吉林省松原市長嶺縣2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試卷

吉林省松原市長嶺縣2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試卷（解析版）一、單項選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）如圖是一個由4個相同的長方體組成的立體圖形，它的主視圖是（）A． B． C． D．2．（2分）△ABC和△DEF相似，且相似比為，那么△DEF和△ABC的面積比為（）A． B． C． D．3．（2分）如圖，是反比例函數(shù)在第二象限的圖象，則k的可能取值是（）A．2 B．﹣2 C． D．4．（2分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，則sin∠ABD的值是（）A． B． C． D．5．（2分）如圖，在△ABC中，點D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，則下列結論不正確的是（）A．BC＝3DE B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC6．（2分）如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）在Rt△ABC中，若|sinA﹣1|+，則∠C＝．8．（3分）反比例函數(shù)y＝關于y軸對稱的函數(shù)的解析式為．9．（3分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是．10．（3分）如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則∠AOB的正弦值是．11．（3分）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)y1，y2的圖象在第一象限內分別交于點A，B，且A為OB的中點，若函數(shù)y1＝，則y2與x的函數(shù)表達式是．12．（3分）已知△ABC∽△A'B'C'，相似比為3：4，△ABC的周長為6，則△A'B'C'的周長為．13．（3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的左視圖的面積為．14．（3分）小芳的房間有一面積為3m2的玻璃窗，她站在室內離窗子4m的地方向外看，她能看到窗前面一幢樓房的面積有m2（樓之間的距離為20m）．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）在△ABC中，|cos∠A﹣|+（1﹣tan∠B）2＝0，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)．16．（5分）若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過第二、四象限，求m的值和該反比例函數(shù)的表達式．17．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠ABC＝，D為AC上一點，而且∠DBC＝30°，求AD的長．18．（5分）如圖，一艘輪船從離A觀察站的正北海里處的B港出發(fā)向東航行，觀察站第一次測得該船在A地北偏東30°的C處；半小時后，又測得該船在A地的北偏東60°的D處，求此船的速度．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y＝的圖象過點A（，2）．（1）求k的值；（2）如圖，在反比例y＝（x＞0）上有一點C，過A點的直線l⊥y軸，并與OC的延長線交于B，且OC＝2BC，求點C的坐標．20．（7分）在平面直角坐標系中，點A關于y軸的對稱點為點B，點A關于原點O的對稱點為點C．（1）若A點的坐標為（1，2），請你在給出的坐標系中畫出△ABC．設AB與y軸的交點為D，則＝；（2）若點A的坐標為（a，b）（ab≠0），則△ABC的形狀為．21．（7分）如圖，將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在Q處，EQ與BC交于點G．（1）求EF的長（2）求△EBG的周長．22．（7分）已知圖①和圖②中的每個小正方形的邊長都是1個單位，請在方格紙上按要求畫出格點三角形．（1）在圖①中畫△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比為2：1；（2）在圖②中畫△MNP，使得△MNP∽△DEF，且周長比為．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）如圖是函數(shù)y＝與函數(shù)y＝在第一象限內的圖象，點p是y＝的圖象上一動點，PA⊥x軸于點A，交y＝的圖象于點C，PB⊥y軸于點B，交y＝的圖象于點D．（1）求證：D是BP的中點；（2）求出四邊形ODPC的面積．24．（8分）如圖，點A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點A（m，2），點B的橫坐標是4，過點B作BC⊥x軸于點C，連接AC，AB．（1）用含m的式子表示BC，則BC＝；（2）當0＜m＜4時，求△ABC的面積S（用含m的式子表示）；（3）在（2）的條件下，當△ABC的面積S最大時，求反比例函數(shù)y＝的解析式．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）已知△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝2，CD＝CE＝，點P、Q分別為AB、DE的中點，連接PQ、CP、CQ、BD．猜想：如圖①，當點D在AC上時，線段BD和PQ的大小關系是．探究：如圖②，把△DCE繞著點C旋轉一定的角度時，線段BD和PQ的大小關系是什么？并加以說明．拓展：如圖③，△ABC和△DCE均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，且∠A＝∠E＝30°，CD＝1，BC＝，點P、Q分別為AB、DE的中點，連接PQ、BD，當∠PQD＝30°時，△BCD的面積是．26．（10分）實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時內其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關系可近似地用二次函數(shù)y＝﹣200x2+400x刻畫；1.5小時后（包括1.5小時）y與x可近似地用反比例函數(shù)y＝（k＞0）刻畫（如圖所示）．（1）根據(jù)上述數(shù)學模型計算：①喝酒后幾時血液中的酒精含量達到最大值？最大值為多少？②當x＝5時，y＝45，求k的值．（2）按國家規(guī)定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后駕駛”，不能駕車上路．參照上述數(shù)學模型，假設某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由．

參考答案與試題解析一、單項選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）如圖是一個由4個相同的長方體組成的立體圖形，它的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中．【解答】解：從正面看易得第一層有2個正方形，第二層左邊有一個正方形．故選：A．【點評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．2．（2分）△ABC和△DEF相似，且相似比為，那么△DEF和△ABC的面積比為（）A． B． C． D．【分析】先求出△DEF和△ABC的相似比，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC和△DEF相似，且相似比為，∴△DEF和△ABC的相似比為，∴△DEF和△ABC的面積比為．故選：D．【點評】本題考查了相似三角形面積的比等于相似比的平方的性質，相似三角形的相似比要注意順序．3．（2分）如圖，是反比例函數(shù)在第二象限的圖象，則k的可能取值是（）A．2 B．﹣2 C． D．【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象判斷出k的符號，再根據(jù)x＝﹣1時，y＜1即可判斷出k的取值范圍，找出符合條件的k的值即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第二象限，∴k＜0，故可排除A、C；∵x＝﹣1時，y＜1，∴＜1，∴k＞﹣1，故可排除B．故選：D．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象，即當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限；當k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限．4．（2分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，則sin∠ABD的值是（）A． B． C． D．【分析】由垂徑定理和圓周角定理可證∠ABD＝∠ABC，再根據(jù)勾股定理求得AB＝10，即可求sin∠ABD的值．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴弧AC＝弧AD，∴∠ABD＝∠ABC．根據(jù)勾股定理求得AB＝10，∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝．故選：D．【點評】此題綜合考查了垂徑定理以及圓周角定理的推論，熟悉銳角三角函數(shù)的概念．5．（2分）如圖，在△ABC中，點D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于E，則下列結論不正確的是（）A．BC＝3DE B．＝ C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝S△ABC【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、相似三角形的性質解答即可．【解答】解：∵BD＝2AD，∴AB＝3AD，∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，A結論正確；∵DE∥BC，∴＝，B結論正確；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C結論正確；∵DE∥BC，AB＝3AD，∴S△ADE＝S△ABC，D結論錯誤，故選：D．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質，靈活運用平行線分線段成比例定理、掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．6．（2分）如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m【分析】利用所給的角的余弦值求解即可．【解答】解：如圖，過點B作BC⊥AF于點C，在Rt△ABC中，∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故選：B．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確應用勾股定理是解題關鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）在Rt△ABC中，若|sinA﹣1|+，則∠C＝60°．【分析】根據(jù)題意可得sinA＝1，cosB＝，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得∠A，∠B的度數(shù)，繼而求得∠C的度數(shù)．【解答】解：由題意得：sinA＝1，cosB＝，可得∠A＝90°，∠B＝30°，故∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．故答案為：60°．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，難度適中，解答本題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．8．（3分）反比例函數(shù)y＝關于y軸對稱的函數(shù)的解析式為y＝．【分析】根據(jù)“兩反比例函數(shù)關于y軸對稱，比例系數(shù)k互為相反數(shù)”即可求得關于y軸對稱的函數(shù)的解析式．【解答】解：反比例函數(shù)y＝關于y軸對稱的函數(shù)的解析式為y＝．故答案為：y＝．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的對稱性，要求同學們熟練掌握．9．（3分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是．【分析】由∠BAC＝∠ACD＝90°，可得AB∥CD，即可證得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得：，然后利用三角函數(shù)，用AC表示出AB與CD，即可求得答案．【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴，∵在Rt△ACB中∠B＝45°，∴AB＝AC，∵在Rt△ACD中，∠D＝30°，∴CD＝＝AC，∴＝＝．故答案為：．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質與三角函數(shù)的性質．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．10．（3分）如圖，在下列網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則∠AOB的正弦值是．【分析】利用勾股定理求出AB、AO、BO的長，再由S△ABO＝AB?h＝AO?BO?sin∠AOB可得答案．【解答】解：由題意可知，AB＝2，AO＝＝2，BO＝＝2，∵S△ABO＝AB?h＝AO?BO?sin∠AOB，∴×2×2＝×2×2×sin∠AOB，∴sin∠AOB＝，故答案為：．【點評】本題主要考查銳角的三角函數(shù)，掌握三角形的面積公式是解題的關鍵．11．（3分）如圖，過原點O的直線與反比例函數(shù)y1，y2的圖象在第一象限內分別交于點A，B，且A為OB的中點，若函數(shù)y1＝，則y2與x的函數(shù)表達式是y2＝．【分析】過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，由于點A在反比例函數(shù)y1＝上，設A（a，），求得點B的坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可求出結果．【解答】解：過A作AC⊥x軸于C，過B作BD⊥x軸于D，∵點A在反比例函數(shù)y1＝上，∴設A（a，），∴OC＝a，AC＝，∵AC⊥x軸，BD⊥x軸，∴AC∥BD，∴△OAC∽△OBD，∴，∵A為OB的中點，∴＝，∴BD＝2AC＝，OD＝2OC＝2a，∴B（2a，），設y2＝，∴k＝2a?＝4，∴y2與x的函數(shù)表達式是：y2＝．故答案為：y2＝．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，相似三角形的判定和性質，反比例函數(shù)中k的幾何意義要注意數(shù)形結合思想的運用．12．（3分）已知△ABC∽△A'B'C'，相似比為3：4，△ABC的周長為6，則△A'B'C'的周長為8．【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比計算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC的周長：△A′B′C′的周長＝3：4，∵△ABC的周長為6，∴△A′B′C′的周長＝6×＝8．故答案為：8．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質，熟記相似三角形周長的比等于相似比的性質是解題的關鍵．13．（3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的左視圖的面積為3cm2．【分析】由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．【解答】解：該幾何體是一個三棱柱，底面等邊三角形邊長為2cm，底面三角形的高為cm，三棱柱的高為3cm，所以，其左視圖為長方形，長為3cm，寬為cm，面積為3×＝3（cm2），故答案為3cm2．【點評】本題考查了三視圖，三視圖是中考經(jīng)?？疾榈闹R內容，難度不大，但要求對三視圖畫法規(guī)則要熟練掌握，對常見幾何體的三視圖要熟悉．14．（3分）小芳的房間有一面積為3m2的玻璃窗，她站在室內離窗子4m的地方向外看，她能看到窗前面一幢樓房的面積有108m2（樓之間的距離為20m）．【分析】在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，依此進行分析．【解答】解：根據(jù)題意：她能看到窗前面一幢樓房的圖形與玻璃窗的外形應該相似，且相似比為＝6，故面積的比為36；故她能看到窗前面一幢樓房的面積有36×3＝108（m2）．【點評】本題考查了平行投影、視點、視線、位似變換、相似三角形對應高的比等于相似比等知識點．注意平行投影特點：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）在△ABC中，|cos∠A﹣|+（1﹣tan∠B）2＝0，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)．【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質得到cos∠A﹣＝0，1﹣tan∠B＝0，則根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到∠A、∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內角和定理計算出∠C的度數(shù)．【解答】解：∵|cos∠A﹣|+（1﹣tan∠B）2＝0，∴cos∠A﹣＝0，1﹣tan∠B＝0，即cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：熟練記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關鍵．16．（5分）若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過第二、四象限，求m的值和該反比例函數(shù)的表達式．【分析】利用反比例函數(shù)的性質確定出m的值，進而求出表達式即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝mx的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴m2﹣5＝﹣1，m＜0，解得：m＝﹣2，則反比例函數(shù)解析式為y＝﹣．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，以及反比例函數(shù)的性質，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．17．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠ABC＝，D為AC上一點，而且∠DBC＝30°，求AD的長．【分析】首先根據(jù)余弦定義計算出BC的長，再利用勾股定理可計算出AC的長，再次利用特殊角的三角函數(shù)值計算出CD的長，再根據(jù)線段的和差關系可得AD長．【解答】解：∵cos∠ABC＝，∠C＝90°，∴＝，∵AB＝10，∴BC＝10×＝6，∴，∵∠DBC＝30°，∴CD＝BC?tan30°＝6×＝2，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣2．【點評】此題主要考查了解直角三角形，關鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值，以及勾股定理的應用．18．（5分）如圖，一艘輪船從離A觀察站的正北海里處的B港出發(fā)向東航行，觀察站第一次測得該船在A地北偏東30°的C處；半小時后，又測得該船在A地的北偏東60°的D處，求此船的速度．【分析】根據(jù)已知及三角函數(shù)可求得AC的長，根據(jù)等腰三角形的性質可求得CD的長，已知時間則不難求得其速度．【解答】解：在Rt△ABC中，．…（5分）由題意，得∠CAD＝∠CDA＝30°，…（6分）∴CD＝AC＝20（海里）.20÷0.5＝40（海里/時）．答：此船的速度是40海里/時．…（8分）【點評】此題考查的知識點是解直角三角形的應用﹣方向角問題，關鍵是轉化為解直角三角形解答．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y＝的圖象過點A（，2）．（1）求k的值；（2）如圖，在反比例y＝（x＞0）上有一點C，過A點的直線l⊥y軸，并與OC的延長線交于B，且OC＝2BC，求點C的坐標．【分析】（1）把A點坐標代入y＝中可求出k的值；（2）作CE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，證明△OCE∽△OBF，利用相似比可求出CE的長，從而得到C點的縱坐標，然后利用反比例函數(shù)解析式可確定C點坐標．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點A（，2），∴k＝×2＝3；（2）作CE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，∵AB⊥y軸，∴BF＝2，∵CE∥BF，∴△OCE∽△OBF，∴＝，而OC＝2BC，∴CE＝BF＝，當y＝時，＝，解得x＝，∴C點坐標為（，）．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：先設出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝xk（k為常數(shù)，k≠0）；再把已知條件（自變量與函數(shù)的對應值）代入解析式，得到待定系數(shù)的方程；接著解方程，求出待定系數(shù)；然后寫出解析式．也考查了反比例函數(shù)的性質．20．（7分）在平面直角坐標系中，點A關于y軸的對稱點為點B，點A關于原點O的對稱點為點C．（1）若A點的坐標為（1，2），請你在給出的坐標系中畫出△ABC．設AB與y軸的交點為D，則＝；（2）若點A的坐標為（a，b）（ab≠0），則△ABC的形狀為直角三角形．【分析】（1）由A點的坐標為（1，2），而點A關于y軸的對稱點為點B，點A關于原點O的對稱點為點C，根據(jù)關于原點對稱的坐標特點得到B點坐標為（﹣1，2），C點坐標為（﹣1，﹣2），則D點坐標為（0，2），利用三角形面積公式有S△ADO＝OD?AD＝×2×1＝1，S△ABC＝BC?AB＝×4×2＝4，即可得到＝；（2）點A的坐標為（a，b）（ab≠0），則B點坐標為（﹣a，b），C點坐標為（﹣a，﹣b），則AB∥x軸，BC∥y軸，AB＝2|a|，BC＝2|b|，得到△ABC的形狀為直角三角形．【解答】解：（1）∵A點的坐標為（1，2），點A關于y軸的對稱點為點B，點A關于原點O的對稱點為點C，∴B點坐標為（﹣1，2），C點坐標為（﹣1，﹣2），連AB，BC，AC，AB交y軸于D點，如圖，D點坐標為（0，2），∴S△ADO＝OD?AD＝×2×1＝1，S△ABC＝BC?AB＝×4×2＝4，∴＝；（2）點A的坐標為（a，b）（ab≠0），則B點坐標為（﹣a，b），C點坐標為（﹣a，﹣b），AB∥x軸，BC∥y軸，AB＝2|a|，BC＝2|b|，∴△ABC的形狀為直角三角形．故答案為：；直角三角形．【點評】本題考查了關于原點對稱的坐標特點：點P（a，b）關于原點的對稱點P′的坐標為（﹣a，﹣b）．也考查了關于x軸、y軸對稱的坐標特點以及三角形的面積公式．21．（7分）如圖，將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在Q處，EQ與BC交于點G．（1）求EF的長（2）求△EBG的周長．【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求出EF的長度；（2）證明△AEF∽△BGE，列出關于△BGE的三邊長的比例式，求出三邊的長度即可解決問題．【解答】解：（1）設EF＝xcm，∵EF＝DF，∴DF＝xcm，則AF＝（6﹣x）cm，∵AE＝AB＝3cm，由勾股定理得：x2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝，∴EF＝cm；（2）由（1）AF＝6﹣x＝6﹣＝（cm），由題意得：∠GEF＝∠D＝90°，∠A＝∠B＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠BEG，∴∠AFE＝∠BEG；∴△AEF∽△BGE，∴＝＝，∴＝＝，∴EG＝5，BG＝4，∴△EBG的周長＝5+3+4＝12（cm）．【點評】本題考查了翻折變換的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，熟記性質并求出△AEF的各邊的長，然后利用相似三角形的性質求出△EBG的各邊的長是解題的關鍵，也是本題的難點．22．（7分）已知圖①和圖②中的每個小正方形的邊長都是1個單位，請在方格紙上按要求畫出格點三角形．（1）在圖①中畫△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比為2：1；（2）在圖②中畫△MNP，使得△MNP∽△DEF，且周長比為．【分析】（1）根據(jù)相似比得出各邊擴大2倍，即可得出答案；（2）根據(jù)相似比得出各邊擴大倍，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖①所示，△A1B1C1即為所作圖形；（2）如圖②所示，△MNP即為所作圖形．【點評】此題主要考查了作圖﹣相似變換以及勾股定理，根據(jù)題意得出對應邊的長是解答本題的關鍵．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）如圖是函數(shù)y＝與函數(shù)y＝在第一象限內的圖象，點p是y＝的圖象上一動點，PA⊥x軸于點A，交y＝的圖象于點C，PB⊥y軸于點B，交y＝的圖象于點D．（1）求證：D是BP的中點；（2）求出四邊形ODPC的面積．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得P、D點坐標，根據(jù)線段中點的定義，可得答案；（2）根據(jù)圖象割補法，可得面積的和差，可得答案．【解答】（1）證明：∵點P在函數(shù)y＝上，∴設P點坐標為（，m）．∵點D在函數(shù)y＝上，BP∥x軸，∴設點D坐標為（，m），由題意，得BD＝，BP＝，∴BP＝2BD，∴D是BP的中點．（2）解：∵S四邊形OAPB＝6，S△OBD＝S△OAC＝，∴S四邊形OCPD＝S四邊形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC＝6﹣﹣＝3．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，利用了函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，線段中點的定義，圖形割補法是求圖形面積的重要方法．24．（8分）如圖，點A，B在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點A（m，2），點B的橫坐標是4，過點B作BC⊥x軸于點C，連接AC，AB．（1）用含m的式子表示BC，則BC＝m；（2）當0＜m＜4時，求△ABC的面積S（用含m的式子表示）；（3）在（2）的條件下，當△ABC的面積S最大時，求反比例函數(shù)y＝的解析式．【分析】（1）把A坐標代入y＝求得k＝2m，然后把x＝4代入求得B的縱坐標，從而求得BC；（2）根據(jù)三角形面積公式即可求得；（3）把S△ABC＝﹣m2+m化成頂點式求得m的值，即可求得解析式．【解答】解：（1）∵點A（m，2）在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，∴k＝2m，∴y＝，∵點B在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，點B的橫坐標是4，過點B作BC⊥x軸于點C，∴y＝＝m，∴BC＝m；故答案為m．（2）S△ABC＝?m?（4﹣m）＝﹣m2+m（0＜m＜4）；（3）由S△ABC＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+1，∴當m＝2時，△ABC的面積S最大，∴當△ABC的面積S最大時，求反比例函數(shù)y＝的解析式為y＝．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例系數(shù)k的幾何意義以及反比例函數(shù)的性質，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）已知△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝2，CD＝CE＝，點P、Q分別為AB、DE的中點，連接PQ、CP、CQ、BD．猜想：如圖①，當點D在AC上時，線段BD和PQ的大小關系是BD＝．探究：如圖②，把△DCE繞著點C旋轉一定的角度時，線段BD和PQ的大小關系是什么？并加以說明．拓展：如圖③，△ABC和△DCE均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，且∠A＝∠E＝30°，CD＝1，BC＝，點P、Q分別為AB、DE的中點，連接PQ、BD，當∠PQD＝30°時，△BCD的面積是．【分析】猜想：先求出∠PCQ＝90°，利用勾股定理求出PQ的長，再由勾股定理求出BD的長，即可確定數(shù)量關系；探究：根據(jù)，∠BCD＝∠PCQ，證明△BCD∽△PCQ，可得，即可得到BD＝PQ；拓展：連接PC、CQ，證明△CDQ為等邊三角形，△BCD是直角三角形，求出BD＝，再求S△BCD＝即可．【解答】猜想：∵P點是AB的中點，△AB