靜態(tài)場的邊值問題(4)分離變量法

第五章靜態(tài)場的邊值問題§5.1靜態(tài)場邊值問題的基本概念§5.2唯一性定理和解的疊加原理§5.3鏡像法

§5.4分離變量法§5.5有限差分法位函數(shù)

的一般解可記作：

(x,y)=X(x)Y(y)★直角坐標系中的平行平面場問題§5.4分離變量法二、直角坐標系中的分離變量法一、分離變量法的一般步驟三、圓柱坐標系中的分離變量法四、球坐標系中的分離變量法

§5.4分離變量法二、直角坐標系中的分離變量法一、分離變量法的一般步驟三、圓柱坐標系中的分離變量法四、球坐標系中的分離變量法

一、分離變量法的一般步驟分離變量法又稱為Fourier級數(shù)法：是一種最經典的微分方程法，適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題。是把一個多變量的函數(shù)表示成幾個單變量函數(shù)乘積的方法。（這樣，該函數(shù)的偏微分方程可以分解為帶“分離”常數(shù)的幾個單變量的常微分方程。）實質：通過變量分離將原來的偏微分方程變?yōu)楹写▍?shù)的常微（本征值）方程，求解本征值方程得到本征值和本征函數(shù)。利用本征函數(shù)的完備性展開表示待求函數(shù)；把求待求函數(shù)的問題轉化為求展開系數(shù)。通過邊界條件等確定展開的系數(shù)，從而求出問題的解。分離變量法：解題步驟：根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標系，寫出對應的邊值問題（微分方程和邊界條件）；分離變量，將一個偏微分方程分離成幾個常微分方程；解常微分方程，并疊加各特解得到通解；利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到靜態(tài)場問題的定解。§5.4分離變量法二、直角坐標系中的分離變量法一、分離變量法的一般步驟三、圓柱坐標系中的分離變量法四、球坐標系中的分離變量法

雙曲函數(shù)雙曲正弦：shx=(ex-e-x)12雙曲余弦：chx=(ex+e-x)12y=chxy=shx1xyOy=e-x12y=ex12雙曲正弦sinh(x)雙曲余弦cosh(x)sh(x)ch(x)★拉普拉斯方程：直角坐標系：二、直角坐標系中的分離變量法（拉普拉斯方程在直角坐標系中解的形式）(1)(2)(3)★拉普拉斯方程在直角坐標系中解的形式（三種情況）令(1)注意：在（1）、（2）兩種情況中若考慮了某些邊界條件，將與某些正整數(shù)有關，它們可取1，2，3，…，只有對它們取和后才得到通解。(2)，與y、z無關。

(3)(2)即：直角坐標系中的平行平面場問題下面以第二種情況為例，進行講解。位函數(shù)

的一般解可記作：

(x,y)=X(x)Y(y)直角坐標系中的平行平面場問題平行平面場中位函數(shù)

(x，y)在場域內滿足拉普拉斯方程

設定分離變量形式的試探解，即令

(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程得:在x和y取任意值時等式恒成立，這要求兩邊恒為同一常數(shù)。現(xiàn)記該常數(shù)為

(稱為分離常數(shù))：

直角坐標系中的平行平面場問題

取不同值時，兩個常微分方程得到不同形式的解：★位函數(shù)

的一般解可記作：★★位函數(shù)

的一般解可記作：★位函數(shù)

的一般解可記作：★★位函數(shù)

的一般解可記作：★位函數(shù)

的一般解可記作：

(x,y)=X(x)Y(y)直角坐標系中的平行平面場問題一長直金屬槽的橫截面如圖所示，其側壁與底面電位均為零，而頂蓋電位：(1)(x,b)=

0；(2)(x,b)=

0sin(x/a)，求槽內電位分布。

=

0

=0

=0yoxab

=0例5-6P183解：槽內電位滿足的基本方程和邊界條件為

=

0

=0

=0yoxab

=0在x方向只能選擇三角函數(shù)在x方向只能選擇正弦函數(shù)，在y方向只能選擇雙曲正弦函數(shù)：同理：即：（1）代入最后一個邊界條件，得為確定En的值，可對上式兩邊同乘以，其中K為整數(shù)，然后從x=0到x=a進行積分，得上式左邊結果為：(K為奇數(shù))(K為偶數(shù))上式右邊結果為：(n≠K)(n=K)因此：(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))最終得待求電位

(x,y)的解答是解：槽內電位滿足的基本方程和邊界條件為：在x方向只能選擇正弦函數(shù)，在y方向只能選擇雙曲正弦函數(shù)且：因此：(1)

代入最后一個邊界條件，得為確定En的值，可對上式兩邊同乘以，其中K為整數(shù)，然后從x=0到x=a進行積分，得上式左邊結果為：(K為奇數(shù))(K為偶數(shù))上式右邊結果為：(n≠K)(n=K)因此：(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))最終得待求電位

(x,y)的解答是

（2）邊界條件，上式右邊只有n=1項的系數(shù)D10，其余Dn均為0，故兩塊接地的無限大平行導板相隔為a，另一塊與之垂直并絕緣的導板電位為U0（下圖），求三塊板之間的電位函數(shù)。例5-7P185

=U0

=0

=0yoxa解：

=U0

=0

=0yoxa三塊板之間的電位函數(shù)滿足的基本方程和邊界條件為在x方向只能選擇正弦函數(shù)，在y方向只能選擇雙曲函數(shù)：(5-69)可對上式兩邊同乘以，其中m為整數(shù)，然后從x=0到x=a進行積分，得(5-69)為確定Dn的值，利用邊界條件上式左邊結果為：(m為奇數(shù))(m為偶數(shù))上式右邊結果為：(n≠m)(n=m)因此：(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))(5-70)長方形盒的長為A、寬為B