專題18 等腰直角三角形構(gòu)建三垂直全等問(wèn)題（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問(wèn)題專題訓(xùn)練

專題18等腰直角三角形構(gòu)建三垂直全等問(wèn)題【規(guī)律總結(jié)】【典例分析】例1．（2020·無(wú)錫市玉祁初級(jí)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，，，，，垂足分別為、，，，則的長(zhǎng)（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】證△CEB和△ADC全等，得到BE和CD相等，CE和AD相等，即可得到結(jié)論；【詳解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA，在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC∴BE=DC，CE=AD∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，∴CE=1.7cm，∴DC=CE-DE=0.8cm，∴BE=0.8cm；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂直性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)和判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．例2．（2020·浙江金華市·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，連接，以為直角邊作等腰直角三角形，斜邊交線段于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】3【分析】作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，則∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，由勾股定理得出BC＝6，證出DG是△ABC的中位線，得出DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，證明△MDG≌△EMH（ASA），得出MG＝EH，由三角形面積關(guān)系得出DG＝2EH＝3，得出MG＝EH＝，再證明?DGF~?EHF，從而求出GF，進(jìn)而即可得出答案．【詳解】作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，如圖所示：則∠DGM＝∠MHE＝90°，DG∥BC，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝，∵DG∥BC，D是AB的中點(diǎn)，∴DG是△ABC的中位線，∴DG＝BC＝3，AG＝CG＝AC＝4，∵△DME是等腰直角三角形，∴∠DME＝90°，DM＝ME，∵∠DMG＋∠GDM＝∠DMG＋∠EMH＝90°，∴∠GDM＝∠EMH，在△MDG和△EMH中，∴△MDG≌△EMH（ASA），∴MG＝EH，∵S△MDF＝2S△MEF，∴DG＝2EH＝3，∴MG＝EH＝，∵DG∥EH，∴?DGF~?EHF，∴，∵GH=MH-MG=DG-MG=3-=，∴GF=×=1，∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，故答案是：3．．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；添加輔助線，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·江蘇連云港市·八年級(jí)期末）如圖1所示，直線與軸負(fù)半軸，軸正半軸分別交于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的解析式；（2）在（1）的條件下，如圖2所示，設(shè)線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，作直線，過(guò)、兩點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，BN=3，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，當(dāng)取不同的值時(shí)，點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以、為邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角和等腰直角，連接交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想的面積是否改變；若不改變，請(qǐng)求出其值；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）如圖3，當(dāng)取不同的值時(shí)，點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，以為邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，在第二象限作等腰直角，則動(dòng)點(diǎn)在直線______上運(yùn)動(dòng)．（直接寫(xiě)出直線的解析式）【答案】（1）y＝x＋5；（2）7；（3）的面積不改變，；（4）y=5-x．【分析】（1）令y＝0可求得x＝?5，從而可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x＝0得y＝5m，由OA＝OB可知點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5，從而可求得m的值；（2）依據(jù)AAS證明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性質(zhì)可知ON＝AM，OM＝BN，最后由MN＝AM＋BN可求得MN的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于G點(diǎn)，先證明△ABO≌△EGB，從而得到BG＝5，然后證明△BFP≌△GEP，從而得到BP＝GP＝BG，進(jìn)而求出的面積；（4）由△ABO≌△BEG，得BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0），從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】（1）令y=0，代入，得，解得：x=-5，令x=0，代入，得y=5m，∴A（?5，0），B（0，5m），∵OA＝OB，∴5m＝5，即m＝1．∴直線的解析式為：y＝x＋5；（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM＋∠MAO＝90°，∵∠AOM＋∠BON＝90°，∴∠MAO＝∠NOB，在△AMO和△ONB中，，∴△AMO≌△ONB，∴ON＝AM，OM＝BN．∵AM＝4，BN＝3，∴MN＝AM＋BN＝7；（3）的面積不改變，理由如下：如圖3所示：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于G點(diǎn)，連接AP，∵△AEB為等腰直角三角形，∴AB＝EB，∠ABO＋∠EBG＝90°，∵EG⊥BG，∴∠GEB＋∠EBG＝90°．∴∠ABO＝∠GEB．在△ABO和△EGB中，∴△ABO≌△BEG，∴BG＝AO＝5，OB＝EG，∵△OBF為等腰直角三角形，∴OB＝BF，∴BF＝EG．在△BFP和△GEP中，∴△BFP≌△GEP，∴BP＝GP＝BG＝，∴的面積=BP?OA=××5=；（4）由（3）可知：△ABO≌△BEG，∴BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0）∴OG=5+5m，∵點(diǎn)E在第二象限，∴點(diǎn)E（-5m，5+5m），設(shè)x=-5m，y=5+5m，∴y=5-x，即動(dòng)點(diǎn)在直線y=5-x上運(yùn)動(dòng)，故答案是：y=5-x．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)與幾何圖形的綜合，添加合適的輔助線構(gòu)造“一線三直角”全等三角形模型，是解題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶一中八年級(jí)期末）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的頂點(diǎn)和頂點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)等腰直角三角形的頂點(diǎn)，，邊交軸于點(diǎn)，若，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則的值是（）A． B． C． D．-6【答案】A【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，利用“三垂直”模型構(gòu)造全等，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作直線軸，再過(guò)，分別做直線的垂線，垂足為，則有，，，設(shè)，其中，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)可表示為，代入，解得，故，且由題知：，，，，，由①解得或（不合題意，舍去），則，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題，能夠根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合“三垂直”構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．2．（2020·福建龍巖市·八年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，以為腰作等腰直角三角形，則直線的解析式是（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，得出C點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=x+2中，

令x=0得：y=2；令y=0，解得x=5，

∴B的坐標(biāo)是（0，2），A的坐標(biāo)是（5，0）．

若∠BAC=90°，如圖1，作CE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAE=90°，

又∵∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠ACE=∠BAO．

在△ABO與△CAE中，

，

∴△ABO≌△CAE（AAS），

∴OB=AE=2，OA=CE=5，

∴OE=OA+AE=2+5=7．

則C的坐標(biāo)是（7，5）．

設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，

根據(jù)題意得：解得，

∴直線BC的解析式是y=x+2．

若∠CBA=90°，如圖2，即BC⊥AB，

同理可得，直線BC解析式為：y=x+2；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)問(wèn)題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶八中八年級(jí)月考）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，分別以，為直角邊在第三、第四象限作等腰，等腰，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】作軸于，求出，證，得BN=AO，再由，證，推出=2，由點(diǎn)的坐標(biāo)為即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)為．【詳解】解：如圖，作軸于，，，，，在和中，，，OA=BN，在和中，，，，又因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，，，又∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，有一定的難度，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．4．（2020·重慶南開(kāi)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在線段上，于，于，，且，，點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以的速度從開(kāi)始，在線段上往返運(yùn)動(dòng)（即沿…運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)，分別作的垂線，垂足為，.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，的值為_(kāi)_________．【答案】1或或【分析】根據(jù)題意分三種情況進(jìn)行討論，并由全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行分析即可求解．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在CE上時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=6-3t，∴t=1，②當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q第一次從點(diǎn)C返回時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴5-2t=3t-6，∴t=，③當(dāng)點(diǎn)P在CE上，點(diǎn)Q第一次從E點(diǎn)返回時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與△QCN全等，∴PC=CQ，∴2t-5=18-3t，∴t=，綜上所述：t的值為1或或．故答案為：1或或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2021·上海九年級(jí)專題練習(xí)）已知是等腰直角三角形，，．直角頂點(diǎn)C在x軸上，銳角頂點(diǎn)B在y軸上，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)點(diǎn)B不動(dòng)，點(diǎn)C在x軸上滑動(dòng)的過(guò)程中．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)A的坐標(biāo)是時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作直線軸，交y軸于點(diǎn)E，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．AC與y軸交于點(diǎn)G．當(dāng)y軸恰好平分時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出AE與BG的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）（0，2）；（2）（-1，-1）；（3）BG=2AE，理由見(jiàn)詳解【分析】（1）先證明Rt?ADC?Rt?COB，結(jié)合條件，即可得到答案；（2）先證明?ADC??COB，結(jié)合點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，求出AD，OD的長(zhǎng)，即可得到答案；（3）先證明?BGC??AFC，再證明?ABE??FBE，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴AD=OC，又∵AC=BC，∴Rt?ADC?Rt?COB（HL），∴OB=CD=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）；（2）∵AD⊥x軸，∴∠DAC+∠ACD=90°，又∵∠OCB+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠OCB，又∵∠ADC=∠COB=90°，AC=BC，∴?ADC??COB（AAS），∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是∴AD=OC=1，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2），∴CD=OB=2，∴OD=2-1=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，-1）；（3）BG=2AE，理由如下：∵是等腰直角三角形，，，軸，∴∠BCA=∠ACF=90°，∠AEG=90°，∴∠GBC+∠BGC=90°，∠GAE+∠AGE=90°，又∵∠BGC=∠AGE，∴∠GBC=∠FAC，在?BGC和?AFC中，∵∠GBC=∠FAC，，∠GBC=∠FAC，∴?BGC??AFC（ASA），∴BG=AF，∵BE⊥AF，y軸恰好平分，∴∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，∴?ABE??FBE，∴AE=FE，∴AF=2AE∴BG=2AE．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握“一線三垂直”模型，是解題的關(guān)鍵．6．（2020·四川大學(xué)附屬中學(xué)西區(qū)學(xué)校八年級(jí)期中）在直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)．（1）如圖①，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰，若已知，，試求C點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）如圖②，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為b，以B為頂點(diǎn)，為腰作等腰，當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條件都不變時(shí)，求式子的值．（3）如圖③，E為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且，于點(diǎn)F，以O(shè)B為邊作等邊，連接EM交OF于點(diǎn)N，求式子的值．【答案】（1）；（2）0；（3）2【分析】（1）作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，可以證明△AQC≌△BOA，由QC＝AO，AQ＝BO，再由條件就可以求出C的坐標(biāo)．（2）作DP⊥OB于點(diǎn)P，可以證明△AOB≌△BPD，則有AO＝BP＝OB?PO＝?a?（?b）＝b?a為定值．（3）作BH⊥EB于B，由條件可以得出∠1＝30°，∠2＝∠3＝∠EMO＝15°，∠EOF＝∠BMG＝45°，EO＝BM，可以證明△ENO≌△BGM，則GM＝ON，就有EM?ON＝EM?GM＝EG，最后由含30°的直角三角形的性質(zhì)就可以得出EN＝EM?ON的一半即可得．【詳解】（1）如圖（1）作于點(diǎn)