2024屆陜西省商洛市洛南中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆陜西省商洛市洛南中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的最長(zhǎng)弦和最短弦，則直線，的斜率之和為A． B． C．1 D．2．已知圓C與直線和直線都相切，且圓心C在直線上，則圓C的方程是（）A． B．C． D．3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積(弦矢+矢).弧田，由圓弧和其所對(duì)弦所圍成.公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)等于的弧田.按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積為（）A． B． C． D．4．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．直角邊不相等的直角三角形5．在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，是的中點(diǎn)，則A． B． C． D．6．如圖，在中，，是邊上的高，平面，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．7．棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．8．在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則公比等于（）A．1

或

2 B．?1

或

?2 C．1

或

?2 D．?1

或

29．已知向量，，則（）A． B． C． D．10．下列三角方程的解集錯(cuò)誤的是（）A．方程的解集是B．方程的解集是C．方程的解集是D．方程（是銳角）的解集是二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知銳角、滿足，，則的值為______.12．已知與的夾角為求=_____．13．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為___________．14．若，則__________.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）15．直線與間的距離為________．16．設(shè)直線與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點(diǎn)，若，則圓C的面積為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)，求函數(shù)的最小值為__________．18．已知函數(shù)，.（1）求解不等式；（2）若，求的最小值.19．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且,記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)若，求序數(shù)的值；(2)若數(shù)列的公差，求數(shù)列的公比及.20．已知向量，，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求向量與的夾角.21．如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得最長(zhǎng)弦是直徑，最短弦和直徑垂直，故可計(jì)算斜率，并求和.【題目詳解】由題意得，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和圓的圓心弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線的斜率為，由題意可得直線與直線互相垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，則直線的斜率為，故直線，的斜率之和為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩直線垂直的斜率關(guān)系，以及圓內(nèi)部的幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題型.2、B【解題分析】

設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離列出方程求解即可【題目詳解】∵圓心在直線上，∴可設(shè)圓心為，設(shè)所求圓的方程為，則由題意，解得∴所求圓的方程為．選B【題目點(diǎn)撥】直線與圓的問題絕大多數(shù)都是轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離公式進(jìn)行求解3、C【解題分析】

首先根據(jù)圖形計(jì)算出矢，弦，再帶入弧田面積公式即可.【題目詳解】如圖所示：因?yàn)椋?，為等邊三角?所以，矢，弦..故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查扇形面積公式，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)題意的理解，屬于中檔題.4、A【解題分析】

根據(jù)a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，利用等差、等比中項(xiàng)的性質(zhì)可知，根據(jù)基本不等式求得a=c，判斷出a=b=c，推出結(jié)果．【題目詳解】由a，b，c依次成等差數(shù)列，有2b=a+c(1)由，，成等比數(shù)列,有(2)，由(1)(2)得，又根據(jù)，當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，∴可得a=c，∴，綜上可得a=b=c，所以△ABC為等邊三角形.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的形狀判斷，結(jié)合等差、等比數(shù)列性質(zhì)及基本不等式關(guān)系可得三邊關(guān)系，從而求解，考查綜合分析能力，屬于中等題.5、D【解題分析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計(jì)算．【題目詳解】由題意，，．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積，平面向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示．6、C【解題分析】

根據(jù)線面垂直得出一些相交直線垂直，以及找出題中一些已知的相交直線垂直，由這些條件找出圖中的直角三角形．【題目詳解】①平面，,都是直角三角形；②是直角三角形；③是直角三角形；④由得平面，可知：也是直角三角形.綜上可知：直角三角形的個(gè)數(shù)是個(gè)，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查直角三角形個(gè)數(shù)的確定，考查相交直線垂直，解題時(shí)可以充分利用直線與平面垂直的性質(zhì)得到，考查推理能力，屬于中等題．7、C【解題分析】

根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槔忾L(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等，所以直徑，內(nèi)切球的體積為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正方體的內(nèi)切球的體積，利用正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等求出半徑是解題的關(guān)鍵.8、C【解題分析】

設(shè)出基本量，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的中項(xiàng)關(guān)系，即可列出相應(yīng)方程求解【題目詳解】等比數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，成等差數(shù)列，，即，或答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列求基本量的問題，屬于基礎(chǔ)題9、D【解題分析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積,計(jì)算模長(zhǎng)即可.【題目詳解】因?yàn)橄蛄?,則,,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B是錯(cuò)誤的.【題目詳解】因?yàn)椋薀o(wú)解，故B錯(cuò).對(duì)于A，的解集為，故A正確.對(duì)于C，的解集是，故C正確.對(duì)于D，，.因?yàn)闉殇J角，，所以或或，所以或或，故D正確.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角方程的解，注意對(duì)于三角方程，我們需掌握有解的條件和其通解公式，而給定范圍上的解，需結(jié)合整體的范圍來(lái)討論，本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

計(jì)算出角的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算出的值和的值，然后利用兩角差的余弦公式可計(jì)算出的值.【題目詳解】由題意可知，，，，則，.因此，.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時(shí)也考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求值，解題時(shí)要明確所求角與已知角之間的關(guān)系，合理利用公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.12、【解題分析】

由題意可得：，結(jié)合向量的運(yùn)算法則和向量模的計(jì)算公式可得的值.【題目詳解】由題意可得：，則：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量模的求解，向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.13、15【解題分析】

根據(jù)球的半徑，先求得球的體積；根據(jù)圓與等邊三角形關(guān)系，設(shè)出的邊長(zhǎng)為，由面積關(guān)系表示出圓錐的體積；設(shè)拿出鐵球后水面高度為，用表示出水的體積，由即可求得液面高度.【題目詳解】因?yàn)殍F球半徑為，所以由球的體積公式可得，設(shè)的邊長(zhǎng)為，則由面積公式與內(nèi)切圓關(guān)系可得，解得，則圓錐的高為.則圓錐的體積為，設(shè)拿出鐵球后的水面為，且到的距離為，如下圖所示：則由，可得,所以拿出鐵球后水的體積為，由，可知，解得，即將鐵球取出后容器中水的深度為15.故答案為：15.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓錐內(nèi)切球性質(zhì)的應(yīng)用，球的體積公式及圓錐體積公式的求法，屬于中檔題.14、；【解題分析】

由條件利用反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【題目詳解】，則，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了反三角函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

根據(jù)兩平行線間的距離，，代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)，整理計(jì)算得到答案.【題目詳解】因?yàn)橹本€與互相平行，所以根據(jù)平行線間的距離公式，可以得到它們之間的距離，.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩平行線間的距離公式，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解題分析】因?yàn)閳A心坐標(biāo)與半徑分別為，所以圓心到直線的距離，則，解之得，所以圓的面積，應(yīng)填答案．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、9【解題分析】試題分析：本題解題的關(guān)鍵在于關(guān)注分母，充分運(yùn)用發(fā)散性思維，經(jīng)過(guò)同解變形構(gòu)造基本不等式，從而求出最小值.試題解析：由得，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”，所以.考點(diǎn)：基本不等式；構(gòu)造思想和發(fā)散性思維.18、（1）或（2）【解題分析】

（1）對(duì)x分類討論解不等式得解；（2）由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.所以不等式解集為或.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2），.【解題分析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出公差，再由通項(xiàng)公式，得到，即可求出結(jié)果；（2）先由題意求出，得到等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得：；又，所以，即，解得：；?）因?yàn)閿?shù)列的公差，，所以；因此等比數(shù)列的公比為，所以其前項(xiàng)和為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由向量平行的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）利用向量夾角公式可求得，進(jìn)而根據(jù)向量夾角的范圍求得結(jié)果.【題目詳解】（1），解得：（2）又【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示、向量夾角的求解問題；考查學(xué)生對(duì)于平面向量坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)應(yīng)用問題.21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）存在點(diǎn)P，使得平面，且．【解題分析】

試題分析：（I）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．由題意易得四邊形是菱形，所以，從而，即，進(jìn)而證得平面．（Ⅱ）由（I）可知，、、兩兩互相垂直，故可以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，只要能找到一點(diǎn)P使得PM平行平面內(nèi)的一條直線即可．由于，故可取線段中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連結(jié)．則，且．由此即可得四邊形是平行四邊形，從而問題得證．試題解析：（I）由題意可知四邊形是平行四邊形，所以，故．又因?yàn)椋琈為AE的中點(diǎn)所以，即又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形．所以故．因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面所以平面．因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，、平面，所以平面．（Ⅱ）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則