提優(yōu)專題38 幾何模型問題之主從聯(lián)動(dòng)瓜豆原理（解析版）

專題38幾何模型問題之主從聯(lián)動(dòng)瓜豆原理（解析版）典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練類型一點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)典例1（2022?利州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．0.5 B．2.5 C．2 D．1思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在線段軌跡上運(yùn)動(dòng)將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EHG，連接BH，得到△EFB≌△EHG從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，延長(zhǎng)HM交CD于點(diǎn)N．則△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH為等邊三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，作CM⊥HN，由垂線段最短可知，CM即為CG的最小值，作EP⊥CM，連接BH，EH，則四邊形HEPM為矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP=12EC∴CM＝MP+CP＝1+3即CG的最小值為52方法二：以CE為邊作等邊三角形CEH，連接FH，則△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，當(dāng)FH⊥AB時(shí)，F(xiàn)H最小＝1+3故選：B．總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是極值問題中比較典型的類型．針對(duì)訓(xùn)練1．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝23，點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)A，C重合），將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，CD，則CD長(zhǎng)的最小值為．思路引領(lǐng)：以BC為邊構(gòu)建出和△BPD相似的三角形，通過將CD邊轉(zhuǎn)化為其他邊來(lái)求值．解：如圖所示，以BC為底邊向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，連接PQ．由題意可得△BQC和△BPD均為頂角為120°的等腰三角形，可得BQBC=BPBD=13∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，∴∠PBQ＝∠DBC，∴△PBQ∽△DBC，∴PQDC∴當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，有PQ最小，即此時(shí)CD最小，如圖所示，設(shè)OP′⊥AC，延長(zhǎng)AQ與BC交K，此時(shí)QP'為QP的最小值，可得AK⊥BC，∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，∴BK＝3，∠QBK＝30°，∴QK=BK∵tan∠ACB=23=AKKC，∴AK=23∴AQ＝AK﹣QK=53，AC=∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，∴△AQP'∽△ACK，∴AQAC∴53∴QP'=5∴CD=3總結(jié)提升：本題考查的是瓜豆原理的知識(shí)點(diǎn)，重難點(diǎn)在于構(gòu)造相似三角形的手拉手模型，屬于難題．2．（2021秋?忠縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，BC＝5，CD＝2，點(diǎn)E是邊AC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DF，連接BF，則BF的最小值為．思路引領(lǐng)：由“SAS”可證△DHE≌△DBF，可得EH＝BF，則當(dāng)EH有最小值時(shí)，BF有最小值，由垂線段最短可得：當(dāng)EH⊥AC時(shí)，EH有最小值，即可求解．解：如圖，以BD為邊作等邊三角形DBH，連接EH，過點(diǎn)H作HN⊥BD于N，∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3，∵△DHB是等邊三角形，HN⊥BD，∴DN＝BN=32，DB＝DH，∠HDB＝∴CN=7∵將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠HDB，∴∠EDH＝∠FDB，在△DHE和△DBF中，DE=DF∠EDH=∠FDB∴△DHE≌△DBF（SAS），∴EH＝BF，∴當(dāng)EH有最小值時(shí)，BF有最小值，由垂線段最短可得：當(dāng)EH⊥AC時(shí)，EH有最小值，此時(shí)，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，∴四邊形CNHE是矩形，∴HE＝CN=7故答案為：72總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?東臺(tái)市期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝6，∠DAC＝60°，點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是．思路引領(lǐng)：連接OE，利用SAS證明△ADF≌△ODE（SAS），得OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，則點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動(dòng)，且OE＝AF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，故點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程是AO，利用勾股定理求出AO的長(zhǎng)即可．解：連接OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝DO，∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴△DAO是等邊三角形，∴DA＝DO，∠ADO＝60°，∵△DFE是等邊三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠ADF＝∠ODE，又AD＝DO，DF＝DE，∴△ADF≌△ODE（SAS），∴OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，∴點(diǎn)E在射線OE上運(yùn)動(dòng)，且OE＝AF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程是AO，在Rt△ADB中，設(shè)AD＝x，則BD＝2x，∴（2x）2﹣x2＝62，解得x＝23（負(fù)值舍去），∴AD＝AO＝23，即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為23，故答案為：23．總結(jié)提升：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．類型二點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)典例2（2022?桐梓縣模擬）【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：如圖①，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（2，0）．動(dòng)點(diǎn)B在⊙O上，連接AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時(shí)針順序），求OC的最大值【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以O(shè)B為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE，連接AE．（1）請(qǐng)你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；（2）線段OC的最大值為．【靈活運(yùn)用】（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【遷移拓展】（4）如圖③，BC＝42，點(diǎn)D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊作等邊△ABD，請(qǐng)直接寫出AC的最值．思路引領(lǐng)：（1）結(jié)論：OC＝AE．只要證明△CBO≌△ABE即可；（2）利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題；（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為22+3；過P作PE⊥x軸于E（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC＝MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC＝42=定值，∠BDC＝90°，推出點(diǎn)D在以BC為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)D在BC上方，DM⊥BC時(shí)，DM解：（1）如圖①中，結(jié)論：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等邊三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE，∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴當(dāng)E、O、A共線，∴AE的最大值為3，∴OC的最大值為3．故答案為3．（3）如圖1，連接BM，∵將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，則△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴線段AM長(zhǎng)的最大值＝線段BN長(zhǎng)的最大值，∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值（如圖2中）最大值＝AB+AN，∵AN=2AP＝22∴最大值為22+3如圖2，過P作PE⊥x軸于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE=2∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3-2=2∴P（2-2，2（4）如圖4中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝42=定值，∠BDC＝90∴點(diǎn)D在以BC為直徑的半圓⊙O上運(yùn)動(dòng)，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)D在BC上方，DM⊥BC時(shí)，DM的值最大，最大值＝22+26∴AC的最大值為22+26綜上所述，當(dāng)點(diǎn)A在線段BD的右側(cè)時(shí)，以BC為邊作等邊△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠MBD＝∠CBA，且AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM（SAS），∴AC＝MD，∴欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，∵BC＝62=定值，∠BDC＝90∴點(diǎn)D在以BC為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)D在BC的上方，DM⊥BC時(shí)，DM的值最小，DM的最小值＝MO﹣OD=BM2-BO2-∴AC的最小值為26-22綜上所述，AC的最大值為26+22，AC的最小值為26-2總結(jié)提升：本題考查四邊形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓等知識(shí)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，掌握旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，屬于中考?jí)狠S題．針對(duì)訓(xùn)練1．（2022秋?天寧區(qū)校級(jí)期中）已知⊙O的半徑長(zhǎng)7cm，P為線段OA的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在⊙O上，則OA的長(zhǎng)是cm．思路引領(lǐng)：根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和中點(diǎn)定義進(jìn)行解答即可．解：根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，得OP＝7cm，再根據(jù)線段的中點(diǎn)的概念，得OA＝2OP＝14cm．故答案為：14．總結(jié)提升：本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)定義，熟知點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．（2021秋?嘉興期末）如圖，⊙O的直徑AB＝2，C為⊙O上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CB，將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連結(jié)OD，則OD的最大值為．思路引領(lǐng)：通過證明△DBO∽△CBE，可得OD=2CE，當(dāng)CE有最大值時(shí)，OD解：如圖，以O(shè)B為邊在AB的下方作等腰直角三角形OBE，連接CE，BD，∵將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，∴BC＝CD，∠DCB＝90°，∴∠DBC＝45°，BD=2BC∵△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB=2BE＝1∴BE＝OE=2∵∠DBC＝∠OBE，∴∠OBD＝∠CBE，又∵DBCB∴△DBO∽△CBE，∴ODCE∴OD=2CE∴當(dāng)CE有最大值時(shí)，OD有最大值，當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)O，點(diǎn)E三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最大值為1+2∴OD的最大值為2+1總結(jié)提升：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?秦淮區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，連接CP，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為．思路引領(lǐng)：由AB是直徑，得∠APB＝90°，取BC，AC的中點(diǎn)E和F，連接ME，MF，EF，由三角形中位線知ME⊥MF，即∠EMF＝90°，則點(diǎn)M在以EF為直徑的半圓上，即可得出答案．解：∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB=AC連接AP，BP，∵AB是直徑，∴∠APB＝90°，即AP⊥BP，取BC，AC的中點(diǎn)E和F，連接ME，MF，EF，在△BPC中，∵M(jìn)，E為PC、BC的中點(diǎn)，∴ME∥BP，ME=1在△APC中，∵點(diǎn)M、F為PC、AC的中點(diǎn)，∴MF∥AP，MF=1∴ME⊥MF，即∠EMF＝90°，∴點(diǎn)M在以EF為直徑的半圓上，∴EF=12AB＝∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為12×2π×5=5故答案為：5π．總結(jié)提升：本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，利用定角對(duì)定弦確定點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．4．（2018?江漢區(qū)模擬）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長(zhǎng)的最大值為．思路引領(lǐng)：如圖，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，則CO＝2CE，OE＝23，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，推出OPED=CPCD=2，即ED=12OP＝1（定長(zhǎng)），由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，推出點(diǎn)解：如圖，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，則CO＝2CE，OE＝23，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴COCE=∴△COP∽△CED，∴OPED=即ED=12OP＝∵點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，∴點(diǎn)D在半徑為1的⊙E上，∵OD≤OE+DE＝23+1∴OD的最大值為23+1故答案為23總結(jié)提升：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．5．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABM的面積等于△ABC面積的35，求此時(shí)點(diǎn)M（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD．求FD長(zhǎng)度的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）將點(diǎn)A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）設(shè)M（m，m2﹣6m+5），先求AB＝4，則S△ABC＝10，再由題意可得S△AMB＝6=12×4×（m2﹣6m+5），即可求M（2，﹣3）或M（4（3）將點(diǎn)B繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B'，連接AB'，PB，B'D，可證明△ADB'≌△APB'（SAS），則可得D在以B'為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，又由B'（1，﹣4），F(xiàn)（7，0），則B'F＝213，所以DF的最大值為61+2，DF的最小值為61-2，即可求213-2≤DF≤2解：（1）令x＝0，則y＝5，∴C（0，5），令y＝0，則x＝1，∴A（1，0），將點(diǎn)A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，得1+b+c=0c=5∴b=-6c=5∴y＝x2﹣6x+5；（2）設(shè)M（m，m2﹣6m+5），令y＝0，則x2﹣6x+5＝0，解得x＝5或x＝1，∴B（5，0），∴AB＝4，∴S△ABC=12×4×5∵△ABM的面積等于△ABC面積的35∴S△AMB＝6=12×4×（m2﹣6解得m＝2或m＝4，∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；（3）將點(diǎn)B繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B'，連接AB'，PB，B'D，∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，∴∠B'AD＝∠PAB，∵AB＝AB'，PA＝AD，∴△ADB'≌△APB'（SAS），∴BP＝B'D，∵PB＝2，∴B'D＝2，∴D在以B'為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵B（5，0），A（1，0），∴B'（1，﹣4），∵BF＝2，∴F（7，0），∴B'F＝213，∴DF的最大值為213+2，DF的最小值為213-∴213-2≤DF≤213+總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用瓜豆原理是解題的關(guān)鍵．第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2022?安徽一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5思路引領(lǐng)：由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)，將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG，∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，∴△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值，作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴PC=12則CM＝MP+CP＝HE+12EC＝2故選：D．總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是極值問題中比較典型的類型．2．（2021?泰安）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（）A．52 B．52 C．533思路引領(lǐng)：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出點(diǎn)Q在射線FE上運(yùn)動(dòng)，求出DH，可得結(jié)論．解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABF，作射線FQ交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DH⊥QE于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵△ABF，△APQ都是等邊三角形，∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，∴∠BAP＝∠FAQ，在△BAP和△FAQ中，BA=FA∠BAP=∠FAQ∴△BAP≌△FAQ（SAS），∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos30°=10∴點(diǎn)Q在射線FE上運(yùn)動(dòng)，∵AD＝BC＝53，∴DE＝AD﹣AE=5∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，∴DH＝DE?sin60°=5根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)Q與H重合時(shí)，DQ的值最小，最小值為52故選：A．總結(jié)提升：本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明點(diǎn)Q的在射線FE上運(yùn)動(dòng)，屬于中考選擇題中的壓軸題．3．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）如圖，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），點(diǎn)P是△ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC邊且運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6思路引領(lǐng)：根據(jù)△OPQ是等腰直角三角形，可知點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡形狀相同，且OP：OQ=2：1，得出面積比為2，求出△ABC解：∵△OPQ是等腰直角三角形，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡形狀相同，∵OP：OQ=2：1∴點(diǎn)P的軌跡圖形與點(diǎn)Q的軌跡圖形相似比為2：1，∵A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），∴AB＝3，BC＝4，∴S△ABC=12∴點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為12×6=故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確尋找點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)期末）如圖，線段AB＝2，點(diǎn)C為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB＝90°，將線段AC的中點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BQ，則線段BQ的最大值為．思路引領(lǐng)：證明△ADC∽△AEQ，求出QE=12，在Rt△ABE中求出BE解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥AB，使AE=12AD=12，連接∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=1∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，∴∠QAE＝∠CAD，∵AQAC=1∴△ADC∽△AEQ，∴QECD∴QE=1∵∠EAB＝90°，∴EB=AE當(dāng)點(diǎn)Q、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，BQ最大為12故答案為：1+17總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．5．（2022?邗江區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個(gè)定點(diǎn)，AN⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=-33x于點(diǎn)N，點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝30°，BA⊥PA，點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是思路引領(lǐng)：利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長(zhǎng)度，證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑即可．解：由題意得：OM＝2，點(diǎn)N在直線y=-33x上，AN⊥x軸于點(diǎn)則△OMN為頂角30°的直角三角形，ON=23×設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在O點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為B0，動(dòng)點(diǎn)P在N點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)B的位置為Bn，連接B0Bn，如圖1所示：∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAN＝∠B0ABn又∵AB0＝AO?tan30°，ABn＝AN?tan30°，∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan30°，∴△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°，∴B0Bn＝ON?tan30°=4現(xiàn)在來(lái)證明線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至ON上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為Bi，連接AP，ABi，B0Bi，如圖2所示：∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B0ABi，又∵AB0＝AO?tan30°，ABi＝AP?tan30°，∴AB0：AO＝ABi：AP，∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi＝∠AOP．又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn＝∠AOP，∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，∴點(diǎn)Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑，綜上所述，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑是線段B0Bn，長(zhǎng)度為43故答案為：43總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)圖象、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、軌跡等知識(shí)；確定點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．6．（2020春?江陰市期中）如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB．當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．思路引領(lǐng)：根據(jù)已知條件得到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡也為圓，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OP＝O'B＝2，即可求出路徑長(zhǎng)．解：如圖，連接AO、OP，將AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得線段AO'，連接O'B、OO'，∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，∴△OAO'為正三角形，∵△APB為正三角形，∴∠PAB＝60°，PA＝BA，∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，∴∠PAO＝∠BAO，在△APO與△ABO′中，AO=AO'∠PAO=∠BAO'∴△APO≌△ABO′，∴OP＝O'B＝2，∴⊙O'即為動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑，∴當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是4π，總結(jié)提升：此題考查了動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，關(guān)鍵在于確定從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查了旋轉(zhuǎn)、全等知識(shí)，“瓜豆原理”．7．（2019秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，⊙O的半徑為2，O到定點(diǎn)A的距離為5，點(diǎn)B在⊙O上，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，若B在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周．（1）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓；（2）△ABC始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫出PC長(zhǎng)的取值范圍．（1）思路引導(dǎo)要證點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)圓，只要證點(diǎn)P到定點(diǎn)M的距離等于定長(zhǎng)r，由圖中的定點(diǎn)、定長(zhǎng)可以發(fā)現(xiàn)M，r．思路引領(lǐng)：（1）連接OA、OB，取OA的中點(diǎn)H，連接HP，則HP是△ABO的中位線，得出HP=12OB＝1，即P點(diǎn)到H點(diǎn)的距離固定為（2）由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)分別求出PC的最小值和最大值即可．（1）解：連接OA、OB，取OA的中點(diǎn)H，連接HP，如圖1所示：則HP是△ABO的中位線，∴HP=12OB＝∴P點(diǎn)到H點(diǎn)的距離固定為1，∴B在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是以點(diǎn)H為圓心，半徑為1的一個(gè)圓；（2）解：連接AO并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)M、N，如圖2所示：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，∴PC⊥AB，PA＝PB=12AB=∴PC=3PA=3當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'=12AM∴PC=3當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P''位置，PC最長(zhǎng)，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''=12AN∴PC=7∴PC長(zhǎng)的取值范圍是332≤總結(jié)提升：本題考查了軌跡、三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角形中位線定理和等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．若AC＝4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP．（1）如圖1，取點(diǎn)B，使△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′．①點(diǎn)P'的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；②CP′的最小值是；（2）如圖2，以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)A、P、Q按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，求CQ的最大值．（3）如圖3，將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)M，連接PM，則CM的最小值為．思路引領(lǐng)：（1）①連接CP、BP'，證明△ABP'≌△ACP（SAS），得出BP'＝CP＝2，即點(diǎn)P'到點(diǎn)B的距離等于定長(zhǎng)，即可得出答案；②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC=2AC＝42，當(dāng)點(diǎn)P'在線段BC上時(shí)，得出CP'最小＝BC﹣BP'＝42-（2）以AC為邊長(zhǎng)作等邊△ACD，連接DQ，證明△ADQ≌△ACP（SAS），得出DQ＝CP＝2，當(dāng)C、D、Q三點(diǎn)共線時(shí)，CQ有最大值＝CD+DQ＝6；（3）M點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓O'，求出CO'和圓O'的半徑，即可解決問題．解：（1）①連接CP、BP'，如圖1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，∴∠PAC＝∠P'AB，在△ABP'和△ACP中，AP'=AP∠P'AB=∠PAC∴△ABP'≌△ACP（SAS），∴BP'＝CP＝2，即點(diǎn)P'到點(diǎn)B的距離等于定長(zhǎng)，∴點(diǎn)P'的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓；故答案為：圓；②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴BC=2AC＝42當(dāng)點(diǎn)P'在線段BC上時(shí)，CP'最?。紹C﹣BP'＝42-2故答案為：42-2（2）以AC為邊長(zhǎng)作等邊△ACD，連接DQ、CP，如圖2所示：∵△APQ和△ACD是等邊三角形，∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，∴∠DAQ＝∠CAP，在△ADQ和△ACP中，AD=AC∠DAQ=∠CAP∴△ADQ≌△ACP（SAS），∴DQ＝CP＝2，當(dāng)C、D、Q三點(diǎn)共線時(shí)，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；（3）如圖3所示：M點(diǎn)的軌跡是以MM'為直徑的一個(gè)圓O'，則PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，則CO'是梯形PMM'P'的中位線，∴CO'=12（2+6）＝連接MM'''，則∠MM'''M'＝90°，∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'=MM'''＝42，∴O'M''＝22，∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣22；故答案為：4﹣22．總結(jié)提升：本題是圓的綜合題目，考查了軌跡、圓的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理以及最值問題；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．9．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．（1）求證：AE與⊙O相切；（2）連接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的長(zhǎng)；（3）若AB＝10，AC＝8，點(diǎn)F是⊙O任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦AF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．思路引領(lǐng)：（1）只要證明△OEC≌△OEA，得∠OAE＝∠OCE＝90°，即可證明．（2）設(shè)OD＝a，則DE＝3a，由△OAD∽△OEA，得OAOE=OD（3）如圖2中，連接OM，取OA的中點(diǎn)O′，連接O′M，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以O(shè)′為圓心2為半徑的圓，由此即可解決問題．（1）證明：如圖1中，連接OC．∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∴EA＝EC，在△OEC和△OEA中，OE=OEOC=OA∴△OEC≌△OEA，∴∠OAE＝∠OCE，∵EC是⊙O切線，∴EC⊥OC，∴∠OCE＝90°，∴∠OAE＝∠OCE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切線．（2）如圖1中，設(shè)OD＝a，則DE＝3a，∵∠AOD＝∠AOE，∠ODA＝∠OAE，∴△OAD∽△OEA，∴OAOE∴4a2＝81，∵a＞0，∴a=9∴OE＝18，在Rt△AOE中，AE=OE2（3）如圖2中，連接OM，取OA的中點(diǎn)O′，連接O′M．∵AM＝MF，∴OM⊥AF，∵AO′＝OO′，OA＝OB＝5，∴O′M=12OA＝定長(zhǎng)∴當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以O(shè)′為圓心52∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2π?52=5故答案為5π．總結(jié)提升：本題考查圓綜合題、垂徑定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2021?遵義）點(diǎn)A是半徑為23的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是⊙O外一定點(diǎn)，OB＝6．連接OA，AB．（1）【閱讀感知】如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，連接OC，求OC的最大值；將下列解答過程補(bǔ)充完整．解：將線段OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到O′B，連接OO′，CO′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等邊三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，OB=O'B∠OBA=∠O'BC∴△OBA≌△O′BC（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C當(dāng)O，O′，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在OO′的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC＝OO′+O′C即OC≤OO′+O′C∴當(dāng)O，O′，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在OO′的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC取最大值，最大值是6+23（2）【類比探究】如圖②，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，連接OC，求OC的最小值；（3）【理解運(yùn)用】如圖③，當(dāng)△ABC是以AB為腰，頂角為120°的等腰三角形時(shí)，連接OC，求OC的最小值，并直接寫出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）第一個(gè)空根據(jù)前面提到的兩個(gè)三角形以及后面的SAS知是判斷這兩個(gè)三角形全等；第二個(gè)空根據(jù)前面的取等條件OC＝OO'+O'C即知最大值；（2）類似地，如第（2）問解答中以O(shè)B為邊作正方形，類似第（1）問做法依然證明兩個(gè)三角形全等，再利用三角形兩邊之差小于第三邊，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)得OC最小值；（3）類似地，如第（3）問解答中以O(shè)B為腰，點(diǎn)B為頂點(diǎn)作頂角120°的等腰三角形，類似第（1）問的做法依然證明兩個(gè)三角形全等，再利用三角形兩邊之差小于第三邊