(4)-計算機(jī)組成-6計算機(jī)組成與結(jié)構(gòu)

第６章計算機(jī)的運算方法6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)6.3定點運算6.2數(shù)的定點表示和浮點表示6.4浮點四則運算6.5算術(shù)邏輯單元2024/1/111青島大學(xué)6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)一、無符號數(shù)二、有符號數(shù)1、機(jī)器數(shù)與真值2、原碼表示法3、補碼表示法4、反碼表示法5、移碼表示法2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)2定義特點舉例機(jī)器數(shù)與真值的轉(zhuǎn)換不同機(jī)器數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)化機(jī)器數(shù)表示的范圍與其字長有關(guān)6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)一、無符號數(shù)寄存器的位數(shù)反映無符號數(shù)的表示范圍8位0~25516位0~655352024/1/113青島大學(xué)帶符號的數(shù)符號數(shù)字化的數(shù)+0.10110

1011小數(shù)點的位置+11000

1100小數(shù)點的位置–

11001

1100小數(shù)點的位置–0.10111

1011小數(shù)點的位置真值機(jī)器數(shù)1.機(jī)器數(shù)與真值二、有符號數(shù)6.12.原碼表示法帶符號的絕對值表示(1)定義整數(shù)x

為真值n

為整數(shù)的位數(shù)如x=+1110[x]原

=0,1110[x]原

=24+1110=1,1110x=

1110[x]原=0，x2n

＞

x

≥02n

x0≥

x

＞2n用逗號

將符號位和數(shù)值部分隔開6.12024/1/115青島大學(xué)小數(shù)x

為真值如x=+0.1101[x]原

=0.1101x=0.1101[x]原

=1(0.1101)=1.1101x1＞

x

≥0[x]原=1–x0≥

x

＞1x=0.1000000[x]原

=1(0.1000000)=1.1000000x=

+0.1000000[x]原

=0.1000000用小數(shù)點

將符號位和數(shù)值部分隔開用小數(shù)點

將符號位和數(shù)值部分隔開6.12024/1/116青島大學(xué)(2)舉例例6.1已知[x]原=1.0011求x解:例6.2已知[x]原=1,1100求x解:x=1

[x]原=1

1.0011=0.0011x=24

[x]原=100001,1100=1100–

–0.00111100由定義得由定義得6.12024/1/117青島大學(xué)例6.4

求x=0的原碼解:設(shè)x=+

0.0000例6.3已知[x]原=0.1101求x解：∴

x

=+0.1101同理，對于整數(shù)[+0

]原=0,0000[+

0.0000]原=0.0000x=

0.0000[

0.0000]原=1.0000[0

]原=1,0000∴[+

0]原

≠

[

0]原

根據(jù)定義∵[x]原=0.11016.12024/1/118青島大學(xué)原碼的特點：簡單、直觀但是用原碼作加法時，會出現(xiàn)如下問題：能否只作加法?

找到一個與負(fù)數(shù)等價的正數(shù)來代替這個負(fù)數(shù)就可使減加加法正正加加法正負(fù)加法負(fù)正加法負(fù)負(fù)減減加

要求

數(shù)1數(shù)2

實際操作結(jié)果符號正可正可負(fù)可正可負(fù)負(fù)6.12024/1/119青島大學(xué)-123(1)補的概念時鐘逆時針-363順時針+96153.補碼表示法可見3可用+9代替記作3≡+9（mod12）同理4≡+8（mod12）5≡+7（mod12）

時鐘以

12為模減法加法6.1稱+9是3以12為模的補數(shù)2024/1/1110青島大學(xué)結(jié)論一個負(fù)數(shù)加上“?！奔吹迷撠?fù)數(shù)的補數(shù)一個正數(shù)和一個負(fù)數(shù)互為補數(shù)時它們絕對值之和即為模數(shù)

計數(shù)器（模16）–101110110000+010110111000010110000？可見1011可用+0101代替同理0110.1001自然去掉6.1記作1011（mod24）≡+0101（mod23）≡+101（mod2）≡+1.0111+

0101（mod24）≡1011（mod24）(2)正數(shù)的補數(shù)即為其本身+10000+10000兩個互為補數(shù)的數(shù)+0101+10101≡分別加上模結(jié)果仍互為補數(shù)∴+0101≡+0101+010124+1

–10111,0101用逗號

將符號位和數(shù)值部分隔開丟掉10110,1,??1011（mod24）可見?+01010101010110110101+（mod24+1）6.1100000=(3)補碼定義整數(shù)x

為真值n

為整數(shù)的位數(shù)[x]補=0，x2n

＞

x

≥02n+1+x0

＞

x

≥2n（mod2n+1）如x=+1010[x]補=27+1+(1011000)=[x]補=0,1010x=10110001,0101000用逗號

將符號位和數(shù)值部分隔開6.11011000100000000小數(shù)x

為真值x=+0.1110[x]補=x1＞

x

≥02+

x

0＞

x

≥1（mod2）如[x]補=0.1110x=0.11000001.0100000[x]補=2

+

(0.1100000)=用小數(shù)點將符號位和數(shù)值部分隔開6.10.110000010.00000002024/1/1114青島大學(xué)(4)求補碼的快捷方式=100000=1,011010101+1=1,0110又[x]原=1,1010則[x]補=24+11010=11111+11010=1111110101010當(dāng)真值為負(fù)

時，補碼

可用原碼除符號位外每位取反，末位加1求得6.1+1設(shè)x=1010時2024/1/1115青島大學(xué)(5)舉例解：x=+0.0001解：由定義得x=[x]補–2=1.0001–10.0000[x]原=1.1111例6.6已知[x]補=1.0001求x[x]補

[x]原

？由定義得6.1例6.5已知[x]補=0.0001求x∴x=0.1111

–=0.1111

–2024/1/1116青島大學(xué)例6.7解：x=[x]補–24+1

=1,1110–100000[x]原=1,0010當(dāng)真值為負(fù)

時，原碼

可用補碼除符號位外每位取反，末位加1求得[x]補

[x]原

？∴x=0010=0010求x已知[x]補=1,1110由定義得6.12024/1/1117青島大學(xué)真值0,10001101,01110100.11101.00100.00000.00001.00000,10001101,10001100.11101.11100.00001.0000不能表示練習(xí)求下列真值的補碼[1]補

=2+x=10.00001.0000=1.0000[+0]補=[0]補由小數(shù)補碼定義=1000110[x]補[x]原6.1x=+70x=0.1110x=0.0000x=70x=0.1110x=0.0000x=1.0000=1000110[x]補=x

1＞

x

≥02+

x0＞

x

≥1（mod2）184.反碼表示法(1)定義整數(shù)[x]反=0，x2n＞x≥0(2n+1–1)+x0≥x＞2n（mod2n+1

1）如x

=+1101[x]反=0,1101=1,0010x=1101[x]反=(24+11)1101=111111101用逗號

將符號位和數(shù)值部分隔開x

為真值n

為整數(shù)的位數(shù)6.119小數(shù)x

=+0.1101[x]反=

0.1101x=0.1010[x]反=(22-4)

0.1010=1.1111

0.1010=1.0101如[x]反=x1＞x≥0(2–2-n)+x0≥x＞1（mod22-n）用小數(shù)點

將符號位和數(shù)值部分隔開x

為真值6.1n為小數(shù)的位數(shù)2024/1/1120青島大學(xué)(2)舉例例6.10

求0的反碼設(shè)x=+

0.0000[+0.0000]反=0.0000解：同理，對于整數(shù)[+0]反=0,0000例6.9已知[x]反=1,1110求x例6.8已知[x]反=0,1110求x解：由定義得x=+1110解：6.1=1,111011111=0001由定義得x=[x]反(24+11)x=

0.0000[

0.0000]反=1.1111[0]反=1,1111∴[+0]反≠[0]反

21三種機(jī)器數(shù)的小結(jié)

對于正數(shù)，原碼=補碼=反碼

對于負(fù)數(shù)，符號位為1，其數(shù)值部分原碼除符號位外每位取反末位加1補碼原碼除符號位外每位取反反碼

最高位為符號位，書寫上用“,”（整數(shù)）或“.”（小數(shù)）將數(shù)值部分和符號位隔開6.12024/1/1122青島大學(xué)例6.11000000000000000100000010…011111111000000010000001111111011111111011111111…128129-0-1-128-127-127-126二進(jìn)制代碼無符號數(shù)對應(yīng)的真值原碼對應(yīng)的真值補碼對應(yīng)的真值反碼對應(yīng)的真值012127…253254255…-125-126-127…-3-2-1…-2-1-0…+0+1+2+127…+0+1+2+127…+0+1+2+127…6.1+0設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（其中１位為符號位）對于整數(shù)，當(dāng)其分別代表無符號數(shù)、原碼、補碼和反碼時，對應(yīng)的真值范圍各為多少？例6.12解：已知[y]補求[y]補<Ⅰ>[y]補=0.y1

y2

yn…y

=0.

y1y2

yn…y=0.y1

y2

yn…[y]補=1.y1

y2

yn+2-n…<Ⅱ>[y]補=1.y1

y2

yn…[y]原

=1.y1y2

yn+2-n…

y

=（0.y1y2

yn

+2-n）…

y

=0.y1y2

yn+2-n…[y]補

=0.y1

y2

yn+2-n…設(shè)[y]補=y0.y1y2

yn…6.1每位取反，即得[y]補[y]補連同符號位在內(nèi)，末位加1每位取反，即得[y]補[y]補連同符號位在內(nèi)，末位加15.移碼表示法補碼表示很難直接判斷其真值大小如十進(jìn)制x=+21x=–21x=

+31x=–31x+25+10101+100000+11111+10000010101+10000011111+100000大大錯錯大大正確正確0,101011,010110,111111,00001+10101–

10101+11111–

11111=110101=001011=111111=000001二進(jìn)制補碼6.1(1)移碼定義x

為真值，n

為整數(shù)的位數(shù)移碼在數(shù)軸上的表示[x]移碼2n+1–12n2n

–1–2n00真值如x=10100[x]移=25+10100用逗號

將符號位和數(shù)值部分隔開x=–10100[x]移=25

–10100[x]移=2n+x（2n＞x

≥2n）=1,10100=0,011006.1(2)移碼和補碼的比較設(shè)x=+1100100[x]移=27+1100100[x]補=0,1100100設(shè)x=–1100100[x]移=27

–1100100[x]補=1,0011100補碼與移碼只差一個符號位=1,1100100=0,001110010016.12024/1/1127青島大學(xué)-100000-11111-11110-00001±00000+00001+00010+11110+11111……真值x(n

=

5)[x]補[x]移[x]移對應(yīng)的十進(jìn)制整數(shù)(3)真值、補碼和移碼的對照表……012313233346263……000000000010000001011111100000100001100010111110111111……011111011110000010000001000000111111100010100001100000-100000±00000+111110000001111110000001000006.1

當(dāng)x=0時[+0]移=25+0

當(dāng)n=5時可見，最小真值的移碼為全0(4)移碼的特點用移碼表示浮點數(shù)的階碼能方便地判斷浮點數(shù)的階碼大小=1,00000=1,00000=0000006.1[0]移=250∴[+0]移=[0]移[

100000]移=25

100000最小的真值為25=

1000002024/1/11第６章計算機(jī)的運算方法6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)6.3定點運算6.2數(shù)的定點表示和浮點表示6.4浮點四則運算6.5算術(shù)邏輯單元2024/1/116.2數(shù)的定點表示和浮點表示一、定點表示二、浮點表示1.浮點數(shù)的表示形式2.浮點數(shù)的表示范圍3.浮點數(shù)的規(guī)格化形式4.浮點數(shù)的規(guī)格化三、舉例四、IEEE754標(biāo)準(zhǔn)2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)316.2數(shù)的定點表示和浮點表示小數(shù)點按約定方式標(biāo)出一、定點表示Sf

S1S2

Sn…數(shù)符數(shù)值部分小數(shù)點位置Sf

S1S2

Sn…數(shù)符數(shù)值部分小數(shù)點位置或定點機(jī)小數(shù)定點機(jī)整數(shù)定點機(jī)原碼補碼反碼–(1–2-n)~+(1–2-n)–(2n

–1)~+(2n

–1)–1~+(1–2-n)–2n~+(2n

–1)–(1–2-n)~+(1–2-n)–(2n

–

1)~+(2n

–1)6.2數(shù)的定點表示和浮點表示一、定點表示二、浮點表示1.浮點數(shù)的表示形式2.浮點數(shù)的表示范圍3.浮點數(shù)的規(guī)格化形式4.浮點數(shù)的規(guī)格化三、舉例四、IEEE754標(biāo)準(zhǔn)2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)33二、浮點表示為什么在計算機(jī)中要引入浮點數(shù)表示？浮點表示的格式是什么？尾數(shù)和階碼的基值必須是2嗎？基值的影響？表數(shù)范圍與精度和哪些因素有關(guān)？為什么要引入規(guī)格化表示?目前浮點數(shù)表示格式的標(biāo)準(zhǔn)是什么？2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)34二、浮點表示為什么要引入浮點數(shù)表示編程困難，程序員要調(diào)節(jié)小數(shù)點的位置；數(shù)的表示范圍小，為了能表示兩個大小相差很大的數(shù)據(jù)，需要很長的機(jī)器字長；例如：太陽的質(zhì)量是0.2*1034克，一個電子的質(zhì)量大約為0.9*10-27克，兩者的差距為1061以上，若用定點數(shù)據(jù)表示：2x>1061，解的，x>203位。數(shù)據(jù)存儲單元的利用率往往很低。二、浮點表示N=S×rj浮點數(shù)的一般形式S

尾數(shù)j

階碼r

尾數(shù)的基值計算機(jī)中r

取2、4、8、16等當(dāng)r=2N=11.0101=0.110101×210=1.10101×21=1101.01×2-10

=0.00110101×2100

計算機(jī)中S

小數(shù)、可正可負(fù)j

整數(shù)、可正可負(fù)

規(guī)格化數(shù)二進(jìn)制表示6.22024/1/11361.浮點數(shù)的表示形式Sf

代表浮點數(shù)的符號n

其位數(shù)反映浮點數(shù)的精度m

其位數(shù)反映浮點數(shù)的表示范圍jf

和m

共同表示小數(shù)點的實際位置6.2jf

j1

j2

jm

Sf

S1S2

Sn

……j

階碼S

尾數(shù)階符數(shù)符階碼的數(shù)值部分尾數(shù)的數(shù)值部分小數(shù)點位置2024/1/1137青島大學(xué)2.浮點數(shù)的表示范圍–2(2m–1)×(1

–

2–n)–2–(2m–1)×2–n2(2m–1)×(1

–

2–n)2–(2m–1)×2–n最小負(fù)數(shù)最大負(fù)數(shù)最大正數(shù)最小正數(shù)負(fù)數(shù)區(qū)正數(shù)區(qū)下溢0上溢上溢–215

×(1

–

2-10)

–2-15

×2-10

215

×(1

–

2-10)

設(shè)m=4

n=10上溢階碼>最大階碼下溢階碼<最小階碼按機(jī)器零

處理6.22-15

×2-10

2024/1/1138練習(xí)

設(shè)機(jī)器數(shù)字長為24位，欲表示±3萬的十進(jìn)制數(shù)，試問在保證數(shù)的最大精度的前提下，除階符、數(shù)符各取1位外，階碼、尾數(shù)各取幾位？滿足最大精度可取

m=4，n=18解：…m=4，5，6，如果是定點數(shù)15位二進(jìn)制數(shù)可反映±3萬之間的十進(jìn)制數(shù)∴215

=32768214

=16384∵6.2215×0.×××

×××n位…2024/1/1139青島大學(xué)3.浮點數(shù)的規(guī)格化形式r=2尾數(shù)最高位為1r=4尾數(shù)最高2位不全為0r=8尾數(shù)最高3位不全為04.浮點數(shù)的規(guī)格化r=2左規(guī)尾數(shù)左移1位，階碼減1右規(guī)尾數(shù)右移1位，階碼加1r=4左規(guī)尾數(shù)左移2位，階碼減1右規(guī)尾數(shù)右移2位，階碼加1r=8左規(guī)尾數(shù)左移3位，階碼減1右規(guī)尾數(shù)右移3位，階碼加1基數(shù)r

越大，可表示的浮點數(shù)的范圍越大基數(shù)不同，浮點數(shù)的規(guī)格化形式不同基數(shù)r

越大，浮點數(shù)的精度降低6.240例如：最大正數(shù)=215×(1–2–10)

2+1111×0.111111111110個1最小正數(shù)最大負(fù)數(shù)最小負(fù)數(shù)=2–15×2–1

=–215×(1–2–10)

=2–16=–2–15×2–1

=–2–162-1111×0.10000000009個02-1111×(–0.1000000000)9個02+1111×(–0.1111111111)10個1設(shè)m=4，n=10，r=2尾數(shù)規(guī)格化后的浮點數(shù)表示范圍6.22024/1/11三、舉例例6.13將+寫成二進(jìn)制定點數(shù)、浮點數(shù)及在定點機(jī)和浮點機(jī)中的機(jī)器數(shù)形式。其中數(shù)值部分均取10位，數(shù)符取1位，浮點數(shù)階碼取5位（含1位階符），尾數(shù)規(guī)格化。19128解：設(shè)

x=+19128二進(jìn)制形式定點表示浮點規(guī)格化形式[x]原=1,0010;0.1001100000[x]補=1,1110;0.1001100000[x]反=1,1101;0.1001100000定點機(jī)中浮點機(jī)中000x=0.0010011x=0.0010011x=0.1001100000×2-10[x]原=[x]補=[x]反=0.00100110006.22024/1/11x=–1110100000例6.14將–58表示成二進(jìn)制定點數(shù)和浮點數(shù)，并寫出它在定點機(jī)和浮點機(jī)中的三種機(jī)器數(shù)及階碼為移碼、尾數(shù)為補碼的形式（其他要求同上例）。解：設(shè)

x=–58二進(jìn)制形式定點表示浮點規(guī)格化形式[x]原=1,0000111010[x]補=1,1111000110[x]反=1,1111000101[x]原=0,0110;1.1110100000[x]補=0,0110;1.0001100000[x]反=0,0110;1.0001011111定點機(jī)中浮點機(jī)中[x]階移、尾補=1,0110;1.0001100000x=–111010x=–(0.1110100000)×21106.2

當(dāng)浮點數(shù)尾數(shù)為0時，不論其階碼為何值

按機(jī)器零處理機(jī)器零

當(dāng)浮點數(shù)階碼等于或小于它所表示的最小數(shù)

時，不論尾數(shù)為何值，按機(jī)器零處理如m=4n=10當(dāng)階碼用移碼，尾數(shù)用補碼表示時，機(jī)器零為0,0000；0.000

…

1,0000；×.×××

…×,××××；0.000

…有利于機(jī)器中“判0”電路的實現(xiàn)當(dāng)階碼和尾數(shù)都用補碼表示時，機(jī)器零為6.2（階碼=16）44四、IEEE754標(biāo)準(zhǔn)短實數(shù)長實數(shù)臨時實數(shù)符號位S

階碼尾數(shù)總位數(shù)1

8233211152641156480S

階碼（含階符）尾數(shù)數(shù)符小數(shù)點位置尾數(shù)為規(guī)格化表示非“0”的有效位最高位為“1”（隱含）6.22024/1/1145青島大學(xué)第６章計算機(jī)的運算方法6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)6.3定點運算6.2數(shù)的定點表示和浮點表示6.4浮點四則運算6.5算術(shù)邏輯單元2024/1/1146青島大學(xué)6.3定點運算一、移位運算二、加減法運算三、乘法運算四、除法運算2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)476.3定點運算一、移位運算1、移位運算的數(shù)學(xué)意義2、算術(shù)移位規(guī)則3、算術(shù)移位的硬件實現(xiàn)4、算術(shù)移位與邏輯移位的區(qū)別2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)486.3定點運算一、移位運算1.移位的意義15m=1500cm小數(shù)點右移2位機(jī)器用語15相對于小數(shù)點左移2位（小數(shù)點不動）..左移絕對值擴(kuò)大右移絕對值縮小在計算機(jī)中，移位與加減配合，能夠?qū)崿F(xiàn)乘除運算2.算術(shù)移位規(guī)則1右移添1左移

添00反碼補碼原碼負(fù)數(shù)0原碼、補碼、反碼正數(shù)添補代碼碼制符號位不變6.32024/1/1150青島大學(xué)x=-0.x1x2…xk100…000[x]補=1.x1x2…xk100…000例6.16設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含１位符號位），寫出A=+26時，三種機(jī)器數(shù)左、右移一位和兩位后的表示形式及對應(yīng)的真值，并分析結(jié)果的正確性。解：A=+26則[A]原=[A]補=[A]反=0,0011010+

60,0000110+130,0001101+1040,1101000+

520,0110100+260,0011010移位前[A]原=[A]補=[A]反對應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作=+110106.3左移一位左移兩位右移一位右移兩位例6.17設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含１位符號位），寫出A=–26時，三種機(jī)器數(shù)左、右移一位和兩位后的表示形式及對應(yīng)的真值，并分析結(jié)果的正確性。解：A=–26–61,0000110–131,0001101–1041,1101000–521,0110100–261,0011010移位前對應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作原碼=–110106.3左移一位左移兩位右移一位右移兩位2024/1/1152青島大學(xué)–61,1111001–131,1110010–1041,0010111–521,1001011–261,1100101移位前對應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作–71,1111001–131,1110011–1041,0011000–521,1001100–261,1100110移位前對應(yīng)的真值機(jī)器數(shù)移位操作補碼反碼6.3左移一位左移兩位右移一位右移兩位左移一位左移兩位右移一位右移兩位3.算術(shù)移位的硬件實現(xiàn)（a）真值為正（b）負(fù)數(shù)的原碼（c）負(fù)數(shù)的補碼（d）負(fù)數(shù)的反碼00010丟1丟1出錯影響精度出錯影響精度正確影響精度正確正確6.32024/1/1154青島大學(xué)4.算術(shù)移位和邏輯移位的區(qū)別算術(shù)移位有符號數(shù)的移位邏輯移位無符號數(shù)的移位邏輯左移邏輯右移低位添0，高位移丟高位添0，低位移丟例如

01010011邏輯左移10100110邏輯右移01011001算術(shù)左移算術(shù)右移0010011011011001（補碼）高位1移丟010100110Cy0101001100101100106.36.3定點運算一、移位運算1、移位運算的數(shù)學(xué)意義2、算術(shù)移位規(guī)則3、算術(shù)移位的硬件實現(xiàn)4、算術(shù)移位與邏輯移位的區(qū)別2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)566.3定點運算一、移位運算二、加減法運算三、乘法運算四、除法運算2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)57但是用原碼作加法時，會出現(xiàn)如下問題：能否只作加法?

找到一個與負(fù)數(shù)等價的正數(shù)來代替這個負(fù)數(shù)就可使減加加法正正加加法正負(fù)加法負(fù)正加法負(fù)負(fù)減減加

要求

數(shù)1數(shù)2

實際操作結(jié)果符號正可正可負(fù)可正可負(fù)負(fù)2024/1/1158青島大學(xué)6.3定點運算二、加減法運算1、補碼加減法運算的公式2、舉例3、溢出的判斷4、補碼加減法的硬件配置2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)59二、加減法運算1.補碼加減運算公式(1)加法(2)減法整數(shù)

[A]補+[B]補=[A+B]補（mod2n+1）小數(shù)[A]補+[B]補=[A+B]補（mod2）A–B=A+(–B

)整數(shù)[A

–B]補=[A+(–B

)]補=[A]補+[

–

B]補(mod2n+1)小數(shù)[A

–B]補=[A+(–B

)]補(mod2)連同符號位一起相加，符號位產(chǎn)生的進(jìn)位自然丟掉=[A]補+[

–

B]補6.32024/1/11青島大學(xué)2.舉例解：[A]補[B]補[A]補+[B]補+=0.1011=1.1011=10.0110=[A+B]補驗證例6.18設(shè)A=0.1011，B=–

0.0101求[A+B]補0.1011–0.01010.0110∴A+B

=0.0110[A]補[B]補[A]補+[B]補+=1,0111=1,1011=11,0010=[A+B]補驗證–1001–1110–0101+例6.19設(shè)A=–9，B=–5求[A+B]補解：∴A+B

=–11106.361例6.20設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含1位符號位）且A=15，B=24，用補碼求A

–B解：A=15=0001111B=24=0011000[A]補+[–

B]補+[A]補=0,0001111[–

B]補=1,1101000=1,1110111=[A

–

B]補[B]補=0,0011000練習(xí)1設(shè)x=y=，用補碼求x+y9161116x+y=–0.1100=1216–練習(xí)2設(shè)機(jī)器數(shù)字長為8位（含1位符號位）且A=–97，B=+41，用補碼求A

–

BA

–B=+1110110=+118∴A

–B=–1001=–9錯錯6.32024/1/11623.溢出判斷(1)一位符號位判溢出參加操作的兩個數(shù)（減法時即為被減數(shù)和“求補”以后的減數(shù)）符號相同，其結(jié)果的符號與原操作數(shù)的符號不同，即為溢出硬件實現(xiàn)最高有效位的進(jìn)位符號位的進(jìn)位=1如10=101=1有

溢出00=011=0無

溢出6.3溢出63(2)兩位符號位判溢出[x]補'

=

x1＞x≥04+x0＞x≥–1（mod4）[x]補'+[y]補'=[x+y]補'（mod4）[x

–y]補'=[x]補'+[–

y]補'（mod4）結(jié)果的雙符號位相同未溢出結(jié)果的雙符號位不同溢出最高符號位代表其真正的符號00.×××××11.×××××10.×××××01.×××××00,×××××11,×××××10,×××××01,×××××6.3644.補碼加減法的硬件配置V0

A

nGAGS

加法器（n+1）溢出判斷求補控制邏輯0

X

nA、X均n+1位用減法標(biāo)記GS

控制求補邏輯6.32024/1/1165青島大學(xué)6.3定點運算一、移位運算二、加減法運算三、乘法運算四、除法運算2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)666.3定點運算三、乘法運算計算機(jī)中怎么做二進(jìn)制的乘法運算呢可以分析一下筆算乘法是怎么做的筆算乘法的分析筆算乘法的改進(jìn)原碼的乘法運算補碼的乘法運算2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)67三、乘法運算1.分析筆算乘法A=–0.1101B=0.1011A×B=–0.100011110.11010.101111011101000011010.10001111符號位單獨處理乘數(shù)的某一位決定是否加被乘數(shù)4個位積一起相加乘積的位數(shù)擴(kuò)大一倍×乘積的符號心算求得

？6.32024/1/1168青島大學(xué)2.筆算乘法改進(jìn)A

?B=A

?0.1011=0.1A+0.00A+0.001A+0.0001A=0.1A+0.00A+0.001(A+0.1A)=0.1A+0.01[0?

A+0.1(A+0.1A)]=0.1{A+0.1[0?

A+0.1(A+0.1A)]}=2-1{1?A+2-1[0

?

A+2-1(1?A+2-1(1?A+0))]}①②⑧第一步被乘數(shù)A

+0第二步右移一位，得新的部分積第八步右移一位，得結(jié)果③第三步部分積

+

被乘數(shù)…右移一位6.33.改進(jìn)后的筆算乘法過程（豎式）0.00000.11010.11010.11010.00000.1101初態(tài)，部分積=0乘數(shù)為1，加被乘數(shù)乘數(shù)為1，加被乘數(shù)乘數(shù)為0，加01.001110.1001111.0001111乘數(shù)為1，加被乘數(shù)0.100011111，得結(jié)果1011=0.01101，形成新的部分積1101=0.10011，形成新的部分積1110=0.01001，形成新的部分積1111=部分積乘數(shù)說明6.3＋＋＋＋70小結(jié)

被乘數(shù)只與部分積的高位相加

由乘數(shù)的末位決定被乘數(shù)是否與原部分積相加，然后1位形成新的部分積，同時乘數(shù)1

位（末位移丟），空出高位存放部分積的低位。硬件3

個寄存器，其中2個具有移位功能1

個全加器6.3

乘法

運算可用加和移位實現(xiàn)

n=4，加4次，移4次2024/1/1171青島大學(xué)6.3定點運算三、乘法運算計算機(jī)中怎么做二進(jìn)制的乘法運算呢可以分析一下筆算乘法是怎么做的筆算乘法的分析筆算乘法的改進(jìn)原碼的乘法運算補碼的乘法運算2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)72運算規(guī)則遞推公式舉例硬件配置4.原碼乘法(1)原碼一位乘運算規(guī)則以小數(shù)為例設(shè)[x]原=x0.x1x2

xn…[y]原=y0.y1y2

yn…=(x0

y0).x*y*[x

?y]原=(x0

y0).(0.x1x2

xn)(0.y1y2

yn)……式中x*=0.x1x2

xn

為x

的絕對值…y*=0.y1y2

yn

為y

的絕對值…乘積的符號位單獨處理x0

y0數(shù)值部分為絕對值相乘x*?

y*6.373(2)原碼一位乘遞推公式x*?

y*=x*(0.y1y2

yn)…=x*(y12-1+y22-2++yn2-n)…=2-1(y1x*+2-1(y2x*+2-1(ynx*+0)))……z1znz0=0z1=2-1(ynx*+z0)z2=2-1(yn-1x*+z1)zn=2-1(y1x*+zn-1)……z06.32024/1/1174青島大學(xué)例6.21已知x=–0.1110y=0.1101求[x?y]原解：6.3數(shù)值部分的運算0.00000.11100.11100.00000.11100.1110部分積初態(tài)z0=0部分積乘數(shù)說明0.011101.0001101.01101100.101101101，得

z4邏輯右移1101=0.01111，得

z10110=0.00111，得

z21011=0.10001，得

z31101=邏輯右移邏輯右移邏輯右移+++++x*+0+x*+x*75②數(shù)值部分按絕對值相乘①乘積的符號位

x0

y0=10=1x*?

y*=0.10110110則[x

?

y]原

=1.10110110特點絕對值運算邏輯移位例6.21結(jié)果用移位的次數(shù)判斷乘法是否結(jié)束6.32024/1/1176青島大學(xué)(3)原碼一位乘的硬件配置A、X、Q均n+1位移位和加受末位乘數(shù)控制0

An加法器控制門0

Xn

移位和加控制計數(shù)器CSGM0Qn右移6.36.3定點運算一、移位運算二、加減法運算三、乘法運算四、除法運算2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)786.3定點運算三、乘法運算1.分析筆算乘法2.筆算乘法的改進(jìn)3.改進(jìn)后的乘法筆算過程4.原碼一位乘5.補碼一位乘2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)795.補碼乘法設(shè)被乘數(shù)乘數(shù)[x]補=x0.x1x2

xn…[y]補=y0.y1y2

yn…①被乘數(shù)任意，乘數(shù)為正與原碼乘相似但加

和移位

按補碼規(guī)則運算乘積的符號自然形成②被乘數(shù)任意，乘數(shù)為負(fù)乘數(shù)[y]補，去掉符號位，操作同①

最后加[–x]補，校正(1)補碼一位乘運算規(guī)則6.3以小數(shù)為例2024/1/1180青島大學(xué)③Booth算法（被乘數(shù)、乘數(shù)符號任意）設(shè)[x]補=x0.x1x2

xn[y]補=y0.y1y2

yn……[x

·y]補=[x]補(0.y1

yn)–[x]補

·y0…=[x]補(y12-1+y22-2++yn2-n)–[x]補

·y0…=[x]補(–y0+y1

2-1+y22-2++yn2-n)…=[x]補[–y0+(y1–

y12-1)+(y22-1–y22-2)++(yn2-(n-1)–yn2-n)]…=[x]補[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn–yn-1)2-(n-1)+(0

–yn)2-n)]…y'1

2-1++…y'n

2-n–[x]補=+[–x]補

2-1=20

–2-12-2=2-1

–2-22-12-2=[x]補[(y1–y0)+(y2–y1)2-1++(yn+1–yn)2-n]…6.3

附加位

yn+1=y’0[x]補+2-1(y’1[x]補+2-1(y’2[x]補+2-1(y’n[x]補

+0)))……④Booth算法遞推公式[z0]補=0[z1]補=2-1{(yn+1–yn)[x]補+[z0]補}yn+1=0[zn]補=2-1{(y2–y1)[x]補+[zn-1]補}…[x

·

y]補=(y1–y0)[x]補+[zn]補最后一步不移位如何實現(xiàn)

+(yi+1–yi)[x]補

?000110111+[x]補

1+[–x]補

1101-106.3yi

yi+1操作yi+1–yi2024/1/1182青島大學(xué)例6.23已知x=+0.0011y=–0.1011求[x·y]補解：00.000011.110111.110100.001111.110100.001111.11011.0101000.0001111.11011100.000111111.11011111

[x]補=0.0011

[y]補=1.0101[–x]補=1.1101+[–x]補11.111011

01011+[x]補00.00001110101+[–x]補11.1110111101100.00001111101+[–x]補+[x]補∴

[x·y]補=1.11011111最后一步不移位6.3補碼右移補碼右移補碼右移補碼右移+++++2024/1/1183青島大學(xué)(2)Booth算法的硬件配置A、X、Q均n+2位移位和加法操作受乘數(shù)末兩位控制6.30An+1n+2位加法器控制門0Xn+10Qn

n+1移位和加控制邏輯計數(shù)器CGM00,110110右移2024/1/1184青島大學(xué)乘法小結(jié)原碼乘符號位單獨處理補碼乘符號位自然形成原碼乘去掉符號位運算即為無符號數(shù)乘法不同的乘法運算需有不同的硬件支持整數(shù)乘法與小數(shù)乘法過程完全相同可用逗號

代替小數(shù)點6.32024/1/1185青島大學(xué)6.3定點運算一、移位運算二、加減法運算三、乘法運算四、除法運算2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)866.3定點運算四、除法運算1.筆算除法是怎么做的2.如何用計算機(jī)硬件來模擬筆算除法的過程恢復(fù)余數(shù)法加減交替法2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)87四、除法運算1.分析筆算除法x=–0.1011y=0.1101求x÷y0.10110.1101⌒0.011010.010010.0011010.0001010.000011010.000001111商符單獨處理心算上商余數(shù)不動低位補“0”減右移一位的除數(shù)上商位置不固定x÷y=–0.1101余數(shù)0.00000111商符心算求得00.101000

？？？6.32024/1/1188青島大學(xué)2.筆算除法和機(jī)器除法的比較筆算除法機(jī)器除法商符單獨處理心算上商符號位異或形成|x|–|y|＞0上商1|x|–|y|＜0上商0余數(shù)不動

低位補“0”減右移一位的除數(shù)2倍字長加法器上商位置不固定余數(shù)左移一位

低位補“0”減

除數(shù)1倍字長加法器在寄存器最末位上商6.32024/1/1189青島大學(xué)3.原碼除法以小數(shù)為例[x]原=x0.x1x2

xn…[

y]原=y0.y1y2

yn…式中

x*=0.x1x2

xn

為x

的絕對值

y*=0.y1y2

yn

為y

的絕對值……數(shù)值部分為絕對值相除x*y*被除數(shù)不等于0除數(shù)不能為0小數(shù)定點除法x*＜y*整數(shù)定點除法x*＞

y*商的符號位單獨處理

x0

y0[]原=(x0

y0).xyx*y*約定6.32024/1/1190(1)恢復(fù)余數(shù)法0.10111.00111.00111.00110.0000+[–y*]補01.1110余數(shù)為負(fù)，上商00.1101恢復(fù)余數(shù)00.1001余數(shù)為正，上商1+[–y*]補1.0110011.0010011+[–y*]補解：被除數(shù)（余數(shù)）商說明[x]原=1.1011[y]原

=1.1101①x0

y0=1

1=0②x=–0.1011

y=–0.1101求[]原

xy例6.2410.1011恢復(fù)后的余數(shù)0+[y*]補[y*]補=0.1101[–y*]補

=1.0011邏輯左移邏輯左移6.3++++910.010101余數(shù)為正，上商1被除數(shù)（余數(shù)）商說明1.00110.11011.001110.1010011+[–y*]補1.1101011

余數(shù)為負(fù)，上商0恢復(fù)余數(shù)1.010001101+[–y*]補0.01110110

余數(shù)為正，上商1=0.1101x*y*∴[]原xy=0.1101上商5次第一次上商判溢出余數(shù)為正上商1余數(shù)為負(fù)上商0，恢復(fù)余數(shù)移4次100.1010恢復(fù)后的余數(shù)011

01+[y*]補邏輯左移6.3邏輯左移+++2024/1/1192(2)不恢復(fù)余數(shù)法余數(shù)Ri＞0上商“1”，2Ri

–y*余數(shù)Ri＜0上商“0”，

Ri

+y*恢復(fù)余數(shù)2(Ri+y*)–y*=2Ri

+y*加減交替恢復(fù)余數(shù)法運算規(guī)則不恢復(fù)余數(shù)法運算規(guī)則上商“1”2Ri–y*

上商“0”2Ri+y*（加減交替法）6.32024/1/1193青島大學(xué)x=–0.1011y=–0.1101求[]原xy解：例6.250.10111.00110.11011.00111.00110.11010.0000+[–y*]補01.1110余數(shù)為負(fù)，上商01.110001+[y*]補00.1001余數(shù)為正，上商1+[–y*]補1.0010011+[–y*]補+[y*]補0.101001111.1010011010.010101余數(shù)為正，上商10.01110110余數(shù)為正，上商11.1101011余數(shù)為負(fù)，上商0[x]原=1.1011[y*]補=0.1101[–y*]補=1.0011[y]原=1.11011101邏輯左移6.3[x*]補=0.1011邏輯左移邏輯左移邏輯左移＋＋＋＋＋2024/1/1194青島大學(xué)①x0

y0=1

1=0②x*y*=0.1101∴=0.1101[]原xy上商n+1次例6.25結(jié)果特點用移位的次數(shù)判斷除法是否結(jié)束第一次上商判溢出移n

次，加n+1次6.32024/1/1195青島大學(xué)(3)原碼加減交替除法硬件配置A、X、Q均n

+1位用Qn控制加減交替6.396

0

A

nn+1位加法器控制門0

X

n0Q

n

計數(shù)器CGD加減移位和加控制邏輯SV左移第６章計算機(jī)的運算方法6.1無符號數(shù)和有符號數(shù)6.3定點運算6.2數(shù)的定點表示和浮點表示6.4浮點四則運算6.5算術(shù)邏輯單元2024/1/1197青島大學(xué)6.4浮點四則運算浮點數(shù)的加減運算對階尾數(shù)求和規(guī)格化舍入溢出判斷舉例浮點的乘除法運算……2024/1/11哈爾濱工業(yè)大學(xué)986.4浮點四則運算一、浮點加減運算x=Sx

·2jxy=Sy

·2jy1.對階(1)求階差(2)對階原則Δj=jx

–jy=jx=jy

已對齊jx＞

jy

jx＜

jy

x

向

y

看齊y

向

x

看齊x

向

y

看齊y

向

x

看齊小階向大階看齊Sx1,Sy1,Sx1,Sy1,=0＞0＜0

jx–1jy+1jx+1jy–12024/1/1199青島大學(xué)例如x=0.1101

×

201

y=(–0.1010)

×

211求x

+

y解：[x]補=00,01;00.1101[y]補=00,11;11.01101.對階[Δj]補=[jx]補

–[jy]補=00,0111,0111,10階差為負(fù)（–

2）[Sx]補'

=

00.0011[Sy]補=11.011011.1001∴Sx2jx+2∴[x+y]補=00,11;11.1001②對階[x]補'=00,11;00.0011++對階后的[Sx]補'

6.4①求階差2.尾數(shù)求和2024/1/111003.規(guī)格化(1)規(guī)格化數(shù)的定義(2)規(guī)格化數(shù)的判斷r=2≤|S|＜1

12S＞0真值原碼補碼反碼規(guī)格化形式S＜0規(guī)格化形式真值原碼補碼反碼0.1×××…0.1×××…0.1×××…0.1×××…原碼不論正數(shù)、負(fù)數(shù)，第一數(shù)位為1補碼符號位和第一數(shù)位不同–0.1××

×…1.1×××…1.0×××…