廣東省肇慶市重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

肇慶市重點(diǎn)學(xué)校2023—2024學(xué)年度（上）高三年級(jí)月考數(shù)學(xué)試卷2023-10（全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.已知集合，，則如圖陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C.1 D.3.已知向量，.若，則（）A. B.2 C. D.04.已知函數(shù)，則（）A.1 B. C.0 D.5.若，則（）A. B. C. D.36.若滿(mǎn)足，且，則的形狀為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.銳角三角形或直角三角形7.如圖，在中，，，和相交于點(diǎn)，則向量等于（）A. B.C. D.8.北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，搭載神舟十三號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預(yù)定時(shí)間精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射，約582秒后，神舟十三號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿(mǎn)成功.此次航天飛行任務(wù)中，火箭起到了非常重要的作用.在不考慮空氣動(dòng)力和地球引力的理想情況下，火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)工作期間獲得速度增量（單位：千米/秒）可以用齊奧爾科夫斯基公式來(lái)表示，其中，（單位：千米/秒）表示它的發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度，（單位：噸）表示它裝載的燃料質(zhì)量，（單位：噸）表示它自身（除燃料外）質(zhì)量.若某型號(hào)的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的噴射速度為5千米/秒，要使得該火箭獲得的最大速度達(dá)到第一宇宙速度（7.9千米/秒），則火箭的燃料質(zhì)量與火箭自身質(zhì)量之比約為（）A. B. C. D.二、多選題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，下列判斷錯(cuò)誤的有（）A.為等比數(shù)列 B.為等差數(shù)列C.為等比數(shù)列 D.若，則10.下列結(jié)論正確的是（）.A.若是無(wú)理數(shù)，是有理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)B.若，則C.若“，”是真命題，則D.已知，是方程的兩個(gè)實(shí)根，則11.已知函數(shù)（）的圖象對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心的最小距離為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C.在上單調(diào)遞減 D.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)12.已知函數(shù)，，若，，則的可能取值為（）A. B. C. D.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)_____.14.曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.15.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和（），則______.16.已知函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.四、解答題17.（10分）已知向量，，且函數(shù).（1）求的解析式與最小正周期；（2）求在區(qū)間上的值域.18.（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.19.（12分）民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅(jiān)力量，為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻(xiàn).某農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為某品牌服裝進(jìn)行代加工，已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬(wàn)元，每代加工萬(wàn)件該品牌服裝，需另投入萬(wàn)元，且根據(jù)市場(chǎng)行情，該農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為這一品牌服裝每代加工一件服裝，可獲得12元的代加工費(fèi).（1）求該農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年代加工量（單位：萬(wàn)件）的函數(shù)解析式.（2）當(dāng)年代加工量為多少萬(wàn)件時(shí)，該農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤(rùn)最大？并求出年利潤(rùn)的最大值.20.（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求角；（2）記的面積為，的周長(zhǎng)為，若，求的取值范圍.21.（12分）已知函數(shù)的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.（1）求證為等比數(shù)列，并求.（2）對(duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值.22.（12分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在處的切線(xiàn)與軸平行.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.2023—2024學(xué)年度（上）高三年級(jí)月考數(shù)學(xué)試卷參考答案1.D【分析】首先求出集合、，依題意圖中陰影部分表示的是，根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：，所以所以故選：D2.C【解析】由題意得，變形后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】由題意，，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.3.D【分析】根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算法則，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解得，故選：D4.A【分析】先求得，然后求得.【詳解】，.故選：A5.C【分析】結(jié)合二倍角公式以及同角的平方關(guān)系化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系得到關(guān)于的式子即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故選：C.6.B【分析】由正弦定理可得，結(jié)合，可得，，即，分析即得解【詳解】由正弦定理，以及，可得代入，可得，∴，故，∴故為直角三角形故選：B7.B【分析】過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由平行線(xiàn)得出三角形相似，得出線(xiàn)段成比例，結(jié)合，，證出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法則，即可得和表示.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，已知，，∵，則和，則：且，即：且，所以，則：，所以，解得：，同理，和，則：且，即：且，所以，則：，即，所以，即，得：，解得：，∵四邊形是平行四邊形，∴由向量加法法則，得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、向量的加法法則和平面向量的基本定理，考查運(yùn)算能力.8.A【分析】由題意，，代入，運(yùn)算即得解【詳解】由題意，，代入可得故，∴故選：A9.BC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，利用等比數(shù)列的定義判斷即可；對(duì)于選項(xiàng)B，C，利用舉反例的辦法判斷即可，對(duì)于選項(xiàng)D，先求出，，的值，再利用即可求出的值.【詳解】解：令，則（），所以是等比數(shù)列，選項(xiàng)A正確；若，則無(wú)意義，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是等比數(shù)列，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，則，，，由是等比數(shù)列，得，即，解得，所以選項(xiàng)D正確.故選：BC.10.BCD【解析】舉反例可判斷選項(xiàng)A；利用基本不等式求最值可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)二次函數(shù)的最小值大于等于0求出的范圍可判斷選項(xiàng)C；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，將通分，即可求的值，即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)，時(shí)，是有理數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可得，解得：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可得，，則，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.11.BD【分析】先利用的圖象對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心的最小距離和周期的關(guān)系求出值，再利用整體思想求其周期、單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)軸.【詳解】因?yàn)榈膱D象對(duì)稱(chēng)軸與對(duì)稱(chēng)中心的最小距離為，所以，即，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由，得，即，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即選項(xiàng)D正確.故選：BD.12.ABC【分析】首先把變形為，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象可得到；從而把轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】由題意得，，即，由，得，由得；由得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又時(shí)，；時(shí)，，所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，時(shí)，有唯一解，所以由，得，且，所以，設(shè)（），則，由得，易得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減又，所以時(shí)，.故選：ABC.13.8【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8.故答案為：8.14.或【分析】求導(dǎo)得，故，再結(jié)合和直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程得切線(xiàn)方程，【詳解】解析：因?yàn)?，所?又，故曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即或15.1458【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的遞推公式，求出，代入即可求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和（），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以公比，則，所以，故答案為：1458.16.【分析】化簡(jiǎn)，得，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上存在最小值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】，因?yàn)樵趨^(qū)間上存在最大值，所以在區(qū)間上存在最小值，由，得，所以，即.故答案為：17.（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知條件列出方程組即可得出答案；（2）結(jié)合（1）中的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列和，然后利用放縮法即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)公差為，由題，解得，.所以.（2）由（1），，則有.則.所以.18.（1），最小正周期為；（2）.【分析】（1）根據(jù)時(shí)，，求得，利用，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算和三角恒等變換的公式，即可求得，進(jìn)而求得最小正周期；（2）由，可得，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，向量，，當(dāng)時(shí)，，，又由，可得，解得，即，，所以，即函數(shù)的解析式為，最小正周期為.（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，所以函數(shù)的值域?yàn)?19.（1）2.（1）（2）當(dāng)年代加工量為15萬(wàn)件時(shí)，該農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤(rùn)最大，最大值為25萬(wàn)元【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)與成本之間的關(guān)系，即可結(jié)合的表達(dá)式求解，（2）根據(jù)二次函數(shù)以及不等式求解最值，由分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)所以在上單調(diào)遞增，故（萬(wàn)元）；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）.因?yàn)?，所以?dāng)年代加工量為15萬(wàn)件時(shí)，該農(nóng)民專(zhuān)業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費(fèi)的年利潤(rùn)最大，最大值為25萬(wàn)元.20.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再由余弦定理求解作答.（2）根據(jù)已知結(jié)合三角形面積公式求出的函數(shù)關(guān)系，再利用均值不等式求解作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，由余弦定理得，，所以.（2）由（1）知，，即，于是，因?yàn)椋从?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，因此，有，所以的取值范圍為.21.【分析】（1）由已知可推得，變形可得，即可得出證明.由已知，進(jìn)而得出，整理即可得出答案；（2）分組求和得出.根據(jù)錯(cuò)位相減法求，得出，即可得出，然后根據(jù)，即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，所?又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以.（2）因?yàn)?，所?設(shè)，所以，所以，所以，所以.因?yàn)椋?，所以，所?22.（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【分析】（1）先由切線(xiàn)