2011考研數(shù)學(xué)歸納-線性代數(shù)(基本公式)

線性代數(shù)(一)行列式考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念行列式的概念和基本性質(zhì)、行列式按行（列）展開(kāi)定理行列式按行（列）展開(kāi)定理(1)或即其中(2)設(shè)為階方陣，則但不一定成立(4)但(6)范德蒙行列式設(shè)A是n階方陣，是A的n個(gè)特征值，則(二)矩陣考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念矩陣的概念，矩陣的線性運(yùn)算，矩陣的乘法，矩陣：稱為矩陣，簡(jiǎn)記為則稱是階矩陣或階方陣.矩陣的線性運(yùn)算1矩陣的加法設(shè)是兩個(gè)矩陣，則矩陣稱為矩陣與的和，記為2矩陣的數(shù)乘設(shè)是矩陣，是一個(gè)常數(shù)，則矩陣稱為數(shù)與矩陣的數(shù)乘，記為.3矩陣的乘法設(shè)是矩陣，是矩陣，那么矩陣，其中稱為的乘積，記為方陣的冪，方陣乘積的行列式，矩陣的轉(zhuǎn)置，逆矩陣的概念和性質(zhì)，矩陣可逆的充要條件，伴隨矩陣，1三者之間的關(guān)系但不一定成立，，但不一定成立2有關(guān)A*的結(jié)論3)若可逆，則4)若為階方陣，則3有關(guān)的結(jié)論矩陣的初等變換，初等矩陣，矩陣的秩，矩陣等價(jià)，分塊矩陣及其運(yùn)算1有關(guān)矩陣秩的結(jié)論1）秩r（A）=行秩=列秩；2）3）；4）5）初等變換不改變矩陣的秩6）特別若則7）若存在若存在若若8）只有零解2分塊求逆公式；；；這里A，B均為可逆方陣(三)向量考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念向量的概念，向量的線性組合和線性表示，向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1有關(guān)向量組的線性表示(1)線性相關(guān)至少有一個(gè)向量可以用其余向量線性表示.(2)線性無(wú)關(guān)，，線性相關(guān)可以由惟一線性表示.(3)可以由線性表示）2有關(guān)向量組的線性相關(guān)性(1)部分相關(guān)，整體相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，部分無(wú)關(guān).(2)①n個(gè)n維向量n個(gè)n維向量線性相關(guān)②n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).③若線性無(wú)關(guān)，則添加分量后仍線性無(wú)關(guān)；或一組向量線性相關(guān)，去掉某些分量后仍線性相關(guān)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組的秩1有關(guān)向量組的線性表示(1)線性相關(guān)至少有一個(gè)向量可以用其余向量線性表示.(2)線性無(wú)關(guān)，，線性相關(guān)可以由惟一線性表示.(3)可以由線性表示向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系，向量空間及相關(guān)概念1設(shè)，則的秩與的行列向量組的線性相關(guān)性關(guān)系為：(1)若，則的行向量組線性無(wú)關(guān).(2)若，則的行向量組線性相關(guān).(3)若，則的列向量組線性無(wú)關(guān).(4)若，則的列向量組線性相關(guān)n維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換，過(guò)渡矩陣1基變換公式及過(guò)渡矩陣若與是向量空間的兩組基，則基變換公式為其中是可逆矩陣，稱為由基到基的過(guò)渡矩陣2坐標(biāo)變換公式若向量在基與基的坐標(biāo)分別是，即，則向量坐標(biāo)變換公式為其中是從基到基的過(guò)渡矩陣向量的內(nèi)積，線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法內(nèi)積：Schmidt正交化若線性無(wú)關(guān)，則可構(gòu)造使其兩兩正交，且僅是的線性組合，再把單位化，記，則是規(guī)范正交向量組.其中，…………………規(guī)范正交基，正交矩陣及其性質(zhì)1正交基及規(guī)范正交基向量空間一組基中的向量如果兩兩正交，就稱為正交基；若正交基中每個(gè)向量都是單位向量，就稱其為規(guī)范正交基(四)線性方程組考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念線性方程組的克萊姆法則，奇次線性方程組有非零解的充分必要條件1克萊姆法則線性方程組，如果系數(shù)行列式，則方程組有唯一解，其中是把中第列元素?fù)Q成方程組右端的常數(shù)列所得的行列式.n階矩陣可逆只有零解.總有唯一解，一般地，只有零解.非奇次線性方程組有解的充分必要條件，線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)1設(shè)A為矩陣，若，則對(duì)而言必有從而有解.2設(shè)為的解，則當(dāng)時(shí)仍為的解；但當(dāng)時(shí)，則為的解.特別為的解；為的解.3非齊次線性方程組無(wú)解不能由的列向量線性表示.奇次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解，解空間，非奇次線性方程組的通解.1齊次方程組恒有解(必有零解).當(dāng)有非零解時(shí)，由于解向量的任意線性組合仍是該齊次方程組的解向量，因此的全體解向量構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為該方程組的解空間，解空間的維數(shù)是，解空間的一組基稱為齊次方程組的基礎(chǔ)解系.2是的基礎(chǔ)解系，即(1)是的解；(2)線性無(wú)關(guān)；(3)的任一解都可以由線性表出.是的通解，其中是任意常數(shù).(五)矩陣的特征值和特征向量考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，1設(shè)是的一個(gè)特征值，則有一個(gè)特征值分別為且對(duì)應(yīng)特征向量相同（例外）.2若為的n個(gè)特征值，則從而沒(méi)有特征值.3設(shè)為的s個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)特征向量為，若則相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)，1若，則(1)(2)(3)對(duì)成立矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣，1設(shè)為n階方陣，則可對(duì)角化對(duì)每個(gè)重根特征值，有2設(shè)可對(duì)角化，則由有，從而3重要結(jié)論(1)若，則.(2)若，則，其中為關(guān)于階方陣的多項(xiàng)式.(3)若為可對(duì)角化矩陣，則其非零特征值的個(gè)數(shù)(重根重復(fù)計(jì)算)＝秩()實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及相似對(duì)角陣1相似矩陣：設(shè)為兩個(gè)階方陣，如果存在一個(gè)可逆矩陣，使得成立，則稱矩陣相似，記為.2相似矩陣的性質(zhì)如果則有(1)(2)(3)(4)(5)(6)(六)二次型考試內(nèi)容對(duì)應(yīng)公式、定理、概念二次型及其矩陣表示，合同變換與合同矩陣，二次型的秩1個(gè)變量的二次齊次函數(shù)，其中，稱為元二次型，簡(jiǎn)稱二次型.若令這二次型可改寫(xiě)成矩陣向量形式.其中稱為二次型矩陣，因?yàn)?，所以二次型矩陣均為?duì)稱矩陣，且二次型與對(duì)稱矩陣一一對(duì)應(yīng)，并把矩陣的秩稱為二次型的秩.慣性定理，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形1慣性定理對(duì)于任一二次型，不論選取怎樣的合同變換使它化為僅含平方項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)型，其正負(fù)慣性指數(shù)與所選變換無(wú)關(guān)，這就是所謂的慣性定理.2標(biāo)準(zhǔn)形二次型經(jīng)過(guò)合同變換化為稱為的標(biāo)準(zhǔn)形.在一般的數(shù)域內(nèi)，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，與所作的合同變換有關(guān)，但系數(shù)不為零的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)由唯一確定.3規(guī)范形任一實(shí)二次型都可經(jīng)過(guò)合同變換化為規(guī)范形，其中的秩，為正慣性指數(shù)，為負(fù)慣性指數(shù)，且規(guī)范型唯一.用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，二次型