微分方程建模舉例-96年競賽題 捕魚問題

最優(yōu)捕魚策略（1996年全國大學生數(shù)學建模競賽A題）為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益?？紤]對某種魚（鳀魚）的最有捕撈策略：鳀魚：體長三寸到四寸，側(cè)扁，腹部呈圓柱形，眼、口大，無側(cè)線，生活在海中。假設這種魚分4個年齡組，稱1齡魚，…，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（1/年），這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105(個)，3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比）為1.22×1011/(1.22×1011+n）。漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內(nèi)進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群的條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱為捕撈強度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。1）建立數(shù)學模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總量）。2）某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為122，29.7，10.1，3.29（×109條），如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。一問題的分析1、給出了各年齡組魚群的轉(zhuǎn)化規(guī)律；2、給出了它們的相對自然死亡率；1齡魚2齡魚3齡魚4齡魚收獲1，2，3季度捕獲產(chǎn)卵第4季度自然死亡每條3齡魚產(chǎn)卵量為(個)3、給出了魚產(chǎn)卵的時間分布；只有3、4齡魚在每年的9、10、11、12月份集中產(chǎn)卵。并給出3、4齡魚產(chǎn)卵的數(shù)量關系：在一個季節(jié)里，每條4齡魚產(chǎn)卵量為(個)成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）4、并固定每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)，下網(wǎng)次數(shù)）及3、4齡魚捕撈強度系數(shù)的比值。捕撈強度系數(shù)k：單位時間捕撈量與各年齡組魚群條數(shù)成正比。目標：要求選擇一定的捕撈強度系數(shù)，使得各年齡組魚量在各年開始捕撈前條數(shù)不變（保證可持續(xù)捕獲的要求），并在此條件下，得到以重量計的最大捕獲量。二主要變量說明：表示（t+1）年i

齡魚的數(shù)量，：表示4齡魚捕撈強度系數(shù)，則

3齡魚捕撈強度系數(shù)為：3,4齡魚的產(chǎn)卵總數(shù)i=1,2,3,4;t=0,1,2,3,4;：表示所捕撈魚的重量主要變量：各齡魚的數(shù)量。三模型建立建模關鍵：建立各相關量與捕撈強度系數(shù)k的關系，控制k到最佳數(shù)值，在滿足可持續(xù)捕獲的條件下達到最大收獲量。1魚數(shù)量變化的一般模型（1）各齡魚的數(shù)量須經(jīng)一段時間，才能達到穩(wěn)定狀態(tài)，即到平衡年時，年末和年初的各齡魚的數(shù)量基本保持不變。自然死亡情況下（2）有捕撈情況下2各齡魚數(shù)量變化的具體模型設年初各齡魚數(shù)量分別為8月末，經(jīng)捕撈及自然死亡后的各齡魚群數(shù)量為12月末，各齡魚群數(shù)量為卵的總數(shù)量為n，t按年算，則1~8月份，捕撈季節(jié)。經(jīng)捕撈及自然死亡，8月末9~12月份，產(chǎn)卵季節(jié)。期間無捕撈，則12月末再設分別為3、4齡魚在產(chǎn)卵期平均數(shù)量，n為3、4齡魚產(chǎn)卵數(shù)量之和，t按月計產(chǎn)卵期產(chǎn)卵總量為a為平均每條4齡魚產(chǎn)卵個數(shù)，個。設為第2年各齡魚的初值數(shù)量，則有1）1齡魚由卵孵化并成活下來的那部分卵子轉(zhuǎn)化而成，即4）4齡魚即上一年末3齡魚2）2齡魚由上一年1齡魚轉(zhuǎn)化而成，即3）3齡魚即上一年末2齡魚3魚群持續(xù)變化的遞推關系4捕獲量的數(shù)學模型對于一種可捕獲魚而言，設一年內(nèi)捕獲量為P，初值為s(0)，則P可表示為1~8月份，捕撈3齡魚和4齡魚的數(shù)量分別為又設每條3齡魚和4齡魚的數(shù)量分別為m3,和m4克則每年捕獲鳀魚的總重量克優(yōu)化模型四模型求解優(yōu)化模型取一個k值，就可得到一個G，現(xiàn)須選取恰當?shù)膋值，使年收獲量G最大。具體算法如下：[1]選定k值；[2]根據(jù)遞推關系分別算出[3]再把作為第2年捕獲前的初值重復[2]，根據(jù)遞推關系算出下一年的[4]再重復[2]、[3]當計算到年初與年末的各齡魚的數(shù)量一致時，即魚群穩(wěn)定為止，根據(jù)算出年捕獲量；[5]另定k值，重復[1]~[4]；[6]根據(jù)年捕獲量最大原則，最后確定最佳的k值。四計算結果與分析k總捕獲量G(×1012g)k總捕獲量G(×1012g)0.10.021650.50.090762.00.23745.00.324810.00.367412.20.3761140.379514.950.3844615.500.3849615.60.3850215.70.3850715.80.3851215.90.3851516.00.3851816.10.3851916.20.3852016.30.3851916.40.38517170.3848180.3833由計算結果表，可知，當時，捕獲量隨k