多目標優(yōu)化方法及實例解析

第九講多目標規(guī)劃方法

多目標規(guī)劃解的討論——非劣解多目標規(guī)劃及其求解技術簡介效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標規(guī)劃模型目標到達法目標規(guī)劃方法目標規(guī)劃模型目標規(guī)劃的圖解法求解目標規(guī)劃的單純形方法多目標規(guī)劃應用實例1編輯課件多目標規(guī)劃是數學規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標函數在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標最優(yōu)化。通常記為

MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實際問題中，例如經濟、管理、軍事、科學和工程設計等領域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標來判斷，而需要用多個目標來比較，而這些目標有時不甚協(xié)調，甚至是矛盾的。因此有許多學者致力于這方面的研究。1896年法國經濟學家

V.

帕雷托最早研究不可比較目標的優(yōu)化問題，之后，J.馮·諾伊曼、H.W.庫恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等數學家做了深入的探討，但是尚未有一個完全令人滿意的定義。2編輯課件求解多目標規(guī)劃的方法大體上有以下幾種：一種是化多為少的方法

，

即把多目標化為比較容易求解的單目標或雙目標，如主要目標法、線性加權法、理想點法等；另一種叫分層序列法，即把目標按其重要性給出一個序列，每次都在前一目標最優(yōu)解集內求下一個目標最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。對多目標的線性規(guī)劃除以上方法外還可以適當修正單純形法來求解；還有一種稱為層次分析法，是由美國運籌學家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結合的多目標決策與分析方法，對于目標結構復雜且缺乏必要的數據的情況更為實用。3編輯課件

多目標規(guī)劃模型〔一〕任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個根本局部組成：〔1〕兩個以上的目標函數；〔2〕假設干個約束條件?！捕硨τ诙嗄繕艘?guī)劃問題，可以將其數學模型一般地描寫為如下形式：一多目標規(guī)劃及其非劣解

式中：為決策變量向量。4編輯課件縮寫形式：有n個決策變量，k個目標函數，m個約束方程，那么：Z=F(X)是k維函數向量，(X)是m維函數向量；G是m維常數向量；

〔1〕〔2〕5編輯課件對于線性多目標規(guī)劃問題，可以進一步用矩陣表示：

式中：

X為n維決策變量向量；

C為k×n矩陣，即目標函數系數矩陣；

B為m×n矩陣，即約束方程系數矩陣；

b為m維的向量，即約束向量。6編輯課件多目標規(guī)劃的非劣解

多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化〔最大或最小〕，而不顧其它目標。對于上述多目標規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復合選擇：▲每一個目標函數取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？▲每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？7編輯課件

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①的f2目標值比②大，但其目標值f1比②小，因此無法確定這兩個方案的優(yōu)與劣。在各個方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣解可以用圖1說明。圖1多目標規(guī)劃的劣解與非劣解8編輯課件而對于方案⑤、⑥、⑦之間那么無法確定優(yōu)劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標規(guī)劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構成的集合稱為非劣解集。當目標函數處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數同時到達最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解〔又稱非支配解或帕累托解〕。9編輯課件效用最優(yōu)化模型罰款模型約束模型目標到達法目標規(guī)劃模型二多目標規(guī)劃求解技術簡介

為了求得多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現這種轉化，有如下幾種建模方法。10編輯課件

是與各目標函數相關的效用函數的和函數。

方法一效用最優(yōu)化模型〔線性加權法〕〔1〕〔2〕思想：規(guī)劃問題的各個目標函數可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數與效用函數建立相關關系，各目標之間通過效用函數協(xié)調，使多目標規(guī)劃問題轉化為傳統(tǒng)的單目標規(guī)劃問題：

11編輯課件在用效用函數作為規(guī)劃目標時，需要確定一組權值

i

來反映原問題中各目標函數在總體目標中的權重，即：式中，

i

應滿足：向量形式：12編輯課件方法二罰款模型〔理想點法〕思想:規(guī)劃決策者對每一個目標函數都能提出所期望的值〔或稱滿意值〕；通過比較實際值fi與期望值fi*之間的偏差來選擇問題的解，其數學表達式如下：或寫成矩陣形式：

式中，是與第i個目標函數相關的權重；

A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對角矩陣。13編輯課件理論依據：假設規(guī)劃問題的某一目標可以給出一個可供選擇的范圍，那么該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假設，除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，那么該多目標規(guī)劃問題就可以轉化為單目標規(guī)劃問題：方法三約束模型〔極大極小法〕14編輯課件方法四目標到達法首先將多目標規(guī)劃模型化為如下標準形式：15編輯課件在求解之前，先設計與目標函數相應的一組目標值理想化的期望目標fi*(i=1,2,…,k),每一個目標對應的權重系數為

i*(i=1,2,…,k)，再設

為一松弛因子。那么，多目標規(guī)劃問題就轉化為：16編輯課件方法五目標規(guī)劃模型〔目標規(guī)劃法〕

需要預先確定各個目標的期望值fi*，同時給每一個目標賦予一個優(yōu)先因子和權系數，假定有K個目標，L個優(yōu)先級(L≤K)，目標規(guī)劃模型的數學形式為：

17編輯課件式中：di+和di－分別表示與fi相應的、與fi*相比的目標超過值和缺乏值，即正、負偏差變量；pl表示第l個優(yōu)先級；lk+、lk-表示在同一優(yōu)先級pl中，不同目標的正、負偏差變量的權系數。18編輯課件三目標規(guī)劃方法通過前面的介紹和討論，我們知道，目標規(guī)劃方法是解決多目標規(guī)劃問題的重要技術之一。這一方法是美國學者查恩斯〔A.Charnes〕和庫伯〔W.W.Cooper〕于1961年在線性規(guī)劃的根底上提出來的。后來，查斯基萊恩〔U.Jaashelainen〕和李〔Sang.Lee〕等人，進一步給出了求解目標規(guī)劃問題的一般性方法——單純形方法。目標規(guī)劃模型目標規(guī)劃的圖解法求解目標規(guī)劃的單純形方法19編輯課件

目標規(guī)劃模型

給定假設干目標以及實現這些目標的優(yōu)先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標值的偏差最小。1.根本思想：2.目標規(guī)劃的有關概念例1：某一個企業(yè)利用某種原材料和現有設備可生產甲、乙兩種產品，其中，甲、乙兩種產品的單價分別為8萬元和10萬元；生產單位甲、乙兩種產品需要消耗的原材料分別為2個單位和1個單位，需要占用的設備分別為1單位臺時和2單位臺時；原材料擁有量為11個單位；可利用的設備總臺時為10單位臺時。試問：如何確定其生產方案使得企業(yè)獲利最大？20編輯課件由于決策者所追求的唯一目標是使總產值到達最大，這個企業(yè)的生產方案可以由如下線性規(guī)劃模型給出：求x1，x2，使將上述問題化為標準后，用單純形方法求解可得最正確決策方案為:〔萬元〕。甲乙擁有量原材料2111設備(臺時)1210單件利潤810生產甲、乙兩種產品，有關數據如表所示。試求獲利最大的生產方案？21編輯課件

但是，在實際決策時，企業(yè)領導者必須考慮市場等一系列其它條件，如：②超過方案供給的原材料，需用高價采購，這就會使生產本錢增加。③應盡可能地充分利用設備的有效臺時，但不希望加班。④應盡可能到達并超過方案產值指標56萬元。這樣，該企業(yè)生產方案確實定，便成為一個多目標決策問題，這一問題可以運用目標規(guī)劃方法進行求解。①根據市場信息，甲種產品的需求量有下降的趨勢，因此甲種產品的產量不應大于乙種產品的產量。22編輯課件假定有L個目標，K個優(yōu)先級(K≤L)，n個變量。在同一優(yōu)先級pk中不同目標的正、負偏差變量的權系數分別為kl+、kl-，那么多目標規(guī)劃問題可以表示為：

目標規(guī)劃模型的一般形式

目標函數目標約束絕對約束非負約束23編輯課件在以上各式中，

kl+

、

kl-

、分別為賦予pl優(yōu)先因子的第k

個目標的正、負偏差變量的權系數，

gk為第k個目標的預期值，

xj為決策變量，

dk+

、dk-

、分別為第k個目標的正、負偏差變量，目標函數目標約束絕對約束非負約束24編輯課件目標規(guī)劃數學模型中的有關概念。(1)偏差變量在目標規(guī)劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負偏差變量d+、d-。其中，正偏差變量表示決策值超過目標值的局部，負偏差變量表示決策值未到達目標值的局部。因為決策值不可能既超過目標值同時又未到達目標值，故有d+×d-=0成立。(2)

絕對約束和目標約束

絕對約束，必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。

25編輯課件目標約束，目標規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標值，在到達此目標值時允許發(fā)生正的或負的偏差，可參加正負偏差變量，是軟約束。線性規(guī)劃問題的目標函數，在給定目標值和參加正、負偏差變量后可以轉化為目標約束，也可以根據問題的需要將絕對約束轉化為目標約束。(3)優(yōu)先因子〔優(yōu)先等級〕與權系數一個規(guī)劃問題,常常有假設干個目標，決策者對各個目標的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位到達的目標賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權。即:首先保證p1級目標的實現，這時可以不考慮次級目標；而p2級目標是在實現p1級目標的根底上考慮的；依此類推。26編輯課件假設要區(qū)別具有相同優(yōu)先因子pl的目標的差異，就可以分別賦予它們不同的權系數i*(i=1,2,…,k)。這些優(yōu)先因子和權系數都由決策者按照具體情況而定。(3)優(yōu)先因子〔優(yōu)先等級〕與權系數一個規(guī)劃問題,常常有假設干個目標，決策者對各個目標的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位到達的目標賦予優(yōu)先因子p1，次位的目標賦予優(yōu)先因子p2，……，并規(guī)定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl比pl+1有更大的優(yōu)先權。即:首先保證p1級目標的實現，這時可以不考慮次級目標；而p2級目標是在實現p1級目標的根底上考慮的；依此類推。27編輯課件(4)目標函數目標規(guī)劃的目標函數〔準那么函數〕是按照各目標約束的正、負偏差變量和賦予相應的優(yōu)先因子而構造的。當每一目標確定后，盡可能縮小與目標值的偏離。因此，目標規(guī)劃的目標函數只能是：a)要求恰好到達目標值，就是正、負偏差變量都要盡可能小,即b)要求不超過目標值，即允許達不到目標值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過目標值，也就是超過量不限，但負偏差變量要盡可能小，即根本形式有三種：28編輯課件例2：在例1中，如果斷策者在原材料供給受嚴格控制的根底上考慮：首先是甲種產品的產量不超過乙種產品的產量；其次是充分利用設備的有限臺時，不加班；再次是產值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標規(guī)劃模型。分析:題目有三個目標層次，包含三個目標值。第一目標：p1d1+;即產品甲的產量不大于乙的產量。第二目標：p2(d2++d2-);即充分利用設備的有限臺時，不加班；第三目標：p3d3-

;即產值不小于56萬元；29編輯課件例2：在例1中，如果斷策者在原材料供給受嚴格控制的根底上考慮：首先是甲種產品的產量不超過乙種產品的產量；其次是充分利用設備的有限臺時，不加班；再次是產值不小于56萬元。并分別賦予這三個目標優(yōu)先因子p1,p2,p3。試建立該問題的目標規(guī)劃模型。解：根據題意，這一決策問題的目標規(guī)劃模型是30編輯課件例3、某廠方案在下一個生產周期內生產甲、乙兩種產品，資料如表所示。(1)試制定生產方案，使獲得的利潤最大？12070單件利潤3000103設備臺時200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲單位產品資源消耗解:設生產甲產品:x1

，乙產品:x2,(1)31編輯課件假設在例3中提出以下要求：1、完成或超額完成利潤指標50000元；2、產品甲不超過200件，產品乙不低于250件；3、現有鋼材3600噸必須用完。試建立目標規(guī)劃模型。分析：題目有三個目標層次，包含四個目標值。第一目標：p1d1-第二目標：有兩個要求即甲d2+，乙d3-，但兩個具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權系數。此題可用單件利潤比作為權系數即70:120，化簡為7:12。第三目標：32編輯課件所以目標規(guī)劃模型為：33編輯課件

圖解法同樣適用兩個變量的目標規(guī)劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標規(guī)劃的求解原理和過程。圖解法解題步驟如下：1、確定各約束條件的可行域。即將所有約束條件〔包括目標約束和絕對約束，暫不考慮正負偏差變量〕在坐標平面上表示出來；2、在目標約束所代表的邊界線上，用箭頭標出正、負偏差變量值增大的方向；目標規(guī)劃的圖解法

3、求滿足最高優(yōu)先等級目標的解；4、轉到下一個優(yōu)先等級的目標，再不破壞所有較高優(yōu)先等級目標的前提下，求出該優(yōu)先等級目標的解；5、重復4，直到所有優(yōu)先等級的目標都已審查完畢為止；6、確定最優(yōu)解和滿意解。34編輯課件例4、用圖解法求解目標規(guī)劃問題012345678123456

⑴⑵⑶Ax2

x1BC由于d2-取最小，所以，〔2〕線可向上移動，故B，C線段上的點是該問題的最優(yōu)解。35編輯課件例5、一個生產方案的線性規(guī)劃模型為其中目標函數為總利潤，x1,x2為產品A、B產量?，F有以下目標：1、要求總利潤必須超過2500元；2、考慮產品受市場影響，為防止積壓，A、B的生產量不超過60件和100件；3、由于甲資源供給比較緊張，不要超過現有量140。試建立目標規(guī)劃模型，并用圖解法求解。36編輯課件解：以產品A、B的單件利潤比2.5:1為權系數，模型如下：37編輯課件0x2

0⑴x11401201008060402020406080100⑵⑶⑷ABCD結論：C(60,58.3)為所求的滿意解。38編輯課件

檢驗：將上述結果帶入模型，因d1+＝d1-＝0

；d3+＝d3-＝0

；d2-=0，d2+存在；d4+＝0，d4-存在。所以，有下式：minZ=

將x1＝60，x2＝58.3帶入約束條件，得30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3>

140；1×60＝601×58.3＝58.3<100由上可知：假設A、B的方案產量為60件和58.3件時，所需甲資源數量將超過現有庫存。在現有條件下，此解為非可行解。為此，企業(yè)必須采取措施降低A、B產品對甲資源的消耗量，由原來的100％降至78.5％〔140÷178.3＝0.785〕，才能使生產方案〔60，58.3〕成為可行方案。39編輯課件求解目標規(guī)那么的單純形方法目標規(guī)劃模型仍可以用單純形方法求解，在求解時作以下規(guī)定：①因為目標函數都是求最小值，所以，最優(yōu)判別檢驗數為：②因為非基變量的檢驗數中含有不同等級的優(yōu)先因子，所以檢驗數的正、負首先決定于P1的系數1j的正負，假設1j=0，那么檢驗數的正、負就決定于p2的系數2j的正負，40編輯課件所以檢驗數的正、負首先決定于p1的系數1j的正、負，假設1j=0，那么檢驗數的正、負就決定于p2的系數2j的正、負，下面可依此類推。據此，我們可以總結出求解目標規(guī)劃問題的單純形方法的計算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗數行按優(yōu)先因子個數分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負數，且對應的前L-1行的系數是零。假設有，取其中最小者對應的變量為換入變量，轉③。假設無負數，那么轉⑤。41編輯課件①建立初始單純形表，在表中將檢驗數行按優(yōu)先因子個數分別排成L行，置l=1。②檢查該行中是否存在負數，且對應的前L-1行的系數是零。假設有，取其中最小者對應的變量為換入變量，轉③。假設無負數，那么轉⑤。③按最小比值規(guī)那么〔規(guī)那么〕確定換出變量，當存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。④按單純形法進行基變換運算，建立新的計算表，返回②。⑤當l=L時，計算結束，表中的解即為滿意解。否那么置l=l+1，返回②。42編輯課件例4：試用單純形法求解例2所描述的目標規(guī)劃問題.解：首先將這一問題化為如下標準形式：43編輯課件①取為初始基變量，列出初始單純形表。②取l=1，檢查檢驗數的p1行，因該行無負檢驗數，故轉⑤。⑤因為l=1<L=3，置l=l+1=2，返回②。②檢查發(fā)現檢驗數p2行中有-1，-2，因為有min{-1,-2}=-2，所以x2為換入變量，轉入③。

44編輯課件③按規(guī)那么計算：，所以d2-為換出變量，轉入④。④進行換基運算，得表3。以此類推，直至得到最終單純形表4為止。45編輯課件表246編輯課件表3由表3可知，x1*=2，x2*=4，為滿意解。檢查檢驗數行，發(fā)現非基變量d3+的檢驗數為0，這說明該問題存在多重解。47編輯課件表4

在表3中，以非基變量d3+為換入變量，d1-為換出變量，經迭代得到表4。

從表4可以看出，x1*=10/3，x2*=10/3也是該問題的滿意解。48編輯課件用目標到達法求解多目標規(guī)劃的計算過程，可以通過調用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數實現。該函數的使用方法，如下:多目標規(guī)劃的Matlab求解X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)

[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT]=FGOALATTAIN(FUN,X0,...)49編輯課件在MATLAB中，多目標問題的標準形式為:其中：x、b、beq、lb、ub是向量；A、Aeq為矩陣；C(x)、Ceq(x)和F(x)是返回向量的函數；F(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非線性函數；weight為權值系數向量，用于控制對應的目標函數與用戶定義的目標函數值的接近程度；goal為用戶設計的與目標函數相應的目標函數值向量；

為一個松弛因子標量；F(x)為多目標規(guī)劃中的目標函數向量。50編輯課件例：某工廠因生產需要，欲采購一種原料，市場上這種原材料有兩個等級，甲級單價2元/kg,乙級單價1元/kg，現要求總費用不超過200元，購得原料總量不少于100kg,其中甲級原料不少于50kg，問如何確定最好的采購方案。分析:列出方程

x1≥50;2x1+x2≤200;x1+x2≥100;x1,x2≥0化為標準形minf1=2x1+x2minf2=－

x1－

x2minf3=－

x1s.t

:

2x1+x2≤200

－

x1－

x2≤－

100

－

x1≤－

50

x1,x2≥051編輯課件matlab程序

fun='[2*x(1)+x(2),-x(1)-x(2),-x(1)]';a=[21;-1-1;-10];b=[200-100-20]';goal=[200,-100,-50];weight=goal;x0=[55,55];lb=[0,0]';[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,[],[],lb,[])

化為標準形minf1=2x1+x2minf2=－

x1－

x2minf3=－

x1s.t

:

2x1+x2≤200

－

x1－

x2≤－

100

－

x1≤－

50

x1,x2≥052編輯課件Optimizationterminated:Searchdirectionlessthan2*options.TolX

andmaximumconstraintviolationislessthanoptions.TolCon.

Activeinequalities(towithinoptions.TolCon=1e-006):

lower

upper

ineqlin

ineqnonlin

2

2

3x=

50.0000

50.0000fval=

150.0000-100.0000

-50.0000attainfactor=

-1.4476e-024exitflag=

4

53編輯課件一、土地利用問題二、生產方案問題三、投資問題四多目標規(guī)劃應用實例

54編輯課件大豆一、土地利用問題例:某農場I、II、III等耕地的面積分別為100hm2、300hm2和200hm2，方案種植水稻、大豆和玉米，要求三種作物的最低收獲量分別為190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地種植三種作物的單產如下表所示。假設三種作物的售價分別為水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，〔1〕如何制訂種植方案，才能使總產量最大和總產值最大？

I等耕地II等耕地III等耕地水稻1100095009000大豆800068006000玉米14000120001000055編輯課件

取xij決策變量，它表示在第j等級的耕地上種植第i種作物的面積。如果追求總產量最大和總產值最大雙重目標，那么，目標函數包括：②追求總產值最大①追求總產量最大

56編輯課件根據題意，約束方程包括：

非負約束

對上述多目標規(guī)劃問題，我們可以采用如下方法，求其非劣解。耕地面積約束最低收獲量約束57編輯課件1.用線性加權方法取

1=

2=0.5,重新構造目標函數：這樣，就將多目標規(guī)劃轉化為單目標線性規(guī)劃。用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解〔非劣解〕方案，結果見表58編輯課件

此方案是：III等耕地全部種植水稻，I等耕地全部種植玉米，II等耕地種植大豆19.1176公頃、種植玉米280.8824公頃。在此方案下，線性加權目標函數的最大取值為6445600。用單純形方法對該問題求解，可以得到一個滿意解〔非劣解〕方案，結果見表59編輯課件2.目標規(guī)劃方法

實際上，除了線性加權求和法以外，我們還可以用目標規(guī)劃方法求解上述多目標規(guī)劃問題。如果我們對總產量f1(X)和總產值f1(X)，分別提出一個期望目標值〔kg〕〔元〕并將兩個目標視為相同的優(yōu)先級。60編輯課件如果d1+、d1-分別表示對應第一個目標期望值的正、負偏差變量，d2+、d2-分別表示對應于第二個目標期望值的正、負偏差變量，而且將每一個目標的正、負偏差變量同等看待〔即可將它們的權系數都賦為1〕，那么，該目標規(guī)劃問題的目標函數為：對應的兩個目標約束為：即：

61編輯課件

除了目標約束以外，該模型的約束條件，還包括硬約束和非負約束的限制。其中，硬約束包括耕地面積約束式和最低收獲量約束式；非負約束，不但包括決策變量的非負約束式，還包括正、負偏差變量的非負約束：解上述目標規(guī)劃問題，可以得到一個非劣解方案，詳見表:在此非劣解方案下，兩個目標的正、負偏差變量分別為，，，。62編輯課件二、生產方案問題某企業(yè)擬生產A和B兩種產品，其生產投資費用分別為2100元/t和4800元/t。A、B兩種產品的利潤分別為3600元/t和6500元/t。A、B產品每月的最大生產能力分別為5t和8t；市場對這兩種產品總量的需求每月不少于9t。試問該企業(yè)應該如何安排生產方案，才能既能滿足市場需求，又節(jié)約投資，而且使生產利潤到達最大?分析:該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果方案決策變量用x1和x2表示，它們分別代表A、B產品每月的生產量〔單位：t〕；f1(x1,x2)表示生產A、B兩種產品的總投資費用〔單位：元〕；f2(x1,x2)表示生產A、B兩種產品獲得的總利潤〔單位：元〕。那么，該多目標規(guī)劃問題就是：求x1和x2，使：63編輯課件分析:該問題是一個線性多目標規(guī)劃問題。如果方案決策變量用x1和x2表示，它們分別代表A、B產品每月的生產量〔單位：t〕；f1(x1,x2)表示生產A、B兩種產品的總投資費用〔單位：元〕；f2(x1,x2)表示生產A、B兩種產品獲得的總利潤〔單位：元〕。那么，該多目標規(guī)劃問題就是：求x1和x2，使：而且滿足：64編輯課件對于上述多目標規(guī)劃問題，如果斷策者提出的期望目標是：〔1〕每個月的總投資不超30000元；〔2〕每個月的總利潤到達或超過45000元；〔3〕兩個目標同等重要。那么，借助Matlab軟件系統(tǒng)中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為：而且滿足：65編輯課件而且滿足：

[X,FVAL,ATTAINFACTOR,EXITFLAG,OUTPUT]=FGOALATTAIN(FUN,X0,...)X=FGOALATTAIN(FUN,X0,GOAL,WEIGHT,A,B,Aeq,Beq,LB,UB)按照此方案進行生產，該企業(yè)每個月可以獲得利潤44000元，同時需要投資29700元。66編輯課件三、投資問題

某企業(yè)擬用1000萬元投資于A、B兩個工程的技術改造。設x1、x2分別表示分配給A、B工程的投資〔萬元〕。據估計，投資工程A、B的年收益分別為投資的60%和70%；但投資風險損失，與總投資和單項投資均有關系：據市場調查顯示，A工程的投資前景好于B工程，因此希望A工程的投資額不小B工程。試問應該如何在A、B兩個工程之間分配投資，才能既使年利潤最大，又使風險損失為最??？67編輯課件

該問題是一個非線性多目標規(guī)劃問題，將它用數學語言描述出來，就是：求x1、x2，使：而且滿足：

對于上述多目標規(guī)劃問題，如果斷策者提出的期望目標是：〔1〕每一年的總收益不小于600萬元；〔2〕希望投資風險損失不超過800萬元；〔3〕兩個目標同等重要。那么，借助Matlab軟件中的優(yōu)化計算工具進行求解，可以得到一個非劣解方案為：68編輯課件

x1＝646.3139萬元，x2＝304.1477萬元此方案的投資風險損失為799.3082萬元，每一年的總收益為600.6918萬元。matlab程序

fun='[-0.60*x(1)-0.70*x(2),0.001*x(1)^2+0.002*x(2)^2+0.001*x(1)*x(2)]';a=[-1,1];b=[0];Aeq=[1,1];beq=[1000];goal=[600,800];weight=goal;x0=[600,600];lb=[0,0];[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,a,b,Ae