初中數(shù)學(xué)中考常見考點總結(jié)

初中數(shù)學(xué)中考常見考點總結(jié)

考點1:函數(shù)以及函數(shù)的定義域、函數(shù)值等有關(guān)概念，函數(shù)的表示法,

常值函數(shù)

考核要求：(1)通過實例認(rèn)識變量、自變量、因變量，知道函數(shù)

以及函數(shù)的定義域、函數(shù)值等概念;(2)知道常值函數(shù);(3)知道函數(shù)的表

示方法，知道符號的意義.

考點2：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的概念

考核要求：(1)通過實例引入，理解正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、

一次函數(shù)、二次函數(shù)的概念，獲得從數(shù)理方面把握函數(shù)運動變化的規(guī)

律和事物之間相互聯(lián)系的體會;(2)通過實例分析函數(shù)以及正比例函

數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)等的意義，注意辨析各函數(shù)的特征.

考點3：用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次

函數(shù)的解析式

考核要求：(1)掌握求函數(shù)解析式的方法;(2)在求函數(shù)解析式中熟

練運用待定系數(shù)法.

注意：求函數(shù)解析式的步驟：一設(shè)、二代、三列、四還原.

考點4：畫正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像

考核要求：(1)知道函數(shù)圖像的意義，會在平面直角坐標(biāo)系中用

描點法畫函數(shù)圖像;(2)理解正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像，體會數(shù)

形結(jié)合思想;(3)會畫一次函數(shù)的圖像，會畫二次函數(shù)的大致圖像.

考點5：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像及其

基本性質(zhì)

考核要求：(1)借助圖像的直觀，認(rèn)識正比例函數(shù)、反比例函數(shù)

的性質(zhì)，能用數(shù)學(xué)語言進行表達，并掌握這些基本性質(zhì);(2)借助圖像

的直觀、認(rèn)識和掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，建立一次函數(shù)、二元一次方程、

直線之間的聯(lián)系;(3)掌握直線平移與一次函數(shù)解析式中的之間的關(guān)

系，從中感知辯證的觀點，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想;(4)略;(5)會用

配方法求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，并說出二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

注意：(1)解題時要數(shù)形結(jié)合;(2)二次函數(shù)的平移要化成頂點式.

考點6：一次函數(shù)的應(yīng)用

考核要求：(1)選取實例討論一次函數(shù)的實際應(yīng)用;(2)初步認(rèn)識函

數(shù)模型.注意正確從圖形、實際問題中提取相關(guān)解題的信息.

數(shù)據(jù)整理和概率統(tǒng)計(9個考點)

考點7：確定事件和隨機事件

考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，

知道確定事件與必然事件、不可能事件的關(guān)系;(2)能區(qū)分簡單生活事

件中的必然事件、不可能事件、隨機事件.

考點8：事件發(fā)生的可能性大小，事件的概率

考核要求：(1)知道各種事件發(fā)生的可能性大小不同，能判斷一

些隨機事件發(fā)生的可能事件的大小并排出大小順序;(2)知道概率的含

義和表示符號，了解必然事件、不可能事件的概率和隨機事件概率的

取值范圍;(3)理解隨機事件發(fā)生的頻率之間的區(qū)別和聯(lián)系，會根據(jù)大

數(shù)次試驗所得頻率估計事件的概率.

注意：(1)在給可能性的大小排序前可先用“一定發(fā)生”、“很有可

能發(fā)生”、“可能發(fā)生”、“不太可能發(fā)生”、“一定不會發(fā)生”等詞語來表

述事件發(fā)生的可能性的大小;(2)事件的概率是確定的常數(shù)，而概率是

不確定的，可是近似值，與試驗的次數(shù)的多少有關(guān)，只有當(dāng)試驗次數(shù)

足夠大時才能更精確.

考點9：等可能試驗中事件的概率問題及概率計算

考核要求：(1)理解等可能試驗的概念，會用等可能試驗中事件

概率計算公式來計算簡單事件的概率;(2)會用枚舉法或畫“樹形圖”方

法求等可能事件的概率，會用區(qū)域面積之比解決簡單的概率問題;(3)

形成對概率的初步認(rèn)識，了解機會與風(fēng)險、規(guī)則公平性與決策合理性

等簡單概率問題.

注意：(1)計算前要先確定是否為可能事件;(2)用枚舉法或畫“樹形

圖”方法求等可能事件的概率過程中要將所有等可能情況考慮完整.

考點10：數(shù)據(jù)整理與統(tǒng)計圖表

考核要求：(1)知道數(shù)據(jù)整理分析的意義，知道普查和抽樣調(diào)查

這兩種收集數(shù)據(jù)的方法及其區(qū)別;(2)結(jié)合有關(guān)代數(shù)、兒何的內(nèi)容，掌

握用折線圖、扇形圖、條形圖等整理數(shù)據(jù)的方法，并能通過圖表獲取

有關(guān)信息.

考點11：統(tǒng)計的含義

考核要求：(1)知道統(tǒng)計的意義和一般研究過程;(2)認(rèn)識個體、總

體和樣本的區(qū)別，了解樣本估計總體的思想方法.

考點12：平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)的概念和計算

考核要求：(1)理解平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)的概念;(2)掌握平均數(shù)、

加權(quán)平均數(shù)的計算公式.注意：在計算平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)時要防止

數(shù)據(jù)漏抄、重抄、錯抄等錯誤現(xiàn)象，提高運算準(zhǔn)確率.

考點13：中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和計算

考核要求：(1)知道中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念;(2)會求

一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并能用于解決簡單的統(tǒng)計

問題.

注意：當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極值時，中位數(shù)比平均數(shù)更能反映這組

數(shù)據(jù)的平均水平;(2)求中位數(shù)之前必須先將數(shù)據(jù)排序.

考點14：頻數(shù)、頻率的意義，畫頻數(shù)分布直方圖和頻率分布直方圖

考核要求：(1)理解頻數(shù)、頻率的概念，掌握頻數(shù)、頻率和總量

三者之間的關(guān)系式;(2)會畫頻數(shù)分布直方圖和頻率分布直方圖，并能

用于解決有關(guān)的實際問題.解題時要注意：頻數(shù)、頻率能反映每個對

象出現(xiàn)的頻繁程度，但也存在差別：在同一個問題中，頻數(shù)反映的是

對象出現(xiàn)頻繁程度的絕對數(shù)據(jù)，所有頻數(shù)之和是試驗的總次數(shù);頻率

反映的是對象頻繁出現(xiàn)的相對數(shù)據(jù)，所有的頻率之和是1.

考點15：中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、頻數(shù)、頻率的應(yīng)用

考核要求：(1)了解基本統(tǒng)計量(平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、

標(biāo)準(zhǔn)差、頻數(shù)、頻率)的意計算及其應(yīng)用，并掌握其概念和計算方法;(2)

正確理解樣本數(shù)據(jù)的特征和數(shù)據(jù)的代表，能根據(jù)計算結(jié)果作出判斷和

預(yù)測;(3)能將多個圖表結(jié)合起來，綜合處理圖表提供的數(shù)據(jù)，會利用

各種統(tǒng)計量來進行推理和分析，研究解決有關(guān)的實際生活中問題，然

后作出合理的解決.

考點1:數(shù)的整除性以及有關(guān)概念(本考點含整數(shù)和整除、分解素因數(shù))

考核要求：(1)知道數(shù)的整除性、奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、倍

數(shù)和因數(shù)、公倍數(shù)和公因數(shù)等的意義;(2)知道能被2或3、5、9整除

的正整數(shù)的特征;(3)會分解素因數(shù);(4)會求兩個正整數(shù)的最小公倍數(shù)

和最大公因數(shù).具體問題討論涉及的正整數(shù)一般不大于100.

考點2：分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念、基本性質(zhì)和運算

考核要求：(1)掌握分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，初步體會轉(zhuǎn)化思想;(2)掌

握異分母分?jǐn)?shù)的加減運算以及分?jǐn)?shù)的乘除運算.

考點3：比、比例和百分比的有關(guān)概念及比例的性質(zhì)

考核要求：(1)理解比、比例、百分比的有關(guān)概念;(2)比例的基本

性質(zhì).對合分比定理、等比定理不作教學(xué)要求.

考點4：有關(guān)比、比例、百分比的簡單問題

考核要求：(1)考查比、比例的實際應(yīng)用，結(jié)合實際掌握求合格

率、出勤率、及格率、盈利率、利率的方法;(2)會解決有關(guān)比、比例、

百分比的簡單問題，了解百分比在經(jīng)濟、生活中的一些基本常識及簡

單應(yīng)用.

考點5：有理數(shù)以及相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等有關(guān)概念，有理數(shù)在數(shù)

軸上的表示

考核要求：(1)理解相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值等概念;(2)會用數(shù)軸上

的點表示有理數(shù).

注意：（1）去掉絕對值符號后的正負(fù)號的確定，（2）0沒有倒數(shù).

考點6：平方根、立方根、次方根的概念

考核要求：（1）理解平方根、立方根、次方根的概念;（2）理解開

方與方根的意義，注意平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系和區(qū)別.

考點7：實數(shù)的概念

考核要求：理解實數(shù)的有關(guān)概念.注意：判斷無理數(shù)不看形式，

要看實質(zhì).

考點8：數(shù)軸上的點與實數(shù)的---對應(yīng)

考核要求：掌握實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系.解題關(guān)鍵是

判斷實數(shù)的大小.

考點9：實數(shù)的運算

考核要求：（1）掌握實數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方等運算

的法則、性質(zhì)（交換律、結(jié)合律、分配律、互逆性、數(shù)0和數(shù)1的特

征）、運算順序，明確有關(guān)運算性質(zhì)的推廣和運用;（2）會用計算器進行

實數(shù)的運算.

注意：（1）利用運算定律，力求簡便計算和巧算，（2）運算要穩(wěn)中

求快，準(zhǔn)確無誤.

考點10：科學(xué)記數(shù)法

考核要求：（1）理解科學(xué)記數(shù)法的意義;（2）會用科學(xué)記數(shù)法表示較

大的數(shù).

考點11：代數(shù)式的有關(guān)概念

考核要求：(1)掌握代數(shù)式的概念，會判別代數(shù)式與方程、不等

式的區(qū)別;(2)知道代數(shù)式的分類及各組成部分的概念，如整式、單項

式、多項式;(3)知道代數(shù)式的書寫格式.注意單項式與多項式次數(shù)的區(qū)

別.

考點12：列代數(shù)式和求代數(shù)式的值

考核要求：(1)會用代數(shù)式表示常見的數(shù)量，會用代數(shù)式表示含

有字母的簡單應(yīng)用題的結(jié)果;(2)通過列代數(shù)式，掌握文字語言與數(shù)學(xué)

式子表述之間的轉(zhuǎn)換;(3)在求代數(shù)式的值的過程中，進行有理數(shù)的運

算.

考點13：整式的加、減、乘、除及乘方的運算法則

考核要求：(1)掌握整式的加、減、乘、除及乘方的運算法則;(2)

會用同底數(shù)塞的運算性質(zhì)進行單項式的乘、除、乘方及簡單混合運

算;(3)會求多項式乘以或除以單項式的積或商;(4)會求兩個或三個多

項式的積?注意：要靈活理解同類項的概念.

考點14：乘法公式(平方差、兩數(shù)和、差的平方公式)及其簡單運用

考核要求：(1)掌握平方差、兩數(shù)和(差)的平方公式;(2)會用乘法

公式簡化多項式的乘法運算;(3)能夠運用整體思想將一些比較復(fù)雜的

多項式運算轉(zhuǎn)化為乘法公式的形式.

考點15：因式分解的意義

考核要求：(1)知道因式分解的意義和它與整式乘法的區(qū)別;(2)會

鑒別一個式子的變形過程是因式分解還是整式乘法.

考點16：因式分解的基本方法(提取公因式法、分組分解法、公式法、

二次項系數(shù)為1的十字相乘法)

考核要求：掌握提取公因式法、分組分解法和二次項系數(shù)為1時

的十字相乘法等因式分解的基本方法.

考點17：分式的有關(guān)概念及其基本性質(zhì)

考核要求：(1)會求分式有無意義或分式為0的條件;(2)理解分式

的有關(guān)概念及其基本性質(zhì);(3)能熟練地進行通分、約分.

考點18：分式的加、減、乘、除運算法則

考核要求：(1)掌握分式的運算法則;(2)能熟練進行分式的運算、

分式的化簡.

考點19：正整數(shù)指數(shù)塞、零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)募、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的

概念

考核要求：(1)理解正整數(shù)指數(shù)、零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)的哥的概

念;(2)知道分?jǐn)?shù)指數(shù)事的意義;(3)能夠運用零指數(shù)的條件進行式子取

值范圍的討論.

考點20：整數(shù)指數(shù)幕，分?jǐn)?shù)指數(shù)募的運算

考核要求：(1)掌握幕的運算法則乂2)會用整數(shù)指數(shù)幕及負(fù)整數(shù)指

數(shù)塞進行運算;(3)掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)式與分式的互化;(4)知道分?jǐn)?shù)指數(shù)

式與根式的互化。

考點21：二次根式的有關(guān)概念

考核要求：(1)理解根式及有關(guān)概念，包括最簡二次根式、同類

二次根式等;(2)理解二次根式與非負(fù)數(shù)的非負(fù)平方根的實質(zhì)聯(lián)系，掌

握二次根式的性質(zhì);(3)能利用公式對二次根式進行化簡.

考點22：二次根式的性質(zhì)和運算

考核要求：(1)會利用二次根式的性質(zhì)進行二次根式的變形、簡

化、求值;(2)會進行二次公式的運算;(3)會利用二次根式的性質(zhì)及運算

解方程或解不等式.掌握與二次根式的性質(zhì)是解二次根式有關(guān)問題的

關(guān)鍵，在解二次根式的有關(guān)問題時，要注意：(1)關(guān)注被開方數(shù)字中

字母的符號;(2)理解有關(guān)二次根式的簡化的實質(zhì)就是二次根式的運

算;(3)二次根式的運算或簡化的結(jié)果必須化為最簡二次根式。

考點23：一元一次方程的解法

考核要求：(1)理解方程、方程的解、解方程和一元一次方程等

概念;(2)掌握用移項法則、解一元一次方程的一般步驟，能熟練地解

一元一次方程.

考點24：二元一次方程和它的解以及一次方程組和它的解的概念

考核要求：(1)理解二元一次方程和它的解及一次方程組和它的

解的概念;(2)理解一個二元一次程都有無數(shù)個解，會求它的某些特殊

解;(3)能夠利用方程的解求方程中的字母的值.

考點25：二元一次方程組的解法、三元一次方程組的解法

考核要求：(1)掌握用代入消元法和加減消元法解二元一次方程

組的方法;(2)會通過條件列出方程組進行求解;(3)理解多于二元的一

次方程組可以利用逐步消元轉(zhuǎn)化為一元方程來求解;（4）會用消元法解

簡單的三元一次方程組.

考點26：不等式及其基本性質(zhì)，一元一次不等式（組）及其解的概念

考核要求：理解不等式及其基本性質(zhì)，理解一元一次不等式（組）

及其解的有關(guān)概念.

考點27：一元一次不等式（組）的解法，數(shù)軸表示不等式的解集

考核要求：（1）熟練解一元一次不等式及一元一次不等式組;（2）會

求某些一元一次不等式及一元一次不等式組的特殊解（如正整數(shù)

解）;（3）會利用數(shù)軸表示不等式及不等式組的解集.

考點28：一元二次方程的概念

考核要求：（1）理解一元二次方程的概念;（2）知道一元二次方程的

一般形式;（3）會把一元二次方程化為一般形式.注意在含有字母系數(shù)

的一元二次方程中，方程的二次項系數(shù)的條件不要漏討論.

考點29：一元二次方程的解法

考核要求：會用直接開平方法、因式分解法、配方法求解一元二

次方程.

考點30：一元二次方程的求根公式

考核要求：（1）掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)過程，能用

求根公式解一元二次方程;（2）知道公式法是求解一元二次方程的通

法，并會將其用于對二次三項式進行因式分解.

考點31：一元二次方程的根的判別式

考核要求：理解一元二次方程根的判別式的意義;(2)會用一元二

次方程根的判別式判定根的情況;(3)會用一元二次方程根的判別式確

定方程中字母的取值或取值范圍.

考點32：整式方程的概念

考核要求：(1)知道整式方程的概念;(2)了解整式方程的“元數(shù)”和

“次數(shù)”的意義.

考點33：含有一個字母系數(shù)的一元一次方程與一元二次方程的解法

考核要求：(1)知道含字母系數(shù)的一元一次方程、一元二次方程

的概念，并初步掌握它們的基本解法;(2)在解題過程中體會分類討論

的思想以及由特殊到一般、由一般到特殊的辯證思想.

注意：解題過程中應(yīng)先將方程化為一般最簡形式后，再對字母系

數(shù)的取值范圍進行討論，且分類表述必須完整.

考點34：分式方程、無理方程的概念

考核要求：(1)知道分式方程和無理方程的概念，會識別分式方

程和無理方程;(2)理解分式方程和無理方程中產(chǎn)生增根(無解)的情況.

考點35：分式方程、無理方程的解法

考核要求：(1)知道解分式方程和無理方程的一般步驟;(2)掌握應(yīng)

用“去分母”和“換元”將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，應(yīng)用“同次乘法去根

號’將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，領(lǐng)會解分式方程“整式化”、解無理方

程“有理化”的劃歸思想;(3)掌握分式方程和無理方程的不同的驗根方

法，注意解分式方程和無理方程時會出現(xiàn)增根，解方程后一定要驗根.

考點36：二元二次方程組的解法

考核要求：(1)知道簡單的二元二次方程組的解法過程;(2)會用“代

入消元法”和“因式分解法”解二元二次方程組.

考點37：列一次方程(組卜一元二次方程、分式方程等解應(yīng)用題

考核要求：知道列方程解應(yīng)用題的一般步驟;會用列一次方程

(組卜一元二次方程、分式方程來解決簡單的實際問題.

在列分式方程應(yīng)用題求解檢驗時，不僅要考慮是否產(chǎn)生了增根，

還要考慮是否符合題(實際情況).

添加輔助線的幾種方法。

添輔助線有二種情況：

1、按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們相交后證交角為90。;證線段倍半

關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍;證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助

線。

2、按基本圖形添輔助線：

每個兒何定理都有與它相對應(yīng)的兒何圖形，我們把它叫做基本圖

形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整

基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”!這樣可防止亂添線，添輔助線

也有規(guī)律可循。舉例如下：

(1)平行線是個基本圖形：

當(dāng)兒何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相

交的等第三條直線

(2)等腰三角形是個簡單的基本圖形:

當(dāng)兒何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等

腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相

交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線;出現(xiàn)角平分線與

垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段

的基本圖形。

(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍

半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中

線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。

(5)三角形中位線基本圖形

兒何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進

行證明當(dāng)有中點沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整

時則需補完整三角形;當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的

線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三角形中位線基

本圖形;當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中點，則

可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

(6)全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等;如果

出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添

加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)

兒何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直

線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點

兩兩連結(jié)或過二端點添平行線

(7)相似三角形：

相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形)，相交線型，旋

轉(zhuǎn)型;當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(中點可看成比為1)可添加平

行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端

點的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。

(8)特殊角直角三角形

當(dāng)出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時可添加特殊角直角

三角形，利用45角直角三角形三邊比為1:1川2;30度角直角三角形

三邊比為1:2:43進行證明

(9)半圓上的圓周角

出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角;出現(xiàn)90度的圓周角

則添它所對弦一直徑；

★基本圖形的輔助線的畫法

1、三角形問題添加輔助線方法

方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，

常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移,

很容易地解決了問題。

方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分

線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的

知識解決問題。

方法3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或

利用關(guān)于平分線段的一些定理。

方法4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類

題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩

部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2、平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角

線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的

都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊

形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列

兒種，舉例簡解如下：

(1)連對角線或平移對角線：

(2)過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形

(3)連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行

線，構(gòu)造線段平行或中位線

(4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形

相似或等積三角形。

(5)過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。

3、梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合,

通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形

問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔

助線有：

（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩

腰

（4）延長兩腰（5）過梯形上底的兩端點向下底作高（6）平移對

角線

（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的

平行線。

（9）作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定

不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊

形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。

4、圓中常用輔助線的添法

在平面兒何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o

助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地

得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高

學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。

（1）見弦作弦心距

有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應(yīng)的半徑），通過

垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

(2)見直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用“直

徑所對的圓周角是直角”這一特征來證明問題。

(3)見切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用“切

線與半徑垂直”這一性質(zhì)來證明問題。

(4)兩圓相切作公切線

對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的

連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

(5)兩圓相交作公共弦

對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓

的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。

初中數(shù)學(xué)基本知識總結(jié)

(一)、數(shù)與代數(shù)A、數(shù)與式：

1、有理數(shù)

有理數(shù)：①整數(shù)一正整數(shù)/0/負(fù)整數(shù)②分?jǐn)?shù)一正分?jǐn)?shù)/負(fù)分?jǐn)?shù)

數(shù)軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0(原點)，選取

某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)

軸。②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。③如果兩個

數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也

稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于

原點的兩側(cè)，并且與原點距離相等。④數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊

的總比左邊的大。正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

絕對值：

①在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對

值。

②正數(shù)的絕對值是他的本身、負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)、0的

絕對值是0。兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。

有理數(shù)的運算：

加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。

②異號相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對

值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

③一"1、數(shù)與0相加不變。

減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

乘法：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。

②任何數(shù)與0相乘得0o

③乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：①除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。

乘方：求N個相同因數(shù)A的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫

累，A叫底數(shù)，N叫次數(shù)。

混合順序：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括

號里的。

2、實數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

平方根：

①如果一個正數(shù)X的平方等于A,那么這個正數(shù)X就叫做A的

算術(shù)平方根。

②如果一個數(shù)X的平方等于A,那么這個數(shù)X就叫做A的平方

根。

③一個正數(shù)有2個平方根/0的平方根為0/負(fù)數(shù)沒有平方根。

④求一個數(shù)A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方

數(shù)。

立方根：

①如果一個數(shù)X的立方等于A,那么這個數(shù)X就叫做A的立方

根。

②正數(shù)的立方根是正數(shù)、0的立方根是0、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

③求一個數(shù)A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數(shù)。

實數(shù)：

①實數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)。

②在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)

的相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義完全一樣。

③每一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個點來表示。

3、代數(shù)式

代數(shù)式：單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。

合并同類項：①所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項,

叫做同類項。②把同類項合并成一項就叫做合并同類項。③在合并同

類項時，我們把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

4、整式與分式

整式：

①數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項式，兒個單項式的和叫多項

式，單項式和多項式統(tǒng)稱整式。

②一個單項式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)。

③一個多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)。

整式運算：加減運算時一，如果遇到括號先去括號，再合并同類項。

幕的運算：AM+AN=A(M+N)

(AM)N=AMN

(A/B)N=AN/BN除法一樣。

整式的乘法：

①單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的哥分別相乘,

其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。

②單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的

每一項，再把所得的積相加。

③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多

項式的每一項，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：

①單項式相除，把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除后，作為商的因式；

對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因

式。

②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項

式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫

做把這個多項式分解因式。

方法：提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。

分式：①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母，那么這

個就是分式，對于任何一個分式，分母不為Oo②分式的分子與分母

同乘以或除以同一個不等于0的整式，分式的值不變。

分式的運算：

乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的

分母。

除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數(shù)。

加減法

①同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

②異分母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。

分式方程：

①分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程。

②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根。

方程與不等式

1、方程與方程組

一元一次方程：

①在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,

這樣的方程叫一元一次方程。

②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以（不為0）一個代數(shù)式，

所得結(jié)果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數(shù)系

數(shù)化為1o

二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都

是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次

方程組。

適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方

程的一個解。

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的

解。

解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法。

一元二次方程：只有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高系數(shù)為

2的方程

1一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系

大家已經(jīng)學(xué)過二次函數(shù)（即拋物線）了，對他也有很深的了解，好

像解法，在圖象中表示等等，其實一元二次方程也可以用二次函數(shù)來

表示，其實一元二次方程也是二次函數(shù)的一個特殊情況，就是當(dāng)Y

的0的時候就構(gòu)成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐標(biāo)系中表

示出來，一元二次方程就是二次函數(shù)中，圖象與X軸的交點。也就

是該方程的解了

2一元二次方程的解法

大家知道，二次函數(shù)有頂點式(-b/2a,4ac-b2/4a),這大家要記住,

很重要，因為在上面已經(jīng)說過了，一元二次方程也是二次函數(shù)的一部

分，所以他也有自己的一個解法，利用他可以求出所有的一元一次方

程的解

(1)配方法

利用配方，使方程變?yōu)橥耆椒焦剑谟弥苯娱_平方法去求

出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的

時候也一樣，利用這點，把方程化為幾個乘積的形式去解

(3)公式法

這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法了，方程的根

X1={-b+A/[b2-4ac)]}/2a,X2={-bA[b2-4ac)]}/2a

3解一元二次方程的步驟：

(1)配方法的步驟：

先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1,再同時

加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式

（2）分解因式法的步驟：

把方程右邊化為0,然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里

指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘

積的形式

（3）公式法

就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為a,一

次項的系數(shù)為b,常數(shù)項的系數(shù)為c

4.韋達定理

利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之

和二-b/a,二根之積=（3治

也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達定理，可以求出

一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用

5一元一次方程根的情況

利用根的判別式去了解，根的判別式可在書面上可以寫為“△”，

讀作“diaota”，而△巾2-4ac,這里可以分為3種情況：

I當(dāng)時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；

II當(dāng)△二（）時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根；

III當(dāng)△＜）時一，一元二次方程沒有實數(shù)根（在這里，學(xué)到高中就會

知道，這里有2個虛數(shù)根）

2、不等式與不等式組

不等式：

①用符號〉，=,〈號連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。

不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未

知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：

①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了

一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個

一元一次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著

你加或乘的運算改變。

在不等式中，如果加上同一個數(shù)（或加上一個正數(shù)），不等式符號

不改向;例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果減去同一個數(shù)（或加上一個負(fù)數(shù)），不等式符號

不改向;例如：A>B,A-OB-C

在不等式中，如果乘以同一個正數(shù)，不等號不改向;例如：A>B,

A*C>B*C(C>0)

在不等式中，如果乘以同一個負(fù)數(shù)，不等號改向;例如：A>B,A*C

如果不等式乘以0,那么不等號改為等號

所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一

元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0,否則

不等式不成立；

3、函數(shù)

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點

自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。

一次函數(shù)：

①若兩個變量X,Y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+B(B為常數(shù),

K不等于0)的形式，則稱Y是X的一次函數(shù)。

②當(dāng)B=0時-，稱Y是X的正比例函數(shù)。

一次函數(shù)的圖象：①把一個函數(shù)的自變量X與對應(yīng)的因變量丫

的值分別作為點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)

點，所有這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)Y=KX

的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。③在一次函數(shù)中，當(dāng)K〈0,B<0,

則經(jīng)234象限;當(dāng)K(0,B)0時,則經(jīng)124象限;當(dāng)K〉0,B〈0時,

則經(jīng)134象限;當(dāng)K〉0,B)0時,則經(jīng)123象限。④當(dāng)K〉0時，Y

的值隨X值的增大而增大，當(dāng)X〈0時-，Y的值隨X值的增大而減少。

空間與圖形

A、圖形的認(rèn)識

1、點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構(gòu)成的。②面與面相交

得線，線與線相交得點。

③點動成線，線動成面，面動成體。

展開與折疊：

①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側(cè)棱是相鄰兩個

側(cè)面的交線，棱柱的所有側(cè)棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，

側(cè)面的形狀都是長方體。

②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

截一個兒何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組

成的封閉圖形。

弧、扇形：

①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇

形。

②圓可以分割成若干個扇形。

角、線：

①線段有兩個端點。

②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端

③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。

④經(jīng)過兩點有且只有一條直線。

比較長短：

①兩點之間的所有連線中，線段最短。

②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：

①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這

個角的頂點。

②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：

①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉(zhuǎn)而成的。

②一條射線繞著他的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，所

成的角叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他又和始邊重合時，所成的角叫

做周角。

③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的

角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

②經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。

②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。

③平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線。

垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這根據(jù)

射線和直線可以無限延長有關(guān)，再看后面的，垂直平分線是一條直線,

所以在畫垂直平分線的時候，確定了2點后（關(guān)于畫法，后面會講）一

定要把線段穿出2點。

垂直平分線定理：

性質(zhì)定理：在垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等；

判定定理：到線段2端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上

角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平分線。

定義中有兒個要點要注意一下的，就是角的角平分線是一條射

線，不是線段也不是直線，很多時;在題目中會出現(xiàn)直線，這是角平

分線的對稱軸才會用直線的，這也涉及到軌跡的問題，一個角個角平

分線就是到角兩邊距離相等的點

性質(zhì)定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等

判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上

正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形

性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)

判定：1、對角線相等的菱形2、鄰邊相等的矩形

初中數(shù)學(xué)基本方法

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某

些項配成一個或兒個多項式正整數(shù)次幕的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)

問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法

是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因

式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解

析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分

解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在

代數(shù)、兒何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許

多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字

相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

3、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我

們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的

數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，

使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R,a#0）根的判別,△

=b2-4ac,不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)

式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至兒何、三角運算中都

有非常廣泛的應(yīng)用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個

數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計

論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問

題等

5、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)問題時一，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其

中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等

式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，

從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中

常用的方法之一。

6、構(gòu)造法

在解題時一，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分

析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程（組卜一個等式、

一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而

使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運用構(gòu)造

法解題，可以使代數(shù)、三角、兒何等各種數(shù)學(xué)知識互相滲透，有利于

問題的解決。

7、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假

設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定

相反的假設(shè)，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬

反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反面不只一種）。

用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè);（2）歸謬;（3）結(jié)

論。

反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互

為否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是;存在、不存在;平行

于、不平行于;垂直于、不垂直于;等于、不等于;大（?。┯?、不大（小）

于渚B是、不都是;至少有一個、一個也沒有;至少有n個、至多有（n—

1）個;至多有一個、至少有兩個;唯一、至少有兩個。

歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須

從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。

導(dǎo)出的矛盾有如下兒種類型：與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、

定理、公式矛盾;與反設(shè)矛盾;自相矛盾一。

8、面積法

平面兒何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有

關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面兒何題有

時會收到事半功倍的效果。運用面積關(guān)系來證明或計算平面兒何題的

方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面兒何題，其困難在添置輔助線。面積

法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達到求

證的結(jié)果。所以用面積法來解兒何題，兒何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之

間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助

線，也很容易考慮到。

9、兒何變換法

在數(shù)學(xué)問題的研究中，常常運用變換法，把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡

單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合

的元素的一個一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。

有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助兒何變換法，化繁

為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結(jié)合起來，有利

于對圖形本質(zhì)的認(rèn)識。

幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn);（3）對稱。

10、客觀性題的解題方法

選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的

一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察

學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。

填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查

目標(biāo)明確，知識復(fù)蓋面廣，評卷準(zhǔn)確迅速，有利于考查學(xué)生的分析判

斷能力和計算能力等優(yōu)點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)

生猜估答案的情況。

要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準(zhǔn)確的計算、嚴(yán)

密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例

介紹常用方法。

(1)直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運用概念、公式、

定理等進行推理或運算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解

題方法，這種解法叫直接推演法。

(2)驗證法：由題設(shè)找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正

確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此

法稱為驗證法(也稱代入法)。當(dāng)遇到定量命題時，常用此法。

(3)特殊元素法：用合適的特殊元素(如數(shù)或圖形)代入題設(shè)條件或

結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。

(4)排除、篩選法：對于正確答案有且只有一個的選擇題，根據(jù)

數(shù)學(xué)知識或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選,

從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。

(5)圖解法：借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點來

判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。

(6)分析法：直接通過對選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、

歸納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，為分析法。

中考數(shù)學(xué)函數(shù)的知識點總結(jié)

一次函數(shù)

一、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)b=0時、y是x的正比例函數(shù)o

即：y=kx(k為常數(shù)，k#0)

二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))

2.當(dāng)x=0時,b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

1.作法與圖形：通過如下3個步驟(1)列表；(2)描點；(3)連線，

可以作出一次函數(shù)的圖像是一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需

知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式：

y=kx+bo(2)—■次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0,b),與x軸總是交

于(-b/k,0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。

3.k,b與函數(shù)圖像所在象限：

當(dāng)k>0時-，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k<0時;直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當(dāng)b>0時，直線必通過一、二象限；

當(dāng)b=0時、直線通過原點

當(dāng)b<0時,直線必通過三、四象限。

特別地，當(dāng)b=O時，直線通過原點0(0,0)表示的是正比例函

數(shù)的圖像。

這時，當(dāng)k>0時、直線只通過一、三象限；當(dāng)k<0時-，直線只

通過二、四象限。

四、確定一次函數(shù)的表達式：

已知點A(x1,y1)；B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函數(shù)的

表達式。

(1)設(shè)一次函數(shù)的表達式(也叫解析式)為y=kx+bo

(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點P(x,y),都滿足等式y(tǒng)=kx+b。

所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個二元一次方程，得到k,b的值。

(4)最后得到一次函數(shù)的表達式。

五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

1.當(dāng)時間t一定，距離S是速度V的一次函數(shù)。S=vto

2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函

數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-fto

六、常用公式：(不全，希望有人補充)

1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長：嶺1以2)人2+(丫1》2)人2(注：根號下(x1-x2)

與(y1-y2)的平方和)

二次函數(shù)

I.定義與定義表達式

一般地，自變量X和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=axA2+bx+c

(a,b,c為常數(shù)，a#0,且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開

口方向向上，a<0時,開口方向向下，lai還可以決定開口大小，lai

越大開口就越小，lai越小開口就越大.)

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

II.二次函數(shù)的三種表達式

一般式：y=axA2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，aRO)

頂點式：y=a(x-h『2+k［拋物線的頂點P(h,k)］

交點式:y=a(x-x?)(x-x?)［僅限于與x軸有交點A(x?,0)

和B(x7,0)的拋物線］

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：

h=-b/2ak=(4ac-bA2)/4ax?,x?=(-b±^bA2-4ac)/2a

III.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x”的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x=-b/2ao

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點Po

特別地，當(dāng)b=0時-，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為

P（-b/2a,（4ac-bA2）/4a）

當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)△=bA2-4ac=0時-，P在x軸上。

3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口。

間越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項c決定拋物線與v軸交點。

拋物線與y軸交于（0,c）

6.拋物線與x軸交點個數(shù)

△=bA2-4ac>00J-,拋物線與x軸有2個交點。

△=bA2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

△=bA2-4ac<00J-,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)（x=

-b±^bA2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a）

V.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=axA2+bx+c,

當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即axA2+bx+c=0

此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

函數(shù)與X軸交點的橫坐標(biāo)即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=axA2,y=a(x-h)A2,y=a(x-h)A2+k,y=axA2+bx+c(各

式中，aM)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標(biāo)及對稱

軸如下表：

解析式頂點坐標(biāo)對稱軸

y=axA2(0,0)x=0

y=a(x-h)A2(h,0)x=h

y=a(x-h)A2+k(h,k)x=h

y=axA2+bx+c(-b/2a,[4ac-bA2]/4a)x=-b/2a

當(dāng)h>0時，y=a(x-h『2的圖象可由拋物線y=axA2向右平行移動

h個單位得到，

當(dāng)h<0時?，則向左平行移動|h|個單位得到.

當(dāng)h>0,k>0時、將拋物線y=axA2向右平行移動h個單位，再

向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；

當(dāng)h>0,k<0時?，將拋物線y=axA2向右平行移動h個單位，再

向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；

當(dāng)h<0,k>0時-，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動

k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；

當(dāng)h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動

|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)A2+k的圖象；

因此，研究拋物線y=axA2+bx+c(aR0)的圖象，通過配方，將一

般式化為y=a(x-h『2+k的形式，可確定其頂點坐標(biāo)、對稱軸，拋物

線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=axA2+bx+c(aW0)的圖象：當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)

a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標(biāo)是(-b/2a,

[4ac-bA2]/4a).

y=axA2+bx+c(a#0),若a>0,當(dāng)xw-b/2a時，y隨x

的增大而減??；當(dāng)x2-b/2a時?，y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)xw

-b/2a時-，y隨x的增大而增大；當(dāng)x2-b/2a時，y隨x的增大而減

小.

4.拋物線y=axA2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0,c)；

(2)^A=bA2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x?,0)和B(x?,

0),其中的x1,x2是一元二次方程axA2+bx+c=

(aWO)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|

當(dāng)△=().圖象與x軸只有一個交點；

當(dāng)△<().圖象與x軸沒有交點.當(dāng)a>0時、圖象落在x軸的上方，

x為任何實數(shù)時，都有y>0；當(dāng)a<0時，圖象落在x軸的下方，x為

任何實數(shù)時，都有y<0.

5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當(dāng)x=-b/2a

時，y最小(大)值=(4ac-bA2)/4a.

頂點的橫坐標(biāo)，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標(biāo)，是最

值的取值.

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知X、y的三對對

應(yīng)值時，可設(shè)解析式為一般形式：

y=axA2+bx+c(a#0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式

為頂點式：y=a(x-h)A2+k(a#0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)時，可設(shè)解析

式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(aRO).

7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的

綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考

題，往往以大題形式出現(xiàn).

反比例函數(shù)

形如y=k/x(k為常數(shù)且kRO)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。

反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：

反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點對稱。

另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上