【數(shù)學】四川省南充市2024屆高三一模試題（理）（解析版）

四川省南充市2024屆高三一模數(shù)學試題（理）一、單項選擇題1.拋物線的準線方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，拋物線方程為，則其準線方程為.故選：C.2.當時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第四象限.故選：D.3.已知正方形的邊長為1，則（）A.0 B. C. D.4【答案】C【解析】，因為正方形的邊長為1，所以，故.故選：C4.已知直線m,n和平面,，，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】根據(jù)線面平行的判定定理知,若,則,故充分性成立；若,則直線m,n有可能平行或者異面,故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知全集，集合則能表示關(guān)系的圖是（）A. B.C D.【答案】B【解析】因為，，所以，對于A，，錯誤；對于C，，錯誤；對于D，錯誤；B選項符合題意，故選：B.6.某商品的地區(qū)經(jīng)銷商對2023年1月到5月該商品的銷售情況進行了調(diào)查，得到如下統(tǒng)計表．發(fā)現(xiàn)銷售量y（萬件）與時間x（月）成線性相關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y與x的回歸直線方程為：．則下列說法錯誤的是（）時間x（月）12345銷售量y（萬件）11.62.0a3A.由回歸方程可知2024年1月份該地區(qū)的銷售量為6.8萬件B.表中數(shù)據(jù)的樣本中心點為C.D.由表中數(shù)據(jù)可知，y和x成正相關(guān)【答案】A【解析】依題意，，而y與x的回歸直線方程為：，則，解得，，表中數(shù)據(jù)的樣本中心點為，BC正確；由，得y和x成正相關(guān)，D正確；2024年1月份，即，由回歸直線方程，得，因此2024年1月份該地區(qū)的銷售量約為6.8萬件，A錯誤.故選：A7.二項式的展開式中常數(shù)項為（）A. B.60 C.210 D.【答案】B【解析】展開式的通項為，所以，常數(shù)項為，故選：B.8.已知：，，則下列說法中錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，則，故A正確；因為，則，所以，即，故B正確：因為，所以，故C正確；因為，所以，故D錯誤；故選：D.9.如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，則平面截正方體所得的截面面積為（）A. B. C.9 D.18【答案】B【解析】由題知連接，，，如圖所示因為分別是中點，所以，在正方體中，所以，所以在同一平面內(nèi)，所以平面截該正方體所得的截面為平面，因為正方體的棱長為，所以，，，則到的距離為等腰梯形的高為，所以截面面積為，故B正確.故選：B.10.如圖1是函數(shù)的部分圖象，經(jīng)過適當?shù)钠揭坪蜕炜s變換后，得到圖2中的部分圖象，則（）A.B.C.方程有4個不相等的實數(shù)解D.的解集為，【答案】D【解析】A選項，若，則，與圖不符合，所以A選項錯誤.B選項，向右平移個單位得到，再將橫坐標縮小為原來的一半，得到，所以，B選項錯誤.C選項，由，得，畫出和的圖象如下圖所示，，由圖可知，兩個圖象有個交點，所以方程有個不相等的實數(shù)解，所以C選項錯誤.D選項，由，得，所以的解集為，，D選項正確.故選：D11.已知雙曲線的左右焦點分別為，，左右頂點分別為，，P為雙曲線在第一象限上的一點，若，則（）A. B.2 C.5 D.【答案】C【解析】依題意，，由余弦定理得，解得，所以，所以，又，因為，，所以.故選：C.12.已知函數(shù)（）有兩個不同的零點，（），下列關(guān)于，的說法正確的有（）個①②③④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由函數(shù)有兩個不同零點，轉(zhuǎn)化有兩個交點，構(gòu)造函數(shù)，，則，故，所以在單調(diào)遞增，而，可得圖象如圖所示故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，對于①，，所以，所以，故①正確；對于②，由①可知，故，因此，故②正確；對于③，因為，所以，故，所以，則，構(gòu)造函數(shù)，則，而，所以，所以，因為，所以，令，構(gòu)造，顯然單調(diào)遞增，且，所以所以，故③正確；對于④，由①可知，，所以，令，，顯然單調(diào)遞增，且，所以，故④正確.故選：D.二、填空題13.滿足約束條件的平面區(qū)域的面積為________．【答案】【解析】作出該約束條件的可行域，如下圖所示，聯(lián)立，解得，則交點為，當時，，當時，，由此可知該平面區(qū)域的面積為,故答案為：.14.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，則________．【答案】【解析】由題意，在中，，∵為上的奇函數(shù)，∴，故答案為：.15.已知圓臺的上下底面半徑分別為和，若存在一個球同時與該圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，則該圓臺的體積為________．附：圓臺體積公式為：【答案】【解析】圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球與母線切于點，則，所以，過點作于，則，所以，所以圓臺的體積為，故答案為：16.如圖，在中，，，P為內(nèi)一點，且，則________．【答案】0.5【解析】在中，，由，得，而，則，于是，，則，在中，，在中，由正弦定理得，，即，在中，，由余弦定理得，即，整理得，顯然為銳角，所以.故答案為：.三、解答題17.已知數(shù)列是首項為2的等比數(shù)列,且是和的等差中項．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列的公比,設(shè)數(shù)列滿足,求的前2023項和．解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為,則是和的等差中項,即解得或或（舍去）當時,當時,（2）,由(1)知故的前2023項和為18.2023年秋季，支原體肺炎在全國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人，某市醫(yī)院傳染病科在該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽查了200人的情況，并將調(diào)查結(jié)果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病合計未感染支原體肺炎6080140感染支原體肺炎402060合計100100200（1）是否有99.5%的把握認為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān)？（2）現(xiàn)從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人，再從6人中隨機抽出4人作為醫(yī)學研究對象并免費治療．按以往的經(jīng)驗，有慢性疾病的老人每人的研究治療費用為2萬元，沒有慢性疾病的老人每人的研究治療費用為1萬元，記抽出的這4人產(chǎn)生的研究治療總費用為（單位：萬元），求的分布列及數(shù)學期望．附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：（其中）解：（1）依題意，，所以有99.5%的把握認為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身有慢性疾病有關(guān).（2）從感染支原體肺炎的60位老人中按分層抽樣的方式抽出6人，其中有慢性疾病有人，沒有慢性疾病有2人，研究治療總費用的可能值為6，7，8，則，所以的分布列為：678數(shù)學期望.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）若，二面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖，取中點，連接，因為，，所以，且，又平面，平面，所以，又面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，得到，又平面，平面，所以平面.（2）解：如圖，取中點，連接，，則，因為平面，由（1）知，所以平面，又，所以，過作，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為平面，面，所以，又，，所以面，又面，所以,故為二面角的平面角，所以，又，所以，又，所以，所以，則，設(shè)平面的一個法向量為，則由得到，，取，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.設(shè)函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.（1）設(shè)函數(shù)，若時，恒成立，求的取值范圍；（2）證明：與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點橫坐標互為相反數(shù).（1）解：由已知，時，恒成立，即恒成立，整理得，令令，得，此時單調(diào)遞增，令，得，此時單調(diào)遞減，，，得；（2）證明：函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，假設(shè)與有公切線，明顯斜率存在，設(shè)公切線的方程為，與的切點為，與的切點為又，，消去得，當時，明顯不成立，整理可得對于函數(shù)，有，其為奇函數(shù)，且函數(shù)也為奇函數(shù)，故方程若有根，其根必為成對的相反數(shù)，下面研究方程的根的情況，即函數(shù)的零點情況，可得，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，，又時，，時，，，使，得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，，又，由零點存在定理得函數(shù)在區(qū)間和各有一個零點，即函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個根，綜上所述與有且僅有兩條公切線，且圖象上兩切點橫坐標互為相反數(shù).21.如圖，橢圓的四個頂點為A，B，C，D，過左焦點且斜率為k的直線交橢圓E于M，N兩點．（1）求四邊形的內(nèi)切圓的方程；（2）設(shè)，連結(jié)，并延長分別交橢圓E于P，Q兩點，設(shè)的斜率為．則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）連接,則四邊形為邊長為的菱形，由對稱性可知，當圓與直線相切時，則與四邊形的各個邊相切，且圓心為坐標原點，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由于，則由等面積法可得，故，故圓的方程為：（2）設(shè),則，則直線的方程為，聯(lián)立可得，即，將代入上式可得，化簡得，所以，所以，，故，同理可得,所以由于直線方程為，所以，故，故存在，使得22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），把繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系．（1）寫出，的極坐標方程；（2）若曲線的極坐標方程為，且與交于點A，與交于點B（A，B與點O不重合），求面積的最大值．解：（1）直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），故，則，即；故的極坐標方程為：.把