1.1 實數(shù)（實數(shù)的有關(guān)概念和運算）（題型精練）（原卷版）

第1講實數(shù)（實數(shù)的有關(guān)概念和運算）（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：實數(shù)的概念及分類題型二：實數(shù)的大小比較題型三：近似數(shù)和科學記數(shù)法題型四：平方根、算數(shù)平方根與立方根題型五：實數(shù)的運算題型六：非負數(shù)的性質(zhì)題型七：新定義題第四部分：中考真題感悟

第一部分：知識點精準記憶知識點一：有理數(shù)、無理數(shù)整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；無限不循環(huán)小數(shù)小數(shù)叫做無理數(shù)；有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．知識點二：實數(shù)的分類1、按實數(shù)的定義分類：2、按大小分類：知識點三：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)1、數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應的．2、相反數(shù)(1)只有符號不同的兩個數(shù),叫做互為相反數(shù),0的相反數(shù)是0.

(2)實數(shù),互為相反數(shù).3、絕對值(1)在數(shù)軸上,表示一個數(shù)的點到原點的距離就是這個數(shù)的絕對值.(2)一個正數(shù)的絕對值是它本身,一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0,即:絕對值具有非負性.

（3）幾何意義：表示在數(shù)軸上表示的點與原點的距離，離原點越遠的數(shù)的絕對值大.4、倒數(shù)（高頻考點）(1)乘積為1的兩個數(shù),叫做互為倒數(shù),實數(shù),互為倒數(shù).(2)非零實數(shù)()的倒數(shù)是；零沒有倒數(shù).特別地,倒數(shù)是它本身的數(shù)是.

知識點四：科學計數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點）1、科學記數(shù)法：把一個數(shù)表示成的形式(其中，為整數(shù))，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法．2、和的確定(1)的確定：是整數(shù)位數(shù)只有一位的數(shù)，即；(2)的確定：當原數(shù)的絕對值大于或等于10時，等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當原數(shù)的絕對值小于1時，是負整數(shù)，它的絕對值等于原數(shù)中左起第一位非零數(shù)字前零的個數(shù)(含小數(shù)點前的零)．3、近似數(shù)：一般地,一個近似數(shù)四舍五入到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到哪一位.

知識點五：實數(shù)的大小比較方法具體原理數(shù)軸比較法在數(shù)軸上，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大作差法設(shè)，是兩個任意實數(shù)，則①，②，③絕對值法①若，，且，則；②若，，且，則平方法①對任意正實數(shù)，，有；②對任意負實數(shù)，，有；做商法①任意正實數(shù)，②任意負實數(shù)，③任意實數(shù)，倒數(shù)法任意同號的數(shù)，知識點六：實數(shù)的運算1、常見的實數(shù)運算運算法則乘方，零次冪負整數(shù)指數(shù)冪（，為正整數(shù)），特別的：去絕對值符號-1的奇偶次冪2、實數(shù)的四則運算（高頻考點）(1)實數(shù)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).(2)實數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).(3)實數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘，都得0；②幾個不是0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積是負數(shù)，當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積是正數(shù)；③幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0.(4)實數(shù)除法法則：①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).0不能作除數(shù)；②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.(5)乘方的運算法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0.知識點七：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)項目平方根算術(shù)平方根立方根定義∵()，∴∵()，∴∵，∴性質(zhì)正數(shù)互為相反數(shù)(兩個)正數(shù)(一個)正數(shù)(一個)0000負數(shù)沒有沒有負數(shù)(一個)2.非負數(shù)的性質(zhì)(1)常見的非負數(shù)有()，，；(2)若幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)同時為0.例如：若，則有.第二部分：課前自我評估測試1．（2022·河南·鄭州市第四初級中學八年級階段練習）在下列各數(shù)0.515115111511115…（相鄰兩個5之間的1的個數(shù)依次增加1），0.010，3π，，，，1.414中，有理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022·山西實驗中學模擬預測）的相反數(shù)是（）A．2022 B． C． D．3．（2022·江蘇·無錫市港下中學八年級階段練習）比較大?。篲_______2．（填“”“”或“”）4．（2022·新疆·阿瓦提縣第二中學七年級階段練習）若，則_______．5．（2022·山東·膠州市第十中學七年級階段練習）在我國“一帶一路”戰(zhàn)略下，途徑城市和國家最多的一趟專列全程13000km，將13000用科學計數(shù)法表示應為___________.第三部分：典型例題剖析題型一：實數(shù)的概念及分類典型例題例題1．（2022·遼寧沈陽·八年級階段練習）下列說法：①無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)；②無限小數(shù)是無理數(shù)；③對于任意實數(shù)，都有；④兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)；⑤滿足的整數(shù)有4個．其中正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5例題2．（2022·山東臨沂·七年級期中）下列判斷中不正確的是（

）A．分數(shù)一定不是無理數(shù) B．無理數(shù)都能用數(shù)軸上的點來表示C． D．的絕對值為例題3．（2022·山東·樂陵市朱集鎮(zhèn)三間堂中學七年級階段練習）已知下列實數(shù)：①，②，③3.14，④，⑤0，⑥，⑦，⑧1.232232223…（每兩個“3”之間依次多一個“2”），⑨．其中整數(shù)有：_________________________；分數(shù)有：_________________________；有理數(shù)有：_________________________；非負有理數(shù)有：_________________________；（只需填寫序號）．例題4．（2022·吉林四平·七年級期中）把下列各數(shù)分別填入相應集合內(nèi)：0，，3.14，，，，．同類題型歸類練1．（2022·河南·南陽市第十三中學校八年級階段練習）實數(shù)，0，，，，，，0.1010010001……（相鄰兩個1之間一次多一個0），其中無理數(shù)有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·全國·八年級課時練習）有下列說法：①任何有理數(shù)都是有限小數(shù)；②實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應；③在1和3之間的無理數(shù)有且只有，，，這4個；④0.1010010001是無理數(shù)，其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·江蘇·蘇州外國語學校七年級階段練習）把下列各數(shù)填入相應的集合里：，，，0，，整數(shù)集合：{

}負分數(shù)集合：{

}無理數(shù)集合：{

}題型二：實數(shù)的大小比較典型例題例題1．（2022·江蘇·無錫市查橋中學七年級階段練習）實數(shù)、、、在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，在這四個數(shù)中，絕對值最小的數(shù)（）A．a(chǎn) B．b C．c D．d例題2．（2022·遼寧葫蘆島·七年級階段練習）在，0，，中，最小的實數(shù)是(

)A． B．0 C． D．例題3．（2022·西藏聶榮縣教育體育局七年級期中）用“<”或“>”填空：（1）__________0.66667；（2）__________．例題4．（2022·江蘇南通·七年級階段練習）閱讀材料：小明對不等式的有關(guān)知識進行了自主學習，他發(fā)現(xiàn)，對于任意兩個實數(shù)和比較大小，有如下規(guī)律：若，則；若，則；若，則，上面的規(guī)律，反過來也成立．課上，通過老師和其他同學的交流，驗證了上面的規(guī)律是正確的．參考小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決問題：(1)比較大?。篲__________＋；（填“＜”，“=”或“>"）(2)已知，且，若，，試比較A和B的大小.同類題型歸類練1．（2022·江西·尋烏縣教育局教學研究室二模）1，，0，中最小的數(shù)是（

）A．1 B． C．0 D．2．（2022·全國·八年級課時練習）下列各數(shù)：，，0，，，其中比－3小的數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·湖南·八年級單元測試）若實數(shù)a的位置如圖所示，則a、、、，的大小關(guān)系是______（用＜號連接）4．（2022·山東省日照市實驗中學七年級階段練習）（1）先在給定的數(shù)軸上畫出下列各數(shù)所對應的點：，0，，，，（2）再將這些數(shù)按照從小到大的順序用“＜”號連接起來．（3）寫出這些數(shù)中有理數(shù)的和，并計算結(jié)果．題型三：近似數(shù)和科學記數(shù)法典型例題例題1．（2021·甘肅·金昌市第五中學九年級期中）美國約翰斯霍普斯金大學發(fā)布的實時統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，截止北京時間4月27日6時30分左右，全球累計確診新冠肺炎病例逾296萬例，用科學計數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·海南·儋州川綿中學八年級階段練習）數(shù)據(jù)0.0028用科學計數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．例題3．（2020·河南·洛陽市第二十六中學七年級階段練習）把2.9953用四舍五入法保留3個有效數(shù)字，其近似數(shù)是（）A．2.99 B．3.00 C．3.0 D．3例題4．（2022·安徽·阜南縣文勤學校七年級階段練習）用四舍五入法將5.95精確到0.1得到的近似數(shù)為（

）A．6.0 B．5.9 C．5.0 D．5.90同類題型歸類練1．（2022·湖北黃石·中考真題）據(jù)新華社2022年1月26日報道，2021年全年新增減稅降費約1.1萬億元，有力支持國民經(jīng)濟持續(xù)穩(wěn)定恢復用科學計數(shù)法表示1.1萬億元，可以表示為__________元．2．（2022·福建·廈門市松柏中學七年級期中）用四舍五入法對0.618取近似數(shù)（精確到0.01）是_________.題型四：平方根、算數(shù)平方根與立方根典型例題例題1．（2022·上海市羅南中學七年級階段練習）下列等式正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·山東·滕州市洪緒鎮(zhèn)洪緒中學八年級階段練習）的平方根是__________；的算術(shù)平方根是___________例題3．（2022·河北·石家莊市第四十四中學八年級期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第11行從左至右第4個數(shù)是（

）A． B． C． D．例題4．（2022·吉林大學附屬中學八年級階段練習）計算：(1)(2)同類題型歸類練1．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙夒A段練習）如果，則取值范圍為（）A． B． C． D．或2．（2022·全國·八年級單元測試）＝_____，＝_____．3．（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學七年級期末）計算________．4．（2022·陜西西安·八年級階段練習）計算：﹣．題型五：實數(shù)的運算典型例題例題1．（2022·河北·石家莊市第四十四中學八年級期中）計算（1）__________；（2）__________．例題2．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學八年級階段練習）計算：(1)；(2)．例題3．（2022·重慶文德中學校八年級階段練習）計算(1)(2)同類題型歸類練1．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城街道燈湖初級中學八年級階段練習）計算：2．（2022·上海外國語大學附屬雙語學校七年級期中）計算：3．（2022·福建·廈門市第九中學九年級階段練習）計算：(1)；(2)．題型六：非負數(shù)的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·黑龍江省二九一農(nóng)場中學七年級期末）已知，那么=___．例題2．（2022·湖北武漢·七年級階段練習）如果都是實數(shù)，且，則的相反數(shù)是_________．同類題型歸類練1．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)瀚文外國語學校八年級階段練習）若m，n滿足+＝0，則的算術(shù)平方根為_____．2．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星匯學校八年級階段練習）若m，n滿足等式+＝0．(1)求m，n的值；(2)求4m﹣3n的平方根．題型七：新定義題1．（2022·山西·大同市云州區(qū)初級示范中學校九年級階段練習）現(xiàn)有一張邊長為a的大正方形卡片和三張邊長為b的小正方形卡片如圖1，取出三張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內(nèi)拼成的圖案如圖2．再重新取兩張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內(nèi)拼成的圖案如圖3，用已知圖2中的陰影部分的面積比圖3中的陰影部分的面積大，則小正方形卡片的邊長是（

）A．1 B． C．2 D．42．（2022·遼寧沈陽·八年級階段練習）類比平方根和立方根，我們定義n次方根為：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整數(shù)．例如：因為，所以±3叫81的四次方根，記作：，因為，所以叫的五次方根，記作：，下列說法不正確的是（）A．負數(shù)a沒有偶數(shù)次方根B．任何實數(shù)a都有奇數(shù)次方根C．=aD．=a3．（2022·湖北十堰·九年級期中）小明設(shè)計了一個魔術(shù)盒，當任意實數(shù)對進入其中時，會得到一個新的實數(shù)．例如把放入其中，就會得到．現(xiàn)將實數(shù)對放入其中，得到實數(shù)，則________．4．（2022·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學七年級階段練習）如果是不為1的有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是，已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，則______．5．（2022·上?！ｎ}練習）對于自然數(shù)n，如果能找到自然數(shù)a和b，（均不為0）使得，那么n就稱為“好數(shù)”．如，所以3是“好數(shù)”．在1到100這100個自然數(shù)中，有多少個“好數(shù)”？第四部分：中考真題感悟1．（2022·四川·巴中市教育科學研究所中考真題）下列說法正確的是（

）A．是無理數(shù) B．明天巴中城區(qū)下雨是必然事件