包哥數(shù)學高中數(shù)學-抽象函數(shù)專題

./[包哥數(shù)學]抽象函數(shù)專題抽象函數(shù)簡介抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式,只給出它的一些特征、性質(zhì)或一些特殊關(guān)系式的函數(shù),所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運用的能力.抽象函數(shù)一些模型根據(jù)抽象函數(shù)的一些性質(zhì),聯(lián)想到所學的基本初等函數(shù)模型,將抽象具體化,有助于分析問題.抽象函數(shù)f<x>具有的性質(zhì)聯(lián)想到的函數(shù)模型f<x1+x2>=f<x1>+f<x2>;f<x1-x2>=f<x1>-f<x2>正比例函數(shù)模型：f<x>=kx<k≠0>f<x1+x2>=f<x1>·f<x2>;f<x1-x2>=f<x1>÷f<x2>指數(shù)函數(shù)模型：f<x>=ax<a>0且a≠f<x1·x2>=f<x1>+f<x2>;f<x1÷x2>=f<x1>-f<x2>;<x1,x2∈R+>對數(shù)函數(shù)模型：f<x>=logax<a>0且a例題：例1：f<x>在R+上是增函數(shù),且f<x>=f<>+f<y>,若f<3>=1,f<x>－f<>≥2,求x的范圍.例2：設(shè)函數(shù)f<x>的定義域為R,對于任意實數(shù)m、n,總有f<m+n>=f<m>·f<n>,且x>0時,0<f<x><1.〔1證明：f<0>=1；且x<0時,f<x>>1;〔2證明：f<x>在R上單調(diào)遞減；〔3設(shè)A=｛<x,y>│f<x2>·f<y2>>f<1>,B=｛<x,y>│f<ax-y+2>=1,a∈R｝,若A∩B=?,確定a的范圍.抽象函數(shù)的對稱性〔中心對稱、軸對稱和周期性①先深刻理解奇函數(shù),偶函數(shù)概念②方法：用哪個數(shù)代替x一、抽象函數(shù)的對稱性定理1.若函數(shù)y=f<x>定義域為R,且滿足條件：f<a+x>=f<b－x>,則函數(shù)y=f<x>的圖象關(guān)于直線x=對稱.推論1.若函數(shù)y=f<x>定義域為R,且滿足條件：f<a+x>=f<a－x>〔或f<2a－x>=f<x>>,則函數(shù)y=f<x>的圖像關(guān)于直線x=a對稱.推論2.若函數(shù)y=f<x>定義域為R,且滿足條件：f<a+x>=f<a－x>,又若方程f<x>=0有n個根,則此n個根的和為na.定理2.若函數(shù)y=f<x>定義域為R,且滿足條件：f<a+x>+f<b－x>=c,〔a,b,c為常數(shù),則函數(shù)y=f<x>的圖象關(guān)于點對稱.推論1.若函數(shù)y=f<x>定義域為R,且滿足條件：f<a+x>+f<a－x>=0,〔a為常數(shù),則函數(shù)y=f<x>的圖象關(guān)于點〔a,0對稱.了解定理3.若函數(shù)y=f<x>定義域為R,則函數(shù)y=f<a+x>與y=f<b－x>兩函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對稱.對任意x0,令a+x0=b-x1,則x0+x1=b-a此時令y=f<a+x0>=f<b-x1>,則<x0,y>在第一個函數(shù)圖像上,<x1,y>在第二個函數(shù)圖像上因為x0+x1=b-a,所以有x0-<b-a>/2=<b-a>/2-x1,<x0,y>和<x1,y>關(guān)于直線x=<b-a>/2對稱所以這兩個函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=<b-a>/2是對稱的定理4.若函數(shù)y=f<x>定義域為R,則函數(shù)y=f<a+x>與y=c－f<b－x>兩函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.二、抽象函數(shù)的周期性命題1：若a是非零常數(shù),對于函數(shù)y=f<x>定義域的一切x,滿足下列條件之一,則函數(shù)y=f<x>是周期函數(shù).函數(shù)y=f<x>滿足f<x+a>=－f<x>,則f<x>是周期函數(shù),且2a是它的一個周期.函數(shù)y=f<x>滿足f<x+a>=,則f<x>是周期函數(shù),且2a是它的一個周期.函數(shù)y=f<x>滿足f<x+a>+f<x>=1,則f<x>是周期函數(shù),且2a是它的一個周期.命題2：若a、b<>是非零常數(shù),對于函數(shù)y=f<x>定義域的一切x,滿足下列條件之一,則函數(shù)y=f<x>是周期函數(shù).<1>函數(shù)y=f<x>滿足f<x+a>=f<x+b>,則f<x>是周期函數(shù),且|a-b|是它的一個周期.<2>函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a,x=b對稱,則函數(shù)y=f<x>是周期函數(shù),且2|a-b|是它的一個周期.<3>函數(shù)圖象關(guān)于點M<a,0>和點N<b,0>對稱,則函數(shù)y=f<x>是周期函數(shù),且2|a-b|是它的一個周期.<4>函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a,及點M<b,0>對稱,則函數(shù)y=f<x>是周期函數(shù),且4|a-b|是它的一個周期.命題3：若a是非零常數(shù),對于函數(shù)y=f<x>定義域的一切x,滿足下列條件之一,則函數(shù)y=f<x>是周期函數(shù).<1>若f<x>是定義在R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f<x>是周期函數(shù),且2a是它的一個周期.<2>若f<x>是定義在R上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f<x>是周期函數(shù),且4a是它的一個周期.我們也可以把命題3看成命題2的特例,命題3中函數(shù)奇偶性、對稱性與周期性中已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.下面證明命題3〔1,其他命題的證明基本類似.設(shè)條件A:定義在R上的函數(shù)f<x>是一個偶函數(shù).條件B:f<x>關(guān)于x=a對稱條件C:f<x>是周期函數(shù),且2a是其一個周期.結(jié)論:已知其中的任兩個條件可推出剩余一個.證明:①已知A、B→C〔2001年全國高考第22題第二問∵f<x>是R上的偶函數(shù)∴f<-x>=f<x>又∵f<x>關(guān)于x=a對稱∴f<-x>=f<x+2a>∴f<x>=f<x+2a>∴f<x>是周期函數(shù),且2a是它的一個周期②已知A、C→B∵定義在R上的函數(shù)f<x>是一個偶函數(shù)∴f<-x>=f<x>又∵2a是f<x>一個周期∴f<x>=f<x+2a>∴f<-x>=f<x+2a>∴f<x>關(guān)于x=a對稱③已知C、B→A∵f<x>關(guān)于x=a對稱∴f<-x>=f<x+2a>又∵2a是f<x>一個周期∴f<x>=f<x+2a>∴f<-x>=f<x>∴f<x>是R上的偶函數(shù)由命題3<2>,我們還可以得到結(jié)論:f<x>是周期為T的奇函數(shù),則f<>=0[f<x+T>=f<x>,令x=-T/2,f<T/2>=f<-T/2>,f<x>為奇函數(shù),所以f<T/2>=f<-T/2>=-f<T/2>則2f<T/2>=0,f<T/2>=0]基于上述命題闡述,可以發(fā)現(xiàn),抽象函數(shù)具有某些關(guān)系.根據(jù)上述命題,我們易得函數(shù)周期,從而解決問題.習題：1.若函數(shù)f〔x=x2+bx+c對于任意實數(shù)t均有f〔3+t=f〔1－t,那么〔A.f〔2<f〔1<f〔4 B.f〔1<f〔2<f〔4C.f〔2<f〔4<f〔1 D.f〔4<f〔2<f〔1解析：在f〔3+t=f〔1－t中〔3+t+〔1－t=4所以拋物線f〔x=x2+bx+c的對稱軸為x=2作示意圖如圖1,可見,應(yīng)選A.2.設(shè)f〔x是定義在R上的奇函數(shù),且f〔x－2=－f〔x,給出下列四個結(jié)論：①f〔2=0；②f〔x是以4為周期的函數(shù)；③f〔x的圖像關(guān)于直線x=2對稱；④f〔x+2=f〔－x其中所有正確命題的序號是___________.解析：〔1因為y=f〔x〔x∈R是奇函數(shù),所以f〔－x=－f〔x令x=0,得f〔－0=－f〔0所以f〔0=0又已知f〔x－2=－f〔x令x=2,得f〔0=－f〔2所以f〔2=－f〔0=0故①成立.〔2因為f〔x－2=－f〔x,所以由x－〔x－4=4〔兩自變量相減得常數(shù)所以f〔x是以4為周期的周期函數(shù).故②成立.〔3由f〔x+2=f〔－x得：〔x+2+〔－x=2〔兩自變量相加得常數(shù)所以f〔x的圖像關(guān)于直線x=1對稱.而不是關(guān)于直線x=2對稱.故③是錯誤的.〔4由〔2知,f〔x應(yīng)滿足f〔x+2=f〔x－2而f〔x－2=－f〔x所以f〔x+2=－f〔x=f〔－x故④成立.綜上所述,應(yīng)填①②④.3.函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,則a=___________.解析：因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=2對稱所以有〔與題設(shè)矛盾,舍去或所以.4.函數(shù)y=f<x>在<0,2>上是增函數(shù),函數(shù)y=f<x+2>是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是〔A.f<1><f<><f<>B.f<><f<1><f<>C.f<><f<><f<1>D.f<><f<1><f<>.解析：∵函數(shù)y=f<x+2>是偶函數(shù),∴f<x+2>=f<-x+2>∴x=2為y=f<x>圖像的對稱軸===[也可根據(jù)y=f<x+2>→y=f<x>向右平移兩個單位知x=2為y=f<x>圖像的對稱軸]∴函數(shù)y=f<x>在<2,4>上是減函數(shù),且f<1>=f<3>∵52<3<725.f<x>滿足f<x>=-f<6-x>,f<x>=f<2-x>,若f<a>=-f<2000>,a∈[5,9]且f<x>在[5,9]上單調(diào).求a的值.包哥解析：由f<x>=-f<6-x>,f<x>=f<2-x>得f<2-x>=-f<6-x>用x代替-x,f<2+x>=-f<6+x>；用x+2代替x,f<x>=-f<x+4>；用x+4代替x,f<x+4>=-f<x+8>=-f<x>,即f<x>=f<x+8>,T=8∴f<2000>=f<0+8*250>=f<0>又∵f<a>=-f<2000>∴f<a>=-f<0>又∵f<x>=-f<6-x>∴f<0>=-f<6>∴f<a>=f<6>∵a∈[5,9]且f<x>在[5,9]上單調(diào)∴a=6確定方程根的個數(shù)6.已知f<x>是定義在R上的函數(shù),f<x>=f<4－x>,f<7+x>=f<7－x>,f<0>=0,求在區(qū)間[－1000,1000]上f<x>=0至少有幾個根？解：由f<7+x>=f<7－x>,用x-7代替x,f<x>=f<14-x>∴f<4－x>=f<14－x>,用x代替4-x故f<x+10>=f<x>∴f<10>=f<0>=0又f<4>=f<0>=0即在區(qū)間<0,10]上,方程f<x>=0至少兩個根又f<x>是周期為10的函數(shù),每個周期上至少有兩個根,因此方程f<x>=0在區(qū)間[－1000,1000]上至少有1+2=401個根.12.〔仙游一中高一數(shù)學期末在實數(shù)集上定義一種新運算"",對于任意給定的,為唯一確定的實數(shù),且具有下面三個性質(zhì)：關(guān)于函數(shù)的性質(zhì),有以下說法：①在區(qū)間上函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.其中所有正確說法的個數(shù)為〔A．B．C．D．解析：B由新運算"⊕"的定義〔3令c=0,則a⊕b=ab+a+b∴=x+1x+1〔對勾函數(shù)∴f′〔x=1-1x∵當x∈〔-∞,-1或〔1,+∞時,f′〔x＞0∴函數(shù)f〔x的單調(diào)遞增區(qū)間為〔-∞,-1、〔1,+∞．故③正確；①正確,②錯誤,f<-x>≠-f<x>12.〔2018XX市高中畢業(yè)班模擬試題已知函數(shù)fx+12=x3+2017xA.<-∞,2>B.<2,+∞>C.<-∞,2>B.<2,+∞>解析：B由fx+