六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第11講 不定方程（教師版）全國(guó)通用

第11講不定方程興趣篇1、有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè)，大油桶能裝8千克油，小油桶能裝5千克油，44千克油恰好裝滿(mǎn)這些油桶。問(wèn)：大、小油桶各幾個(gè)？【答案】大油桶3個(gè)，小油桶4個(gè)【分析】設(shè)大桶x個(gè)，，小桶y個(gè)，則8x+5y=44。尾數(shù)判斷：y必為偶數(shù)，8x尾數(shù)為4。那么有8x=24x=3y=（44-24）÷5=4答：有大油桶3個(gè)，小油桶4個(gè)。2、有150個(gè)乒乓球分裝在大、小兩種盒子里，大盒每盒裝12個(gè)，小盒每盒裝7個(gè)。問(wèn)：需要大、小盒子各多少個(gè)才能恰好把這些球裝完？【答案】大盒9個(gè)，小盒6個(gè)或者大盒2個(gè)，小盒18個(gè)【分析】設(shè)大盒子x個(gè)，小盒子y個(gè)，則12x+7y=150兩邊取7的模，有x=2+7k（）又x≤，故x共有2個(gè)取值：2，9。不定方程有2組正整數(shù)解：，答：需要2個(gè)大盒子，18個(gè)小盒子或9個(gè)大盒子，6個(gè)小盒子。3、小花狗和波斯貓是一對(duì)好朋友，它們?cè)谠缤硪?jiàn)面時(shí)總要叫上幾聲表示問(wèn)候。若是早晨見(jiàn)面，小花狗叫2聲，波斯貓叫1聲；若是晚上見(jiàn)面，小花狗叫2聲，波斯貓叫3聲。細(xì)心的小娟對(duì)它們的叫聲統(tǒng)計(jì)了15天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見(jiàn)面，在這15天內(nèi)它們共叫了61聲。問(wèn)：波斯貓至少叫了多少聲？【答案】27聲【分析】依題意，貓狗早晨見(jiàn)面，共叫了3聲，晚上見(jiàn)面，共叫了5聲，設(shè)它們15天中白天見(jiàn)面x次，晚上見(jiàn)面y次，顯然x，y≤15，那么3x+5y=61，兩邊取5的模，有：有3組解：，，對(duì)應(yīng)的小貓分別叫了：35，31，27次，故最少叫27聲。4、廟里有若干個(gè)大和尚和若干個(gè)小和尚共七百多人，已知7個(gè)大和尚每天共吃41個(gè)饅頭，19個(gè)小和尚每天共吃60個(gè)饅頭，平均每個(gè)和尚每天恰好吃4個(gè)饅頭。請(qǐng)問(wèn)：廟里共有多少個(gè)和尚？【答案】718個(gè)【分析】設(shè)有7x個(gè)大和尚，19y個(gè)小和尚，那么：112+247=359又和尚共700多人，故和尚應(yīng)有359×2=718人。其中大和尚112×2=224人，小和尚247×2=494人。答：共有718個(gè)和尚。5、某單位的職工到郊外植樹(shù)，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶一個(gè)孩子參加。男職工每人種13棵樹(shù)，女職工每人種10棵樹(shù)，每個(gè)孩子種6棵樹(shù)，它們一共種了216棵樹(shù)。請(qǐng)問(wèn)：其中有多少名男職工？【答案】12名【分析】設(shè)有x名男職工，y名女職工，個(gè)孩子。尾數(shù)判斷，x為偶數(shù)，4y尾數(shù)為2那么，y=3，8，13，18方程有4組整數(shù)解：，，，又x+y應(yīng)是3的倍數(shù)（孩子的數(shù)量是整數(shù)個(gè)），且x，y≠0，故只有滿(mǎn)足條件。答：有男職工12人。6、新學(xué)期開(kāi)始了，幾個(gè)老師帶著一些學(xué)生去搬全班的100本教科書(shū)。已知老師和學(xué)生共14人，每個(gè)老師能搬12本，每個(gè)男生能搬8本，每個(gè)女生能搬5本，恰好一次搬完。問(wèn)：搬書(shū)的老師、男生、女生各有多少人？【答案】老師3名，男生3名，女生8名【分析】設(shè)有男生x人，女生y人，老師14-x-y人，則有：8x+5y+12（14-x-y）=1004x+7y=68。等號(hào)兩邊取4的模，有，y=0，4，8。方程有3組解：，，依題意x+y<14，那么僅有滿(mǎn)足題意。所以，男生3人，女生8人，老師14-3-8=3（人）答：搬書(shū)的老師有3人，男生有3人，女生有8人。7、新發(fā)行的一套珍貴的紀(jì)念郵票共三種不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的郵票售價(jià)5元，面值40分的郵票售價(jià)8元，面值50分的郵票售價(jià)9元。小明花了156元買(mǎi)回了總面值為8.3元的郵票，那么三種面值的郵票分別買(mǎi)了多少?gòu)?？【答案?0分的郵票3張，40分的郵票3張，50分的郵票13張【分析】設(shè)20分x張，40分y張，50分z張，則（1）-（2）×2得z-x=10z=x+10（3）（3）代入（2）得7x+4y=33x=3，y=3，于是z=3+10=13則8、小萌在郵局寄了三種信，平信每封8分，航空信每封1角，掛號(hào)信每封2角，她共用了1元2角2分，那么小萌寄的這三種信的總和最少是多少封？【答案】9封【分析】設(shè)平信x封，航空信y封，掛號(hào)信z封，則為了讓x+y+z盡可能小，則z應(yīng)盡量大上式結(jié)果為奇數(shù)，那么5y必為奇數(shù)，y為奇數(shù)。令y=1，則4x+10z=56通過(guò)尾數(shù)判斷x=4，z=4。此時(shí)x+y+z=9。9、有紙幣60張，其中1分、1角、1元和10元各有若干張。請(qǐng)你判斷：這些紙幣的總面值能否恰好是100元？【答案】不能【分析】設(shè)有x張10元，y張1元，z張1角，（60-x-y-z）張1分，則總面值為10x+y+0.1z+0.01（60-x-y-z）=0.6+9.99x+0.99y+0.09z若總面值恰好100元，則9.99x+0.99y+0.09z=100-0.6999x+99y+9z=9940注意到，等號(hào)左邊是9的倍數(shù)，右邊不是9的倍數(shù)，因此不可能恰好100元。10、快餐店有三種漢堡，魚(yú)肉漢堡每個(gè)7元，雞肉漢堡每個(gè)9元，牛肉漢堡每個(gè)14元。小明去快餐店買(mǎi)漢堡。他付款100元，找回8元。請(qǐng)問(wèn)：小明買(mǎi)了多少個(gè)雞肉漢堡？【答案】4個(gè)【分析】設(shè)x個(gè)魚(yú)堡，y個(gè)雞堡，z個(gè)牛堡。兩邊取7的模，有又y≤，那么僅有y=4。故小明買(mǎi)了4個(gè)雞堡。拓展篇1、甲級(jí)鉛筆7角一支，乙級(jí)鉛筆3角一支，張明用5元錢(qián)買(mǎi)這兩種鉛筆，錢(qián)恰好花完。請(qǐng)問(wèn)：張明共買(mǎi)了多少支鉛筆？【答案】10支或14支【分析】設(shè)甲級(jí)x支，乙級(jí)y支。兩邊取3的模：又x≤所以，x=2，5時(shí)滿(mǎn)足條件。方程有兩組整數(shù)解：，2、采購(gòu)員去超市買(mǎi)雞蛋。每個(gè)大盒里有23個(gè)雞蛋，每個(gè)小盒里有16個(gè)雞蛋（盒子不能拆開(kāi)）。采購(gòu)員要恰好買(mǎi)500個(gè)雞蛋，他一共要買(mǎi)多少盒？【答案】26盒【分析】設(shè)買(mǎi)x大盒，y個(gè)小盒。23x+16y=500∵16y，500都是4的倍數(shù)，那么23x是4的倍數(shù)，即x是4的倍數(shù)。x≤，那么x=0，4，8，12，16，20。僅當(dāng)x=12時(shí)，有整數(shù)解故共買(mǎi)雞蛋12+14=26盒。3、在第二次世界大戰(zhàn)中，蘇聯(lián)軍隊(duì)每個(gè)步兵師有9000人，每個(gè)航空兵師有8000人。在一場(chǎng)戰(zhàn)役中，蘇軍司令部從兩個(gè)集團(tuán)軍抽調(diào)了相同數(shù)量的師參與戰(zhàn)斗，一共有27.1萬(wàn)。如果這兩個(gè)集團(tuán)軍都是由步兵師和航空兵師組成，那么蘇軍參與戰(zhàn)斗的有多少個(gè)步兵師，多少個(gè)航空兵師？【答案】15個(gè)步兵師，17個(gè)航空兵師【分析】設(shè)有步兵師x個(gè)，航空兵師y個(gè)，依題意，x+y為偶數(shù)0.9x+0.8y=27.19x+8y=271兩邊取8的模：又x≤故x=7，15，23時(shí)方程有整數(shù)解，，又x+y為偶數(shù)，故僅有滿(mǎn)足題意。4、甲、乙兩個(gè)小隊(duì)的同學(xué)去植樹(shù)。甲小隊(duì)有一人植樹(shù)12棵，其余每人植樹(shù)13棵；乙小隊(duì)一人植樹(shù)8棵，其余每人植樹(shù)10棵。已知兩個(gè)隊(duì)植樹(shù)棵樹(shù)相等，且每小隊(duì)植樹(shù)的棵樹(shù)都是四百多棵。問(wèn)：甲、乙兩小隊(duì)共有多少人？【答案】76人【分析】設(shè)甲隊(duì)x人，乙隊(duì)y人。13x-1-10y-213x+1=10y兩邊取10的模：甲小隊(duì)種了13×（3+10k）-1=38+130k棵樹(shù)，有400多棵。因此，k=3，x=33，y=43兩小隊(duì)共有33+43=76（人）5、將一根長(zhǎng)為380厘米的合金鋁管截成若干根長(zhǎng)為36厘米和24厘米兩種型號(hào)的短管，加工損耗忽略不計(jì)。問(wèn)：剩余部分的管子最少是多少厘米？【答案】8厘米【分析】36，24都是12的倍數(shù)，而因此管子至少剩余8cm，驗(yàn)證：設(shè)有x根36cm，y根24cm。36x+24y=380-83x+2y=31，有整數(shù)解故最少剩余8cm。6、某次數(shù)學(xué)比賽，用兩種不同的方式判分。一種是答對(duì)1題給5分，不答給2分，答錯(cuò)不給分；另一種是先給40分，答對(duì)1題給3分，不答不給分，答錯(cuò)扣1分。某考生兩種判分方法均得71分。請(qǐng)問(wèn)：這次比賽共考了多少道題？【答案】24道或21道【分析】設(shè)此考生對(duì)了x題，錯(cuò)了y題，不答z題。消去x：（1）×3-（2）×56z+5y=58兩邊取5的模又z≤所以，z=3，8時(shí)有整數(shù)解，故比賽有24題或21題。7、我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張丘建在《算經(jīng)》一書(shū)中提出了“百雞問(wèn)題”：雞翁一值錢(qián)五，雞母一值錢(qián)三，雞雛三值錢(qián)一。百錢(qián)買(mǎi)百雞，問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何？這個(gè)問(wèn)題是說(shuō)：每只公雞價(jià)值5文錢(qián)，每只母雞價(jià)值3文錢(qián)，每3只小雞價(jià)值1文錢(qián)。要想用100文錢(qián)恰好買(mǎi)100只雞，公雞、母雞和小雞應(yīng)該分別買(mǎi)多少只？【答案】公雞、母雞、小雞分別買(mǎi)0只、25只、75只；或者4只、18只、78只；或者8只、11只、81只；或者12只、4只、84只【分析】設(shè)有公雞x只，母雞y只，小雞（100-x-y）只。兩邊取4的模又x≤故x=0，4，8，12時(shí)有整數(shù)解：，，，。8、小李去文具店買(mǎi)圓珠筆、鉛筆和鋼筆，每種筆都只能整盒買(mǎi)，不能單買(mǎi)。鋼筆4支一盒，每盒5元；圓珠筆6支一盒，每盒6元；鉛筆10支一盒，每盒7元。小李總共花了97元，買(mǎi)了90支筆。請(qǐng)問(wèn)：三種比分別買(mǎi)了多少盒？【答案】圓珠筆3盒，鉛筆2盒，鋼筆13盒【分析】設(shè)鋼筆x盒，圓珠筆y盒，鉛筆z盒（2）-（1）得x-3z=7，則x=3z+7（3）（3）代入（1）得12z+28+6y+10z=903y+11z=31z=2，y=3，x=2×3+7=139、在新年聯(lián)歡會(huì)上，某班組織了一場(chǎng)飛鏢比賽。如圖，飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)17分、11分和4分。每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。試問(wèn)：如果比賽規(guī)定恰好投中100分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中幾個(gè)飛鏢？如果規(guī)定恰好投中120分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中幾個(gè)飛鏢？【答案】7個(gè)；10個(gè)【分析】設(shè)射中17分x鏢，11分y鏢，4分z鏢。（1）17x+11y+4z=100，要使投飛鏢數(shù)是最少，則x要盡量大，z要盡量小，x≤取x=5，則11y+4z=15，y=z=1共5+1+1=7鏢（2）17x+11y+4z=120從x的取值不好考慮，可以從z的取值入手（?。﹝=0時(shí)，17x+11y=120，無(wú)正整數(shù)解（ⅱ）z=1時(shí)，17x+11y=116，y=9，x=1，和為11（ⅲ）z=2時(shí)，17x+11y=112，y=4，x=4，和為10（ⅳ）z=3時(shí)，17x+11y=108，無(wú)正整數(shù)解（ⅴ）z=4時(shí)，17x+11y=104，無(wú)正整數(shù)解（ⅵ）z=5時(shí)，17x+11y=100，x+y≥，和比10大此后再增加z的值，和必然更大。故時(shí)，投飛鏢次數(shù)最少，為10次。10、阿奇到商店買(mǎi)糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每種糖都買(mǎi)了。請(qǐng)問(wèn)：阿奇共買(mǎi)了多少包奶糖？【答案】12包【分析】設(shè)買(mǎi)了巧克力a包，奶糖b包，水果糖c包，酥糖d包。兩邊取13的模：又b≤所以b=12，即奶糖有12包。11、小悅、冬冬去超市買(mǎi)水果。小悅買(mǎi)了2千克桔子、3千克蘋(píng)果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬買(mǎi)了3千克桔子、5千克蘋(píng)果和7千克梨，共花了47.7元。結(jié)賬的時(shí)候碰到老師，老師買(mǎi)了6千克桔子和3千克蘋(píng)果，那么老師應(yīng)該花了多少錢(qián)？【答案】26.1元【分析】設(shè)桔子x元/kg，蘋(píng)果y元/kg，梨z元/kg。（1）×7-（2）×4，得：2x+y=8.7故6x+3y=8.7×3=26.1即老師應(yīng)花26.1元。12、紅、藍(lán)兩種筆的單價(jià)都是整數(shù)元，并且紅筆比藍(lán)筆貴。小明買(mǎi)紅筆、藍(lán)筆各一支，共用了23元。小強(qiáng)打算用109元來(lái)買(mǎi)這兩種筆（也允許只買(mǎi)其中一種），可是他無(wú)論怎么買(mǎi)，都不能把109元恰好用完。求紅筆的單價(jià)?！敬鸢浮?2元【分析】依題意，設(shè)紅筆x元，則23>x≥12。109是質(zhì)數(shù)109-23=86=2×43109-46=63=32×7109-69=40=23×5109-92=17∵無(wú)論怎么買(mǎi)都不能把錢(qián)用光，∴x和23-x不是109，86，63，40，17的約數(shù)。x，23-x≠1，2，3，4，5，7，8，9，10，17，20，21，那么僅有x=12，23-x=11滿(mǎn)足條件。即紅筆的單價(jià)是12元。超越篇1、求不定方程的所有自然數(shù)解。【答案】，【分析】?jī)蛇吶?的模：設(shè)原式可化為：35x+320k=16257x+64k=325，兩邊取64的模：x≤x=19代入得y=15則2、一個(gè)水果批發(fā)市場(chǎng)運(yùn)進(jìn)蘋(píng)果、梨和桃子各若干筐，共1355斤。其中蘋(píng)果每筐60斤，每斤定價(jià)1.5元；梨每筐55斤，每斤定價(jià)1.5元；桃子每筐45斤，每斤定價(jià)1.8元。批發(fā)市場(chǎng)是以定價(jià)的70%購(gòu)入這些水果的，如果全部售完，將獲得638.1元的利潤(rùn)，請(qǐng)問(wèn)：批發(fā)市場(chǎng)運(yùn)進(jìn)三種水果各多少筐？【答案】蘋(píng)果10筐，梨8筐，桃子7筐【分析】售完后總收入為638.1÷（1-70%）=2127元。設(shè)蘋(píng)果、梨、桃各x、y、z筐，依題意有：（2）-（1）×1.5得45×0.3z=2127-1355×1.5=94.5z=7代入（1）得60x+55y=104012x+11y=208。有整數(shù)解x=10，y=8。3、雨軒圖書(shū)館內(nèi)有兩人桌、三人桌和四人桌共五十多張，其中兩人桌的數(shù)量為四人桌數(shù)量的2倍。這天除了某張桌子坐滿(mǎn)外，其它兩人桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐了2人，四人桌每桌只坐3人，且恰好平均每11人占用17座位。請(qǐng)問(wèn)：圖書(shū)館兩人桌、三人桌、四人桌分別有多少?gòu)?？【答案】二人?4張，三人桌19張，四人桌12張【分析】設(shè)2人桌2×x張，3人桌y張，4人桌x張。共有座位：2×2x+3y+4x=8x+3y（個(gè)）共有客人：2x+2y+3x+1=5x+2y+1（人）那么y=1+3k，x=6+k（k）共有桌子3x+y=18+3k+1+3k=19+6k19+6×6=55∴k=6，故有2人桌24張，3人桌19張，4人桌12張。4、采購(gòu)員用一張萬(wàn)元支票去購(gòu)物，買(mǎi)了若干個(gè)單價(jià)590元的種商品和若干個(gè)單價(jià)670元的種商品，其中種商品多于種商品，最后找回了幾張100元鈔票和不到10張10元鈔票。如果把兩種商品的數(shù)量調(diào)換，找回的100元和10元的鈔票張數(shù)正好也調(diào)換，那么這兩種商品分別買(mǎi)了多少個(gè)？【答案】種商品3個(gè)，種商品12個(gè)【分析】設(shè)買(mǎi)了A種商品x個(gè)，B種商品y個(gè)。找回a張100元，b張10元。那么兩式相加：1260（x+y）+110（a+b）=20000126（x+y）+11（a+b）=2000取11的模：又14≤≤x+y≤=16故代入（1）式，590×15+80y+1000-90b=100008y-9b=15（y≥8）b<10故8y<105y≤左右兩邊取3的模：故y=9或12。其中y=9時(shí)，無(wú)整數(shù)解y=12時(shí)，b=9，滿(mǎn)足題意故，買(mǎi)了3個(gè)A種商品，12個(gè)B種商品。簡(jiǎn)單解法：A、B互換：B換A，少付670-590=80元。100，10元互換：10元換100元，多找100-10=90元。那么交換A、B的數(shù)量后，少付的錢(qián)的總數(shù)應(yīng)是[80，90]=720元的倍數(shù)，而找錢(qián)最多是990元，最少110元，差最大為880元。因此只能是720元。那么10元比100元多720÷90=8（張）B比A多720÷80=9（個(gè)）10元比100元多8張，那么只能是1張100元，9張10元，共計(jì)190元。因此A、B的總價(jià)格為10000-190=9810元。A種貨（9810-670×9）÷590=3（個(gè)）B種貨：3+9=12（個(gè)）。5、有甲、乙、丙、丁四種貨物，若購(gòu)買(mǎi)甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若購(gòu)買(mǎi)甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若購(gòu)買(mǎi)甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元。現(xiàn)在購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？【答案】81元【分析】設(shè)甲、乙、丙、丁一件各需a，b，c，d元。設(shè)（1）×x+（2）×y+（3）×z后，a、b、c、d系數(shù)相同，即x+2y+2z=5x+y+6z=x+4y+6z=3x+2y+5z整理得：，2x+3z=0取x=3，y=4，z=-2代入得7（a+b+c+d）=（195×3+183×4-375×2=567a+b+c+d=816、國(guó)慶節(jié)，公司發(fā)給唐師傅一張1000元的禮券，但只允許購(gòu)買(mǎi)五種商品，并且必須正好把禮券用完。已知這五種商品每盒的價(jià)格和重量如下表：商品單價(jià)（元）70110190290310重量（千克）1.521103如果唐師傅最多只能帶走20千克商品，且一定要購(gòu)買(mǎi)商品，共有多少種不同的買(mǎi)法？【答案】3種【分析】顯然D只能買(mǎi)1個(gè)，否則超重。除去D，還有10kg，710元?，F(xiàn)根據(jù)E買(mǎi)幾件分類(lèi)：（1）E=2，70A+110B+190C=90，無(wú)解；（2）E=2，70A+110B+190C=400A=3，B=0，C=1，總重18.5kgA=1，B=3，C=0，總重20.5kg×；（3）E=2，70A+110B+1