2024屆孝感市重點中學高一數學第二學期期末統考試題含解析

2024屆孝感市重點中學高一數學第二學期期末統考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，角的對邊分別為,，且邊，則面積的最大值為（）A． B． C． D．2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中點為M，BC中點為N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與MN所成角的余弦值為A．1 B． C． D．03．在投資生產產品時，每生產需要資金200萬，需場地，可獲得300萬；投資生產產品時，每生產需要資金300萬，需場地，可獲得200萬，現某單位可使用資金1400萬，場地，則投資這兩種產品，最大可獲利()A．1350萬 B．1475萬 C．1800萬 D．2100萬4．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：①與平行②與是異面直線③與成角

④與是異面直線以上四個命題中，正確命題的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．45．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．6．已知兩點，若點是圓上的動點，則面積的最大值為（）A．13 B．3 C． D．7．我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞8．設A,B是任意事件，下列哪一個關系式正確的（）A．A+B=A B．ABA C．A+AB=A D．A9．設定義域為的奇函數是增函數，若對恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．與直線平行，且與直線交于軸上的同一點的直線方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知是等差數列,,,則的前n項和______.12．的值為__________．13．已知向量，滿足，且在方向上的投影是，則實數_______.14．在數列中，，，則__________．15．在等差數列中，，，則公差______.16．已知，則.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，，.（1）若、、三點共線，求；（2）求的面積.18．中，角的對邊分別為，且.（I）求角的大?。唬↖I）若，求的最小值.19．已知函數，是公差為的等差數列，是公比為的等比數列．且，，，．（1）分別求數列、的通項公式；（2）已知數列滿足：，求數列的通項公式．20．如圖,在四邊形中,,,,.(1)若,求;(2)求四邊形面積的最大值.21．已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是，的中點，與平面所成的角的正切值是；（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由已知利用同角三角函數基本關系式可求，根據余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而利用三角形面積公式即可求解．【題目詳解】解：，可解得：，由余弦定理，可得，即，當且僅當時成立．等號當時成立．故選D．【題目點撥】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基本知識的考查．2、D【解題分析】

先找到直線異面直線AB1與MN所成角為∠,再通過解三角形求出它的余弦值.【題目詳解】由題得,所以∠就是異面直線AB1與MN所成角或補角.由題得,,因為,所以異面直線AB1與MN所成角的余弦值為0.故選:D【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、B【解題分析】

設生產產品x百噸，生產產品百噸，利潤為百萬元，先分析題意，找出相關量之間的不等關系，即滿足的約束條件，由約束條件畫出可行域；要求應作怎樣的組合投資，可使獲利最大，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標函數看成是一條直線，分析目標函數與直線截距的關系，進而求出最優(yōu)解．【題目詳解】設生產產品百噸，生產產品百噸，利潤為百萬元則約束條件為：，作出不等式組所表示的平面區(qū)域：目標函數為.由解得.使目標函數為化為要使得最大，即需要直線在軸的截距最大即可.由圖可知當直線過點時截距最大.此時應作生產產品3.25百噸，生產產品2.5百噸的組合投資，可使獲利最大．

故選：B．【題目點撥】在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數Z與直線截距之間的關系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現實問題中．屬于中檔題.4、B【解題分析】

把平面展開圖還原原幾何體，再由棱柱的結構特征及異面直線定義、異面直線所成角逐一核對四個命題得答案．【題目詳解】把平面展開圖還原原幾何體如圖：由正方體的性質可知，與異面且垂直，故①錯誤；與平行，故②錯誤；連接，則，為與所成角，連接，可知為正三角形，則，故③正確；由異面直線的定義可知，與是異面直線，故④正確．∴正確命題的個數是2個．故選：B．【題目點撥】本題考查棱柱的結構特征，考查異面直線定義及異面直線所成角，是中檔題．5、A【解題分析】

觀察可知，這個幾何體由兩部分構成,：一個半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個半球體，半徑為1，按公式計算可得體積?！绢}目詳解】設半圓柱體體積為，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A?！绢}目點撥】本題通過三視圖考察空間識圖的能力，屬于基礎題。6、C【解題分析】

先求出直線方程，然后計算出圓心到直線的距離，根據面積的最大時，以及高最大的條件，可得結果.【題目詳解】由，利用直線的截距式所以直線方程為：即由圓，即所以圓心為，半徑為則圓心到直線的距離為要使面積的最大，則圓上的點到最大距離為所以面積的最大值為故選：C【題目點撥】本題考查圓與直線的幾何關系以及點到直線的距離，屬基礎題.7、B【解題分析】

設塔頂的a1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．8、C【解題分析】

試題分析：因為題目中給定了A,B是任意事件，那么利用集合的并集思想來分析，兩個事件的和事件不一定等于其中的事件A.可能大于事件A選項B，AB表示的為AB的積事件，那么利用集合的思想，和交集類似，不一定包含A事件．選項C，由于利用集合的交集和并集的思想可知，A+AB=A表示的等式成立．選項D中，利用補集的思想和交集的概念可知，表示的事件A不發(fā)生了，同時事件B發(fā)生，顯然D不成立．考點：本試題考查了事件的關系．點評：對于事件之間的關系的理解，可以運用集合中的交集，并集和補集的思想分別對應到事件中的和事件，積事件，非事件上來分析得到，屬于基礎題．【題目詳解】請在此輸入詳解！9、A【解題分析】

由題意可得，即為，可得恒成立，討論是否為0，結合換元法和基本不等式，可得所求范圍．【題目詳解】解：由題意可得，即為，可得恒成立，當時，上式顯然成立；當時，可得，設，，可得，由，可得，可得，即，故選：A．【題目點撥】本題主要考查函數的奇偶性和單調性的運用，考查不等式恒成立問題解法，注意運用參數分離和換元法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．10、A【解題分析】

直線交于軸上的點為，與直線平行得到斜率，根據點斜式得到答案.【題目詳解】與直線平行直線交于軸上的點為設直線方程為：代入交點得到即故答案選A【題目點撥】本題考查了直線的平行關系，直線與坐標軸的交點，屬于基礎題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由，可求得公差d，進而可求得本題答案.【題目詳解】設等差數列的公差為d，由題，有，解得，所以.故答案為：【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式及求和公式，屬基礎題.12、【解題分析】

直接利用誘導公式化簡求值.【題目詳解】,故答案為:.【題目點撥】本題考查誘導公式的應用,屬于基礎題.13、1【解題分析】

在方向上的投影為，把向量坐標代入公式，構造出關于的方程，求得.【題目詳解】因為，所以，解得：，故填：.【題目點撥】本題考查向量的數量積定義中投影的概念、及向量數量積的坐標運算，考查基本運算能力.14、16【解題分析】

依次代入即可求得結果.【題目詳解】令，則；令，則；令，則；令，則本題正確結果：【題目點撥】本題考查根據數列的遞推公式求解數列中的項，屬于基礎題.15、3【解題分析】

根據等差數列公差性質列式得結果.【題目詳解】因為，，所以.【題目點撥】本題考查等差數列公差，考查基本分析求解能力，屬基礎題.16、【解題分析】試題分析：兩式平方相加并整理得，所以.注意公式的結構特點，從整體去解決問題.考點：三角恒等變換.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）根據題意，若、、三點共線，則表達和，根據向量共線定理的坐標表示，可求解參數值，即可求解模長.（2）根據題意，先求，，再求向量、的夾角，代入三角形面積公式，即可求解.【題目詳解】解：（1）已知向量，，∴，，由點、、三點共線，得.解得.，（3）因為，，所以，，，，，【題目點撥】本題考查（1）向量共線的坐標表示；（2）三角形面積公式；考查計算能力，屬于基礎題.18、（I）；（II）最小值為2.【解題分析】

（I）,化簡即得C的值；（II）【題目詳解】（I）因為，所以；（II）由余弦定理可得，，因為，所以，當且僅當的最小值為2.【題目點撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形和基本不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1），；（2）.【解題分析】

（1）根據題意分別列出關于、的方程，求出這兩個量，然后分別求出數列、的首項，再利用等差數列和等比數列的通項公式可計算出數列、的通項公式；（2）令可得出的值，再令，由得出，兩式相減可求出，于此得出數列的通項公式.【題目詳解】（1）由題意得，，，解得，且，，，，，且，整理得，解得，，，由等比數列的通項公式可得；（2）由題意可知，對任意的，.當時，，；當時，由，可得，上述兩式相減得，即，.不適合上式，因此，.【題目點撥】本題考查等差數列、等比數列通項公式的求解，以及利用作差法求數列通項，解題時要結合數列遞推式的結構選擇合適的方法求解，考查運算求解能力，屬于中等題.20、(1);(2).【解題分析】

（1）直接利用余弦定理，即可得到本題答案；（2）由四邊形ABCD的面積=，得四邊形ABCD的面積，求S的最大值即可得到本題答案.【題目詳解】(1)當時,在中,由余弦定理得，設(),則,即,解得，所以；(2)的面積為，在中,由余弦定理得,所以,的面積為，所以,四邊形的面積為，因為,所以當時,四邊形的面積最大,最大值為.【題目點撥】本題主要考查利用余弦定理、面積公式及三角函數的性質解決實際問題.21、(1)見證明；(2)【解題分析】

（1）取的中點，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，從而證得平面.（2）連接，證得為與平面所成角.根據的