測試技術(shù)-(第二版)課后習(xí)題答案

測試技術(shù)

第一章習(xí)題(P29)

1-1肝信號，齡朋楠號?射邸用幅號？用個嬲姊號？電儲航骼具仰陛標(biāo)？

(1)cos271，5?e7*”

(2)sin2ir/0?+4sinf°t

(3)cos2ir/o/+2cos

解：

(1)瞬變信號一指數(shù)衰減振蕩信號，其頻譜具有連續(xù)性和衰減性。

(2)準(zhǔn)周期信號，因為各簡諧成分的頻率比為無理數(shù)，其頻譜仍具有離散

性。

(3)周期信號，因為各簡諧成分的頻率比為無理數(shù)，其頻譜具有離散性、

諧波性和收斂性。

1-2求信號i(t)=sin2nfot的有效值(均方根值)］皿,=J(t)由；

解：x(t)=sin2成f的有效值(均方根值):

1-3用觸騰懶三觸飆開魂豌魏時,楣期三轍佃12)版著腓趟乩

解：周期三角波的時域數(shù)學(xué)描述如下：

(1)傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開:

1}/22所/221

4)=ZT

/。7。/27；」)To2

%x(t)cosnco0tdt

4再/22

(1---t)cosna)0tdt

To70

4.njr.,〃=1,3,5,…

-sm~2—=<n

222

"k[o九=2,4,6,…

，/2

bn=—fx(t)sinna)()tdt，式中由于x(t)是偶函數(shù)，sin〃陽是奇函數(shù)，

則x(f)s：n"如也是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在上下限對稱區(qū)間上的積分等于0。故

b“=。。

因此，其三角函數(shù)展開式如下:

14￡1.

7+=in(ncot+7i/2)

271汽〃0

其頻譜如下圖所示:

單邊幅頻譜單邊相頻譜

(2)復(fù)指數(shù)展開式

復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開式之間的關(guān)系如下:

故有

2

2〃=1,3,5,…

.9〃萬22

=sin~——7271

RPCNan/2-22

幾712

0〃=2,4,6,…

=—

IRICNbn/2—0

I。=4=劭=/

|C|=；亞+彳=|A?=

Jb

2

（j）n-arctg-n—^=arctg（一一-）=0

■ReCn

實頻譜1

2

2

”_2_

工「9/2

25/25」

---------1----------<---------?

3（）3co（）5co（）co

虛頻譜

-5tt）o-3C0Q-COQ0CDQ3（i）o5CDQCO

雙邊幅頻譜tied

2

2

2

272

29^9%22

25/25儲

II'>

-5C0Q-3CO()-COQ0COQ3C0()53()(D

0,

雙邊相頻譜

-5coo-3CDQ-COQ0CDo3C0Q5cooCD

1-4求三角形窗函數(shù)（圖1,22）的頻譜，并作頻譜圖。

解：該三角形窗函數(shù)是一非周期函數(shù)，其時域數(shù)學(xué)描述如下:

^-<t<0

1+—

Tq2

無⑴=.

1--0<r<—

T°2

用傅里葉變換求頻譜。

x(t)e~j2^'dt

=f,/2(l-—dt+

1I；/+尹…

t)de-j2^+「（1+尹血-『

j--Zi)/2

J27tf為TQ

-12-，2小7（）/2r°/2e-^dd-^t)]

——{[(i--n^0

1-5熠1,23麻指數(shù)衰髓蕩函數(shù)Nf）=「“sin爾（0>0為常數(shù)）的頻獴并作娜吼

1

圖1.23題1一5圖

解：

方法一，直接根據(jù)傅里葉變換定義來求。

X(G)=px(t)e-jMdt

?r-00

7

a,j(0

e~sina)ot?e~'dt

e-(a+〃*5如"％)〃

J^~(a+j<v+jm)i_eTa+js-j詢X)dt

p0

^a+jco+jcoo)!-(a+jco-jcof^t

”(a+/G+雙)00

彳-0------------

{a+jco-jco^

=411

2a+，(69+g)

①。_______

a2+9)2-co2+jlaco

*(/)!

方法二，根據(jù)傅里葉變換的頻移特性來求。

0

單邊指數(shù)衰減函數(shù):

]

(a+jco)

a-ja)

a2+,c八o2

1

歸(。)|二I22

7a+①

..、co

隊0)■=-arctg一

a

根據(jù)頻移特性可求得該指數(shù)衰減振蕩函數(shù)的頻譜如下：

X(o)=FT[/(r)sina)ot]=—[F((w-690)-F((w+<w0)]

2j

=—[------!--------------------!--------]

2./Q+jO—%)"+/(/+%)

=_______%________

+①(「—co?+j2aco

根據(jù)頻移特性得卜列頻譜

^[F(co-co0}+F{a)+co^]

卜6已如某朋N，）的解X（/）（圖L24）,求i（，）cos2加伍》幻睚蟲并作頻蒯高

h<g牖舲出現(xiàn)什么情山

圖1.24題1-6圖

解：利用頻移特性來求，具體思路如下：

當(dāng)f?！?。時，頻譜圖會出現(xiàn)混疊，如下圖所示。

1-7求被矩形窗函數(shù)截斷的余弦函數(shù)cos%，（圖1.25）的頻諳，并作頻譜圖

cwsd)Qt|Z|<7'

0\i\>T

解:

圖1.25題1-7圖

X。)=w(Z)coso>0Z

X3)=g[W3-/)+W3+/)]

=T[sinc(a>—co^)T+sinc(<z>+/z>0)T]

其頻譜圖如上圖所示。

1-9求i（￡）=sin（24，）的絕對均值181二染］「?。?⑴池和均方值此

10」0

解:

yo

o/2

sin2時°dt+：(-sin2a)力］

0/2

=；［一cos2/o小〃+cos2<r|^/2］

/()

=2/〃

1,sin22優(yōu)/dt

=-^rf'(l-cos4<r)dt

，/0

1

=辦-sin4成小))

4<

=1/2

第二章習(xí)題(P68)

2-1已知信號的自相關(guān)函數(shù)R：l號,n(50r).求該信號的均方值武“

解：甲；=R,(0)=lim(—)sin(50r)=lim3000(Sin5(k)=3000

r—>0r050r

2-2求xQ)的自相關(guān)函數(shù)

IAe-u,r2,a>0

Jr(O=\

lorVO

解:

7?v(r)=lim%?)%?+r)dt

T—->>ooooJ-T

=lim[Ae~a,-Ae~a[,+T)dt

7—>ooJ)

=A2limf-e-aTdt

T->ooJ)

-ar^-latoo

=A“一；2a)e0

A2

=-Ae

2a

2-3求初始相角，為隨機(jī)變量的正弦函數(shù)M（￡）=ACOS（M+，）的自相關(guān)函數(shù)，如果,r（，）=ANn（明

+優(yōu)凡（r）有何變化?

解：對于周期信號可用一個周期代替其整體，故有

&C）="卜⑺加+了）力

=—￡A2cos（69f+0）COS[G?+r）+（/）]dt

式中，T是余弦函數(shù)的周期，T=2RG

令初+。=例弋入上式，則得

A2內(nèi)萬12

R、<T）=-----cos0cos[0-ra）T]d0=—Acos<z>r

2%■力2

若x（t）為正弦信號時，R,⑺結(jié)果相同。

第三章習(xí)題（P90）

3-2在使用靈敏度為80nC/MPa的壓電式力傳感器進(jìn)行壓力測量時，首先將它與增益為5mV/nC的電

荷放大器相連，電荷放大器接到靈敏度為25mm/V的筆試記錄儀上，試求該壓力測試系統(tǒng)的靈敏度.當(dāng)記錄

儀的輸山變化到30nun時，壓力變化為多少？

解：

S=SSS3=80nc/MP,X0.005V/ncX25mm/V=10mm/MP.

△P=Ax/S=30mm/10(mm/MPa)=3MPa

3-3把靈敏度為404X104pc/Pa的壓電式力傳感器與一臺靈敏度調(diào)到0.226mV/pc的電荷放大器相

接，求其總靈敏度。若要格總靈敏度調(diào)到16xiQ6mV/Pa,電荷放大器的靈敏度應(yīng)作如何調(diào)整？

解：

5=5,52=404X10'Pc/PaXO.226mV/Pc=9.13X103mV/Pa

S=S/S,=10-106ipV/Pa"2.48X10smV/Pc

2"404xl0-4Pc/Pa

37用一時間常數(shù)為2s的溫度計測量爐溫，當(dāng)爐溫在200?400t之間，并以150s為周期.技正弦規(guī)

律變化時，溫度計輸di的變化他國是多少？

解：r=2s,T=150s,⑦=2n/T

A((y)=1=1—=0.9965

Vl+(?r)241+(4萬/150)2

300-0.9965X100=200.35℃

300+0.9965X100=399.65℃

故溫度變化范圍在200.35?399.65℃

3*5一氣象氣球攜帶?一種時間常數(shù)為15s的溫度計，以5m/s的上升速度通過大氣層，設(shè)溫度隨所處

的尚度每升商30m下降0.15C的規(guī)律而變化，氣球?qū)囟群透叨鹊臄?shù)據(jù)用無線電送回地面，在30何m處

所記錄的溫度為-1Vo試問實際出現(xiàn)-11的真實高度是多少？

解：r=15s,T=30/5=6s,o=2n/T

A3)=-1=.-1==0.0635

Vl+((yr)2Jl+(15x2乃/6產(chǎn)

h高度處的實際溫度t=to-h*O.15/30

而在h高度處溫度計所記錄的溫度t'=A(o)t=A(o)(to-h*O.15/30)

由于在3000m高度溫度計所記錄的溫度為一1℃,所以有

—1=A(0)(63000*0.15/30)

求得to=-0.75℃

當(dāng)實際溫度為t=-1℃時，其真實高度可由下式求得：

t=t()-h*0.15/30,h=(t0-t)/0.005=(-0.75+l)/0.005=50m

3-6用一階系統(tǒng)對100Hz的正弦信號進(jìn)行測量時，如果要求振幅誤差在10%以內(nèi)，時間常數(shù)應(yīng)為多

少？如果用該系統(tǒng)對5。出的正弦信號進(jìn)行測試，則此時的幅值誤差和相位誤差是多少？

解：

11

(1)AA(G)=1-A(0)=1--;=1--=<10%

Jl+(0‘)2J1+(100x217)2

則r^7.71X10-4S

(2)11

M(iy)=1-A(co)=1-=1--，<2.81%

J1+(加")2Jl+(50x2%x7.71xl()-4)2

0(加=-arctgiyr=-arctgr50x2^x7.71xl0-4)=—13.62°

3-7某一階測量裝置的傳遞函數(shù)為l/(0.04s+1),若用它測量頻率為。.5Hz、1Hz、2Hz的正龍信

號，試求其幅度誤差，

解：r=0.04S,AA(6y)=l-A(6y)=l--1.=1—-1

Jl+(or)2Jl+(2/)2

(1)當(dāng)f=0.5Hz時,

AA((y)=1-A(0)=1--/1=1--/1=0.78%

Jl+((yr)241+(24x0.5x0.04)2

(2)當(dāng)f=lHz時,

M(?y)=1-4(。)=1—-/1=1--；1-=3.02%

Jl+(?yr)2Jl+(2;rxlx0.04)2

(3)當(dāng)f=2Hz時,

11

M(?y)=1-A(co)=1-.-------=10.65%

+(。7)~11+(27x2x0.04)2

3-8用傳遞函數(shù)為"。。025s+l）的一階測量裝置進(jìn)行周期信號測量。若將幅度誤差限制在5%以下,

試求所能測量的最高斛成分，此時的相位差是多少？

解：r=0.0025S

M(<y)=1-A3)=1--/1=1--,1<5%

Jl+(s)2Jl+(0.0025ey)2

則(oV13L5(弧度/s)或fVco/2JI=20.9Hz

相位差:相位=-arctg?yr=-arctg6131.5x0.0025)=—18.20°

3-9假睛,動傳感器作為二階系統(tǒng)處理。巳扣傳感器的固有解為800H2,阻尼比為0.14,問使用

雌感器作頻率為400上正弦變化的外加試時，其振幅和相位角各為多少？

解：fn=800Hz,J=0.14,f=400col(on=flfn=400/800=0.5

______________]

A(a>)=|//(<w)|=

J1-)2+2(①①“)2

_______________]

=1.31

7[1-0.52]2+4X0.142X(0.5)2

2x0.14x0.5

(p(co)=—arctg=-arctg=-10.57°

1一(。/0)21-0.52

第四章習(xí)題（P127）

4—9

4-iu某電容相感器（平行極板電簾器）的圓形機(jī)板半程14mm,工作初始板板間膠離品=0.3mm,

介質(zhì)為空氣。問：

a）如果極板間喇變化量AB=±1mm,電容的變化量AC是多少？

b）如果測量電路的靈敏度SiEOOmv/pF,讀數(shù)儀表的靈敏愛$2-5格/mV,在、"二1pm時，讀數(shù)

儀表的變化量為多少？

解:

AC_Co_氣A

由

2-62

得AC=-^^\8=-lx8.85x10*X^X4X(±1X10)/0.3

=±4.94xIO-15(F)=±4.94X10-3(PF)

3

變化格數(shù)S,52AC=100X5X(±4.94x1O-)=±2.47(格)

4-10電式加速度傳感器的固有電容為電纜電容為卻,電仄靈敏度S,尸Un/a（a為被測加速

度），輸出電荷靈敏度s「Q/心試推導(dǎo)S,,和S”的關(guān)系，

由Su=Uo/a,Sq=Q/a得：Su/Sq=U0/Q=--—

第五章習(xí)題（P162）

5-1以阻值K=120。、靈敏度3=2的電阻絲應(yīng)變片與限值為120n的固定電阻組成電橋，供橋電壓

為2V,并假定負(fù)載為無窮大，當(dāng)應(yīng)變片的應(yīng)變?yōu)?亞和2000催時，分別求出單W雙臂電橋的輸出電后

并比較兩種情況卜?的靈敏度〉

解：（1）半橋單臂，，"警叫=；s嗎

4Ko4

當(dāng)￡=2〃疝寸，u0=；x2x2xl(F6x2=2//v

當(dāng)￡=2000//￡時，〃o=；x2x2000xl0-6x2=2mv

ARi

(2)半橋雙臂M?=-^Ui=-S￡Ui

當(dāng)￡=22時，”0=；x2x2xl()-6x2=4卬

當(dāng)￡=2000〃曲M0=gx2x2000xl(r6x2=4mv

S單=————=—?=0.5(V),S雙=————=—u=1(V)

'4'AR。/Ro2't

半橋雙臂是半橋單臂靈敏度的兩倍。

5-2曲在使用電阻應(yīng)變削，發(fā)現(xiàn)端蝦夠，于是趣&.T作電橋上拗噸限殿片數(shù)期期

瓶鼠試問，桿列做下，是否可能版物惻冊么?

1)半橋雙臂各串聯(lián)一片。

2)半橋雙臂各并聯(lián)一片.、

解：均不能提高靈敏度，因為半橋雙臂靈敏度S=〃o/(竺)=，處,與供橋電壓成正比，

R2

與橋臂上應(yīng)變片數(shù)無關(guān)。

5-3用電阻應(yīng)變片接成全橋，測量某一構(gòu)件的應(yīng)變.已知其變化規(guī)律為

6(￡)二八cos10f+Reos100Z

如果電橋激勵電壓是EsE10000/,求此電橋輸出信號的頻譜。

解由已知：￡?)=AcoslOf+BcoslOOf,w0=EsinlOOOOr

：得全橋輸出電壓：

=任“o=Ssuo=S￡f(0sinlOOOOr

R

=SE(Acos1Of+8cos100r)sin1OOOOr

根據(jù)xQ)yQ)=X(/)*y(/)

sin2班fo:[3(/+/°)—3(7-/o)]

…的斗⑶*"。)—』)]

得電橋輸入和輸出信號的傅里葉變換:

AB

s(f)=-W+%)+b(/-九)]+-W+九)+3{f-f02)]

Ayy10、ez,10、1B“100.100..

2W+工)+叼--)]+,以"方)+以--)]

U、.(/)=SEXFT[￡(t)sin1OOOOr]

=^SEWW+/0)-￡(/2(/-/o)]

式中/o=lOOOO/2萬

電橋輸出信號的頻譜，可以看成是￡。）的頻譜移動到土fo處。

電橋輸入與輸出信號的頻譜圖如下圖所示。

Re￡(3廣

不A/2

2B/2

-100-1010100

G)

ImUy(G))-

SEA/4

SEB/4

310030-103（）+103()+100

?(3°+100)-(3()+10)?(3o-lO)-(Q-100)o

30=10000-SEB/4

-SEA/4

本量題也可用三角函數(shù)的積化和差公式來計算:

由已知：￡(￡)=AcoslOz+BcoslOOr,w0=Esin10000/

得全橋輸出電壓：

AR

M=一u=Ssu0=SEf(f)sinlOOOOz

R

=S￡(AcoslOr+Bcos1OOr)sinl0000/

=SEAsin10000/cos1Of+SEBsin10000/cos100/

=-S￡/l[sin(10000-10)r+sin(10000+10)?]+-S￡B[sin(10000-100)/+sin(10000+100川

22

sinacos[3=—[sin(cr-/?)+sin(6z4-/?)],cosacos/?=—[cos(a-〃)+cos(a+夕)]

[注:

cos(a±/?)=cosacos夕干sinasin/?,sin(a±p)=sinacos0±cosasin(3

5-4已知調(diào)幅波/⑴=(100+30儂25ft20cos其中/c-10kHz,/f-5U0Hz￡

試求：

1）所包含冬分量的頻率及幅值；

2）繪出調(diào)制信號與調(diào)幅波的頻譜,

解：調(diào)幅波中所包含的各分量的頻率及幅值大小:

xa(r)=(100+30cos2#+20cos6城/)cos2忒/

=100cos2/5+30cos2幼cos2械/+20cos6m/cos2//

=100cos2^f(,r+15[cos2zr(/(,+fy)t+cos2^(/t.-f[)r]

+10[cos2〃(/c+3/”+cos2"(A-37”]

調(diào)制信號與調(diào)幅波的頻譜分別如下圖所示。

期⑴：：100

f(kHz)

ReUv(f)

5050

7.547.5.57547.55

*t___tG.

-11.5-10.5-10-9.5-8.508.59.51010.511.5

f（kHz）

55圖5.40為利用乘法器組成的調(diào)相解調(diào)系統(tǒng)的方根圖，設(shè)載波信號是頻率為八的正弦波，試求：

1）各環(huán)節(jié)輸出信號的時域波形；

2）各環(huán)節(jié)輸出信號的頻譜圖。

解:

1）各環(huán)節(jié)輸出信號的時域波形圖如下:

2)各環(huán)節(jié)輸出信號的頻譜圖

信號的調(diào)制：sin2如0邰(/+九)_火一0)]

xQ)sin2Go夕X(/)*5(7+人)一X(/)*3{f--)]

=.[X(/+/°)_X(f。)]

信號的解調(diào)：x(f)sin2〃/0f?sin27r//=-gx(f)cos4〃/(/

x(r)sin2磯，?sin2班roF[x(t)sin2班r]*F[sin2班〃

=；[2X(/)-X(/+2/0)-X(7-2/0)]

%Q)I~~~~nx,?(f)=x(t)sin29f

X就

%。)x?；(0=x(0sin29/

調(diào)制器

ImY(f)k

1/2t

/o

-/o0f

-1/2

I

5-6交就變電橋的輸出電壓是一個稠波.設(shè)郵電壓為斯=疝12加，電限變化量為AR⑺-

Rocos25,其中力》「試求電雕出電壓明⑴懶蟲

解：

Q)=----40=一

4凡°4

根據(jù)xQ)yQ)oX(/)*y(f)

sin2Go/

.向2%。軀(/)*陽+/0)-X⑺*的7。)]

得電橋輸出電壓的傅里葉變換：

Uv(/)=』r"QR(f)sin2Gl

4R°

=/[AR⑺演/+/0)-A/?。))由/-f0)]

電橋輸出信號的頻譜，可以看成是A/?⑺的頻譜移動到土fo處。

電橋輸入與輸出信號的頻譜圖如下圖所示。

Re△/?(7)

ImUy⑴

-(fo+f)0

-1/16

附注：常用公式

常用三角函數(shù)公式:

sinacos(3=—[sin(cr一夕)+sin(a+0)1,cosacos0=,[cos(a一夕)+cos(a+〃)]

cos(a±夕)=cosacos/?干sinasin/?,sin(a±/?)=sin<zcos夕±cosasin0

(1)傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開:

0000

xQ)=a0+s(ancosncoQt+bflsinnco0t)=/4G+^2sin(〃y/+0〃)

n=\

A”=』a；+b：

耙=arctg(d)

h2匹〃

?xr

%=互L/2()cosH6y0zdt

.2加2

—1,,x(f)sin“gf小

(2)三角函數(shù)是正交函數(shù)T4/2U

cossinm6y/.t/z=0

'0

T|與(m=n)

*°sinnct)}tsinm(o}tdt=j

0(mri)

|*o+4,與(m=n)

cosnco^tcosmco^dt=

00(mn)

(3)歐拉公式

ijn6)a，

e=cosna)ot±jsinna>Qt

cos=；(/"/+*%)

sin〃gr=g(eT"g'_e"爾)

(4)傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開：

800

加%+jn(ao

x?)=Co+Z(C_,￡)=￡Cne-'

n=l〃=—8

Cn=ReCn+JImCn=|C?|<

|C?|=7(ReC?)2+(ImC?)2

耙=arctgImC.

ReC.

”)*bQ)=x(f)

^x(t)*3(t+t0)=x(t+t0)

：X(/)*b(/)=X(/)

Lx(/)*W±/0)=X(/±/0)

<=>一土)2哂)

(5Q±t0)

”2"，土%)

(7)正余弦信號的頻譜

x(f)y⑺oX(/)*y(/)

1?

-

sin2對;/2

1

-

cos2可012+/o)+W-/o)]

皿而2內(nèi)o件⑺*5("f°)-x(/)*baf°)]/x("f°)-x(f7。)]

皿對2Gog[X⑺*b("/°)+X⑺*演/一//4[XG+6+XU-/。)]

…冰。s2叫。軻"仆次—。)]+獷("/。)+砥―。)]

-3)oG：)G

雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜

___?L

0|co

單邊幅頻譜單邊幅頻譜

(8)傅里葉變換對：

rX(a))=「x(t)e-ja,,dt

J-00

=X{(D)eiMd(D

2萬人乜

或

X(/)=[x(t)”j2研dt

Y

，x(/)=「X{f}ej2^'df

FT

X(CD)

IFT

（9）對周期信號有:

均值：4r山

絕對均值：4H='[°卜。）.

70

有效值（均方根值）：-=將12⑺山

22

均方值：H=（X??v）=；「x（t）dt

1。

隨機(jī)信號的均值〃r、方差bi均方值“I

(10)

均值（數(shù)學(xué)期望）一一常值（穩(wěn)定）分量

1T

"x-lim—Kx(t)dt=E[x]

TFOOT

其中x（