作C=g（t）的話，g（t）是一個增函數(shù).

由于市面上蘋果的量x會隨著時間t的變化而變化，因此可以認(rèn)為x是t的函數(shù)，并記作x=h（t）.

從上面這些描述不難看出，在第t天出售蘋果時，單位數(shù)量的蘋果所獲得的收益z元可以用t表示出來，即

z=y-C=f（x）-g（t）=f（h（t））-g（t）.

此時，如果f（x），g（t），h（t）都是已知的，則能得到z與t的具體關(guān)系式.

有了關(guān)系式之后，就能解決如下問題：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t為多少時z取最大值？

怎樣才能確定上述f（x），g（t），h（t）呢？這可以通過合理假設(shè)以及收集數(shù)據(jù)、確定參數(shù)來完成。

如，為了簡單起見，我們可以假設(shè)f（x）和g（t）都是一次函數(shù)，且f（x）=k1x+L1，g（t）=k2t+L2；

并假設(shè)h（t）是一個二次函數(shù)，且h（t）=at2+bt+c.

則有z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b一k2）t+k1c+L1-L2，其中k1<0，k2>0，a≠0.

上述各參數(shù)可以通過收集實際數(shù)據(jù)來確定。例如，如果我們收集到了如下實際數(shù)據(jù).

利用待定系數(shù)法，根據(jù)前面的假設(shè)就可以確定出

y=f（x）=-0.5x+5，C=g（t）=0.01t+0.1，x=h（t）=0.002t2-0.14t+9.6，

因此z=-0.001t2+0.06t+0.1

注意到上式可以改寫成z=-0.001（t-30）2+1，所以此時在t=30時，z取最大值1.也就是說，在上述情況下，保鮮存儲30天時，單位商品所獲得的利潤最大，為1元。

這樣一來，我們就建立了一個決定蘋果的最佳出售時間點(diǎn)的模型，并通過有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了說明.當(dāng)然，實際情況與上面的建模結(jié)果可能會出現(xiàn)偏差。因為我們假設(shè)f（x）和g（t）都是一次函數(shù)等就已經(jīng)把問題進(jìn)行了簡化，如果條件容許的話，可以先不假設(shè)函數(shù)的具體形式，在收集盡量多的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過對數(shù)據(jù)的分析來最終得出函數(shù)的具體形式，這樣也就能優(yōu)化我們最終建立的模型.

以上我們用敘述的方式，讓大家經(jīng)歷了一個簡單的數(shù)學(xué)建模全過程.由此可以看出，對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題就是數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題.

在實際的數(shù)學(xué)建模過程中，為了向別人介紹數(shù)學(xué)建模的成果，給別人提供參考，我們還需要將建模結(jié)果整理成論文的形式。

一般來說，數(shù)學(xué)建模論文的結(jié)構(gòu)可以按照建模過程來確定例如，圖3-4-1、圖3-4-2、圖3-4-3所示都可以是數(shù)學(xué)建模論文的主題結(jié)構(gòu)

當(dāng)然，數(shù)學(xué)建模論文中還可以根據(jù)需要增加作者、摘要、參考文獻(xiàn)、附錄等信息.需要提醒的是，對于一些綜合性比較大的問題而言，數(shù)學(xué)建模的過程中需要做的事情比較多，比如數(shù)據(jù)收集與整理、模型試算、對比不同的模型、將結(jié)果以可視化方式顯示、資料整理與論文撰寫等，因此數(shù)學(xué)建模的過程中，往往采用分工合作的方式進(jìn)行.一般來說，一個數(shù)學(xué)建模小組由3-5人組成.理想的小組中，既要有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實的同學(xué)，也要有能熟練使用計算機(jī)的同學(xué)，還要有寫作表達(dá)能力強(qiáng)的同學(xué).

以上我們用敘述的方式，讓大家經(jīng)歷了一個簡單的數(shù)學(xué)建模全過程.由此可以看出，對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題就是數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，驗證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題.

在實際的數(shù)學(xué)建模過程中，為了向別人介紹數(shù)學(xué)建模的成果，給別人提供參考，我們還需要將建模結(jié)果整理成論文的形式。

國民收入、消費(fèi)與投資的關(guān)系

1.發(fā)現(xiàn)問題、提出問題在政府文件中，我們經(jīng)?？梢钥吹接嘘P(guān)經(jīng)濟(jì)增長與投資、消費(fèi)的內(nèi)容.例如，《國務(wù)院關(guān)于促進(jìn)創(chuàng)業(yè)投資持續(xù)健康發(fā)展的若干意見》（國發(fā)〔2016]53號）指出：“近年來，我國創(chuàng)業(yè)投資快速發(fā)展，不僅拓寬了創(chuàng)業(yè)企業(yè)投融資渠道、促進(jìn)了經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級，增強(qiáng)了經(jīng)濟(jì)發(fā)展新動能，也提高了直接融資比重、拉動了民間投資服務(wù)實體經(jīng)濟(jì)，激發(fā)了創(chuàng)業(yè)創(chuàng)新、促進(jìn)了就業(yè)增長。”

2016年11月，《國務(wù)院辦公廳關(guān)于進(jìn)一步擴(kuò)大旅游文化體育健康養(yǎng)老教育培訓(xùn)等領(lǐng)域消費(fèi)的意見》（國辦發(fā)[2016]85號）指出：“當(dāng)前，我國國內(nèi)消費(fèi)持續(xù)穩(wěn)定增長，為經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn)、穩(wěn)中有進(jìn)發(fā)揮了基礎(chǔ)性作用。順應(yīng)群眾期盼，以改革創(chuàng)新增加消費(fèi)領(lǐng)域特別是服務(wù)消費(fèi)領(lǐng)域有效供給、補(bǔ)上短板，有利于改善民生、促進(jìn)服務(wù)業(yè)發(fā)展和經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級、培育經(jīng)濟(jì)發(fā)展新動能?！绷?xí)慣上，人們總是用收入來衡量經(jīng)濟(jì)狀況，因此所謂經(jīng)濟(jì)增長或者經(jīng)濟(jì)發(fā)展，通常指的是收入增加。那么，怎樣描述投資與經(jīng)濟(jì)增長之間的關(guān)系呢？為什么說消費(fèi)增長有利于經(jīng)濟(jì)發(fā)展呢？這些現(xiàn)象能用數(shù)學(xué)語言來描述嗎？

2.分析問題、建立模型要用數(shù)學(xué)語言描述經(jīng)濟(jì)增長、投資、消費(fèi)之間的關(guān)系，實際上是要研究國民收入（簡稱為收入，用Y表示）、國民投資（簡稱為投資，用l表示）、國民消費(fèi)（簡稱為消費(fèi)，用C表示）之間的關(guān)系.為了簡單起見，可以做出以下假設(shè)：（1）收入、投資、消費(fèi)都用同一單位來衡量，為了方便，以下均省略單位；（2）收入只用于投資和消費(fèi)；（3）消費(fèi)可以分為兩部分，一部分為基本消費(fèi)（用C0表示），另一部分與收入成正比，比例系數(shù)為a.

值得注意的是，以上假設(shè)都是合理的。例如一個家庭的收入，一般面言，不是用于投資（比如儲蓄、購買理財產(chǎn)品等），就是用于消費(fèi)（比如家庭成員的生活支出等）；一個家庭的消費(fèi)，一部分用于滿足基本生活需求（比如購買食品等），而另一部分則依賴于收入的多少（比如家庭成員的旅游支出等）。由假設(shè)可知，收入、投資、消費(fèi)之間的關(guān)系可描述為Y=C+I，C=C0+aY.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，這通常稱為凱恩斯靜態(tài)模型，因為這是英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯最先得出的.

一此經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，可以通過凱恩斯靜態(tài)模型中量之間的關(guān)系來體現(xiàn)。例如，如果不存在透支消費(fèi)，那就意味著消費(fèi)不大于收入，即C≤Y，因此aY<C0+aY≤Y，從而有a<1.另外，如果將消費(fèi)看成收入的函數(shù)，則這個函數(shù)在任意區(qū)間[Y1，Y2]內(nèi)的平均變化率均為

這表示收入每增加一個單位，消費(fèi)將增加a個單位。因此，a通常稱為邊際消費(fèi)傾向。

4.

驗證結(jié)果、改進(jìn)模型從上述計算結(jié)果可以看出，當(dāng)消費(fèi)增長或者投資增長時，都將導(dǎo)致收入增加（這樣一來，我們也就完成了本章導(dǎo)語中投資與經(jīng)濟(jì)增長之間關(guān)系問題的解答）。而且，一般情況下，收入增加比消費(fèi)增長或投資增長快。事實上，當(dāng)0<a<1時，可知>1且>1.這就是說，平均變化率和都大于1.經(jīng)濟(jì)學(xué)上將這種現(xiàn)象稱為乘數(shù)效應(yīng)?？梢钥闯?，凱恩斯靜態(tài)模型能夠較好地描述收入、投資與消費(fèi)的關(guān)系。這個模型中，為了簡單起見，假設(shè)了基本消費(fèi)以外的消費(fèi)與收入成正比，但實際的情兄可能會更加復(fù)雜，模型的改進(jìn)可以從這方面入手。

三、活動要求與提示