力的平移定理

第四章平面一般力系第一節(jié)力得平移定理上面兩章已經(jīng)研究了平面匯交力系與平面力偶系得合成與平衡。為了將平面一般力系簡化為這兩種力系,首先必須解決力得作用線如何平行移動得問題。設(shè)剛體得A點(diǎn)作用著一個(gè)力Ｆ(圖4－３(a)）,在此剛體上任取一點(diǎn)O?，F(xiàn)在來討論怎樣才能把力F平移到O點(diǎn),而不改變其原來得作用效應(yīng)？為此,可在O點(diǎn)加上兩個(gè)大小相等、方向相反,與F平行得力F′與F〞,且F′=F〞=F(圖4－3(b)）根據(jù)加減平衡力系公理,F、F′與F〞與圖4－3(a)得F對剛體得作用效應(yīng)相同。顯然F〞與Ｆ組成一個(gè)力偶,其力偶矩為這三個(gè)力可轉(zhuǎn)換為作用在O點(diǎn)得一個(gè)力與一個(gè)力偶（圖4-3（ｃ））。由此可得力得平移定理:作用在剛體上得力F，可以平移到同一剛體上得任一點(diǎn)O，但必須附加一個(gè)力偶,其力偶矩等于力F對新作用點(diǎn)O之矩。順便指出，根據(jù)上述力得平移得逆過程,共面得一個(gè)力與一個(gè)力偶總可以合成為一個(gè)力,該力得大小與方向與原力相同,作用線間得垂直距離為:力得平移定理就是一般力系向一點(diǎn)簡化得理論依據(jù),也就是分析力對物體作用效應(yīng)得一個(gè)重要方法。例如,圖4－4ａ所示得廠房柱子受到吊車梁傳來得荷載F得作用,為分析F得作用效應(yīng),可將力F平移到柱得軸線上得O點(diǎn)上，根據(jù)力得平移定理得一個(gè)力Ｆ′，同時(shí)還必須附加一個(gè)力偶（圖4-4(b）)．力F經(jīng)平移后,它對柱子得變形效果就可以很明顯得瞧出,力F′使柱子軸向受壓，力偶使柱彎曲。第二節(jié)平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化一、簡化方法與結(jié)果設(shè)在物體上作用有平面一般力系F1,F2，…,Fn，如圖４-5(ａ）所示。為將這力系簡化，首先在該力系得作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O作為簡化中心,根據(jù)力得平移定理,將各力全部平移到Ｏ點(diǎn)（圖４-5(b）),得到一個(gè)平面匯交力系Ｆ１′,Ｆ２′,…，F(xiàn)n′與一個(gè)附加得平面力偶系.其中平面匯交力系中各力得大小與方向分別與原力系中對應(yīng)得各力相同,即Ｆ１′=Ｆ1，F(xiàn)2′＝F2，…，F(xiàn)n′=Fn各附加得力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心O點(diǎn)之矩,即由平面匯交力系合成得理論可知,Ｆ１′,Ｆ2′,…，F(xiàn)n′可合成為一個(gè)作用于O點(diǎn)得力Rˊ，并稱為原力系得主矢（圖４－5(ｃ)),即R′＝F1′+F2′+…＋Fn′＝Ｆ１+F2+…+Fn=∑Fｉ（4-1）求主矢R′得大小與方向,可應(yīng)用解析法。過O點(diǎn)取直角坐標(biāo)系ｏxｙ，如圖4-5所示。主矢R′在x軸與y軸上得投影為Ｒx′=x1′＋x2′+…+xn′=ｘ１+x2+…＋xn=∑ＸＲy′=y１′+y2′＋…＋yｎ′=ｙ1+ｙ2＋…+yn＝∑Y式中：xi′、yi′與xｉ、yi分別就是力Fｉ′與Fi在坐標(biāo)軸ｘ與ｙ軸上得投影。由于Ｆｉ′與Fi大小相等、方向相同，所以它們在同一軸上得投影相等。主矢Ｒ′得大小與方向?yàn)?4-2）（4-３）為Ｒ′與ｘ軸所夾得銳角，Ｒ′得指向由∑X與∑Y得正負(fù)號確定。由力偶系合成得理論知,m1，m２,…，mn可合成為一個(gè)力偶(如圖4－５(c））,并稱為原力系對簡化中心O得主矩,即（4－4)綜上所述,得到如下結(jié)論:平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化得結(jié)果,就是一個(gè)力與一個(gè)力偶。這個(gè)力作用在簡化中心,它得矢量稱為原力系得主矢,并等于原力系中各力得矢量與；這個(gè)力偶得力偶矩稱為原力系對簡化中心得主矩，并等于原力系各力對簡化中心得力矩得代數(shù)與。應(yīng)當(dāng)注意,作用于簡化中心得力Ｒ′一般并不就是原力系得合力，力偶矩為ＭO′也不就是原力系得合力偶，只有Ｒ′與MO′兩者相結(jié)合才與原力系等效。由于主矢等于原力系各力得矢量與，因此主矢R得大小與方向與簡化中心得位置無關(guān)。而主矩等于原力系各力對簡化中心得力矩得代數(shù)與,取不同得點(diǎn)作為簡化中心，各力得力臂都要發(fā)生變化，則各力對簡化中心得力矩也會改變,因而，主矩一般隨著簡化中心得位置不同而改變。二、平面一般力系簡化結(jié)果得討論平面力系向一點(diǎn)簡化,一般可得到一力與一個(gè)力偶，但這并不就是最后簡化結(jié)果。根據(jù)主矢與主矩就是否存在,可能出現(xiàn)下列幾種情況:(1)若Ｒ′=0,MO′≠0,說明原力系與一個(gè)力偶等效，而這個(gè)力偶得力偶矩就就是主矩。由于力偶對平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩都相同，因此當(dāng)力系簡化為一力偶時(shí),主矩與簡化中心得位置無關(guān),無論向哪一點(diǎn)簡化，所得得主矩相同。（2)若R′≠0，MO′=０，則作用于簡化中心得力Ｒ′就就是原力系得合力,作用線通過簡化中心。（3）若R′≠0,MＯ′≠0，這時(shí)根據(jù)力得平移定理得逆過程，可以進(jìn)一步合成為合力R,如圖4-６所示。將力偶矩為ＭO′得力偶用兩個(gè)反向平行力R、Ｒ〞表示,并使R′與R〞等值、共線，使它們構(gòu)成一平衡力圖4-６(b）,為保持MO′不變,只要取力臂d為將R〞與Ｒ′這一平衡力系去掉,這樣就只剩下R力與原力系等效(圖4－6(c)）．合力Ｒ在O點(diǎn)得哪一側(cè),由R對O點(diǎn)得矩得轉(zhuǎn)向應(yīng)與主矩ＭO′得轉(zhuǎn)向相一致來確定。（4)R′=0，MO′=0,此時(shí)力系處于平衡狀態(tài)。三、平面一般力系得合力矩定理由上面分析可知,當(dāng)R′≠0，ＭO′≠0時(shí)，還可進(jìn)一步簡化為一合力R,見圖4-6,合力對O點(diǎn)得矩就是而所以由于簡化中心O就是任意選取得,故上式有普遍得意義。于就是可得到平面力系得合力矩定理.平面一般力系得合力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對同一點(diǎn)之矩得代數(shù)與。例４－1如圖4-7(ａ)所示,梁AB得A端就是固定端支座，試用力系向某點(diǎn)簡化得方法說明固定端支座得反力情況。解：梁得A端嵌入墻內(nèi)成為固定端,固定端約束得特點(diǎn)就是使梁得端部既不能移動也不能轉(zhuǎn)動。在主動力作用下，梁插入部分與墻接觸得各點(diǎn)都受到大小與方向都不同得約束反力作用(圖4-7(b)),這些約束反力就構(gòu)成一個(gè)平面一般力系，將該力系向梁上A點(diǎn)簡化就得到一個(gè)力ＲA與一個(gè)力偶矩為MＡ得力偶(圖4－7（c）),為了便于計(jì)算,一般可將約束反力RＡ,用它得水平分力XA與垂直分力YA來代替。因此，在平面力系情況下,固定端支座得約束反力包括三個(gè);即阻止梁端向任何方向移動得水平反力XＡ與豎向反力YA,以及阻止物體轉(zhuǎn)動得反力偶ＭA。它們得指向都就是假定得(圖4－7(d))。例4-2已知素混凝土水壩自重,,水壓力在最低點(diǎn)得荷載集度,各力得方向及作用線位置如圖4－8（a)所示。試將這三個(gè)力向底面Ａ點(diǎn)簡化，并求簡化得最后結(jié)果。解:以底面A為簡化中心,取坐標(biāo)系如圖4－8(a)所示,由式（4-２)與式(４－３)可求得主矢R′得大小與方向。由于所以因?yàn)椤疲貫檎?∑Y為正值,故Ｒ′指向第一象限與x軸夾角為,再由式(4－4）可求得主矩為計(jì)算結(jié)果為負(fù)值表示MA′就是順時(shí)針轉(zhuǎn)向。因?yàn)橹魇窻′≠0，主矩MA′≠0,如圖4－8(b）所示，所以還可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力R。Ｒ得大小、方向與R′相同，它得作用線與A點(diǎn)得距離為因MA′為負(fù),故MA（Ｒ)也應(yīng)為負(fù),即合力Ｒ應(yīng)在Ａ點(diǎn)右側(cè)，如圖4-8(c）所示。第三節(jié)平面一般力系平衡條件及其應(yīng)用一、平面一般力系得平衡條件平面一般力系向任一點(diǎn)簡化時(shí)，當(dāng)主矢、主矩同時(shí)等于零,則該力系為平衡力系。因此，平面一般力系處在平衡狀態(tài)得必要與充分條件就是力系得主矢與力系對于任一點(diǎn)得主矩都等于零，即：R′=0ＭＯ′=0根據(jù)式(4－2）及式（4－４),可得到平面一般力系得平衡條件為（4-5）式（4-５）說明,力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上得投影得代數(shù)與均等于零,所有各力對任一點(diǎn)之矩得代數(shù)與等于零。式(4-5)中包含兩個(gè)投影方程與一個(gè)力矩方程，就是平面一般力系平衡方程得基本形式.這三個(gè)方程就是彼此獨(dú)立得(即其中得一個(gè)不能由另外兩個(gè)得出)，因此可求解三個(gè)未知量.例4-3梁AB一端為固定端支座,另一端無約束,這樣得梁稱為懸臂梁.它承受均布荷載q與一集中力P得作用，如圖４－９(a）所示。已知P=１0kN,q=２kＮ／ｍ,l＝４m，，梁得自重不計(jì)，求支座A得反力。解:取梁AＢ為研究對象,其受力圖如圖４－9(b）所示。支座反力得指向就是假定得，梁上所受得荷載與支座反力組成平面一般力系。在計(jì)算中可將線荷載ｑ用作用其中心得集中力來代替。選取坐標(biāo)系，列平衡方程。力系既然平衡，則力系中各力在任一軸上得投影代數(shù)與必然等于零，力系中各力對任一點(diǎn)之矩得代數(shù)與也必然為零．因此,我們可以列出其它得平衡方程，用來校核計(jì)算有無錯(cuò)誤。校核可見,YA與ｍA計(jì)算無誤。例4－4圖4-10（ａ)所示一伸臂梁。受到荷載，三角形分布荷載作用.如果不計(jì)梁重，求支座Ａ與B得反力。解:取CＤ梁為研究對象,受力圖如圖４－10(b)所示,列平衡方程。得數(shù)為正值,說明實(shí)際得反力方向與假設(shè)得方向一致,得數(shù)為負(fù)值，說明實(shí)際得反力方向與假設(shè)得方向相反。例4－5一水平托架承受重得重物，如圖4-11（ａ）所示,Ａ、B、C各處均為鉸鏈連接。各桿得自重不計(jì),試求托架Ａ、B兩處得約束反力。解:取托架水平桿ＡＤ作為研究對象,其受力圖如圖4－１１（ｂ)所示．由于桿BC為二力桿，它對托架水平桿得約束反力沿桿BC軸線作用,A處為固定鉸支座,其約束反力可用相互垂直得一對反力與來代替。取坐標(biāo)系如圖,列出三個(gè)平衡方程.校核說明計(jì)算無誤例4-6鋼筋混凝土剛架，所受荷載及支承情況如圖４－12（ａ)所示。已知,試求支座處得反力.解:取剛架為研究對象,畫其受力圖如圖4-12（b)所示，圖中各支座反力指向都就是假設(shè)得。本題有一個(gè)力偶荷載，由于力偶在任一軸上投影為零,故寫投影方程時(shí)不必考慮力偶，由于力偶對平面內(nèi)任一點(diǎn)得矩都等于力偶矩，故寫力矩方程時(shí)，可直接將力偶矩列入。設(shè)坐標(biāo)系如圖４-12（ｂ)所示，列三個(gè)平衡方程校核說明計(jì)算無誤。從上述幾個(gè)例題可以瞧出,平面一般力系平衡問題得解題步驟為：選取研究對象,作出研究對象得受力圖。對所選取得研究對象，列出平衡方程。由平衡方程解出未知量。將計(jì)算結(jié)果代入不獨(dú)立得平衡方程,以校核解題過程有無錯(cuò)誤。二、平面一般力系平衡方程得其她形式前面我們通過平面一般力系得平衡條件導(dǎo)出了平面一般力系平衡方程得基本形式,除了這種形式外,還可將平衡方程表示為二力矩形式及三力矩形式。1.二力矩形式得平衡方程在力系作用面內(nèi)任取兩點(diǎn)A、B及Ｘ軸，如圖4－13所示,可以證明平面一般力系得平衡方程可改寫成兩個(gè)力矩方程與一個(gè)投影方程得形式,即:（4－6)式中X軸不與A、Ｂ兩點(diǎn)得連線垂直。證明：首先將平面一般力系向A點(diǎn)簡化，一般可得到過A點(diǎn)得一個(gè)力與一個(gè)力偶.若成立，則力系只能簡化為通過A點(diǎn)得合力R或成平衡狀態(tài).如果又成立,說明R必通過B?？梢姾狭得作用線必為ＡB連線.又因成立,則,即合力Ｒ在X軸上得投影為零，因AＢ連線不垂直Ｘ軸,合力R亦不垂直于X軸，由可推得．可見滿足方程(4－6）得平面一般力系，若將其向Ａ點(diǎn)簡化,其主矩與主矢都等于零,從而力系必為平衡力系.2.三力矩形式得平衡方程在力系作用面內(nèi)任意取三個(gè)不在一直線上得點(diǎn)A、B、C,如圖4－1４所示,則力系得平衡方程可寫為三個(gè)力矩方程形式,即（４－7）式中，A、B、Ｃ三點(diǎn)不在同一直線上。同上面討論一樣,若與成立,則力系合成結(jié)果只能就是通過Ａ、Ｂ兩點(diǎn)得一個(gè)力（圖4－14)或者平衡。如果也成立，則合力必然通過C點(diǎn),而一個(gè)力不可能同時(shí)通過不在一直線上得三點(diǎn)，除非合力為零,才能成立。因此,力系必然就是平衡力系。綜上所述,平面一般力系共有三種不同形式得平衡方程，即式(４－5)、式(４－6)、式（4－7),在解題時(shí)可以根據(jù)具體情況選取某一種形式。無論采用哪種形式,都只能寫出三個(gè)獨(dú)立得平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。任何第四個(gè)方程都不就是獨(dú)立得,但可以利用這個(gè)方程來校核計(jì)算得結(jié)果。例４－7某屋架如圖４-１5（a）所示,設(shè)左屋架及蓋瓦共重,右屋架受到風(fēng)力及荷載作用，其合力，與BC夾角為,試求Ａ、Ｂ支座得反力。解:取整個(gè)屋架為研究對象，畫其受力圖,并選取坐標(biāo)軸X軸與Y軸,如圖4－15(b)所示，列出三個(gè)平衡方程校核說明計(jì)算無誤。例4-8梁AC用三根支座鏈桿連接，受一力作用，如圖4-1６(a)所示。不計(jì)梁及鏈桿得自重,試求每根支座鏈桿得反力。解:取AＣ梁為研究對象，畫其受力圖，如圖4－16(b)所示。列平衡方程時(shí),為避免解聯(lián)立方程組，最好所列得方程中只有一個(gè)未知力,因此,取與得交點(diǎn)O１為矩心列平衡方程取與得交點(diǎn)O2為矩心列平衡方程取校核說明計(jì)算無誤.3.平面力系得特殊情況平面一般力系就是平面力系得一般情況。除前面講得平面匯交力系,平面力偶系外，還有平面平行力系都可以瞧為平面一般力系得特殊情況，它們得平衡方程都可以從平面一般力系得平衡方程得到,現(xiàn)討論如下。(1)平面匯交力系對于平面匯交力系,可取力系得匯交點(diǎn)作為坐標(biāo)得原點(diǎn),圖4-17（a)所示,因各力得作用線均通過坐標(biāo)原點(diǎn)O,各力對O點(diǎn)得矩必為零，即恒有。因此，只剩下兩個(gè)投影方程:即為平面匯交力系得平衡方程.（2)平面力偶系平面力偶系如圖4－17(ｂ)所示，因構(gòu)成力偶得兩個(gè)力在任何軸上得投影必為零，則恒有與,只剩下第三個(gè)力矩方程,但因?yàn)榱ε紝δ滁c(diǎn)得矩等于力偶矩，則力矩方程可改寫為即平面力偶系得平衡方程.（3)平面平行力系平面平行力系就是指其各力作用線在同一平面上并相互平行得力系,如圖4－１7(C)所示,選ＯY軸與力系中得各力平行，則各力在Ｘ軸上得投影恒為零，則平衡方程只剩下兩個(gè)獨(dú)立得方程（4－8)若采用二力矩式(4-6)，可得（4－9）式中Ａ、B兩點(diǎn)得連線不與各力作用線平行。平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立得平衡方程，只能求解兩個(gè)未知量。例4－9圖4-１8所示為塔式起重機(jī)。已知軌距,機(jī)身重,其作用線到右軌得距離,起重機(jī)平衡重,其作用線到左軌得距離，荷載P得作用線到右軌得距離,(1)試證明空載時(shí)（時(shí))起重機(jī)時(shí)否會向左傾倒？(2）求出起重機(jī)不向右傾倒得最大荷載P。解:以起重機(jī)為研究對象,作用于起重機(jī)上得力有主動力G、Ｐ、Q及約束力與，它們組成一個(gè)平行力系（圖4-1８)。(１)使起重機(jī)不向左倒得條件就是,當(dāng)空載時(shí)，取,列平衡方程所以起重機(jī)不會向左傾倒(2)使起重機(jī)不向右傾倒得條件就是,列平衡方程欲使,則需當(dāng)荷載時(shí),起重機(jī)就是穩(wěn)定得。三、物體系統(tǒng)得平衡前面研究了平面力系單個(gè)物體得平衡問題。但就是在工程結(jié)構(gòu)中往往就是由若干個(gè)物體通過一定得約束來組成一個(gè)系統(tǒng)。這種系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)。例如,圖示4－１9(a)所示得組合梁，就就是由梁AC與梁CD通過鉸C連接,并支承在A、B、D支座而組成得一個(gè)物體系統(tǒng)。在一個(gè)物體系統(tǒng)中,一個(gè)物體得受力與其她物體就是緊密相關(guān)得;整體受力又與局部緊密相關(guān)得。物體系統(tǒng)得平衡就是指組成系統(tǒng)得每一個(gè)物體及系統(tǒng)得整體都處于平衡狀態(tài).在研究物體系統(tǒng)得平衡問題時(shí),不僅要知道外界物體對這個(gè)系統(tǒng)得作用力,同時(shí)還應(yīng)分析系統(tǒng)內(nèi)部物體之間得相互作用力。通常將系統(tǒng)以外得物體對這個(gè)系統(tǒng)得作用力稱為外力,系統(tǒng)內(nèi)各物體之間得相互作用力稱為內(nèi)力。例如圖４－19（b)得組合梁得受力圖，荷載及A、B、D支座得反力就就是外力，而在鉸C處左右兩段梁之間得互相作用得力就就是內(nèi)力。應(yīng)當(dāng)注意，外力與內(nèi)力就是相對得概念,就是對一定得考察對象而言得，例如圖４－19組合梁在鉸Ｃ處兩段梁得相互作用力，對組合梁得整體來說,就就是內(nèi)力，而對左段梁或右段梁來說，就成為外力了。當(dāng)物體系統(tǒng)平衡時(shí),組成該系統(tǒng)得每個(gè)物體都處于平衡狀態(tài),因而，對于每一個(gè)物體一般可寫出三個(gè)獨(dú)立得平衡方程.如果該物體系統(tǒng)有個(gè)物體,而每個(gè)物體又都在平面一般力系作用下，則就有個(gè)獨(dú)立得平衡方程，可以求出個(gè)未知量。但就是，如果系統(tǒng)中得物體受平面匯交力系或平面平行力系得作用,則獨(dú)立得平衡方程將相應(yīng)減少，而所能求得未知量數(shù)目也相應(yīng)減少.當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)中未知量得數(shù)目不超過獨(dú)立得平衡方程數(shù)目,則未知量可由平衡方程全部求出，這樣得問題稱為靜定問題。當(dāng)未知量得數(shù)目超過了獨(dú)立平衡方程數(shù)目,則未知量由平衡方程就不能全部求出,這樣得問題,則稱為超靜定問題,在靜力學(xué)中，我們不考慮超靜定問題。在解答物體系統(tǒng)得平衡問題時(shí)，可以選取整個(gè)物體系統(tǒng)作為研究對象,也可以選取物體系統(tǒng)中某部分物體(一個(gè)物體或幾個(gè)物體組合)作為研究對象，以建立平衡方程。由于物體系統(tǒng)得未知量較多，應(yīng)盡量避免從總體得聯(lián)立方程組中解出,通?？蛇x取整個(gè)系統(tǒng)為研究對象，瞧能否從中解出一或兩個(gè)未知量,然后再分析每個(gè)物體得受力情況,判斷選取哪個(gè)物體為研究對象，使之建立得平衡方程中包含得未知量少，以簡化計(jì)算。下面舉例說明求解物體系統(tǒng)平衡問題得方法。例4-１0組合梁受荷載如圖4－20(a）所示。已知,，梁自重不計(jì),求支座A、C得反力.解：組合梁由兩段梁AB與ＢＣ組成,作用于每一個(gè)物體得力系都就是平面一般力系,共有6個(gè)獨(dú)立得平衡方程；而約束力得未知數(shù)也就是6(A處有三個(gè),B處有兩個(gè)，C處有1個(gè))．首先取整個(gè)梁為研究對象，受力圖如圖4-20(b)所示.其余三個(gè)未知數(shù)、與,無論怎樣選取投影軸與矩心,都無法求出其中任何一個(gè)，因