高等數(shù)學經典考試試題及參考答案

高等數(shù)學

班級學號姓名__________得分

一、單項選擇題(每小題3分，共18分)

1.Iim°=[]

母，孫+ιτ

(A)O(B)1(C)2(D)8

2.若函數(shù)z=∕(x,y)具有連續(xù)偏導數(shù),則曲面z=/(x,y)在點(x,y,f(x,y))處的切平面

的法向量為【】

(A)(Λ√v,-D(B)(Λ√v,D(C)(Λ,∕y,0)(D)(-ι,∕v,∕v)

3.設。是由y=f與y=8—f所圍成的閉區(qū)域，則JJXy2dχdy=[

D

22

(A)JjdxJxVdy(B)2∫odx∫'7xydy

2

(C)∫θ^dx∫8'f2xγdy(D)0

4.已知/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則IimFf/(x,y)dxdy=【

"°兀PMP-

(A)0(B)/(0,0)(C)8(D)1

5.設級數(shù)收斂，Z乙發(fā)散，則Z(““+匕,)【I

n=lM=I〃=1

(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)斂散性不確定

6.下列級數(shù)中，收斂的是【】

1、∕ι!E2〃一IYC八“〃+

(A)∑-ι∏d+-)(B)Σ7(C)E-(D)∑(-ιr-

二、填空題(每小題3分，共18分)

7.設Z=(X+y)(x-2y),則dz%』=.

8.改換二次積分的積分次序，得［dxf'∕(x,y)dy=.

9.∫∫∫(x2+γ2+z2)dv=.

222人

片+y+z≤1

10.設L是圓周尤2+y2=ι的逆時針方向，則由j2xy+y)dx+，+3x)dy=

11.設L是連接(0,1)及(1,0)兩點的直線段，則JJX+y)ds=.

12.將/(尤)=arctan》展開為X的基級數(shù)，得/(尤)=,

且［2007)(。)=

三、計算與應用題(每小題6分，共54分)

13.設u-f(x,y,z)-X2-y2+z,求：⑴點(1,1,1)處的梯度grad/(1,1,1)；

⑵點(1,1,1)處沿方向7=(3,0,4)的方向導數(shù).

?2z

14.設Z=/(Xy,V+/),其中/具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求

?x2

15.在曲面肛Z=I的第一卦限部分上求一點，使這點到原點的距離最短.

16.計算J[cos(x+y2)+2)[dx+[2ycos(x+y2)+2χ]dy,其中L：γ=sinx從X=O

L

到x=π.

17.求JJZdS,其中Σ是錐面Z=口+>2含在柱面(X-1)2+V=I內部的部分.

Σ

18.求幕級數(shù)Y-Xn的收斂域.

￡〃+i

19.將函數(shù)/(X)=X(O≤Λ≤Λ-)展開為正弦級數(shù).

20.求JJ(2犬+z)dydz+zdxdy,其中Σ是曲面z=x2+y2(O≤z≤l)的上側

∑

21.計算∫∫max{x2,y}dxdy,其中D：-l≤x≤l,0≤y≤2.

四、證明題（每小題5分，共10分）

22.設x-2z=∕（3y-2z）,其中，是可導函數(shù)，證明：6?+2?-=3.

?x?y

23.設級數(shù)“條件收斂，且Iimz■=/（/是常數(shù)），指出|/|的值，并證明

〃=1.n→∞Ii

你的結論.

參考答案

一、單項選擇題(每小題3分，共18分)

1.C2.A3.D4.B5.A6.A

二、填空題(每小題3分，共18分)

7.3dx-6dy8.??d???/(x,y)dx9.手

(^-1)“2?+1

10,2〃11.√212.Σ,-2006!

/1=02n+↑'

三、計算與應用題(每小題6分，共54分)

13.(1)grad∕(l,1,1)=(2,-2,1)；(2)2

力27

2

14?—=γft+2xf^；―?=2f^+yf^i+4xyf^+

ox?x^

15.令F=x2+y2+z2+λ(xyz-1)

F=O

F；=0

<得x-y=z-?,所求點為(1,1,1)

E=O

xyz-1

16.與路徑無關

cs02

17.原式=√ΣJJJ/+y2dχdy?√2∫td^∫ι"°p^p=

18.P=IimM-?巴?=2,收斂半徑R=L

…”+22,"^'2

當x=±時，原級數(shù)為y---,發(fā)散

2七2(〃+1)

當時,原級數(shù)為(-1)"

X=-LS收斂

2n=?2(〃+1)

故原級數(shù)的收斂域為?)

22

19.將/(x)奇延拓、周期延拓，使延拓后的函數(shù)是(-8,+8)上以T=2〃為周期的奇函數(shù)

2I.(T)"+'

b=—?f(x)sinnxdx=2?

萬Jon

/(x)=2①(T嚴SinnX

(O≤%<^?)

〃=1〃

20.設∑]:z=1(χ2+γ2≤1)上側

jj2x+z)dydz+zdxdy+L(2x+z)dydz+zdxdy

=JjL3dv=3jjd可卜比PdZ=1兀

￡(2x+z)dydz+zdxdy=〃

p1

Β

..J?(2x+z)dydz+zdxdy=-7Γ

21.∫∫max{x2,y}dxdy=∫'?d???x2dx+∫1dx∫^ydx=—

D10?-v5

22Hz=1