小學(xué)奧數(shù)解題技巧精講60講

小學(xué)奧數(shù)解題技巧精講〔60講〕1、最值問(wèn)題【最小值問(wèn)題】例1外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點(diǎn)，原來(lái)就各有一位民警值勤。為了保證平安，上級(jí)決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警〔包括原有的民警〕之間的距離都相等?，F(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警?！病吨腥A電力杯》少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽第一試試題〕講析：如圖5.91，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點(diǎn)各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個(gè)2500米，2個(gè)4000米，2個(gè)2000米?，F(xiàn)要在他們各自的中間插入假設(shè)干名民警，要求每?jī)扇酥g距離相等，這實(shí)際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長(zhǎng)的同樣長(zhǎng)的小路。由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是〔5000＋8000＋4000〕÷500＋1=35〔名〕。例2在一個(gè)正方體外表上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。假設(shè)要求它們同時(shí)出發(fā)會(huì)面，那么，應(yīng)選擇哪點(diǎn)會(huì)面最省時(shí)？〔湖南懷化地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽試題〕講析：因?yàn)槿晃浵佀俣认嗟?，要想從各自的地點(diǎn)出發(fā)會(huì)面最省時(shí)，必須三者同時(shí)到達(dá)，即各自行的路程相等。我們可將正方體外表展開(kāi)，如圖5.93，那么A、B、C三點(diǎn)在同一平面上。這樣，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找出一點(diǎn)O，使O到這三點(diǎn)的距離相等且最短。所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。故，O點(diǎn)即為三只螞蟻會(huì)面之處?！咀畲笾祮?wèn)題】例1有三條線段a、b、c，并且a＜b＜c。判斷：圖5.94的三個(gè)梯形中，第幾個(gè)圖形面積最大？〔全國(guó)第二屆“華杯賽〞初賽試題〕講析：三個(gè)圖的面積分別是：三個(gè)面積數(shù)變化的局部是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是〔a＋b＋c〕的和一定。其問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是把這個(gè)定值拆成兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)為何值時(shí)，乘積最大。由等周長(zhǎng)的長(zhǎng)方形面積最大原理可知，〔a＋b〕×c這組數(shù)的值最接近。故圖〔3〕的面積最大。例2某商店有一天，估計(jì)將進(jìn)貨單價(jià)為90元的某商品按100元售出后，能賣(mài)出500個(gè)。這種商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)。為了使這一天能賺得更多利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)______元?！才_(tái)北市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)榘疵總€(gè)100元出售，能賣(mài)出500個(gè)，每個(gè)漲價(jià)1元，其銷(xiāo)量減少10個(gè)，所以，這種商品按單價(jià)90元進(jìn)貨，共進(jìn)了600個(gè)?，F(xiàn)把600個(gè)商品按每份10個(gè)，可分成60份。因每個(gè)漲價(jià)1元，銷(xiāo)量就減少1份〔即10個(gè)〕；相反，每個(gè)減價(jià)1元，銷(xiāo)量就增加1份。所以，每個(gè)漲價(jià)的錢(qián)數(shù)與銷(xiāo)售的份數(shù)之和是不變的〔為60〕，根據(jù)等周長(zhǎng)長(zhǎng)方形面積最大原理可知，當(dāng)把60分為兩個(gè)30時(shí)，即每個(gè)漲價(jià)30元，賣(mài)出30份，此時(shí)有最大的利潤(rùn)。因此，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為90＋30=120〔元〕時(shí)，這一天能獲得最大利潤(rùn)。2、最值規(guī)律【積最大的規(guī)律】〔1〕多個(gè)數(shù)的和一定〔為一個(gè)不變的常數(shù)〕，當(dāng)這幾個(gè)數(shù)均相等時(shí)，它們的積最大。用字母表示，就是如果a1+a2+…+an=b〔b為一常數(shù)〕，那么，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，a1×a2×…×an有最大值。例如，a1+a2=10，…………→…………；1+9=10→1×9=9；2+8=10→2×8=16；3+7=10→3×7=21；4+6=10→4×6=24；4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；…………→…………；9+1=10→9×1=9；…………→…………由上可見(jiàn)，當(dāng)a1、a2兩數(shù)的差越小時(shí)，它們的積就越大；只有當(dāng)它們的差為0，即a1=a2時(shí)，它們的積就會(huì)變得最大。三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。由“積最大規(guī)律〞，可以推出以下的結(jié)論：結(jié)論1所有周長(zhǎng)相等的n邊形，以正n邊形〔各角相等，各邊也相等的n邊形〕的面積為最大。例如，當(dāng)n=4時(shí)，周長(zhǎng)相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。例題：用長(zhǎng)為24厘米的鐵絲，圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)寬如何分配時(shí)，它的面積為最大？解設(shè)長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米，依題意得〔a+b〕×2=24即a+b=12由積最大規(guī)律，得a=b=6〔厘米〕時(shí)，面積最大為6×6=36〔平方厘米〕?！沧ⅲ赫叫问翘厥獾木匦?，即特殊的長(zhǎng)方形?！辰Y(jié)論2在三度〔長(zhǎng)、寬、高〕的和一定的長(zhǎng)方體中，以正方體的體積為最大。例題：用12米長(zhǎng)的鐵絲焊接成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高如何分配，它的體積才會(huì)最大？解設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為a米，寬為b米，高為c米，依題意得〔a+b+c〕×4=12即a+b+c=3由積最大規(guī)律，得a=b=c=1〔米〕時(shí)，長(zhǎng)方體體積為最大。最大體積為1×1×1=1〔立方米〕?！?〕將給定的自然數(shù)N，分拆成假設(shè)干個(gè)〔不定〕的自然數(shù)的和，只有當(dāng)這些自然數(shù)全是2或3，并且2至多為兩個(gè)時(shí)，這些自然數(shù)的積最大。例如，將自然數(shù)8拆成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。怎么辦呢？我們可將各種拆法詳述如下：分拆成8個(gè)數(shù)，那么只能是8個(gè)“1〞，其積為1。分拆成7個(gè)數(shù)，那么只能是6個(gè)“1〞，1個(gè)“2〞，其積為2。分拆成6個(gè)數(shù)，可得兩組數(shù)：〔1，1，1，1，1，3〕；〔1，1，1，1，2，2〕。它們的積分別是3和4。分拆成5個(gè)數(shù)，可得三組數(shù)：〔1，1，1，1，4〕；〔1，1，1，2，3〕；〔1，1，2，2，2〕。它們的積分別為4，6，8。分拆成4個(gè)數(shù)，可得5組數(shù)：〔1，1，1，5〕；〔1，1，2，4〕；〔1，1，3，3〕；〔1，2，2，3〕；〔2，2，2，2〕。它們的積分別為5，8，9，12，16。分拆成3個(gè)數(shù)，可得5組數(shù)：〔1，1，6〕；〔1，2，5〕；〔1，3，4〕；〔2，2，4〕；〔2，3，3〕。它們的積分別為6，10，12，16，18。分拆成2個(gè)數(shù)，可得4組數(shù)：〔1，7〕；〔2，6〕；〔3，5〕；〔4，4〕。它們的積分別為7，12，15，16。分拆成一個(gè)數(shù)，就是這個(gè)8。從上面可以看出，積最大的是18=3×3×2?？梢?jiàn)，它符合上面所述規(guī)律。用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)6=3+3時(shí)，其積3×3=9為最大；7=3+2+2時(shí)，其積3×2×2=12為最大；14=3+3+3+3+2時(shí)，其積3×3×3×3×2=162為最大；由這些例子可知，上面所述的規(guī)律是正確的。【和最小的規(guī)律】幾個(gè)數(shù)的積一定，當(dāng)這幾個(gè)數(shù)相等時(shí)，它們的和相等。用字母表達(dá)，就是如果a1×a2×…×an=c〔c為常數(shù)〕，那么，當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，a1+a2+…+an有最小值。例如，a1×a2=9，…………→…………1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；…………→…………由上述各式可見(jiàn)，當(dāng)兩數(shù)差越小時(shí)，它們的和也就越小；當(dāng)兩數(shù)差為0時(shí)，它們的和為最小。例題：用鐵絲圍成一個(gè)面積為16平方分米的長(zhǎng)方形，如何下料，材料最??？解設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a分米，寬為b分米，依題意得a×b=16。要使材料最省，那么長(zhǎng)方形周長(zhǎng)應(yīng)最小，即a+b要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律〞，取a=b=4〔分米〕時(shí)，即用16分米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)正方形，所用的材料為最省。推論由“和最小規(guī)律〞可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長(zhǎng)為最小。例如，面積均為4平方分米的正方形和圓，正方形的周長(zhǎng)為8分米；而的周長(zhǎng)小于正方形的周長(zhǎng)?！久娣e變化規(guī)律】在周長(zhǎng)一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。為0.433×6=2.598〔平方分米〕。方形的面積。推論由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結(jié)論：在周長(zhǎng)一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。例如，周長(zhǎng)為4分米的正方形面積為1平方分米；而周長(zhǎng)為4分米的圓，于和它周長(zhǎng)相等的正方形面積?！倔w積變化規(guī)律】在外表積一定的正多面體〔各面為正n邊形，各面角和各二面角相等的多面體〕中，面數(shù)越多，體積越大。例如，外表積為8平方厘米的正四面體S—ABC〔如圖1.30〕，它每一個(gè)面均為正三角形，每個(gè)三角形面積為2平方厘米，它的體積約是1.1697立方厘米。而外表積為8平方厘米長(zhǎng)約為1.1546厘米，體積約為1.539立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面體體積。推論由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：在外表積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。例如，外表積為8平方厘米的正四面體，體積約為1.1697立方米；外表積為8平方厘米的正六面體〔正方體〕，體積約為1.539立方厘米；而外表積是8平方厘米的球，體積卻約有2.128立方厘米?？梢?jiàn)上面的結(jié)論是正確的?！九判虿坏仁健繉?duì)于兩個(gè)有序數(shù)組：a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn，那么a1b1+a2b2+……+anb抇n〔同序〕T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n〔亂序〕≥a1bn+a2bn-1+……+a>nb1〔倒序〕〔其中b抇1、b抇2、……、b抇n為b1、b2、……、bn的任意一種排列〔順序、倒序排列在外〕，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn時(shí)，式中等號(hào)成立。〕由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：設(shè)有10個(gè)人各拿一只水桶，同時(shí)到一個(gè)水龍頭下接水。水龍頭注滿(mǎn)第一、第二、……九、十個(gè)人的桶，分別需要1、2、3、……、9、10分鐘。問(wèn)：如何安排這10個(gè)人的排隊(duì)順序，可使每個(gè)人所費(fèi)時(shí)間的總和盡可能少？這個(gè)總費(fèi)時(shí)至少是多少分鐘？解設(shè)每人水桶注滿(mǎn)時(shí)間的一個(gè)有序數(shù)組為：1，2，3，……，9，10。打水時(shí)，等候的人數(shù)為第二個(gè)有序數(shù)組，等候時(shí)間最長(zhǎng)的人數(shù)排前，這樣組成1，2，3，……，9，10。根據(jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=〔1×10+2×9+3×8+4×7+5×6〕×2=〔10+18+24+28+30〕×2=220〔分鐘〕其排隊(duì)順序應(yīng)為：根據(jù)注滿(mǎn)一桶水所需時(shí)間的多少，按從少到多的排法。3、最優(yōu)方案與最正確策略【最優(yōu)方案】例1某工廠每天要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、1、4、0小時(shí)；每件乙產(chǎn)品需分別在A、B、C、D四臺(tái)不同設(shè)備上加工2、2、0、4小時(shí)。A、B、C、D四臺(tái)設(shè)備，每天最多能轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間分別是12、8、16、12小時(shí)。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤(rùn)200元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤(rùn)300元。問(wèn)：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大利潤(rùn)？〔中國(guó)臺(tái)北第一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間每天最多為12小時(shí)，那么有：〔2a＋2b〕不超過(guò)12。又〔a＋2b〕不超過(guò)8，4a不超過(guò)16，4b不超過(guò)12。由以上四個(gè)條件知，當(dāng)b取1時(shí)，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取2時(shí)，a可取1、2、3、4；當(dāng)b取3時(shí)，a可取1、2。這樣，就是在以上情況下，求利潤(rùn)200a＋300b的最大值?？闪斜砣缦拢核裕刻彀才派a(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時(shí)，能得到最大利潤(rùn)1400元。例2甲廠和乙廠是相鄰的兩個(gè)服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個(gè)廠的人員和設(shè)備都能進(jìn)行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點(diǎn)不同，甲廠每月聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長(zhǎng)多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過(guò)去每月能多生產(chǎn)成衣______套?！?989年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題〕的時(shí)間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長(zhǎng)于生產(chǎn)褲子，乙廠長(zhǎng)于生產(chǎn)上衣。如果甲廠全月生產(chǎn)褲子，那么可生產(chǎn)如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，那么可生產(chǎn)把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成2100套成衣，這時(shí)甲廠生產(chǎn)150條褲子的時(shí)間可用來(lái)生產(chǎn)成套的成衣故現(xiàn)在比過(guò)去每月可以多生產(chǎn)60套。【最正確策略】例1A、B二人從A開(kāi)始，輪流在1、2、3、……、1990這1990個(gè)數(shù)中劃去一個(gè)數(shù)，直到最后剩下兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么B勝，否那么A勝。問(wèn)：誰(shuí)能必勝？制勝的策略是什么？〔《中華電力杯》少年數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：將這1990個(gè)數(shù)按每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組；〔1、2〕，〔3、4〕，〔5、6〕，…，〔1989、1990〕。當(dāng)A任意在括號(hào)中劃去一個(gè)時(shí)，B就在同一個(gè)括號(hào)中劃去另一個(gè)數(shù)。這樣B就一定能獲勝。例2桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問(wèn)：誰(shuí)可獲勝？〔1992年烏克蘭基輔市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)閮扇溯喠鞲魅∫淮魏?，可以做到只?根。誰(shuí)要搶到第1992根，誰(shuí)就必須搶到第1989根，進(jìn)而搶到第1986、1983、1980、…、6、3根。誰(shuí)搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。后者獲勝的策略是，領(lǐng)先取的人每取一次火柴梗時(shí)，他緊接著取一次，每次取的根數(shù)與先取的加起來(lái)的和等于3。例3有分別裝球73個(gè)和118個(gè)的兩個(gè)箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球，規(guī)定取得最后一球者為勝。問(wèn)：假設(shè)要先取者為獲勝，應(yīng)如何取？〔上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：先取者應(yīng)不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。4、直接思路“直接思路〞是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過(guò)分析、綜合、歸納等方法，直接找到解題的途徑?！卷樝蚓C合思路】從條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個(gè)數(shù)量，提出可以解決的問(wèn)題；然后把所求出的數(shù)量作為新的條件，與其他的條件搭配，再提出可以解決的問(wèn)題；這樣逐步推導(dǎo)，直到求出所要求的解為止。這就是順向綜合思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫“綜合法〞。例1兄弟倆騎車(chē)出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見(jiàn)到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，這時(shí)狗跑了多少千米？分析〔按順向綜合思路探索〕：〔1〕根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離?！?〕根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什么？可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米?！?〕通過(guò)計(jì)算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的距離為50米，根據(jù)這兩個(gè)條件，可以求什么？可以求出哥哥趕上弟弟所需的時(shí)間?！?〕狗在哥哥與弟弟之間來(lái)回不斷奔跑，看起來(lái)很復(fù)雜，仔細(xì)想一想，狗跑的時(shí)間與誰(shuí)用的時(shí)間是一樣的？狗跑的時(shí)間與哥哥追上弟弟所用的時(shí)間是相同的?！?〕狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來(lái)回奔跑，直到哥哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時(shí)間，可以求什么？可以求出這時(shí)狗總共跑了多少距離？這個(gè)分析思路可以用以下圖〔圖2.1〕表示。例2下面圖形〔圖2.2〕中有多少條線段？分析〔仍可用綜合思路考慮〕：我們知道，直線上兩點(diǎn)間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做根本線段，那么就可以這樣來(lái)計(jì)數(shù)?！?〕左端點(diǎn)是A的線段有哪些？有ABACADAEAFAG共6條。〔2〕左端點(diǎn)是B的線段有哪些？有BC、BD、BE、BF、BG共5條?！?〕左端點(diǎn)是C的線段有哪些？有CD、CE、CF、CG共4條?！?〕左端點(diǎn)是D的線段有哪些？有DE、DF、DG共3條。〔5〕左端點(diǎn)是E的線段有哪些？有EF、EG共2條。〔6〕左端點(diǎn)是F的線段有哪些？有FG共1條。然后把這些線段加起來(lái)就是所要求的線段?！灸嫦蚍治鏊悸贰繌念}目的問(wèn)題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件，然后把其中的一個(gè)〔或兩個(gè)〕未知的條件作為要解決的問(wèn)題，再找出解這一個(gè)〔或兩個(gè)〕問(wèn)題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題里都是的為止，這就是逆向分析思路，運(yùn)用這種思路解題的方法叫分析法。例1兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時(shí)相向而行，水的流速為每分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，但這次水流速度為平時(shí)的2倍，所以?xún)纱嘤龅牡攸c(diǎn)比平時(shí)相遇點(diǎn)相差60米，求A、B兩地間的距離。分析〔用分析思路考慮〕：〔1〕要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時(shí)間?！?〕要求兩船的速度和，必要什么條件？?jī)纱謩e的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那么不管其水速是否改變，其速度和均為〔600+600〕米，這是因?yàn)轫標(biāo)贋椋捍?水速，逆水船速為：船速-水速，故順?biāo)倥c逆水船速的和為：船速+水速+船速-水速=2個(gè)船速〔實(shí)為船在靜水中的速度〕〔3〕要求相遇的時(shí)間，根據(jù)題意要什么條件？?jī)纱蜗嘤龅臅r(shí)間因?yàn)榫嚯x相同，速度和相同，所以應(yīng)該是相等的，這就是說(shuō)，盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會(huì)改變相遇時(shí)間，只是改變了相遇地點(diǎn)：偏離原相遇點(diǎn)60米，由此可知兩船相遇的時(shí)間為60÷30=2〔小時(shí)〕。此分析思路可以用以下圖〔圖2.3〕表示：例2五環(huán)圖由內(nèi)徑為4，外徑為5的五個(gè)圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形〔陰影局部〕的面積都相等〔如圖2.4〕，五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是122.5，求每個(gè)小曲邊四邊形的面積〔圓周率π取3.14〕分析〔仍用逆向分析思路探索〕：〔1〕要求每個(gè)小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么條件？曲邊四邊形的面積，沒(méi)有公式可求，但假設(shè)知道8個(gè)小曲邊四邊形的總面積，那么只要用8個(gè)曲邊四邊形總面積除以8，就可以得到每個(gè)小曲邊四邊形的面積了?！?〕要求8個(gè)小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？8個(gè)小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的局部，因此只要把五個(gè)圓環(huán)的總面積減去五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積就可以了?！?〕要求五個(gè)圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？求出一個(gè)圓環(huán)的面積，然后乘以5，就是五個(gè)圓環(huán)的總面積?！?〕要求每個(gè)圓環(huán)的面積，需要什么條件？圓環(huán)的內(nèi)徑〔4〕和外徑〔5〕，然后按圓環(huán)面積公式求就是了。圓環(huán)面積公式為：S圓環(huán)=π〔R2-r2〕=π〔R＋r〕〔R－r〕其思路可用以下圖〔圖2.5〕表示：【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。在解題時(shí)，兩種思路常常協(xié)同運(yùn)用，一般根據(jù)問(wèn)題先逆推第一步，再根據(jù)應(yīng)用題的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路〞。這種思路簡(jiǎn)明實(shí)用。例1一只桶裝滿(mǎn)10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？分析〔用一步倒推思路考慮〕：〔1〕逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要找到什么條件？因?yàn)橛幸恢豢裳b3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5，就可以把水分成5千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個(gè)2千克水?！?〕按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時(shí)10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時(shí)7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時(shí)10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時(shí)7千克桶里無(wú)水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10千克水桶里剩下2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里〔原有1千克水〕，只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里，因?yàn)樵?千克水，這時(shí)也正好是5千克水了。其思路可用以下圖〔圖2.6和圖2.7〕表示：?jiǎn)栴}：例2今有長(zhǎng)度分別為1、2、3……9厘米的線段各一條，可用多少種不同的方法，從中選用假設(shè)干條線段組成正方形？分析〔仍可用一步倒推思路來(lái)考慮〕：〔1〕逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用假設(shè)干條線段組成正方形必須的條件是什么？根據(jù)題意，必須知道兩個(gè)條件。一是確定正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度范圍，二是每一種邊長(zhǎng)有幾種組成方法。〔2〕從條件順推。①因?yàn)榫艞l線段的長(zhǎng)度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度范圍為〔1+2+……②當(dāng)邊長(zhǎng)為7厘米時(shí)，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成方法。③當(dāng)邊長(zhǎng)為8厘米時(shí)，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組成方法。④當(dāng)邊長(zhǎng)為9厘米時(shí)，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5種組成方法。⑤當(dāng)邊長(zhǎng)為10厘米時(shí)，各邊分別由1+9、2＋8、3＋7及4＋6組成，也只有一種組成方法。⑤當(dāng)邊長(zhǎng)為11厘米時(shí)，各邊分別由2+9、3＋8、4＋7及5+6組成，也只有一種組成方法。⑥將上述各種組成法相加，就是所求問(wèn)題了。此題的思路圖如下〔圖2.8〕：?jiǎn)栴}：【復(fù)原思路】從表達(dá)事情的最后結(jié)果出發(fā)利用條件，一步步倒著推理，直到解決問(wèn)題，這種解題思路叫復(fù)原思路。解這類(lèi)問(wèn)題，從最后結(jié)果往回算，原來(lái)加的用減、原來(lái)減的用加，原來(lái)乘的用除，原來(lái)除的用乘。運(yùn)用復(fù)原思路解題的方法叫“復(fù)原法〞。例1一個(gè)數(shù)加上2，減去3，乘以4，除以5等于12，你猜這個(gè)數(shù)是多少？分析〔用復(fù)原思路考慮〕：從運(yùn)算結(jié)果12逐步逆推，這個(gè)數(shù)沒(méi)除以5時(shí)應(yīng)等于多少？沒(méi)乘以4時(shí)應(yīng)等于多少？不減去3時(shí)應(yīng)等于多少？不加上2時(shí)又是多少？這里分別利用了加與減，乘與除之間的逆運(yùn)算關(guān)系，一步步倒推復(fù)原，直找到答案。其思路圖如下〔圖2.9〕：條件：例2李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見(jiàn)花喝一斗，三遇店和花，喝光壺中酒。試問(wèn)酒壺中，原有多少酒？分析〔用復(fù)原思路探索〕：李白打酒是我國(guó)民間自古以來(lái)廣為流傳的一道用打油詩(shī)表達(dá)的著名算題。題意是：李白提壺上街買(mǎi)酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍，而每次見(jiàn)到香花，便飲酒作詩(shī)，喝酒1斗。這樣他遇店、見(jiàn)花經(jīng)過(guò)3次，便把所有的酒全喝光了。問(wèn)：李白的酒壺中原有酒多少？下面我們運(yùn)用復(fù)原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒〞開(kāi)始推算。見(jiàn)花前——有1斗酒。第三次：見(jiàn)花后——壺中酒全喝光。第三次：遇店前——壺中有酒半斗。第一次：見(jiàn)花前——壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。遇店前——壺中有酒為第一次見(jiàn)花前的一半。其思路圖如下【假設(shè)思路】在自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，一些重要的定理、法那么、公式等，常常是在“首先提出假設(shè)、猜測(cè)，然后再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)〞的過(guò)程中建立起來(lái)的。數(shù)學(xué)解題中，也離不開(kāi)假設(shè)思路，尤其是在解比擬復(fù)雜的題目時(shí)，如能用“假設(shè)〞的方法去思考，往往比其他思路簡(jiǎn)捷、方便。我們把先提出假設(shè)、猜測(cè)，再進(jìn)行檢驗(yàn)、證實(shí)的解題思路，叫假設(shè)思路。例1中山百貨商店，委托運(yùn)輸隊(duì)包運(yùn)1000只花瓶，議定每只花瓶運(yùn)費(fèi)0.4元，如果損壞一只，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失5.1元。結(jié)果運(yùn)輸隊(duì)獲得運(yùn)費(fèi)382.5元。問(wèn)：損壞了花瓶多少只？分析〔用假設(shè)思路考慮〕：〔1〕假設(shè)在運(yùn)輸過(guò)程中沒(méi)有損壞一個(gè)花瓶，那么所得的運(yùn)費(fèi)應(yīng)該是多少？0.4×1000=400〔元〕。〔2〕而實(shí)際只有383.5元，這當(dāng)中的差額，說(shuō)明損壞了花瓶，而損壞一只花瓶，不但不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償損失5.1元，這就是說(shuō)損壞一只花瓶比不損壞一只花瓶的差額應(yīng)該是多少元？0.4＋5.1=5.5〔元〕〔3〕總差額中含有一個(gè)5.5元，就損壞了一只花瓶，含有幾個(gè)5.5元，就是損壞了幾只花瓶。由此便可求得此題的答案。例2有100名學(xué)生在車(chē)站準(zhǔn)備乘車(chē)去離車(chē)站600米的烈士紀(jì)念館搞活動(dòng)，等最后一人到達(dá)紀(jì)念館45分鐘以后，再去離紀(jì)念館900米的公園搞活動(dòng)。現(xiàn)在有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300米和150米，而中巴和大巴分別可乘坐10人和25人，問(wèn)最后一批學(xué)生到達(dá)公園最少需要多少時(shí)間？分析〔用假設(shè)思路思索〕；假設(shè)從車(chē)站直接經(jīng)烈士紀(jì)念館到公園，那么路程為〔600＋900〕米。把在最后1人到達(dá)紀(jì)念館后停留45分鐘，假設(shè)為在公園停留45分鐘，那么問(wèn)題將大大簡(jiǎn)化?！?〕從車(chē)站經(jīng)烈士紀(jì)念館到達(dá)公園，中巴、大巴往返一次各要多少時(shí)間？中巴：〔600+900〕÷300×2=10〔分鐘〕大巴：〔600+900〕÷150×2=20〔分鐘〕〔2〕中巴和大巴在20分鐘內(nèi)共可運(yùn)多少人？中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運(yùn)20人。大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運(yùn)25人。所以在20分鐘內(nèi)中巴、大巴共運(yùn)45人?！?〕中巴和大巴20分鐘可運(yùn)45人，那么40分鐘就可運(yùn)45×2=90〔人〕，100人運(yùn)走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運(yùn)一次就夠了。〔4〕最后可求出最后一批學(xué)生到達(dá)公園的時(shí)間：把運(yùn)90人所需的時(shí)間，運(yùn)10人所需的時(shí)間，和在紀(jì)念館停留的時(shí)間相加即可?！鞠ニ悸贰繉?duì)于要求兩個(gè)或兩個(gè)以上未知數(shù)的數(shù)學(xué)題，我們可以想方法將其中一個(gè)未知數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而消去一個(gè)未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡(jiǎn)，這種思路叫消去思路，運(yùn)用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就是沿著這條思路考慮的。例1師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時(shí)，師傅做了8小時(shí)，一共做了312個(gè)零件，徒弟5小時(shí)的工作量等于師傅2小時(shí)的工作量，師徒每小時(shí)各做多少個(gè)零件？分析〔用消去思路考慮〕：這里有師、徒每小時(shí)各做多少個(gè)零件兩個(gè)未知量。如果以徒弟每小時(shí)工作量為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來(lái)代替，那么師傅8小時(shí)的工作量相當(dāng)于這樣的幾份呢？很明顯，師傅2小時(shí)的工作量相當(dāng)于徒弟5小時(shí)的工作量，那么8小時(shí)里有幾個(gè)2小時(shí)就是幾個(gè)5小時(shí)工作量，這樣就把師傅的工作量換成了徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個(gè)未知數(shù)；然后再看312個(gè)零件里包含了多少個(gè)徒弟單位時(shí)間里的工作量，就是徒弟應(yīng)做多少個(gè)。求出了徒弟的工作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系，也就能求出師傅的工作量了。例2小明買(mǎi)2本練習(xí)本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用0.36元，小軍買(mǎi)4本練習(xí)本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.60元，小慶買(mǎi)5本練習(xí)本、4枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.75元，問(wèn)練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢(qián)？分析〔用消去法思考〕：這里有三個(gè)未知數(shù)，即練習(xí)本、鉛筆、橡皮的單價(jià)各是多少錢(qián)？我們要同時(shí)求出三個(gè)未知數(shù)是有困難的。應(yīng)該考慮從三個(gè)未知數(shù)中先去掉兩個(gè)未知數(shù)，只留下一個(gè)未知數(shù)就好了。如何消去一個(gè)未知數(shù)或兩個(gè)未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去，就通過(guò)擴(kuò)大或縮小假設(shè)干倍，使它們之間有兩個(gè)相同的數(shù)量，再用加減法即可消去，此題把小明小軍、小慶所購(gòu)置的物品排列如下：小明2本2枝2塊0.36元小軍4本3枝2塊0.60元小慶5本4枝2塊0.75元現(xiàn)在把小明的各數(shù)分別除以2，可得到1本練習(xí)本、1枝鉛筆、1塊橡皮共0.18元。接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1本練習(xí)本、1枝鉛筆為0.15元。再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了練習(xí)本、鉛筆兩個(gè)未知數(shù)，得到1塊橡皮0.03元，采用類(lèi)似的方法可求出練習(xí)本和鉛筆的單價(jià)?！巨D(zhuǎn)化思路】解題時(shí)，如果用一般方法暫時(shí)解答不出來(lái)，就可以變換一種方式去思考，或改變思考的角度，或轉(zhuǎn)化為另外一種問(wèn)題，這就是轉(zhuǎn)化思路。運(yùn)用轉(zhuǎn)化思路解題就叫轉(zhuǎn)化法。各養(yǎng)兔多少只？分析〔用轉(zhuǎn)化思路思索〕：題中數(shù)量關(guān)系比擬復(fù)雜，兩個(gè)分率的標(biāo)準(zhǔn)量不同，為了簡(jiǎn)化數(shù)量關(guān)系，只呢？這時(shí)兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設(shè)后的數(shù)量關(guān)系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)應(yīng)是：100-16×3=52〔只〕分析〔用轉(zhuǎn)化思路分析〕：此題求和，題中每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，好似不能把每個(gè)分?jǐn)?shù)分成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)。但是只要我們按等差數(shù)列求和公式，求出分母就會(huì)發(fā)現(xiàn)，可將上面各分?jǐn)?shù)的分母轉(zhuǎn)化為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)積的形式。所以例題可以轉(zhuǎn)化為：然后再相加，抵消中間的各個(gè)分?jǐn)?shù)即可。【類(lèi)比思路】類(lèi)比就是從一個(gè)問(wèn)題想到了相似的另一個(gè)問(wèn)題。例如從等差數(shù)列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長(zhǎng)方體體積公式等等；類(lèi)比是一個(gè)重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。例1有一個(gè)掛鐘，每小時(shí)敲一次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完；鐘敲12下，幾秒敲完？分析〔用類(lèi)比思路探討〕：有人會(huì)盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認(rèn)為10秒鐘敲完，那就完全錯(cuò)了。其實(shí)此題只要運(yùn)用類(lèi)比思路，與植樹(shù)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)想一想就通了：一條線路植樹(shù)分成幾段〔株距〕，如果不包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植〔n-1〕棵樹(shù)，如果包括兩個(gè)端點(diǎn)，共需植樹(shù)〔n＋1〕棵，把鐘點(diǎn)指數(shù)看作是一棵棵的樹(shù)，把敲的時(shí)間看作棵距，此題就迎刃而解了。例2從時(shí)針指向4點(diǎn)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘，時(shí)針正好與分鐘重合。分析〔用類(lèi)比思路討論〕：此題可以與行程問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比。如圖2.11，如果用時(shí)針1小時(shí)所走的一格作為路程單位，那么此題可以重新表達(dá)為：分針與時(shí)針相距4格，分如果分針與時(shí)針同時(shí)同向出發(fā)，問(wèn)：分針過(guò)多少分鐘可追上時(shí)針？這樣就與行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時(shí)間，就是追上的時(shí)間?！痉诸?lèi)思路】把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，依照某種規(guī)律，分解成假設(shè)干個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到解決，這就是分類(lèi)思路。這種思路在解決數(shù)圖形個(gè)數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常用到。例1如圖2.12，共有多少個(gè)三角形？分析〔用分類(lèi)思路考慮〕：這樣的圖直接去數(shù)有多少個(gè)三角形，要做到能不重復(fù)，又不遺漏，是比擬困難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類(lèi)，然后分類(lèi)去數(shù)，再相加就是總數(shù)了。此題根據(jù)條件，可以分為五類(lèi)〔如圖2.13〕。例2如圖2.14，象棋棋盤(pán)上一只小卒過(guò)河后沿著最短的路走到對(duì)方“將〞處，這小卒有多少種不同的走法？分析〔運(yùn)用分類(lèi)思路分析〕：小卒過(guò)河后，首先到達(dá)A點(diǎn)，因此，題目實(shí)際上是問(wèn)：從A點(diǎn)出發(fā)，沿最短路徑有多少種走法可以到達(dá)“將〞處，所謂最短，是指不走回頭路。因?yàn)椤皩ⅷ曋苯酉嗤ǖ氖荘點(diǎn)和K點(diǎn)，所以要求從A點(diǎn)到“將〞處有多少種走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。分類(lèi)。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。二種走法：從A到H有兩種走法。三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。其他各類(lèi)的走法：因?yàn)閺腁到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有3＋3＝6種走法了，因?yàn)閺腁到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A到J就有3＋1=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。再求從A到“將〞處共有多少種走法就非常容易了?！镜攘看鷵Q思路】有些題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)條件與未知條件相等的關(guān)系，使未知條件轉(zhuǎn)化為條件，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，促使問(wèn)題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。例1如圖2.15的正方形邊長(zhǎng)是6厘米，甲三角形是正方形中的一局部，乙三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長(zhǎng)多少厘米？分析〔用等量代換思路思考〕：按一般思路，要求CE的長(zhǎng)，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個(gè)條件都不知道，似乎無(wú)法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，從而求出CE的長(zhǎng)，怎樣求這個(gè)三角形的面積呢？設(shè)梯形為丙：乙=甲+6丙+甲=6×6=36用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來(lái)求CE的長(zhǎng)就簡(jiǎn)單了。例2有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一這三堆棋子集中一起，問(wèn)白子占全部棋子的幾分之幾？分析〔用等量代換的思路來(lái)探討〕：這道題數(shù)量關(guān)系比擬復(fù)雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對(duì)換一下，那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。出現(xiàn)了下面這個(gè)等式。第一堆〔全部是白子〕=第二堆〔全部是黑子〕=第三堆〔白子+黑子〕〔這里指的棋子數(shù)〕份，那么第二堆〔全部黑子〕為3份，這樣就出現(xiàn)了每堆棋子為3份，3堆棋子的總份數(shù)自然就出來(lái)了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。第一堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出。最后去解決白子占全部棋子的幾分之幾就非常容易了。【對(duì)應(yīng)思路】分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特點(diǎn)是一個(gè)數(shù)量對(duì)應(yīng)著一個(gè)分率，也就是一個(gè)數(shù)量相當(dāng)于單位“1〞的幾分之幾，這種關(guān)系叫做對(duì)應(yīng)關(guān)系。找對(duì)應(yīng)關(guān)系的思路，我們把它叫做對(duì)應(yīng)思路。例1有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是91公畝，麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公畝，那么，菜地是幾公畝？分析〔用對(duì)應(yīng)思路分析〕：這是一道復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，我們不妨用對(duì)應(yīng)思路去思索。如能找出91公畝、84公畝的對(duì)應(yīng)分率，此題就比擬容易解決了。但題中有對(duì)應(yīng)分率兩個(gè)，究竟相當(dāng)于總公畝數(shù)的幾分之幾呢？這是解題的關(guān)鍵。而我們一時(shí)還弄不清楚，現(xiàn)將條件排列起來(lái)尋找?？汕蟪隹偣€數(shù)是求出總公畝數(shù)后，我們?nèi)晕凑业讲说鼗螓湹卣伎偣€數(shù)的幾分之幾，故還不能直接求出菜地或麥地的公畝數(shù)。但我們把條件稍作組合，就可以求出分析到這一步，那么再去求菜地有多少公畝，那么就變成了一道很簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題了。例2蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管，要灌滿(mǎn)一池水，單開(kāi)甲管需要3小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5小時(shí)，要排完一池水，單開(kāi)乙管順序，循環(huán)各開(kāi)水管，每次每管開(kāi)一小時(shí)，問(wèn)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池？分析〔用對(duì)應(yīng)思路考慮〕：此題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，但仍屬分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，所以仍可用對(duì)應(yīng)思路尋找解題途徑。首先要找出甲、丙兩管每小時(shí)灌水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，乙、丁兩管每小時(shí)排水相當(dāng)于一池水的幾分之幾，然后才能計(jì)算。一池水→“1〞通過(guò)轉(zhuǎn)化找到了對(duì)應(yīng)分率就容易計(jì)算了。假設(shè)甲、乙、丙、丁四個(gè)水管按順序各開(kāi)1小時(shí)，共開(kāi)4小時(shí)，池內(nèi)灌進(jìn)的水是全池的：加上池內(nèi)原有的水，池內(nèi)有水：也就是20小時(shí)以后，池內(nèi)有水水池了，因此20小時(shí)后，只需再灌水所以這時(shí)甲管不要開(kāi)1小時(shí)，只要開(kāi)總共是多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池不就一目了然了嗎？5、整數(shù)的拆分【不連續(xù)加數(shù)拆分】例1將一根長(zhǎng)144厘米的鐵絲，做成長(zhǎng)和寬都是整數(shù)的長(zhǎng)方形，共有______種不同的做法？其中面積最大的是哪一種長(zhǎng)方形？〔1992年“我愛(ài)數(shù)學(xué)〞邀請(qǐng)賽試題〕講析：做成的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)與寬的和是144÷2=72〔厘米〕。因?yàn)?2=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，所以，一共有36種不同的做法。比擬以上每種長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的積，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長(zhǎng)與寬都是36厘米時(shí)，面積最大。例2將1992表示成假設(shè)干個(gè)自然數(shù)的和，如果要使這些數(shù)的乘積最大，這些自然數(shù)是______?！?992年武漢市小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：假設(shè)把一個(gè)整數(shù)拆分成幾個(gè)自然數(shù)時(shí)，有大于4的數(shù)，那么把大于4的這個(gè)數(shù)再分成一個(gè)2與另一個(gè)大于2的自然數(shù)之和，那么這個(gè)2與大于2的這個(gè)數(shù)的乘積肯定比它大。又如果拆分的數(shù)中含有1，那么與“乘積最大〞不符。所以，要使加數(shù)之積最大，加數(shù)只能是2和3。但是，假設(shè)加數(shù)中含有3個(gè)2，那么不如將它分成2個(gè)3。因?yàn)?×2×2=8，而3×3=9。所以，拆分出的自然數(shù)中，至多含有兩個(gè)2，而其余都是3。而1992÷3=664。故，這些自然數(shù)是664個(gè)3。例3把50分成4個(gè)自然數(shù)，使得第一個(gè)數(shù)乘以2等于第二個(gè)數(shù)除以2；第三個(gè)數(shù)加上2等于第四個(gè)數(shù)減去2，最多有______種分法。〔1990年《小學(xué)生報(bào)》小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：設(shè)50分成的4個(gè)自然數(shù)分別是a、b、c、d。因?yàn)閍×2=b÷2，那么b=4a。所以a、b之和必是5的倍數(shù)。那么，a與b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。又因?yàn)閏＋2=d-2，即d=c＋4。所以c、d之和加上4之后，必是2的倍數(shù)。那么c、d可取的數(shù)組有：〔40、10〕，〔30、20〕，〔20、30〕，〔10、40〕。由于40÷5=8，40-8=32；〔10-4〕÷2=3，10-3＝7，得出符合條件的a、b、c、d一組為〔8、32、3、7〕。同理得出另外三組為：〔6、24、8、12〕，〔4、16、13、17〕，〔2、8、18、22〕。所以，最多有4種分法?！具B續(xù)加數(shù)拆分】例1把945寫(xiě)成連續(xù)自然數(shù)相加的形式，有多少種？〔第一屆“新苗杯〞小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)?45=35×5×7，它共有〔5+1〕×〔1+1〕×〔1+1〕=16〔個(gè)〕奇約數(shù)。所以，945共能分拆成16-1=15〔種〕不同形式的連續(xù)自然數(shù)之和。例2幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，和能等于1991嗎？如果能，有幾種不同的答案？寫(xiě)出這些答案；如果不能，說(shuō)明理由。〔全國(guó)第五屆《從小愛(ài)數(shù)學(xué)》邀請(qǐng)賽試題〕講析：1991=11×181，它共有〔1＋1〕×〔1+1〕=4〔個(gè)〕奇約數(shù)。所以，1991可以分成幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加，并且有3種答案。由1991=1×1991得：1991=995＋996。由1991=11×181得：…+〔80+101〕=80＋81＋……＋100＋101。6、整除及數(shù)字整除特征【數(shù)字整除特征】例142□28□是99的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)除以99所得的商是__?！采虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：能被99整除的數(shù)，一定能被9和11整除。設(shè)千位上和個(gè)位上分別填上數(shù)字a、b，那么：各位上數(shù)字之和為[16+〔a+b〕]。要使原數(shù)能被9整除，必須使[16+〔a+b〕]是9的倍數(shù)，即〔a+b〕之和只能取2或11。又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是〔8+a-b〕或〔b-a-8〕，要使原數(shù)能被11整除，必須使〔8+a-b〕或〔b-a-8〕是11的倍數(shù)。經(jīng)驗(yàn)證，〔b-a-8〕是11的倍數(shù)不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。從而很容易求出商為427284÷99=4316。例2某個(gè)七位數(shù)1993□□□能同時(shí)被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是__?！?993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題〕講析：因?yàn)?、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)是2520。而1993000÷2520=790余2200。于是再加上〔2520-2200〕=320時(shí)，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、2、0。例3七位數(shù)175□62□的末位數(shù)字是__的時(shí)候，不管千位上是0到9中的哪一個(gè)數(shù)字，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)?！采虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：設(shè)千位上和個(gè)位上的數(shù)字分別是a和b。那么原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是[3+〔b-a〕]或[〔a-b〕-3]。要使原數(shù)是11的倍數(shù)，只需[3+〔b-a〕]或[〔a-b〕-3]是11的倍數(shù)。那么有b-a=8，或者a-b=3。①當(dāng)b-a=8時(shí)，b可取9、8；②當(dāng)a-b=3時(shí)，b可取6、5、4、3、2、1、0。所以，當(dāng)這個(gè)七位數(shù)的末位數(shù)字取7時(shí)，不管千位上數(shù)字是幾，這個(gè)七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。例4下面這個(gè)四十一位數(shù)55……5□99……9〔其中5和9各有20個(gè)〕能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是__?！?991年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題〕講析：注意到111111÷7=15873，所以555555與999999也能被7整除。那么18個(gè)5或18個(gè)9組成的數(shù)，也能被7整除。要使原四十一位數(shù)能被7整除，只需55□99這個(gè)五位數(shù)是7的倍數(shù)。容易得出，中間方格內(nèi)的數(shù)字是6?！菊坷?一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，適合這些條件的最小數(shù)是______。〔天津市第一屆“我愛(ài)數(shù)學(xué)〞邀請(qǐng)賽試題〕講析：所求這個(gè)數(shù)分別除以3和7時(shí)，余數(shù)相同。3和7的最小公倍數(shù)為21。所以這個(gè)數(shù)是23。經(jīng)檢驗(yàn)，23除以5商4余3，23是此題的答案。例2一個(gè)整數(shù)在3600到3700之間，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。這個(gè)整數(shù)是__?！病冬F(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)》邀請(qǐng)賽試題〕講析：所求整數(shù)分別除以3、5、7以后，余數(shù)各不相同。但仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把這個(gè)數(shù)加上4以后，它就能同時(shí)被3、5、7整除了。因?yàn)?、5和7的最小公倍數(shù)是105。3600÷105=34余30，105-30=75，所以，當(dāng)3600加上75時(shí)，就能被3、5和7整除了。即所求這個(gè)整數(shù)是3675。例3在一個(gè)兩位數(shù)中間插入一個(gè)數(shù)字，就變成了一個(gè)三位數(shù)。如52中間插入4后變成542。有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)數(shù)字后變成的三位數(shù)，是原兩位數(shù)的9倍。這樣的兩位數(shù)共有__個(gè)?！仓心系貐^(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)椴迦胍粋€(gè)數(shù)字后，所得的三位數(shù)是原兩位數(shù)的9倍，且個(gè)位數(shù)字相同。那么原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是0或5。又插入的一個(gè)數(shù)字，必須小于個(gè)位數(shù)字，否那么新三位數(shù)就不是原兩位數(shù)的9倍了。因此原二位數(shù)的個(gè)位不能為0，而一定是5。結(jié)合被9整除的數(shù)字特征，不難找到符合要求的兩位數(shù)有45、35、25和15共4個(gè)。例4a是一個(gè)自然數(shù)，a與a+1的各位數(shù)字之和都能被7整除，那么這樣的自然數(shù)a最小是__?！?993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第一試試題〕講析：a與a+1的各位數(shù)字之和都是7的倍數(shù)。那么a的個(gè)位數(shù)字一定是9。因?yàn)槿绻麄€(gè)位上不是9時(shí)，假設(shè)a的各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)，那么a+1的各位數(shù)字之和除以7以后，肯定余1。只有當(dāng)a的個(gè)位上是9時(shí)，a+1之后，個(gè)位上滿(mǎn)十后向前一位進(jìn)一，a+1的個(gè)位數(shù)字和才有可能是7的倍數(shù)。聯(lián)想到69，69+1=70，經(jīng)適當(dāng)調(diào)整可得，符合條件的最小數(shù)a是69999。例5一個(gè)自然數(shù)被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一個(gè)商是a[見(jiàn)圖5.43〔1〕]，又知這個(gè)自然數(shù)被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一個(gè)商是2a[見(jiàn)圖5.43〔2〕]，求這個(gè)自然數(shù)?！脖本┦械诰艑谩坝罕曅W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：可從最后的商步步向前推算。由圖5.43〔1〕可得：第二次商是〔8a+7〕；第一次商是8×〔8a+7〕+1=64a+57；所求的自然數(shù)是8×〔64a+57〕+1=512a+457由圖5.43〔2〕得，所求的自然數(shù)是578a+259所以，512a+457=578a+259。解得a=3。故，這個(gè)自然數(shù)是512×3+457=1993。例6某住宅區(qū)有十二家住戶(hù)。他們的門(mén)牌號(hào)分別是1、2、3、……、12。他們的號(hào)碼依次是十二個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每戶(hù)的號(hào)碼都能被這戶(hù)的門(mén)牌號(hào)整除。這些號(hào)碼的首位數(shù)字都小于6，并且門(mén)牌號(hào)是9的這一家的號(hào)碼也能被13整除。問(wèn)這一家的號(hào)碼是什么數(shù)？〔1993年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克總決賽第二試試題〕講析：設(shè)這十二家住戶(hù)的號(hào)碼依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。因?yàn)槊繎?hù)的號(hào)碼都能被自己家的門(mén)牌號(hào)整除，所以數(shù)a能同時(shí)被1、2、3、……、12整除。而1、2、3、……、12的最小公倍數(shù)是27720，所以六位數(shù)中，能同時(shí)被1、2、3、……12整除的最小自然數(shù)是27720×4=110880現(xiàn)在考慮第九戶(hù)人家的號(hào)碼能被13整除問(wèn)題。因?yàn)?10880÷13，余數(shù)是12；27720÷13，余數(shù)是4。也就是在110889的根底上，再加上n個(gè)27720之后的和，能被13整除的數(shù)，就是所求的數(shù)。即12+4n，是13的倍數(shù)。顯然，當(dāng)n=10時(shí)，12+4n是13的倍數(shù)。所以，門(mén)牌號(hào)碼是9的這家號(hào)碼是：110889+27720×10=388089。7、運(yùn)用圖形間的等量關(guān)系【應(yīng)用弦圖解題】我國(guó)古代有種圖形叫做“弦圖〞〔如圖4.56所示〕，有的數(shù)學(xué)家應(yīng)用它成功地證明了“勾股定理〞。我國(guó)宋代著名數(shù)學(xué)家楊輝，在他著的《田畝比類(lèi)乘除捷法》一書(shū)中，提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：有一塊長(zhǎng)方形田，面積為864平方步〔“步〞是古代長(zhǎng)度單位，1里=300步，1步=5尺〕，長(zhǎng)比寬少12步，問(wèn)：它的長(zhǎng)、寬共是多少步？楊輝在該書(shū)上出示了一個(gè)弦圖〔如圖4.57〕，他是用四個(gè)面積為864共是60步。顯然，這樣運(yùn)用弦圖來(lái)解答題目，是十分高明和十分巧妙的！有些競(jìng)賽題也可以用弦圖來(lái)巧解。第一屆“華羅庚金杯賽〞中，就兩次出現(xiàn)了應(yīng)用弦圖來(lái)解答的題目。尤其是那一道決賽題：平方米。鋸下的木條面積是多少平方米？〞仿楊輝的解法，可假定剩下4塊長(zhǎng)方形木塊，并利用它拼成了一個(gè)“弦圖〞，如圖4.58。于是可知，大正方形的面積為【解縱橫交錯(cuò)的復(fù)雜題】把同樣大小的長(zhǎng)方形有規(guī)律地縱橫交錯(cuò)地放在一起，常常需要根據(jù)長(zhǎng)、寬關(guān)系，找出等量關(guān)系來(lái)解答題目。例如如圖4.59，這是由同樣大小的紙片擺成的圖形，小紙片寬12厘米由圖可知，5個(gè)紙片的長(zhǎng)=3個(gè)紙片的長(zhǎng)+3個(gè)紙片的寬，所以2個(gè)紙片長(zhǎng)=3個(gè)紙片寬1個(gè)紙片長(zhǎng)=12×3÷2=18〔厘米〕進(jìn)而可知，每個(gè)陰影局部的小正方形的邊長(zhǎng)為18-12=6〔厘米〕陰影局部的總面積便是6×6×3=108〔平方厘米〕又如，“有9個(gè)長(zhǎng)方形，它們的長(zhǎng)、寬分別相等，用它們拼成的大長(zhǎng)方形〔如圖4.60〕的面積是45平方厘米，求大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。〞解題的關(guān)鍵，是求出一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。由5個(gè)小長(zhǎng)方形的寬等于形重新分割為5個(gè)小正方形，小正方形的邊長(zhǎng)，正好是小長(zhǎng)方形的寬〔如圖4.61〕。所以，5個(gè)小正方形面積之和，就是四個(gè)小正方形的面積之和，即5個(gè)小正方形面積為45÷9×4=20〔平方厘米〕每個(gè)小正方形的面積為20÷5=4〔平方厘米〕顯然，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)〔即小長(zhǎng)方形的寬〕為2厘米進(jìn)而便可求得大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為［2.5×4＋〔2.5＋2〕］×2=29〔厘米〕。此外，題目還可這樣解答：因?yàn)樾￠L(zhǎng)方形寬的5倍等于長(zhǎng)的4倍，所以，可用〔4與5的最小公倍數(shù)〕20個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大的正方形〔如圖4.62〕。大正方形面積是它的邊長(zhǎng)便是10厘米10÷4=2.5〔厘米〕小正方形的寬為10÷5=2〔厘米〕于是，原來(lái)的大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就是〔2.5×4＋2.5＋2〕×2=29〔厘米〕?！居妹娣e線段比的關(guān)系解題】利用面積比與線段比之間的等量關(guān)系，常常能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。例如為什么成立？由圖中可以看出，△PBC和△ABC是同底的兩個(gè)三角形，所以又如，第一屆“華羅庚金杯賽〞上有過(guò)一道這樣的題目：“如圖4.64，一個(gè)長(zhǎng)方形地面被兩條直線分成四個(gè)長(zhǎng)方形，其中三個(gè)的面積是20公畝、25公畝和30公畝，另一個(gè)〔圖中陰影局部〕長(zhǎng)方形的面積是多少公畝？〞圖中可見(jiàn)，右邊兩個(gè)長(zhǎng)方形是長(zhǎng)相同的長(zhǎng)方形，它們的面積比等于它們寬的比；同樣，左邊兩個(gè)長(zhǎng)方形也是長(zhǎng)相同的長(zhǎng)方形，它們的面積比，也等于它們寬的比。設(shè)陰影局部面積為x公畝，由于左右兩組長(zhǎng)方形面積之比，都等于相同的寬之比，所以即另一個(gè)〔陰影局部〕長(zhǎng)方形面積為37.5公畝。8、運(yùn)算法那么或方法【四那么運(yùn)算法那么】整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四那么運(yùn)算法那么，見(jiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)課本，此處略?！舅哪敲催\(yùn)算順序】見(jiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)課本，略。【繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)方法】繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)的方法，一般有以下兩種方法?！?〕利用分?jǐn)?shù)根本性質(zhì)，把繁分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍數(shù)，從而化簡(jiǎn)繁分?jǐn)?shù)。〔2〕利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，將繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)。這是因?yàn)榉狈謹(jǐn)?shù)實(shí)際上是分?jǐn)?shù)除法的另一種表示形式的緣故。例如【求連分?jǐn)?shù)的值的方法】由數(shù)列a0，a1，……及b1，b2，……所組成的表達(dá)式稱(chēng)為“連分?jǐn)?shù)〞。它可簡(jiǎn)記為為連分?jǐn)?shù)的值。連分?jǐn)?shù)有兩種，一是有限連分?jǐn)?shù)，二是無(wú)限連分?jǐn)?shù)。例如，求有限連分?jǐn)?shù)的值，也稱(chēng)化簡(jiǎn)連分?jǐn)?shù)，它的化簡(jiǎn)方法與繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)方法根本相同。一般是從最下面的分母運(yùn)算開(kāi)始，逐步向上計(jì)算。例如上面的這個(gè)有限連分?jǐn)?shù)：求無(wú)限連分?jǐn)?shù)的值，就是求它的有限層的值作為它的近似值。當(dāng)層次愈多時(shí)，就愈接近它的值。注意：繁分?jǐn)?shù)和連分?jǐn)?shù)，都不是“分?jǐn)?shù)〞定義里所定義的一種分?jǐn)?shù)。分解為兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和，可按以下步驟去完成：的任意兩個(gè)約數(shù)a1，a2；〔2〕擴(kuò)分：將單位分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘以?xún)杉s數(shù)的和〔a1+a2〕，〔3〕拆分：將擴(kuò)分后所得的分?jǐn)?shù)，按照同分母分?jǐn)?shù)相加的法那么反過(guò)來(lái)〔4〕約分：將拆開(kāi)后的兩個(gè)分?jǐn)?shù)約分，便得到兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)。注意：〔1〕因大于1的自然數(shù)的約數(shù)有時(shí)不止2個(gè)，有多個(gè)，從中任取兩個(gè)約數(shù)的取法也有多種，只要每次取出的兩個(gè)約數(shù)之間不成比例，那么將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和的結(jié)果也各不相同。例如，15的約數(shù)有1，3，5，15四個(gè)，從中任取兩個(gè)的取法有〔1，3〕、〔1，5〕、〔1，15〕、〔3，5〕、〔3，15〕、〔5，15〕六種，而取〔1，3〕和〔5，15〕、〔1，5〕和〔3，15〕是成比例〔2〕假設(shè)要將單位分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)相等的單位分?jǐn)?shù)之和，那只要在擴(kuò)分時(shí)，分子、分母同乘以分母的任何一個(gè)約數(shù)的2倍或乘以2即可。拆成n個(gè)單位分?jǐn)?shù)的和的方法和步驟與拆成兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)的方法和步驟相同，不同點(diǎn)只在擴(kuò)分時(shí)，分子、分母同乘以分母A的n個(gè)約數(shù)的和〔a1+a2+…+an〕。解∵15=3×5∴15的約數(shù)有1，3，5，15。有限個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式。【近似數(shù)的加減法】在一般情況下，近似數(shù)相加減，和或差精確到哪一位，與數(shù)中精確度最低的一個(gè)相同。計(jì)算法那么有以下三條：〔1〕確定結(jié)果精確到哪一個(gè)數(shù)位〔數(shù)中精確度最低的精確到了哪一個(gè)數(shù)位，那么計(jì)算的結(jié)果就精確到這個(gè)數(shù)位〕；〔2〕把數(shù)中超過(guò)這一最低精確度這個(gè)數(shù)位的數(shù)字，四舍五入到這個(gè)數(shù)位的下一位；〔3〕進(jìn)行計(jì)算，并且把算得的數(shù)的末位數(shù)字四舍五入。例如，求近似數(shù)25.4、0.456、8.738和56的和。25.4+0.456+8.738+56≈91又如，求近似數(shù)0.095減0.002153的差。解：≈0.093【近似數(shù)的乘除法】在一般情況下，近似數(shù)相乘除，積或者商取幾個(gè)有效數(shù)字，與數(shù)中有效數(shù)字最少的相同。具體法那么有以下三條：〔1〕確定結(jié)果有多少個(gè)有效數(shù)字〔數(shù)中有效數(shù)字最少的有多少個(gè)，結(jié)果就取同樣多個(gè)有效數(shù)字〕；〔2〕把數(shù)中有效數(shù)字的個(gè)數(shù)多的，四舍五入到只比結(jié)果中有效數(shù)字的個(gè)數(shù)多一個(gè)；〔3〕進(jìn)行計(jì)算〔除法要比結(jié)果多算出一位〕，并把算得的數(shù)四舍五入到應(yīng)該有的有效數(shù)字的個(gè)數(shù)。例如，〔1〕求近似數(shù)26.79與0.26的積?！?〕求近似數(shù)9.7除以近似數(shù)25.78的商。因24只有兩個(gè)有效數(shù)字，故可把各數(shù)分別四舍五入到三個(gè)有效數(shù)字以后去計(jì)算；得出中間結(jié)果仍保存三個(gè)有效數(shù)字，即比法那么規(guī)定的多保存一個(gè)；得出最后的結(jié)果，再四舍五入到兩個(gè)有效數(shù)字。再如，量得一個(gè)圓的周長(zhǎng)約是3.73厘米題目要求直徑長(zhǎng)度，需用“3.73÷π〞去計(jì)算。其中3.73是近似數(shù)，有三個(gè)有效數(shù)字；π是個(gè)準(zhǔn)確數(shù)，它有任意多個(gè)有效數(shù)字，計(jì)算時(shí)，π取四個(gè)有效數(shù)字：解3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19〔厘米〕答：這個(gè)圓的直徑約是1.19厘米【近似數(shù)混合運(yùn)算方法】近似數(shù)的混合運(yùn)算，要分步來(lái)做。運(yùn)算的中間步驟的計(jì)算結(jié)果，所保存的數(shù)字要比加、減、乘、除計(jì)算法那么規(guī)定的多取一個(gè)。例如，作近似數(shù)的混合計(jì)算：57.71÷5.14+3.18××1.6。解原式≈7.5說(shuō)明：〔1〕57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中間結(jié)果11.23，3.689，7.41，都比法那么規(guī)定應(yīng)當(dāng)取的有效數(shù)字多取了一個(gè)?！?〕是加減法，各數(shù)中精確度最低的是7.41，這個(gè)數(shù)實(shí)際上只有兩個(gè)有效數(shù)字，就是只精確到十分位。因此，最后求得的結(jié)果應(yīng)當(dāng)四舍五入到十分位，得7.5。又如，“有一塊梯形土地，量得上底約為68.73米，下底約為104.20米，高約為≈86.47×9.57≈828〔平方米〕〔答略〕說(shuō)明：〔1〕68.73+104.20，所得的中間結(jié)果172.93，精確到0.01，沒(méi)有多取的數(shù)位。果四舍五入到三個(gè)有效數(shù)字，得828。【預(yù)定精確度的計(jì)算法那么】已給出計(jì)算結(jié)果所要求到達(dá)的精確度，要求確定原始數(shù)據(jù)的精確度，通常稱(chēng)其為“預(yù)定精確度的計(jì)算〞。預(yù)定精確度的計(jì)算法那么，一般有：〔1〕預(yù)定結(jié)果的精確度用有效數(shù)字給出的問(wèn)題。如果預(yù)定結(jié)果有n個(gè)有效數(shù)字，那么原始數(shù)據(jù)一般取到n+1個(gè)有效數(shù)字。例如，圓形面積大約是140平方米，要使算出的結(jié)果具有兩個(gè)有效數(shù)字，那么測(cè)量半徑r應(yīng)到達(dá)怎樣的精確度？π解：為了使面積S具有兩個(gè)有效數(shù)字，π和r就都要有三個(gè)有效數(shù)字。因?yàn)閞應(yīng)該有一位整數(shù)，所以測(cè)量半徑時(shí)，應(yīng)該精確到0.01米π應(yīng)該取三個(gè)有效數(shù)字的近似值--3.14。〔2〕對(duì)于加法和減法，由于計(jì)算結(jié)果的精確度是按小數(shù)的位數(shù)來(lái)確定的，所以當(dāng)預(yù)定結(jié)果的精確度用有效數(shù)字個(gè)數(shù)給出，那么就要先估計(jì)出和或差里最高一位數(shù)在哪一位上。例如，梯形上底a約50米，下底b約60米，高h(yuǎn)約40米要使S有兩個(gè)有效數(shù)字，那么〔a+b〕與h都應(yīng)該有三個(gè)有效數(shù)字。所以，測(cè)量h應(yīng)精確到0.1米，而測(cè)量上底和下底，只需要精確到1米〔因在實(shí)際測(cè)量時(shí)，a、b、h都有兩個(gè)整數(shù)數(shù)位，測(cè)量工具一樣，因此常采用相同的精確度?！疽话泸?yàn)算方法】〔1〕加減法的驗(yàn)算方法。加法的驗(yàn)算方法有二：一是利用加法交換律，把加數(shù)位置交換后再相加，所得的結(jié)果必須與原計(jì)算的結(jié)果相同，說(shuō)明計(jì)算才是正確的。二是利用加法和減法的逆運(yùn)算關(guān)系，把所得的和減去一個(gè)加數(shù)，所得的差必須等于另一個(gè)加數(shù)，計(jì)算才是正確的。減法的驗(yàn)算也有兩種方法：一是利用加減互逆的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)算，把所得的差與減數(shù)相加，所得的和必須等于被減數(shù)，計(jì)算才是正確的。二是利用被減數(shù)、減數(shù)、差三者之間的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)算，用被減數(shù)減去差，所得的結(jié)果必須等于減數(shù)，計(jì)算才是正確的?！?〕乘除法的驗(yàn)算方法。乘法有兩種驗(yàn)算方法：①利用乘法交換律進(jìn)行驗(yàn)算，把因數(shù)位置交換后再相乘，所得的結(jié)果必須和原來(lái)的計(jì)算結(jié)果相同，計(jì)算才是正確的。②利用乘除互逆關(guān)系，把所得的積除以一個(gè)因數(shù)，結(jié)果必須等于另一個(gè)因數(shù)，計(jì)算才是正確的。除法也有兩種驗(yàn)算方法：①利用乘除互逆關(guān)系，把除數(shù)和商相乘〔如有余數(shù)，還要加上余數(shù)〕，所得的結(jié)果必須等于被除數(shù)，計(jì)算才是正確的。②利用被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之間的關(guān)系，把被除數(shù)減去余數(shù)所得的差〔沒(méi)有余數(shù)的不必去減〕，除以商，所得的結(jié)果必須等于除數(shù)，計(jì)算才是正確的?！?〕四那么混合運(yùn)算式題的驗(yàn)算。四那么混合運(yùn)算式題的驗(yàn)算，雖然可采用上述加、減、乘、除法的驗(yàn)算方法去驗(yàn)算，但非常麻煩，不如采用重算的方法。由于計(jì)算中最易錯(cuò)的是運(yùn)算順序、分小數(shù)互化等，所以重算可分三步走：①檢查運(yùn)算順序；②檢查分小數(shù)互化情況；③檢查每步計(jì)算結(jié)果是否正確?！?〕解方程、解比例的驗(yàn)算方法。解方程、解比例的驗(yàn)算，可將求得的解代入原方程或原比例，看等號(hào)兩邊的數(shù)值是否相等。〔5〕應(yīng)用題的驗(yàn)算方法。應(yīng)用題的驗(yàn)算可以采用下面三種方法：①用“一題多解〞驗(yàn)算。有多種解法的應(yīng)用題，可用不同的解法去再解一遍。假設(shè)解得的結(jié)果一致，說(shuō)明解法是正確的。②用“復(fù)原法〞驗(yàn)算。將計(jì)算結(jié)果作為題目中的條件，根據(jù)其數(shù)量關(guān)系，假設(shè)算得其他條件和數(shù)據(jù)都是成立的〔即能“復(fù)原〞〕，那么說(shuō)明題目的解法是正確的。③用分析、估算方法驗(yàn)算。根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)等，可知：求總數(shù)，結(jié)果不應(yīng)小于局部數(shù)；求人數(shù)、植樹(shù)棵樹(shù)等，得數(shù)通常為整數(shù)；計(jì)算出油率、合格率等，得數(shù)不會(huì)大于100％；計(jì)算各種速度、農(nóng)作物單位面積產(chǎn)量，得數(shù)應(yīng)根本符合實(shí)際情況；……否那么，題目的解答便可能是錯(cuò)誤的。不過(guò)，分析、估算方法只能檢驗(yàn)出大致的情況，大致情況檢驗(yàn)出來(lái)后，還得用其他方法驗(yàn)算?！緱壘膨?yàn)算法】利用被9除所得余數(shù)的性質(zhì)，對(duì)四那么運(yùn)算進(jìn)行檢驗(yàn)的一種方法，稱(chēng)為“棄九驗(yàn)算法〞，簡(jiǎn)稱(chēng)“棄九法〞。用“棄九法〞驗(yàn)算，首先要找出一個(gè)數(shù)的“去九數(shù)〞〔或稱(chēng)“棄九數(shù)〞〕。把一個(gè)數(shù)各位數(shù)字相加，如果和大于9，又再將和的各位數(shù)字相加，直到和是一個(gè)一位數(shù)〔和是9的要減去9得0〕，這個(gè)數(shù)我們便稱(chēng)它為原數(shù)的“去九數(shù)〞。例如8693：8+6+9+3=26-→2+6=8〔去九數(shù)是8〕；721：7+2+1=10-→1+0=1〔去九數(shù)是1〕。去九數(shù)也可以這樣得到：把一個(gè)數(shù)中的數(shù)字9，或者相加得9的幾個(gè)數(shù)字都劃去，將剩下來(lái)的數(shù)字相加，得到一個(gè)小于9的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是原數(shù)的去九數(shù)。例如：“棄九驗(yàn)算法〞也可以說(shuō)，是利用“去〔棄〕九數(shù)〞去進(jìn)行驗(yàn)算的一種驗(yàn)算方法。例如，驗(yàn)算下面的加減法，可先求出等號(hào)左右每個(gè)數(shù)的去九數(shù)，然后將等號(hào)左邊的去九數(shù)相加減，假設(shè)去九數(shù)的和〔或差〕，與等號(hào)右邊和〔或差〕的去九數(shù)不相等，那么可以肯定，原來(lái)的計(jì)算是錯(cuò)誤的。例如〔如果兩個(gè)加數(shù)的去九數(shù)之和大于9，那么應(yīng)減去9〕所以，可以肯定，原式的計(jì)算是錯(cuò)誤的。確實(shí)，正確的答案是70168。假設(shè)最后的兩個(gè)去九數(shù)之和或差，與等號(hào)右邊和〔或差〕的去九數(shù)相等，那么在一般情況下，可以認(rèn)為原來(lái)的計(jì)算大致沒(méi)有錯(cuò)誤。例如所以，可以認(rèn)為原來(lái)的計(jì)算大致沒(méi)有錯(cuò)誤。減法的驗(yàn)算如所以，可以肯定，原計(jì)算是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，原式的差應(yīng)該是146410。用棄九法驗(yàn)算乘法如下面的兩個(gè)例子：〔1〕可以肯定，原來(lái)的計(jì)算是錯(cuò)誤的。確實(shí)，正確的答案應(yīng)該是716478。〔2〕可以認(rèn)為，這道題大致沒(méi)有錯(cuò)誤。用棄九法驗(yàn)算除法，可利用下面的關(guān)系式來(lái)進(jìn)行：除數(shù)×商=被除數(shù)；除數(shù)×商+余數(shù)=被除數(shù)。例如：〔1〕可以認(rèn)為，這道題的計(jì)算大致沒(méi)有錯(cuò)誤?！?〕可以認(rèn)為，這道題的計(jì)算，大致沒(méi)有錯(cuò)誤。不難發(fā)現(xiàn)，棄九驗(yàn)算法是既方便，又有趣的。但當(dāng)棄九數(shù)的等式相等時(shí)，為什么要說(shuō)“在一般情況下〞，“可以認(rèn)為〞原式的計(jì)算〞大致沒(méi)有錯(cuò)誤〞呢？請(qǐng)看下面幾個(gè)數(shù)的去九數(shù)：這就是說(shuō)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)的數(shù)字相同，僅僅是0的個(gè)數(shù)不同；或者是數(shù)字順序顛倒；或者小數(shù)點(diǎn)的位置不同時(shí)，它的去九數(shù)卻是相同的。這樣就會(huì)導(dǎo)致用棄九法驗(yàn)算，不能查出去九數(shù)雖相同，而數(shù)的實(shí)際大小卻并不相同的情況。這一點(diǎn)，在使用棄九法驗(yàn)算時(shí)，我們必須特別注意。盡管有以上這種情況，但一般說(shuō)來(lái)，棄九驗(yàn)算法還是一個(gè)有特色、有趣味的和比擬好的驗(yàn)算方法。【速算方法】〔見(jiàn)第一局部“〔五〕數(shù)學(xué)公式〞中的“速算公式〞及第四局部中的“速算技巧〞。〕【名數(shù)化、聚方法】〔1〕名數(shù)的化法。把高級(jí)單位的單名數(shù)或復(fù)名數(shù)，化成低級(jí)單位的單名數(shù)的方法，叫做“名數(shù)的化法〞。計(jì)算時(shí)，用進(jìn)率乘以高級(jí)單位的數(shù)，再加上低級(jí)單位的數(shù)。例如，把6米因?yàn)槔迕缀兔字g的進(jìn)率是100，所以，解法是100×6+32=632〔厘米〕，即6米32厘米〔2〕名數(shù)的聚法。把低級(jí)單位的單名數(shù)聚成高級(jí)單位的單名數(shù)或復(fù)名數(shù)的方法，叫做“名數(shù)的聚法〞。計(jì)算時(shí)，用低級(jí)單位的數(shù)除以進(jìn)率，所得的商就是高級(jí)單位的數(shù)，余數(shù)就是低級(jí)單位的數(shù)。例如，把5700千克因?yàn)閲嵑颓Э酥g的進(jìn)率是1000，所以解法是5700÷1000=5……700∴5700千克=5噸7009、約數(shù)與倍數(shù)【約數(shù)問(wèn)題】例1用1155個(gè)同樣大小的正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，有______種不同的拼法?！采虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：不管拼成怎樣的長(zhǎng)方形，它們的面積都是1155。而長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘以寬。所以，只要將1155分成兩個(gè)整數(shù)的積，看看有多少種方法。一般來(lái)說(shuō)，約數(shù)都是成對(duì)地出現(xiàn)。1155的約數(shù)共有16個(gè)。16÷2=8〔對(duì)〕。所以，有8種不同的拼法。例2說(shuō)明：360這個(gè)數(shù)的約數(shù)有多少個(gè)？這些約數(shù)之和是多少？〔全國(guó)第三屆“華杯賽〞決賽第一試試題〕講析：將360分解質(zhì)因數(shù)，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。所以，360的約數(shù)個(gè)數(shù)是：〔3+1〕×〔2+1〕×〔1+1〕=24〔個(gè)〕這24個(gè)約數(shù)的和是：例3一個(gè)數(shù)是5個(gè)2，3個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7的連乘積。這個(gè)數(shù)當(dāng)然有許多約數(shù)是兩位數(shù)，這些兩位的約數(shù)中，最大的是幾？〔全國(guó)第一屆“華杯賽〞決賽第一試試題〕講析：這個(gè)數(shù)是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。把兩位數(shù)從99、98、……開(kāi)始，逐一進(jìn)行分解：99=3×3×11；98=2×7×7；97是質(zhì)數(shù)；96=2×2×2×2×2×3。發(fā)現(xiàn)，96是上面數(shù)的約數(shù)。所以，兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。例4有8個(gè)不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個(gè)是______?！脖本┦械谝粚谩坝罕曅W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：一個(gè)自然數(shù)N，當(dāng)分解質(zhì)因數(shù)為：因?yàn)?=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，可能為：27，或23×3，或2×3×5，……不難得出，最小的一個(gè)是24?！颈稊?shù)問(wèn)題】例16枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果分別用1分、2分、5分硬幣疊成的三個(gè)圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那么這三種硬幣總共有______枚?！采虾Ｊ械谖鍖眯W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)?枚1分的硬幣與5枚2分的一樣高，所以36枚1分的硬幣與30枚2分的一樣高。6枚2分的硬幣與5枚5分的一樣高，所以30枚2分的硬幣與25枚5分的一樣高。因此，36枚1分的硬幣高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它們共有：1×36+2×30+5×25=221〔分〕。4元4角2分=442〔分〕，442÷221=2。所以，1分的硬幣共36×2=72〔枚〕，2分的硬幣共30×2=60〔枚〕，5分的硬幣共25×2=50〔枚〕，即總共有182枚。例2從1、2、……、11、12中至多能選出______個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的2倍?！?990年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克初賽試題〕講析：1、3、5、7、9、11是奇數(shù)，不可能是任何整數(shù)的2倍。剩下的數(shù)有2、4、6、8、10、12六個(gè)數(shù)，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，那么4、8、12就都不能??；如取4，那么2、8不能取，故只可取12；如取8，那么2、4不能取，故只可取8。所以至多能選取8個(gè)數(shù)。例3小明的兩個(gè)衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫(xiě)著1、2、3、……13。如果從這兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來(lái)計(jì)算它們所寫(xiě)兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6整除的乘積共有______個(gè)?！脖本┦械诰艑谩坝罕曅W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)?=2×3，所以能被6整除的因數(shù)中，至少含有一個(gè)2和一個(gè)3。當(dāng)一邊取6，另一邊取1、2、……、13時(shí)均成立，有13個(gè)積；當(dāng)一邊取7、8、9、10、11、12、13，另一邊取12時(shí)，有7個(gè)積；當(dāng)一邊取10，另一邊取9時(shí)，有1個(gè)積。所以，不相等的乘積中，被6整除的共有：13+7+1=21〔個(gè)〕。例4設(shè)a與b是兩個(gè)不相等的自然數(shù)。如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么a與b之和可以有______種不同的值?！脖本┦械诰艑谩坝罕曅W(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕講析：因?yàn)?2=23×32，它共有約數(shù)〔3+1〕×〔2+1〕=12〔個(gè)〕這12個(gè)約數(shù)，每個(gè)約數(shù)與72的最小公倍數(shù)都是72，a、b之和有12種不同的值；當(dāng)a=22×32=36時(shí)，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2種不同的值；當(dāng)a=23×3=24時(shí)，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2種不同的值。當(dāng)a=2×32=18時(shí)；b可取23=8，a、b之和有1種不同的值。所以，滿(mǎn)足條件的a與b之和共有17種不同的值。10、余數(shù)問(wèn)題【求余數(shù)】〔1990年江蘇宜興市第五屆小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題〕一組，就可得到331組，尚余4個(gè)6。而6666÷7=952……2。所以，原式的余數(shù)是2。例29437569與8057127的乘積