專題07 圖形變化類（解析版）-中考數學二輪復習經典問題專題訓練

專題07圖形變化類【規(guī)律總結】解決圖形規(guī)律題的步驟：（1）標序數——按圖號標序；（2）找規(guī)律——觀察圖形，隨著序號增加，后一個圖形與前一個圖形相比，找出圖形變化規(guī)律，注意變量與不變量，將每個圖中所求量的個數表示成與序數有關的式子；（3）驗證——代入序號驗證所歸納的式子是否正確；【典例分析】例1．（2021·重慶渝北區(qū)·八年級期末）如圖是一組有規(guī)律的圖案，第①個圖案中有4個三角形，第②個圖案中有7個三角形，第③個圖案中有10個三角形……，依此規(guī)律，第⑧個圖案中有（）個三角形．A．19 B．21 C．22 D．25【答案】D【分析】由題意可知：第①個圖案有3＋1＝4個三角形，第②個圖案有3×2＋1＝7個三角形，第③個圖案有3×3＋1＝10個三角形，…依此規(guī)律，第n個圖案有（3n＋1）個三角形，代入n＝8即可求得答案．【詳解】∵第①個圖案有3＋1＝4個三角形，第②個圖案有3×2＋1＝7個三角形，第③個圖案有3×3＋1＝10個三角形，…∴第n個圖案有（3n＋1）個三角形．當n＝8時，3×8＋1＝25，故選：D．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是找出圖形之間的變化規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．例2．（2021·北京東城區(qū)·八年級期末）如圖，，點，…在射線上，點，…在射線上，且，…均為等邊三角形，以此類推，若，則的邊長為_______．【答案】．【分析】根據，，是等邊三角形，得，進而得，，可得，以此類推即可求解．【詳解】解：∵，，是等邊三角形，∴∴∴∴同理：，，…均為等邊三角形，，…則的邊長為．故答案是：．【點睛】本題考查了規(guī)律型-圖形的變化類，解決本題的關鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．例3．（2021·安徽蕪湖市·七年級期末）如圖，同一行的兩個圖形中小正方形的個數相等，但它們的排列方式不一樣，根據不同的排列方式可以得到一列等式．（1）第個圖形中對應的等量關系是______．（2）根據（1）的結論，求的值．【答案】（1）；（2）650【分析】（1）根據前三幅圖可知右邊的式子等于左邊括號內最大的數與比它大1數的積；（2）先逆用乘法分配律變形，然后根據（1）中結論計算即可；【詳解】解：（1）∵，，，…，∴，故答案為：；（2）．【點睛】本題考查了規(guī)律型—圖形類規(guī)律與探究，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現其中的規(guī)律，并應用發(fā)現的規(guī)律解決問題．也考查了有理數的混合運算．【好題演練】一、單選題1．（2020·浙江臺州市·七年級期末）如圖，用大小相等的黑色三角形按一定規(guī)律拼成如圖的圖案，其中第①個圖案中有1個黑色三角形，第②個圖案中有3個黑色三角形，第③個圖案中有6個黑色三角形…，依照此規(guī)律，第⑩個圖案中黑色三角形的個數為（）A．50 B．55 C．58 D．61【答案】B【分析】根據前3個圖案中黑色三角形的個數找出規(guī)律，利用規(guī)律解題即可．【詳解】第①個圖案中有1個黑色三角形，第②個圖案中有3個黑色三角形，，第③個圖案中有6個黑色三角形，，……第⑩個圖案中黑色三角形的個數為，故選：B．【點睛】本題注意考查圖形類規(guī)律探索，找到規(guī)律是解題的關鍵．2．（2021·北京房山區(qū)·八年級期末）如圖甲，直角三角形的三邊a，b，c，滿足的關系．利用這個關系，探究下面的問題：如圖乙，是腰長為1的等腰直角三角形，，延長至，使，以為底，在外側作等腰直角三角形，再延長至，使，以為底，在外側作等腰直角三角形，……，按此規(guī)律作等腰直角三角形（，n為正整數），則的長及的面積分別是（）A．2， B．4， C．， D．2，【答案】A【分析】根據題意結合等腰直角三角形的性質，即可判斷出的長，再進一步推出一般規(guī)律，利用規(guī)律求解的面積即可．【詳解】由題意可得：，，∵為等腰直角三角形，且“直角三角形的三邊a，b，c，滿足的關系”，∴根據題意可得：，∴，∴，，∴總結出，∵，，，∴歸納得出一般規(guī)律：，∴，故選：A．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，圖形變化類的規(guī)律探究問題，立即題意并靈活運用等腰直角三角形的性質歸納一般規(guī)律是解題關鍵．二、填空題3．（2021·山東青島市·七年級期末）下列圖形均是用長度相同的火柴棒按一定的規(guī)律搭成，搭第1個圖形需要4根火柴棒，搭第2個圖形需要10根火柴棒，…，依此規(guī)律，搭第10個圖形需要________根火柴棒．【答案】130【分析】由題意，分別求出前面幾個的火柴棒數量，然后得到數量的規(guī)律，再求出第10個圖形的數量即可．【詳解】解：根據題意可知：第1個圖案需4根火柴，，第2個圖案需10根火柴，，第3個圖案需21根火柴，，……，第n個圖案需根火柴，則第10個圖案需：（根）．故答案為：130．【點睛】此題考查了平面圖形，圖形變化規(guī)律，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力．4．（2021·全國七年級）如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，取BC邊中點E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的周長記作C1；取BE中點E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的周長記作C2．照此規(guī)律作下去，則C2020＝__．【答案】【分析】先計算出C1、C2的長，進而得到規(guī)律，最后求出C2020的長即可．【詳解】解：∵E是BC的中點，ED∥AB，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，∵EF∥AC，∴四邊形EDAF是菱形，∴C1＝4×，同理C2＝4××=4×，…Cn＝4×，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了中位線的性質，菱形的判定與性質，根據題意得到規(guī)律是解題關鍵．三、解答題5．（2021·山東青島市·七年級期末）（問題提出）以長方形ABCD的4個頂點和它內部的n個點，共個點作為頂點，可把原長方形分割成多少個互不重疊的小三角形？（問題探究）為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊化的策略，先從簡單的情形入手：（探究一）以長方形ABCD的4個頂點和它內部的1個點P（如圖①），共5個點為頂點顯然，此時可把長方形ABCD分割成________個互不重疊的小三角形．（探究二）以長方形ABCD的4個頂點和它內部的2個點P、Q，共6個點為頂點，可把長方形ABCD分割成多少個互不重疊的小三角形？在探究一的基礎上，我們可看作在圖①長方形ABCD的內部，再添加1個點Q，那么點Q的位置會有兩種情況：一種情況是，點Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上不妨設點Q在PB上（如圖②）；另一種情況是，點Q在圖①分割成的某個小三角形內部．不妨設點Q在的內部（如圖③）．顯然，不管哪種情況，都可把長方形ABCD分割成________個互不重疊的小三角形．（探究三）長方形ABCD的4個頂點和它內部的3個點P、Q、R，共7個點為頂點，可把長方形ABCD分割成________個互不重疊的小三角形請在圖④中畫出一種分割示意圖.（問題解決）以長方形ABCD的4個頂點和它內部的n個點，共個點作為頂點，可把原長方形分割成________個互不重疊的小三角形．（實際應用）以梯形的4個頂點和它內部的2021個點作為頂點，可把梯形分割成________個互不重疊的小三角形．（拓展延伸）以五邊形的5個頂點和它內部的m個點，共個點作為頂點，可把原五邊形分割成________個互不重疊的小三角形．【答案】【探究一】4；【探究二】6；【探究二】8；【問題解決】或寫成；【實際應用】4044；【拓展延伸】【分析】探究一：根據圖形可回答；探究二：根據圖形可回答；探究三：根據圖形可回答；問題解決：由探究活動可得規(guī)律為，進而解決問題；實際應用：把2021代入所得規(guī)律，求值即可；拓展延伸：由四邊形的規(guī)律可得五邊形的規(guī)律．【詳解】解：探究一：以長方形ABCD的4個頂點和它內部的1個點P，共5個點為頂點顯然，此時可把長方形ABCD分割成4個互不重疊的小三角形．故答案為：4；探究二：如圖，不管哪種情況，都可把長方形ABCD分割成6個互不重疊的小三角形．故答案為；6；探究三：長方形ABCD的4個頂點和它內部的3個點P、Q、R，共7個點為頂點，可把長方形ABCD分割成8個互不重疊的小三角形問題解決：以長方形ABCD的4個頂點和它內部的1個點，共5個點作為頂點，可把原長方形分割成互不重疊的小三角形個數為：4=2（1+1）．以長方形ABCD的4個頂點和它內部的2個點，共6個點作為頂點，可把原長方形分割成互不重疊的小三角形個數為：6=2（2+1）．以長方形ABCD的4個頂點和它內部的3個點，共7個點作為頂點，可把原長方形分割成互不重疊的小三角形個數為：8=2（3+1）．所以，以長方形ABCD的4個頂點和它內部的n個點，共個點作為頂點，可把原長方形分割成互不重疊的小三角形個數為：2（n+1）．實際應用：當n=2021時，以梯形的4個頂點和它內部的2021個點作為頂點，可把梯形分割成互不重疊的小三角形2（2021+1）=4044個．拓展延伸：根據前面的解決問題可知：以五邊形的5個頂點和它內部的m個點，共個點作為頂點，可把原五邊形分割成互不重疊的小三角形個數為（2m+3）個．故答案為：（2m+3）【點睛】本題考查了應用與設計作圖，圖形的變化規(guī)律的問題，讀懂題目信息，根據前四個探究得到每多一個點，則三角形的個數增加2是解題的關鍵．6．（2021·青島實驗學校九年級期末）在平面直角坐標系中，點A從原點O出發(fā)，沿x軸正方向按半圓形弧線不斷向前運動，其移動路線如圖所示，其中半圓的半徑為1個單位長度，這時點的坐標分別為，按照這個規(guī)律解決下列問題：

寫出點的坐標；點的位置在_____________填“x軸上方”“x軸下方”或“x軸上”；試寫出點的坐標是正整數．【答案】，，，；軸上方；A（n-1,0）或或或【分析】可根據點在圖形中的位置及前4點坐標直接求解；根據圖形可知點的位置每4個數一個循環(huán)，，進而判斷與的縱坐標相同在x軸上方，即可求解；根據點的坐標規(guī)律可分4種情況分別寫