小學(xué)三年級(jí)奧數(shù)講義定義新運(yùn)算

定義新運(yùn)算一、知識(shí)要點(diǎn)定義新運(yùn)算是指運(yùn)用某種特殊符號(hào)來(lái)表示特定的意義，從而解答某些算式的一種運(yùn)算。解答定義新運(yùn)算，關(guān)鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算程序，將數(shù)值代入，轉(zhuǎn)化為常規(guī)的四那么運(yùn)算算式進(jìn)行計(jì)算。定義新運(yùn)算是一種人為的、臨時(shí)性的運(yùn)算形式，它使用的是一些特殊的運(yùn)算符號(hào)，如：*、△、⊙等，這是與四那么運(yùn)算中的“＋、－、×、÷〞不同的。新定義的算式中有括號(hào)的，要先算括號(hào)里面的。但它在沒(méi)有轉(zhuǎn)化前，是不適合于各種運(yùn)算定律的。二、精講精練【例題1】假設(shè)a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*〔5*4〕。13*5=〔13+5〕+〔13-5〕=18+8=265*4=〔5+4〕13*5=〔13+5〕+〔13-5〕=18+8=265*4=〔5+4〕+〔5-4〕=1013*〔5*4〕=13*10=〔13+10〕+〔13-10〕=26練習(xí)1：1.將新運(yùn)算“*〞定義為：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。2.設(shè)a*b=a2+2b，那么求10*6和5*〔2*8〕。3△(4△6)＝3△【4×6－〔4+6〕÷2】＝3△19＝4×19－〔3+193△(4△6)＝3△【4×6－〔4+6〕÷2】＝3△19＝4×19－〔3+19〕÷2＝76－11＝65【例題2】設(shè)p、q是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)?！舅悸穼?dǎo)航】根據(jù)定義先算4△6。在這里“△〞是新的運(yùn)算符號(hào)。練習(xí)2：1．設(shè)p、q是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定p△q＝4×q－〔p+q〕÷2，求5△〔6△4〕。2．設(shè)p、q是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定p△q＝p2+〔p－q〕×2。求30△〔5△3〕。3．設(shè)M、N是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4?！纠}3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________?！舅悸穼?dǎo)航】經(jīng)過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)此題的新運(yùn)算“*〞被定義為。因此7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=2104207*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420練習(xí)3：1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。2．規(guī)定，那么8*5=________。3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么〔6*3〕÷〔2*6〕=________。A=〔1/⑥－1/⑦A=〔1/⑥－1/⑦〕÷1/⑦=〔1/⑥－1/⑦〕×⑦=⑦/⑥－1=〔6×7×8〕/〔5×6×7〕－1=1又3/5－1=3/5【思路導(dǎo)航】這題的新運(yùn)算被定義為：@=〔a－1〕×a×〔a＋1〕，據(jù)此，可以求出1/⑥－1/⑦=1/〔5×6×7〕－1/〔6×7×8〕，這里的分母都比擬大，不易直接求出結(jié)果。根據(jù)1/⑥－1/⑦=1/⑦×A，可得出A=(1/⑥－1/⑦)÷1/⑦=〔1/⑥－1/⑦〕×⑦=⑦/⑥－1。即練習(xí)4：1．規(guī)定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么A=________。2．規(guī)定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝________。4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16＝12x－3212x－32=3412x=66x＝5.5【例題5】4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16＝12x－3212x－32=3412x=66x＝5.5【思路導(dǎo)航】先求出小括號(hào)中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根據(jù)x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16=12x－32，然后解方程12x－32=34，求出x的值。列算式為練習(xí)5：1．設(shè)a⊙b=3a－2b，x⊙〔4⊙1〕＝7求x。2．對(duì)兩個(gè)整數(shù)a和b定義新運(yùn)算“△〞：a△b=，求6△4+9△8。3．對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)x和y定于新運(yùn)算，“*〞：x*y＝〔其中m是一個(gè)確定的整數(shù)〕。如果1*2＝1，那么3*12＝________。簡(jiǎn)便運(yùn)算一、知識(shí)要點(diǎn)前面我們介紹了運(yùn)用定律和性質(zhì)以及數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行巧算和簡(jiǎn)算的一些方法，下面再向同學(xué)們介紹怎樣用拆分法〔也叫裂項(xiàng)法、拆項(xiàng)法〕進(jìn)行分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算。運(yùn)用拆分法解題主要是使拆開(kāi)后的一些分?jǐn)?shù)互相抵消，到達(dá)簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。一般地，形如EQ\F(1,a×(a+1))的分?jǐn)?shù)可以拆成EQ\F(1,a)－EQ\F(1,a+1)；形如EQ\F(1,a×〔a+n〕)的分?jǐn)?shù)可以拆成EQ\F(1,n)×〔EQ\F(1,a)－EQ\F(1,a+n)〕，形如EQ\F(a+b,a×b)的分?jǐn)?shù)可以拆成EQ\F(1,a)+EQ\F(1,b)等等。同學(xué)們可以結(jié)合例題思考其中的規(guī)律。二、精講精練【例題1】計(jì)算：EQ\F(1,1×2)+EQ\F(1,2×3)+EQ\F(1,3×4)+…..+EQ\F(1,99×100)原式＝〔1－EQ\F(1,2)〕+〔EQ\F(1,2)－EQ\F(1,3)〕+〔EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)〕+…..+〔EQ\F(1,99)－EQ\F(1,100)〕＝1－EQ\F(1,2)+EQ\F(1,2)－EQ\F(1,3)+EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+…..+EQ\F(1,99)－EQ\F(1,100)＝1－EQ\F(1,100)＝EQ\F(99,100)練習(xí)1計(jì)算下面各題：1.EQ\F(1,4×5)+EQ\F(1,5×6)+EQ\F(1,6×7)+…..+EQ\F(1,39×40)2.EQ\F(1,10×11)+EQ\F(1,11×12)+EQ\F(1,12×13)+EQ\F(1,13×14)+EQ\F(1,14×15)3.EQ\F(1,2)+EQ\F(1,6)+EQ\F(1,12)+EQ\F(1,20)+EQ\F(1,30)+EQ\F(1,42)4.1－EQ\F(1,6)+EQ\F(1,42)+EQ\F(1,56)+EQ\F(1,72)【例題2】計(jì)算：EQ\F(1,2×4)+EQ\F(1,4×6)+EQ\F(1,6×8)+…..+EQ\F(1,48×50)原式＝〔EQ\F(2,2×4)+EQ\F(2,4×6)+EQ\F(2,6×8)+…..+EQ\F(2,48×50)〕×EQ\F(1,2)＝【〔EQ\F(1,2)－EQ\F(1,4)〕+〔EQ\F(1,4)－EQ\F(1,6)〕+〔EQ\F(1,6)－EQ\F(1,8)〕…..+〔EQ\F(1,48)－EQ\F(1,50)〕】×EQ\F(1,2)＝【EQ\F(1,2)－EQ\F(1,50)】×EQ\F(1,2)＝EQ\F(6,25)練習(xí)2計(jì)算下面各題：EQ\F(1,3×5)+EQ\F(1,5×7)+EQ\F(1,7×9)+…..+EQ\F(1,97×99)2.EQ\F(1,1×4)+EQ\F(1,4×7)+EQ\F(1,7×10)+…..+EQ\F(1,97×100)3.EQ\F(1,1×5)+EQ\F(1,5×9)+EQ\F(1,9×13)+…..+EQ\F(1,33×37)4.EQ\F(1,4)+EQ\F(1,28)+EQ\F(1,70)+EQ\F(1,130)+EQ\F(1,208)【例題3】計(jì)算：1EQ\F(1,3)－EQ\F(7,12)+EQ\F(9,20)－EQ\F(11,30)+EQ\F(13,42)－EQ\F(15,56)原式＝1EQ\F(1,3)－〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕+〔EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕－〔EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕+〔EQ\F(1,6)+EQ\F(1,7)〕－〔EQ\F(1,7)+EQ\F(1,8)〕＝1EQ\F(1,3)－EQ\F(1,3)－EQ\F(1,4)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)－EQ\F(1,5)－EQ\F(1,6)+EQ\F(1,6)+EQ\F(1,7)－EQ\F(1,7)－EQ\F(1,8)＝1－EQ\F(1,8)＝EQ\F(7,8)練習(xí)3計(jì)算下面各題：1.1EQ\F(1,2)+EQ\F(5,6)－EQ\F(7,12)+EQ\F(9,20)－EQ\F(11,30)2.1EQ\F(1,4)－EQ\F(9,20)+EQ\F(11,30)－EQ\F(13,42)+EQ\F(15,56)3.EQ\F(1998,1×2)+EQ\F(1998,2×3)+EQ\F(1998,3×4)+EQ\F(1998,4×5)+EQ\F(1998,5×6)4.6×EQ\F(7,12)－EQ\F(9,20)×6+EQ\F(11,30)×6【例題4】計(jì)算：EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)+EQ\F(1,64)原式＝〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+EQ\F(1,16)+EQ\F(1,32)+EQ\F(1,64)+EQ\F(1,64)〕－EQ\F(1,64)＝1－EQ\F(1,64)＝EQ\F(63,64)練習(xí)4計(jì)算下面各題：1.EQ\F(1,2)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,8)+………+EQ\F(1,256)2.EQ\F(2,3)+EQ\F(2,9)+EQ\F(2,27)+EQ\F(2,81)+EQ\F(2,243)3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6【例題5】計(jì)算：〔1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕×〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕－〔1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕×〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)〕設(shè)1+EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)＝aEQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)＝b原式＝a×〔b+EQ\F(1,5)〕－〔a+EQ\F(1,5)〕×b＝ab+EQ\F(1,5)a－ab－EQ\F(1,5)b＝EQ\F(1,5)〔a－b〕＝EQ\F(1,5)練習(xí)51.〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕×〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕－〔EQ\F(1,2)+EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)+EQ\F(1,6)〕×〔EQ\F(1,3)+EQ\F(1,4)+EQ\F(1,5)〕2.〔EQ\F(1,8)+EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)〕×〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)+EQ\F(1,12)〕－〔EQ\F(1,8)+EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)+EQ\F(1,12)〕×〔EQ\F(1,9)+EQ\F(1,10)+EQ\F(1,11)〕〔1+EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)〕×〔EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)+EQ\F(1,2002)〕－〔1+EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)+EQ\F(1,2002)〕×〔EQ\F(1,1999)+EQ\F(1,2000)+EQ\F(1,2001)〕設(shè)數(shù)法解題一、知識(shí)要點(diǎn)在小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常常會(huì)遇到一些看起來(lái)缺少條件的題目，按常規(guī)解法似乎無(wú)解，但仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，題目中缺少的條件對(duì)于答案并無(wú)影響，這時(shí)就可以采用“設(shè)數(shù)代入法〞，即對(duì)題目中“缺少〞的條件，隨便假設(shè)一個(gè)數(shù)代入〔當(dāng)然假設(shè)的這個(gè)數(shù)要盡量的方便計(jì)算〕，然后求出解答。二、精講精練【例題1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝〔〕個(gè)△。解：由第一個(gè)等式可以設(shè)△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左邊是12，所以右邊括號(hào)內(nèi)應(yīng)填4。說(shuō)明：此題如果不用設(shè)數(shù)代入法，直接用圖形互相代換，顯然要多費(fèi)周折。練習(xí)1：1．△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，問(wèn)△□☆＝〔〕個(gè)○。2．五個(gè)人比擬身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲與戊誰(shuí)高，高幾厘米？3．甲、乙、丙三個(gè)倉(cāng)庫(kù)原有同樣多的貨，從甲倉(cāng)庫(kù)運(yùn)60噸到乙倉(cāng)庫(kù)，從乙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)45噸到丙倉(cāng)庫(kù)，從丙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)55噸到甲倉(cāng)庫(kù)，這時(shí)三個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨哪個(gè)最多？哪個(gè)最少？最多的比最少的多多少?lài)?？【例題2】足球門(mén)票15元一張，降價(jià)后觀眾增加一倍，收入增加1/5，問(wèn)一張門(mén)票降價(jià)多少元？【思路導(dǎo)航】初看似乎缺少觀眾人數(shù)這個(gè)條件，實(shí)際上觀眾人數(shù)于答案無(wú)關(guān)，我們可以隨便假設(shè)一個(gè)觀眾數(shù)。為了方便，假設(shè)原來(lái)只有一個(gè)觀眾，收入為15元，那么降價(jià)后有兩個(gè)觀眾，收入為15×〔1+1/5〕＝18元，那么降價(jià)后每張票價(jià)為18÷2＝9元，每張票降價(jià)15－9＝6元。即：15－15×〔1+1/5〕÷2＝6〔元〕答：每張票降價(jià)6元。說(shuō)明：如果設(shè)原來(lái)有a名觀眾，那么每張票降價(jià)：15－15a×〔1+1/5〕÷2a＝6〔元〕練習(xí)2：1．某班一次考試，平均分為70分，其中3/4及格，及格的同學(xué)平均分為80分，那么不及格的同學(xué)平均分是多少分？2．游泳池里參加游泳的學(xué)生中，小學(xué)生占30％，又來(lái)了一批學(xué)生后，學(xué)生總數(shù)增加了20％，小學(xué)生占學(xué)生總數(shù)的40％，小學(xué)生增加百分之幾？3．五年級(jí)三個(gè)班的人數(shù)相等。一班的男生人數(shù)和二班的女生人數(shù)相等，三班的男生是全部男生的2/5，全部女生人數(shù)占全年級(jí)人數(shù)的幾分之幾？【例題3】小王在一個(gè)小山坡來(lái)回運(yùn)動(dòng)。先從山下跑上山，每分鐘跑200米，再?gòu)脑废律?，每分鐘?40米，又從原路上山，每分鐘跑150米，再?gòu)脑废律?，每分鐘?00米，求小王的平均速度?！舅悸穼?dǎo)航】題中四個(gè)速度的最小公倍數(shù)是1200，設(shè)一個(gè)單程是1200米。那么〔1〕四個(gè)單程的和：1200×4＝4800〔米〕〔2〕四個(gè)單程的時(shí)間分別是；1200÷200＝6〔分〕1200÷240＝5〔分〕1200÷150＝8〔分〕1200÷200＝6〔分〕〔3〕小王的平均速度為：4800÷〔6+5+8+6〕＝192〔米〕答：小王的平均速度是每分鐘192米。練習(xí)3：1．小華上山的速度是每小時(shí)3千米，下山的速度是每小時(shí)6千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。2．張師傅騎自行車(chē)往返A(chǔ)、B兩地。去時(shí)每小時(shí)行15千米，返回時(shí)因逆風(fēng)，每小時(shí)只行10千米，張師傅往返途中的平均速度是每小時(shí)多少千米？3．小王騎摩托車(chē)往返A(chǔ)、B兩地。平均速度為每小時(shí)48千米，如果他去時(shí)每小時(shí)行42千米，那么他返回時(shí)的平均速度是每小時(shí)行多少千米？【例題4】某幼兒園中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5，女孩平均身高比男孩高10％，這個(gè)班男孩平均身高是多少？【思路導(dǎo)航】題中沒(méi)有男、女孩的人數(shù)，我們可以假設(shè)女孩有5人，那么男孩有6人?！?〕總身高：115×【5+5×〔1+1/5〕】＝1265〔厘米〕〔2〕由于女孩平均身高是男孩的〔1+10％〕，所以5個(gè)女孩的身高相當(dāng)于5×〔1+10％〕＝5.5個(gè)男孩的身高，因此男孩的平均身高為：1265÷【〔1+10％〕×5+6】＝110〔厘米〕答：這個(gè)班男孩平均身高是110厘米。練習(xí)4：1．某班男生人數(shù)是女生的2/3，男生平均身高為138厘米，全班平均身高為132厘米。問(wèn)：女生平均身高是多少厘米？2．某班男生人數(shù)是女生的4/5，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？3．一個(gè)長(zhǎng)方形每邊增加10％，那么它的周長(zhǎng)增加百分之幾？它的面積增加百分之幾？【例題5】狗跑5步的時(shí)間馬跑3步，馬跑4步的距離狗跑7步，現(xiàn)在狗已跑出30米，馬開(kāi)始追它。問(wèn)狗再跑多遠(yuǎn)，馬可以追到它？【思路導(dǎo)航】馬跑一步的距離不知道，跑3步的時(shí)間也不知道，可取具體數(shù)值，并不影響解題結(jié)果。設(shè)馬跑一步為7，那么狗跑一步為4，再設(shè)馬跑3步的時(shí)間為1，那么狗跑5步的時(shí)間為1，推知狗的速度為20，馬的速度為21。那么，20×【30÷〔21－20〕】＝600〔米〕練習(xí)5：1．獵狗前面26步遠(yuǎn)的地方有一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時(shí)間狗只跑5步，但兔跑9步的距離僅等于狗跑4步的距離。問(wèn)兔跑幾步后，被狗抓獲？2．獵人帶獵狗去捕獵，發(fā)現(xiàn)兔子剛跑出40米，獵狗去追兔子。獵狗跑2步的時(shí)間兔子跑3步，獵狗跑4步的距離與兔子跑7步的距離相等，求兔再跑多遠(yuǎn)，獵狗可以追到它？3．狗和兔同時(shí)從A地跑向B地，狗跑3步的距離等于兔跑5步的距離，而狗跑2步的時(shí)間等于兔跑3步的時(shí)間，狗跑600步到達(dá)B地，這時(shí)兔還要跑多少步才能到達(dá)B地？假設(shè)法解題一、知識(shí)要點(diǎn)假設(shè)法解體的思考方法是先通過(guò)假設(shè)來(lái)改變題目的條件，然后再和條件配合推算。有些題目用假設(shè)法思考，能找到巧妙的解答思路。運(yùn)用假設(shè)法時(shí)，可以假設(shè)數(shù)量增加或減少，從而與條件產(chǎn)生聯(lián)系；也可以假設(shè)某個(gè)量的分率與另一個(gè)量的分率一樣，再根據(jù)乘法分配律求出這個(gè)分率對(duì)應(yīng)的和，最后依據(jù)它與實(shí)際條件的矛盾求解。二、精講精練【例題1】甲、乙兩數(shù)之和是185，甲數(shù)的1/4與乙數(shù)的1/5的和是42，求兩數(shù)各是多少？【思路導(dǎo)航】假設(shè)將題中“甲數(shù)的1/4〞、“乙數(shù)的1/5〞與“和為42〞同時(shí)擴(kuò)大4倍，那么變成了“甲數(shù)與乙數(shù)的4/5的和為168〞，再用185減去168就是乙數(shù)的1/5。解：乙：〔185－42×4〕÷〔1－1/5×4〕＝85答：甲數(shù)是100，乙數(shù)是85。練習(xí)1：1．甲、乙兩人共有錢(qián)150元，甲的1/2與乙的1/10的錢(qián)數(shù)和是35元，求甲、乙兩人各有多少元錢(qián)？2．甲、乙兩個(gè)消防隊(duì)共有338人。抽調(diào)甲隊(duì)人數(shù)的1/7，乙隊(duì)人數(shù)的1/3，共抽調(diào)78人，甲、乙兩個(gè)消防隊(duì)原來(lái)各有多少人？3．海洋化肥廠方案第二季度生產(chǎn)一批化肥，四月份完成總數(shù)的1/3多50噸，五月份完成總數(shù)的2/5少70噸，還有420噸沒(méi)完成，第二季度原方案生產(chǎn)多少?lài)?？【例題2】彩色電視機(jī)和黑白電視機(jī)共250臺(tái)。如果彩色電視機(jī)賣(mài)出1/9，那么比黑白電視機(jī)多5臺(tái)。問(wèn)：兩種電視機(jī)原來(lái)各有多少臺(tái)？【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出：假設(shè)黑白電視機(jī)增加5臺(tái)，就和彩色電視機(jī)賣(mài)出1/9后剩下的一樣多。黑白電視機(jī)增加5臺(tái)后，相當(dāng)于彩色電視機(jī)的〔1－1/9〕＝8/9?！?50+5〕÷〔1+1－1/9〕＝135〔臺(tái)〕250－125＝115〔臺(tái)〕答：彩色電視機(jī)原有135臺(tái)，黑白電視機(jī)原有115臺(tái)。練習(xí)2：1．姐妹倆養(yǎng)兔120只，如果姐姐賣(mài)掉1/7，還比妹妹多10只，姐姐和妹妹各養(yǎng)了多少只兔？2．學(xué)校有籃球和足球共21個(gè)，籃球借出1/3后，比足球少1個(gè)，原來(lái)籃球和足球各有多少個(gè)？3．小明甲養(yǎng)的雞和鴨共有100只，如果將雞賣(mài)掉1/20，還比鴨多17只，小明家原來(lái)養(yǎng)的雞和鴨各有多少只？【例題3】師傅與徒弟兩人共加工零件105個(gè)，師傅加工零件個(gè)數(shù)的3/8與徒弟加工零件個(gè)數(shù)的4/7的和為49個(gè)，師、徒各加工零件多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】假設(shè)師、徒兩人都完成了4/7，一個(gè)能完成〔105×4/7〕＝60個(gè)，和實(shí)際相差〔60－49〕＝11個(gè)，這11個(gè)就是師傅完成將零件的3/8與完成加工零件的4/7相差的個(gè)數(shù)。這樣就可以求出師傅加工了【11÷〔4/7－3/8〕】＝56個(gè)。即：師傅：〔105×4/7－49〕÷〔4/7－3/8〕＝56〔個(gè)〕徒弟：105－56＝49〔個(gè)〕答：師傅加工了56個(gè)，徒弟加工了49個(gè)。練習(xí)3：1．某商店有彩色電視機(jī)和黑白電視機(jī)共136臺(tái)，賣(mài)出彩色電視機(jī)的2/5和黑白電視機(jī)的3/7，共賣(mài)出57臺(tái)。問(wèn)：原來(lái)彩色電視機(jī)和黑白電視機(jī)各有多少臺(tái)？2．甲、乙兩個(gè)消防隊(duì)共有336人，抽調(diào)甲隊(duì)人數(shù)的5/7、乙隊(duì)人數(shù)的3/7，共抽調(diào)188人參加滅火。問(wèn)：甲、乙兩個(gè)消防隊(duì)原來(lái)各有多少人？3．學(xué)校買(mǎi)來(lái)足球和排球共64個(gè)，從中借出排球個(gè)數(shù)的1/4和足球個(gè)數(shù)的1/3后，還剩下46個(gè)，買(mǎi)來(lái)排球和足球各是多少個(gè)？【例題4】甲、乙兩數(shù)的和是300，甲數(shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55，甲、乙兩數(shù)各是多少？【思路導(dǎo)航】甲數(shù)的2/5與乙數(shù)的2/5的和就是甲、乙兩數(shù)的2/5，是300×2/5＝120，因?yàn)榧讛?shù)的2/5比乙數(shù)的1/4多55，所以從120中減去55所得的差就可以看成是乙數(shù)的1/4與乙數(shù)的2/5的和。乙：〔300×2/5－55〕÷〔2/5+1/4〕＝100甲：300－100＝200答：甲數(shù)是200，乙數(shù)是100。練習(xí)4：1．畜牧場(chǎng)有綿羊、山羊共800只，山羊的2/5比綿羊的1/2多50只，這個(gè)畜牧場(chǎng)有山羊、綿羊各多少只？2．師傅和徒弟共加工零件840個(gè)，師傅加工零件的個(gè)數(shù)的5/8比徒弟加工零件個(gè)數(shù)的2/3多60個(gè)，師傅和徒弟各加工零件多少個(gè)？3．某校六年級(jí)甲、乙兩個(gè)班共種100棵樹(shù)，乙班種的1/10比甲班種的1/3少16棵，兩個(gè)班各種多少棵？【例題5】育紅小學(xué)上學(xué)期共有學(xué)生750人，本學(xué)期男學(xué)生增加1/6，女學(xué)生減少1/5，共有710人，本學(xué)期男、女學(xué)生各有多少人？【思路導(dǎo)航】假設(shè)本學(xué)期女學(xué)生不是減少1/5，而是增加1/6，半學(xué)期應(yīng)該有750×〔1+1/6〕＝875人，比實(shí)際多875－710＝165人，這165人是假設(shè)女學(xué)生也增加1/6多出的人數(shù)，而實(shí)際女學(xué)生減少1/5，所以，這165人對(duì)應(yīng)著女學(xué)生的〔1/5+1/6〕＝11/30。上學(xué)期女生：【750×〔1+1/6〕－710】÷〔1/5+1/6〕＝450〔人〕本學(xué)期女生：450×〔1－1/5〕＝360〔人〕本學(xué)期男生：710－360＝350〔人〕答：本學(xué)期男學(xué)生有350人，女學(xué)生有360人。練習(xí)5：1．金放在水里稱(chēng)，重量減輕1/19，銀放在水里稱(chēng)，重量減少1/10，一塊重770克的金銀合金，放在水里稱(chēng)是720克，這塊合金含金、銀各多少克？2．某中學(xué)去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？3．袋子里原有紅球和黃球共119個(gè)。將紅球增加3/8，黃球減少2/5后，紅球與黃球的總數(shù)變?yōu)?21個(gè)。原來(lái)袋子里有紅球和黃球各多少個(gè)？第13講代數(shù)法解題一、知識(shí)要點(diǎn)有一些數(shù)量關(guān)系比擬復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，用算術(shù)方法解答比擬繁、難，甚至無(wú)法列式算式，這時(shí)我們可根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程解答。二、精講精練【例題1】某車(chē)間生產(chǎn)甲、乙兩種零件，生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多12個(gè)，乙種零件全部合格，甲種零件只有4/5合格，兩種零件合格的共有42個(gè)，兩種零件個(gè)生產(chǎn)了多少個(gè)？【思路導(dǎo)航】本體用算術(shù)方法解有一定難度，可以根據(jù)兩種零件合格的一共有42個(gè)，列方程求解。解：設(shè)生產(chǎn)乙種零件x個(gè)，那么生產(chǎn)甲種零件〔x+12〕個(gè)?！瞲+12〕×4/5+x＝42x＝1818+12＝30〔個(gè)〕答：甲種零件生產(chǎn)了30個(gè)，乙種零件生產(chǎn)了18個(gè)。練習(xí)1：1．某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生比男生多28人，男生全部得優(yōu)，女生的3/4得優(yōu)，男、女生得優(yōu)的一共有42人，男、女生參賽的各有多少人？2．有兩盒球，第一盒比第二盒多15個(gè)，第二盒中全部是紅球，第一盒中的2/5是紅球，紅球一共有69個(gè)，兩盒球共有多少個(gè)？3．六年級(jí)甲班比乙班少4人，甲班有1/3的人、乙班有1/4的人參加課外數(shù)學(xué)組，兩個(gè)班參加課外數(shù)學(xué)組的共有29人，甲、乙兩班共有多少人？【例題2】閱覽室看書(shū)的學(xué)生中，男生比女生多10人，后來(lái)男生減少1/4，女生減少1/6，剩下的男、女生人數(shù)相等，原來(lái)一共有多少名學(xué)生在閱覽室看書(shū)？【思路導(dǎo)航】根據(jù)剩下的男、女人數(shù)相等的題意來(lái)列方程求解。解：設(shè)女生有x人，那么男生有〔x+10〕人〔1－1/6〕x＝〔x+10〕×〔1－1/4〕x＝9090+90+10＝190人答：原來(lái)一共有190名學(xué)生在閱覽室看書(shū)。練習(xí)2：1．某小學(xué)去年參加無(wú)線電小組的同學(xué)比參加航模小組的同學(xué)多5人。今年參加無(wú)線電小組的同學(xué)減少1/5，參加航模小組的人數(shù)減少1/10，這樣，兩個(gè)組的同學(xué)一樣多。去年兩個(gè)小組各有多少人？2．原來(lái)甲、乙兩個(gè)書(shū)架上共有圖書(shū)900本，將甲書(shū)架上的書(shū)增加5/8，乙書(shū)架上的書(shū)增加3/10，這樣，兩個(gè)書(shū)架上的書(shū)就一樣多。原來(lái)甲、乙兩個(gè)書(shū)架各有圖書(shū)多少本？3．某車(chē)間昨天生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多700個(gè)。今天生產(chǎn)的甲種零件比昨天少1/10，生產(chǎn)的乙種零件比昨天增加3/20，兩種零件共生產(chǎn)了2065個(gè)。昨天兩種零件共生產(chǎn)了多少個(gè)？【例題3】甲、乙兩校共有22人參加競(jìng)賽，甲校參加人數(shù)的1/5比乙校參加人數(shù)的1/4少1人，甲、乙兩校各有多少人參加？【思路導(dǎo)航】這題中的等量關(guān)系是：甲×1/5＝乙×1/4－1解：設(shè)甲校有x人參加，那么乙校有〔22－x〕人參加。1/5x＝〔22－x〕×1/4－1x＝1022－10＝12〔人〕答：甲校有10人參加，乙校有12人參加。練習(xí)3：1．學(xué)校圖書(shū)館買(mǎi)來(lái)文藝書(shū)和連環(huán)畫(huà)共126本，文藝書(shū)的比連環(huán)畫(huà)的少7本，圖書(shū)館買(mǎi)來(lái)的文藝書(shū)和連環(huán)畫(huà)各是多少本？2．某小有學(xué)生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？3．王師傅和李師傅共加工零件62個(gè)，王師傅加工零件個(gè)數(shù)的比李師傅的少2個(gè)，兩人各加工了多少個(gè)？【例題4】甲書(shū)架上的書(shū)是乙書(shū)架上的5/6，兩個(gè)書(shū)架上各借出154本后，甲書(shū)架上的書(shū)是乙書(shū)架上的4/7，甲、乙兩書(shū)架上原有書(shū)各多少本？【思路導(dǎo)航】這道題的等量關(guān)系是；甲書(shū)架上剩下的書(shū)等于乙書(shū)架上剩下的4/7。解：設(shè)乙書(shū)架上原有x本，那么甲書(shū)架上原有5/6x本?！瞲－154〕×4/7＝5/6x－154x＝252252×5/6＝210〔本〕答：甲書(shū)架上原有210本，乙書(shū)架上原有252本。練習(xí)4：1．兒子今年的年齡是父親的1/6，4年后兒子的年齡是父親的1/4，父親今年多少歲？2．某校六年級(jí)男生是女生人數(shù)的2/3，后來(lái)轉(zhuǎn)進(jìn)2名男生，轉(zhuǎn)走3名女生，這時(shí)男生人數(shù)是女生的3/4。原來(lái)男、女生各有多少人？3．第一車(chē)間人數(shù)的3/5等于第二車(chē)間人數(shù)的9/10，第一車(chē)間比第二車(chē)間多50人。兩個(gè)車(chē)間各有多少人？【例題5】一個(gè)班女同學(xué)比男同學(xué)的2/3多4人，如果男生減少3人，女生增加4人，男、女生人數(shù)正好相等。這個(gè)班男、女生各有多少人？【思路導(dǎo)航】抓住“如果男生減少3人，女生增加4人，男、女生人數(shù)正好相等〞這個(gè)等量關(guān)系列方程。解：設(shè)男生有x人，那么女生有〔2/3x+4〕人。x－3＝2/3x+4+4x＝332/3×33+4＝26〔人〕答：這個(gè)班男生有33人，女生有26人。練習(xí)5：1．某學(xué)校的男教師比女教師的3/8多8人。如果女教師減少4人，男教師增加8人，男、女教師人數(shù)正好相等。這個(gè)學(xué)校男、女教師各有多少人？2．某無(wú)線電廠有兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)。第一倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存的電視機(jī)是第二倉(cāng)庫(kù)的3倍。如果從第一倉(cāng)庫(kù)取出30臺(tái)，存入第二倉(cāng)庫(kù)，那么第二倉(cāng)庫(kù)就是第一倉(cāng)庫(kù)的4/9。兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)原來(lái)各有電視機(jī)多少臺(tái)？3．某工廠第一車(chē)間的人數(shù)比第二車(chē)間的人數(shù)的4/5少30人。如果從第二車(chē)間調(diào)10人到第一車(chē)間，那么第一車(chē)間的人數(shù)就是第二車(chē)間的3/4。求原來(lái)每個(gè)車(chē)間的人數(shù)。面積計(jì)算〔一〕一、知識(shí)要點(diǎn)計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問(wèn)題乍一看，在條件與所求問(wèn)題之間找不到任何聯(lián)系，會(huì)使你感到無(wú)從下手。這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究條件，并加以深化，再運(yùn)用我們已有的根本幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通條件與所求問(wèn)題的小“橋〞，就會(huì)使你順利到達(dá)目的。有些平面圖形的面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過(guò)分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。二、精講精練【例題1】如圖，三角形ABC的面積為8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求陰影局部的面積?！舅悸穼?dǎo)航】陰影局部為兩個(gè)三角形，但三角形AEF的面積無(wú)法直接計(jì)算。由于AE=ED,連接DF，可知S△AEF=S△EDF〔等底等高〕，采用移補(bǔ)的方法，將所求陰影局部轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。因?yàn)锽D=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因?yàn)锳E＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。因此，S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6〔平方厘米〕，那么陰影局部的面積為1.6×2＝3.2〔平方厘米〕。練習(xí)1：1．如圖，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求陰影局部的面積。2．如下圖，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。求陰影局部的面積。3．如下圖，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面積。【例題2】?jī)蓷l對(duì)角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，如下圖，兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？【思路導(dǎo)航】S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；從S△ABD與S△ACD相等〔等底等高〕可知：S△ABO等于6，而△ABO與△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面積為6÷2＝3。因?yàn)镾△ABD與S△ACD等底等高所以S△ABO＝6因?yàn)镾△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。答：△AOD的面積是3。練習(xí)2：1．兩條對(duì)角線把梯形ABCD分割成四個(gè)三角形，〔如下圖〕，兩個(gè)三角形的面積，求另兩個(gè)三角形的面積是多少？2．AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面積〔如下圖〕。3．三角形AOB的面積為15平方厘米，線段OB的長(zhǎng)度為OD的3倍。求梯形ABCD的面積?！踩缦聢D〕?！纠}3】四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F兩點(diǎn)三等分，且四邊形AECF的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如下圖〕。【思路導(dǎo)航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍，三角形BCD的面積是三角形CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。15×3＝45〔平方厘米〕答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。練習(xí)3：1．四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F、G三點(diǎn)四等分，且四邊形AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如圖〕。2．四邊形ABCD的對(duì)角線被E、F、G三點(diǎn)四等分，且陰影局部面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積〔如下圖〕。3．如下圖，求陰影局部的面積〔ABCD為正方形〕?！纠}4】如下圖，BO＝2DO，陰影局部的面積是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面積是多少平方厘米？【思路導(dǎo)航】因?yàn)锽O＝